Исследование процессов испарения и конденсации жидких капель (стр. 9 из 11)

(3.8)

Здесь

- функция распределения, зависящая от

и r, а r расстояние от центра частицы до rи

- угол между радиальным направлением и направлением скорости молекулы. Другие обозначения: l - средняя длина свободного пробега и

(3.9)

это численная концентрация молекул пара. Для простоты будем работать в системе единиц, где l = 1.

(3.10)

При интегрировании (3.8) по

получается уравнение непрерывности:

(3.11)

Функцию распределения удобно разбить на две части:

(3.12)

где

- единичная функция Хевисайда. С учетом (3.12) уравнение (3.8) дает два спаренных уравнения для

(3.13)

(3.14)

Функции

описывают молекулы пара двигающиеся по направлению к поверхности частицы и от частицы

. Численная концентрация молекул и их поток может быть выражен через эти функции:

(3.15)

(3.16)

Система уравнений (3.13) и (3.14) должна быть дополнена граничными условиями:

(3.17)

Это наиболее простые граничные условия, устанавливающие связь между функциями

с помощью вероятности прилипания молекулы пара к поверхности частицы. Формула (3.9) означает, что доля налетающих на частицу молекул пара, которые остаются на ее поверхности, составляет

, остальные молекулы, доля которых

, зеркально отражаются от поверхности. Ниже будут представлены более общие граничные условия, которые не внесут существенных изменений в дальнейшее решение.

3.3 Формальное решение уравнения для функции распределения.

Введем новые переменные

, которые связаны с

соотношениями:

(3.18)

В этих переменных уравнения (3.6) и (3.7) принимают форму:

(3.19)

(3.20)

Предположим, что

- это известная функция координат, тогда решение уравнения (3.19) можно получить в виде:

(3.21)

где

. Правая часть уравнения (3.21) содержит растущую с r экспоненту, от которой следует избавиться выбором функции

.Окончательный результат приобретает вид:

(3.22)

В переменных

(3.22) имеют форму:

(3.23)

Теперь

принимает вид:

(3.24)

3.4 Точные результаты решения уравнений

Дальнейшие шаги связаны с получением явного вида решения (3.24). Для этого необходимо получить зависимость

. Введем новую функцию

уравнением:

(3.25)

Эта функция предназначена для того, чтобы плавно перейти от значений концентрации пара на поверхности частицы к концентрации на далеких от частицы расстояниях. Естественно,

. При подстановке выражения (3.24) в (3.25) получаем:

(3.26)

Здесь введены обозначения

. Первый интеграл в правой части (3.26) легко посчитать:

(3.27)

Второй тоже легко привести к удобному для использования виду, для этого введем замену переменных:

(3.28)

В результате для

получим удобное выражение:

(3.29)

Теперь выражения для распределения концентрации

и потока молекул j принимают форму:

(3.30)

(3.31)

Здесь введены следующие обозначения

(3.32)

В соответствии с уравнением (3.11) можно записать, что

, а также

, откуда с учетом (3.25) при

для потока у поверхности частицы получим:

(3.33)

где D коэффициент диффузии (D=1/3 в БГК приближении) и введем обозначение

. Таким образом, найдена связь между потоком у поверхности частицы с параметрами распределения концентрации пара на далеком удалении от нее.

Чтобы установить форму этой зависимости,

представим в виде двух слагаемых, каждое из которых определяет поведение концентрации у поверхности и вдали от частицы:

(3.34)

Здесь функция

равна единице при

и ничтожно мала на расстояниях порядка длины свободного пробега молекул пара и более (r порядка 1 в наших единицах). Тогда

, (3.35)

где

(3.36)

(3.37)

При подстановке соотношения (3.34) в уравнения (3.30) и (3.31) можно получить:

(3.38)

(3.39)

где

. Уравнение (3.33) позволяет исключить комбинацию

при помощи линейной системы уравнений для