Застосування принципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв'язування задач (стр. 4 из 5)

Мислено видаляючи пружину, заміняючи її реакцію Fі вважаючи решту в’язей ідеальними, розглянемо рух відцентрового регулятора під дією заданих сил: сил ваги

куль А і В та сили ваги муфти, при цьому силу пружності пружини Fтакож приєднуємо до числа заданих сил.

Вибравши координатну систему, як показано на рис. 2, впровадимо у розгляд відцентрові сили інерції I куль і складемо загальне рівняння механіки:

де

- відповідні координати точок А і С; - можливі переміщення цих точок.

Легко бачити, що

Дана матеріальна система (регулятор) має при відсутності обертання навколо вертикальної осі (нами впроваджено відцентрові сили інерції I куль) один степінь вільності, який визначається кутом

. Надаючи регуляторові можливого переміщення , дістанемо для точок А і С можливі переміщення, варіюючи координати цих точок, виражені у функції від кута :

Сили інерції визначаються за формулою:

Сила пружності пружини дорівнює:

Рівняння робіт (загальне рівняння механіки) має вигляд:

Внаслідок довільності

маємо:

звідки

Задача 3. До шарніра В шарнірного чотиристоронника

прикладена вертикальна сила R. Ланка ВС жорстко з’єднана з диском, центр якого знаходиться в точці В; до диска по дотичній прикладена горизонтальнасила (механізм для піднімання польового колеса плуга). Стержні мають довжину: інші дані показані нарис. 3. Нехтуючи вагою стержнів і диска, а також тертям ушарнірах, визначити співвідношення між величинами сил RіSу показаному на рисунку положенні рівноваги.

Розглядувана матеріальна система складається з диска, жорстко з'єднаного з стержнем ВС (цей диск з стержнем здійснюють плоский рух), і з двох стержнів СО і . Нехтуючи тертям у шарнірних з'єднаннях ланок даного механізму і враховуючи нерухомість шарнірів О і , будемо вважати в'язі ідеальними.

Оскільки швидкості точок В і С напрямлені нормально до стержнів

і СО, то миттєвий центр швидкостей диска знаходиться в точці О. Тому можливі переміщення і точок В і А прикладання сил RіS мають напрями, відповідно нормальні до і . Вводячи для зручності кути і , як показано на рис. 3, на підставі принципу можливих переміщень маємо:

звідки

Оскільки шарнірний чотирикутник

має один стенінь вільності, то можливі переміщення і залежать одне від одного. На підставі теореми про розподіл швидкостей маємо:

Таким чином,

Враховуючи, що

остаточно дістанемо

3. 2. Практичне застосування принципу Даламбера до розв’язування задач

Задача 1. Радіус кривизни в найнижчій точці дугоподібного моста (рис. 1) дорівнює . Найбільший нерухомий тягар, який може витримати середина моста дорівнює Р. Знайти, при якій швидкості vтягаря вагою I, що рухається по мосту, міст буде зруйновано. Припускаємо, що міст не деформується і що P>Q.

Розглянемо положення рухомого тягаря М в момент проходження його через середину моста. На цей тягар діють сила ваги Qі реакція мостаN. Для розв’язання задачі застосуємо принцип Даламбера. В цьому випадку сила інерції І має лише нормальну складову

:

.

На підставі принципу Даламбера

звідки

.

Очевидно, міст не зруйнується, якщо

,тобто при

або при

Таким чином, міст зруйнується при умові:

Відзначимо, що при вгнутому профілі моста тиск на міст з боку рухомого тягаря збільшується, а у випадку опуклого профілю - зменшується. Тому, враховуючи вимоги міцності споруди, вигідніше будувати мости з опуклим профілем.

Задача 2. Кулька О вагою Р = 0,5 кг, що лежить на горизонтальному столі, прив’язана ниткою завдовжки АО = І = 1 м до нерухомої точки А (рис.). Кульці надана початкова швидкість

=2 м/сек, напрямлена в площині стола перпендикулярно до напряму нитки. Знайти швидкість кульки і натяг нитки через дві секунди після початку руху, якщо коефіцієнт тертя дорівнює k=0,1.

На кульку діють сила ваги Р і реакції нитки Т і стола N і F. Для розв'язання задачі застосуємо принцип Даламбера. Сила інерції I має дві складові - нормальну

і тангенціальну :

і .

Оскільки нормальне прискорення

кульки напрямлене до точки А, то сила інерції напрямлена в протилежний бік. Сила тертя Fмає напрям, протилежний швидкості v, тому тангенціальне прискорення має напрям, протилежний напряму швидкості v. Отже, сила інерції , має напрям швидкості v.

На підставі принципу Даламбера

P+T+N+F+I=0,

або в проекціях на координатні осі: