Застосування принципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв'язування задач (стр. 3 из 5)

і рівняння (1), після скорочення на множник

, прийме вигляд

Розділ 2. Методика розв’язування задач

2. 1. Методика розв’язування задач за принципом можливих переміщень

При застосуванні принципу можливих переміщень до розв'язування конкретних задач можна рекомендувати додержувати такої послідовності дій:

1. Визначити систему матеріальних точок або тіл, рух яких необхідно розглянути.

2. Визначити число степенів вільності цієї системи.

3. Визначити характер в’язей, які накладені на дану матеріальну систему, тобто визначити, чи є ці в'язі ідеальними, чи ні. В останньому випадку, як було вказано вище, сили тертя слід віднести до заданих сил.

4. Якщо деякі з реакцій в'язей, які здебільшого виключаються з розгляду внаслідок їх ідеальності, необхідно визначній, то в цьому випадку, мислено відкидаючи в’язь, заміняють її реакцією і, переводячи реакцію в розряд заданих сил, застосовують принцип можливих переміщень. При цьому в’язі, реакції яких необхідно визначити, по черзі відкидають так, щоб у рівняння входила тільки одна невідома сила. Якщо необхідно визначити реакцію шарніра, то її розкладають по напрямах осей координат і після цього визначають спочатку одну складову, а потім іншу. Щоб визначити горизонтальну складову, шарнір слід замінити ротком на горизонтальній площині, а не відкидати в’язь повністю, бо реакція має ще й вертикальну складову, яка на можливому у цьому випадку горизонтальному переміщенні роботи не створює і, таким чином, буде виключена з відповідного рівняння. Після цього аналогічним способом визначають вертикальну складову, замінивши шарнір котком на вертикальній площині.

5. Скласти схему заданих сил, прикладених до точок матеріальної системи.

6. Надати системі одного з можливих переміщень. При виборі цього переміщення, якщо система має кілька степенів вільності, слід простежити за тим, щоб з рівняння не були виключені елементи, які необхідно визначити, і щоб рівняння мало найбільш простий вигляд.

7. Показати напрями переміщень окремих точок матеріальної системи, до яких прикладені задані сили.

8. Визначити роботу заданих сил на відповідних можливих переміщеннях і скласти рівняння на підставі принципу можливих переміщень. Очевидно, що таких рівнянь можна скласти стільки, скільки степенів вільності має дана матеріальна система.

9. Встановити залежність між можливими переміщеннями точок системи і визначити, таким чином, можливі переміщення всіх точок системи у функції від незалежних одне від одного можливих переміщень, виходячи з міркувань, вказаних вище.

В результаті цього виходить система рівнянь, кількість яких відповідає кількості степенів вільності матеріальної системи. Виключивши з цих рівнянь незалежні одне від одного можливі переміщення внаслідок їх довільності, можна визначити шукані сили або інші величини.

2. 2. Методика розв’язування задач за принципом Даламбера

При розв’язуванні задач за допомогою принципа Даламбера слід дотримуватись такої послідовності виконання дій:

1. Визначити систему матеріальних точок або тіл, рух яких необхідно розглянути.

2. Визначити число степенів вільності цієї системи.

3. Скласти схему заданих сил, прикладених до точок матеріальної системи.

4. Надати системі одного з можливих переміщень. При виборі цього переміщення, якщо система має кілька степенів вільності, слід простежити за тим, щоб з рівняння не були виключені елементи, які необхідно визначити, і щоб рівняння мало найбільш простий вигляд.

5. Показати напрями переміщень точок матеріальної системи, до яких прикладені задані сили.

6. Визначити роботу заданих сил на відповідних можливих переміщеннях і скласти рівняння на підставі принципу Даламбера.

7. Встановити залежність між можливими переміщеннями точок системи і визначити, таким чином, можливі переміщення всіх точок системи у функції від незалежних одне від одного можливих переміщень.

В кінцевому випадку виходить система рівнянь, після обробки яких можна визначити шукані величини.

Розділ 3. Приклади розв’язування задач

3. 1. Практичне застосування принципу можливих переміщень до розв’язування задач

Задача 1. На маховичок колінчастого преса (рис. 1) діє пара сил з моментом М. Вісь маховичка має на кінцях гвинтову різь протилежних напрямів з відстанню Н і проходить через дві гайки, шарнірно прикріплені до двох вершин стержньового ромба з стороною а. Верхня вершина ромба закріплена нерухомо, нижня — прикріплена до горизонтальної плити преса. Визначити силу тиску преса Р на стискуваний кут при вершині ромба дорівнює 2х.

Позначимо через

швидкість поступального руху гайки, а через

кутову швидкість обертання маховичка. Тоді параметр гвинта визначається співвідношенням:

звідки

Якщо р=const, то

. При повному оберті маховичка ( ) поступальне переміщення гайки дорівнює s = hвідстані гвинта. Тоді .

Нехтуючи роботою сил тертя між гвинтом і гайками, а також між платформою і напрямними пазами, будемо вважати відповідні в'язі ідеальними. Щодо опори в точці D, то вона згідно з умовою задачі є нерухомою і її реакція роботи не виконує.

Реакцію Nстискуваного предмета, яка за модулем дорівнює шуканому тискові преса Р, переведемо в розряд заданих сил. Таким чином, ми будемо розглядати рівновагу матеріальної системи (механізму преса), яка знаходиться під дією заданих сил і реакцій ідеальних в'язей - в даному випадку під дією обертального моменту М і сили N = -P.

Принцип можливих переміщень у цьому, випадку дає змогу записати:

,

де

- можливе (вертикальне) переміщення горизонтальної плити преса, а - можливе обертальне переміщення маховичка.

Вибираючи координатну систему, як показано на рис. 1, знаходимо:

.

Очевидно, що дана матеріальна система має один степінь вільності, що відповідає, наприклад, параметрові

, який цілком визначає стан системи. Варіюючи функції і , дістанемо:

Тут

є можливе переміщення гайки.

Щоб знайти залежність

від , скористаємося співвідношенням , на підставі якого:

(

і мають різні знаки, оскільки додатна робота моменту М викликає переміщення гайки у від’ємному напрямі осі Ох).

Підставимо тепер знайдені вирази для

і у рівняння робіт:

або

Оскільки можливе переміщення

довільне, то

звідки

Задача 2. Відцентровий регулятор обертається з сталою кутовою швидкістю 1/сек (рис. 2). Знайти залежність між кутовою швидкістю регулятора і кутом відхилення його стержнів від вертикалі, якщо муфта ваги кг відтискається вниз пружиною з жорсткістю с кг/см, яка знаходиться при у недеформованому стані і закріплена верхнім кінцем на осі регулятора. Вага куль дорівнює Р₂ кг; довжина кожного стержня дорівнює lсм; осі підвісу стержнів віддалені від осі регулятора на а см; вагою стержнів і пружини нехтуємо.