Закони збереження та динаміка обертального руху (стр. 3 из 4)

Розглянемо обертання твердого тіла навколо вісі

(рис.1)

Нехай на елемент маси

діє сила . Елемент маси обертається з лінійною швидкістю . Тоді із 2 закону Ньютона маємо:

; ; (5)

Тому знаходимо:

.

Домноживши обидві частини останнього рівняння на

одержимо:

.

Просумуємо ці рівняння для всіх елементів тіла:

.

Величини

являє собою сумарний обертовий момент, що діє на тіло, а величина - момент інерції тіла. Тоді маємо:

(6)

Рівняння (6) називається основним рівнянням динаміки обертового руху. Формулюється так: момент сили, що діє на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла на кутове прискорення. Рівняння (6) називають 2 законом Ньютона для обертового руху.

Момент імпульсу. закон збереження моменту імпульсу

З рівняння (5) маємо:

.

Домноживши обидві частини цього рівняння на

, одержимо:

.

При постійних

можна записати так:

. (7)

Добуток імпульсу елемента маси

на відстань від вісі обертання до елемента маси називається моментом імпульсу.

(8)

Просумуємо рівняння виду (7) для всіх елементів тіла. Знайдемо:

;

Дій

(9)

Де

сумарний обертовий момент, що діє на тіло.

- момент імпульсу всього тіла (момент кількості руху). Можна записати так:

,

або L = Iw, або

(10)

Момент імпульсу - це вектор, направлений по вісі обертання у відповідності з правилом правого гвинта. Таким чином, вектор моменту імпульсу співпадає з напрямом вектора кутової швидкості.

Таким чином, момент імпульсу тіла дорівнює добутку моменту інерції тіла на кутову швидкість. Рівняння (9) можна записати так:

. (11)

або у векторній формі

.

Це рівняння називається рівнянням моментів.

Якщо на тіло діють сили або сумарний обертовий момент дорівнює нулю, тоді маємо:

або

В цьому і полягає закон збереження моменту імпульсу. Його можна записати так:

(12)

Момент імпульсу замкнутої системи зберігається, тобто, не змінюється з плином часу.

Цей закон використовується спортсменами при виконанні стрибка через голову.

Роль імпульсу тіла при обертальному рухові відіграє момент імпульсу. Момент імпульсу пов’язаний з певною властивістю симетрії простору - його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів відносно вибору напрямків вісей координат системи відліку (відносно повороту замкнутої системи в просторі на будь-який кут).

Поступальний рух	Обертальний рух
Маса m	Момент інерції J
Шлях S	Кут оберту j
Швидкість	Кутова швидкість
Імпульс	Момент імпульсу
Прискорення	Кутове прискорення
Рівнодіюча зовнішніх сил	Сума моментів зовнішніх сил
Основне рівняння динаміки	Основне рівняння динаміки
Робота FdS	Робота обертання Mdj
Кінетична енергія	Кінетична енергія обертання

Закон збереження моменту імпульсу - фундаментальний закон природи.

Поняття про гіроскопічний ефект

Розглянемо один з різновидів гіроскопів - гіроскоп на карданному підвіччі (рис.2). Дисковидне тіло - гіроскоп закріплене на вісі АА, яка може обертатися навколо горизонтальної вісі ВВ, яка в свою чергу, може обертатися навколо вертикальної вісі СС. Всі 3 вісі перетинаються в одній точці Д, що є центром мас гіроскопа і зостаючись нерухомою, вісь гіроскопу може прийняти будь-який напрям в просторі. Силами тертя в підшипниках всіх трьох вісей і моментом руху кілець нехтуємо: тертя в підшипниках мале, то поки гіроскоп нерухомий, його вісі можна надати будь-який напрям. Якщо почати швидко обертати гіроскоп - (наприклад, за допомогою намотаної на вісі мотузочки) і обертати його підставку, то вісь гіроскопа зберігає своє положення в просторі незмінним. Це можна пояснити за допомогою основного закону динаміки обертального руху. Для гіроскопа, що вільно обертається, сила тяжіння не може змінити орієнтацію вісі його обертання. Бо ця сила прикладена до центру мас (центр обертання Д співпадає з центром мас), а момент сили тяжіння відносно закріпленого центра має дорівнювати нулю. Моментом сили тертя ми нехтуємо. Тому, якщо момент зовнішніх сил відносно його закріпленого центра мас дорівнює нулю, то як слідує з рівняння (11).

,

тобто момент кількості руху гіроскопа зберігає своє значення і напрям в просторі.

Незмінним буде і момент кількості руху гіроскопа відносно вісі обертання, рівний L = Jw і напрямлений вздовж вісі обертання. Отже, при даній умові вісь обертання гіроскопа зберігає своє положення в просторі.

Щоб вісь гіроскопа змінила свій напрям в просторі необхідно, згідно з (11), щоб момент зовнішніх сил, що прикладені до гіроскопа, що обертається відносно його центра мас, відмінний від нуля, то одержуємо явище, що має назву гіроскопічного ефекту. Він полягає в тому, що під дією пара сили F, прикладеної до вісі обертання гіроскопа, вісь гіроскопа (рис.2) обертається навколо прямої

, а не навколо прямої , як це вважалося б природним на перший погляд ( лежать в площині креслення, а і сили F перпендикулярний до неї).

Рис.2 Рис.3

Гіроскопічний ефект пояснюється таким чином. Момент М пари сил F напрямлений вздовж прямої

. За час момент імпульсу L гіроскопа одержує приріст (напрям співпадає з напрямом ) і стане рівним . Напрям вектора L співпадає з новим напрямом вісі обертання гіроскопа повернуться навколо прямої . Якщо час дії сили малий, то хоч момент сил великий, зміна моменту імпульсу гіроскопа буде теж малим. Тому сила практично не призводить до зміни орієнтації вісі обертання гіроскопа в просторі. Для її зміни потрібно прикладати сили довгий час.