Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы (стр. 2 из 3)
Тогда общее решение дифференциального уравнения относительного движения шарика (1.1.3) принимает вид
x=
Скорость этого движения равна
Составляющую реакции стенки трубки Nyопределим из второго уравнения системы (1.1.2)
где
определяется соответствующим выражением.1.2 Закон изменения движущих сил, обеспечивающих заданное движение тела. Реакции внешних опор.
Рис.2 Определение реакций в опорах
Определим проекции реакций опоры на оси неподвижной декартовой системы координат O1x1y1 (рис. 2).
Запишем уравнение теоремы о движении центра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде:
(1.2.1)Проектируя уравнение (2.1) на оси системы координат О1x1y1 получаем
, 
(1.2.2)По известным формулам находим координаты центра тяжести системы,
(1.2.4)Дифференцируя уравнения 1.2.3,1.2.4, получим
Вычисляя вторые производные получим
(1.2.5)Подставляя (1.2.5) в уравнения (1.2.2), получаем проекции реакций в опоре О1 на оси неподвижной системы координат:
При этом мы учли, что
Рис.3 Определение вращательного момента
Применим теорему об изменении кинетического момента для определения внешнего момента, обеспечивающего равномерное движение ведущего звена механической системы. Выберем за ось z ось вращения:
. (1.3.1)Определим кинетический момент рассматриваемой системы относительно оси Oz.
,где
- осевой момент инерции пластины, 
-угловая скорость вращения.Шарик М совершает сложное движение- относительное вдоль желоба пластины(см. рис.3) со скоростью
и переносное вместе с пластиной. Переносная скорость 
перпендикулярна пластине и по модулю равна: 
,где
Кинетический момент шарика относительно оси z равен
,Кинетический момент всей системы равен
(1.3.2)Определим главный момент внешних сил относительно оси z. Реакции опор
пересекают ось вращения и момент относительно этой оси не создают. Определим момент силы тяжести шарика и пластины: 
Отсюда имеем:
, (1.3.3)где Mвр.- внешний момент, обеспечивающий равномерное вращение пластины.
Подставляя 1.3.2, 1.3.3 в уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы 1.3.1, получаем
.Учитывая, что ω=const получим:
2. Поведение системы в конкретных условиях
2.1 Дифференциальные уравнения движения системы и их интегрирование
Составим уравнения движения с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода. В выбранных обобщенных координатах
и 
они принимают вид: 
(2.1.1)где
- кинетическая энергия системы; 
- обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам и .Найдем кинетическую энергию системы. Она состоит из кинетических энергий всех тел, входящих в систему:
Абсолютная скорость шарика
равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (см. рис. 3), ее величина определяется по формуле:
Тогда для кинетической энергии системы получим:
(2.1.2)Введем обозначения:
Найдем все производные левой части уравнений (2.1.3):
Обобщенные силы можно определить двумя способами:
1. Фиксируем координату
, даем виртуальное перемещение 
, находим элементарную работу: 
Фиксируем координату
, даем виртуальное перемещение 
, находим элементарную работу: 
2. Вычислим потенциальную энергию системы:
Найдем обобщенные силы:
Подставив производные левой части уравнений (2.1.1) и обобщенные силы
и 
в уравнения (2.1.1), получим дифференциальные уравнения движения системы: 
Для решения системы дифференциальных уравнений движения механической системы проведем численное интегрирование на ЭВМ. Результаты численного интегрирования приведены в приложении №2.