Дифракція світла (стр. 2 из 3)

. (10)

Оптична різниця ходу

зв’язана з оптичною різницею фаз співвідношення

(11)

де

– хвильове число; – кут дифракції.

Для знаходження результуючої амплітуди від всіх смуг, яка буде збуджуватися в точці М (рис.3), використаємо формулу результуючої амплітуди при інтерференції багатьох хвиль

(12)

де

– амплітуда хвиль від всієї щілини; N – число смуг, на які поділена щілина шириною b; – кут дифракції.

Розглянемо випадок, коли

. У цьому випадку

. (13)

Формула (12) з урахуванням (13) перепишеться

(14)

Оскільки інтенсивність світлових хвиль

пропорційна , то

(15)

Знайдемо умови мінімуму й максимуму дифракції світлових хвиль, які приходять у точку М (рис.3) від однієї щілини. У точці М інтенсивність світлових хвиль буде дорівнювати нулю, якщо

. Це можливо лише у випадку, коли , звідки

(16)

де b – ширина щілини;

– кут дифракції; k – порядок максимуму; – довжина хвилі монохроматичного світла.

Умова (16) є умовою мінімуму дифракції від однієї щілини.

У точці М буде спостерігатись максимум дифракції, якщо

. Це можливо за умови, коли , звідки

. (17)

Умова (17) є умовою максимуму дифракції від однієї щілини.

Покажемо залежність амплітуди хвиль, які проходять від однієї щілини в точку накладання, від кута дифракції

.

а) Якщо підставити в (12) значення кута дифракції

, то одержимо невизначеність типу . Для розкривання цієї невизначеності використаємо правило Лопіталя.

(18)

Якщо підставити цей результат в (12) одержимо

(19)

Відповідно інтенсивність хвиль буде дорівнювати

.

б) Якщо

, то як уже відомо, і . В цьому випадку амплітуди від окремих смуг, на які ми поділили щілину, після додавання дають замкнену лінію

в) Якщо

, то додавання амплітуд в довільній точці накладання не дає замкнутої лінії

3. Дифракційна решітка. Кутова дисперсія і роздільна здатність дифракційної решітки

Дифракційною решіткою називається оптичний прилад, який складається з великої кількості однакових щілин, розділених між собою однакової ширини непрозорими проміжками. Відстань d між серединами двох сусідніх щілин, називається сталою дифракційної решітки.

Якщо розмістити паралельно решітці збірну лінзу, то в її фокальній площині на екрані можна буде спостерігати результати дифракції світла від решітки (рис.4).

Оптична різниця ходу променів від двох сусідніх щілин дорівнює

(21)

Оптична різниця фаз в цьому випадку буде дорівнювати

(22)

В точку P на екрані приходять промені від усіх щілин. Всі ці промені зсунуті по фазі на однакову величину

.

Для знаходження результуючої амплітуди всіх хвиль, які прийшли в точку Р слід скористатися формулою результуючої амплітуди при інтерференції багатьох хвиль

(23)

Рис. 4

З урахуванням (22) результуюча амплітуда

буде дорівнювати

(24)

де

– амплітуда хвиль від однієї щілини; – число щілин у решітці; – стала дифракційної решітки; – довжина хвилі монохроматичного світла.

Проведемо аналіз формули (24).

а) Якщо вираз у знаменнику (24) досягає мінімуму, тобто буде дорівнювати нулю, то амплітуда

буде найбільшою. Ця умова є умовою максимуму дифракції на дифракційній решітці, тобто

,

звідки

. (25)

Формула (25) є умовою головних максимумів дифракції на дифракційній решітці.

б) Побічні максимуми дифракції можна одержати, якщо чисельник у формулі (24) досягає максимуму. Це можливо за умови, коли

(26)

Після скорочення одержимо

(27)

Вираз (27) є умовою побічних максимумів дифракції на дифракційній решітці.

в) Побічні мінімуми дифракції на дифракційній решітці одержуємо із умови коли чисельник формули (25) буде найменшим, тобто коли

(28)

звідки

(29)

Формула (29) є умовою побічних мінімумів на дифракційній решітці.

Дифракція світла на дифракційній решітці, яка має N щілин показана на рис.5.

Рис.5

Розрахунки показують, що

Для достатньо великих значень Nпобічні мінімуми і побічні максимуми не проявляються. Число головних максимумів дифракції визначається відношенням d до λ ( ), при цьому .

Важливо знати:

а) Внаслідок немонохроматичності біле сонячне світло після проходження дифракційної решітки дає максимуми ІІ, ІІІ і більш високих порядків у вигляді спектрів.

б) Хороша решітка з малим d і великим N дає дифракційні спектри з великою роздільною здатністю. Характерною ознакою дифракційних спектрів є рівномірний розподіл кольорів у спектрі. На відміну від дифракційного спектра, призматичний спектр стиснутий в області червоних кольорів і розширений в області фіолетових кольорів.

Кожна дифракційна решітка характеризується кутовою дисперсією, яка позначається буквою Д

(30)

де

– кутова відстань між спектральними лініями, які відрізняються за довжиною хвилі на величину .