Використання комп’ютерів у фізиці (стр. 3 из 5)

Дві щілини, монохроматичне світло. Щілини як точкові джерела

.

Електричне поле буде рівне сумі

Інтенсивність дорівнює

.

8.6. Поляризація.

Розглянемо явище, коли цікавить напрямок коливань. Для поперечної електромагнітної хвилі. Напруженість двовимірна векторна функція

вздовж z-розповсюджується хвиля.

E_x (z,t) і E_y(z,t) Для монохроматичної хвилі

=const, але компоненти коливаються незалежно.

Щоб сумарне поле знайти треба векторно скласти компоненти.

8.7. Геометрична оптика і принцип найменшого часу.

Геометричною оптикою можна користуватись, коли <<l, l – розмір перепон чи детекторів.

Для променів, що розповсюджуються, виконується принцип Ферма: промінь світла йде по шляху між двома точками, який вимагає найменшого часу.

Аналогічний принцип найменшої дії використовується замість законів Ньютона у якості фундамента всієї класичної механіки. В однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно.

Розглянемо дзеркало:

a + b = d

Цікавим є застосування принципа Ферма для задач заломлення, коли світло падає на поверхню розділу двох речовин, у яких швидкість світла різна:

n = c/v,

де n – показник заломлення.

9. Статичні поля зарядів струмів.

Обчислюємо поля, що створюються розподілом зарядів або струмів. Одержуємо за методом релаксації розв’язок рівняння Лапласа і Адассона.

9.1.Вступ.

Дано q, v. Сила Лоренца діє на рухомий заряд, перший доданок сила Кулона.

F = q(E + [vB]), у точці знаходження заряду, можемо розрахувати рух зарядженої частинки.

9.2. Електричне поле і потенціал.

N-зарядів q_i в r_i. E(r) = K((q_i/|r - r_i|³)(r – r_i)) – згідно принципу суперпозиції.

K = 1/4₀ = 3 *10⁹ (H*м²/Кл²), ₀ – діелектрична стала вакууму, e = 1.6*10^-19 (Кл).

Кулон є великою одиницею і у розрахунках будемо вибирати різні одиниці.

Наочне представлення Е векторного поля є зображення силових ліній електричного поля:

1. Силова лінія є напрямленою лінією, дотична до якої в кожній точці паралельна полю.

2. Це гладкі і неперервні лінії за виключенням зарядів.

3. Число ліній пропорційне величині заряду.

Побудова ліній.

Беремо точку (x, y) обчислюємо Е_х і Е_у.

В точці будуємо відрізок S в напрямку Е,

х = S(Е_х/|E|),

=S(Е_y/|E|)|

Продовжуємо поки лінія не піде до “ – “ заряду.

Починаємо малювати силові лінії поблизу позитивного заряду, так щоб число ліній було пропорційне заряду. Основні особливості програми стосуються графічних інструкцій. Розсіювання  – частинок на Au

a = K (2e79e/m_б)(1/r²), m_б = 6.65*10^-27 кг, 1фм = 10^-15(м), с = 3*10⁸(м/с).

Часто зручніше розглядати енергії, а не сили. Для цього вводять поняття потенціалу:

v(r₂) – v(r₁) = -

.

або

- напруженість поля мінус градієнт потенціалу.

v – скалярна величина і зміст має різниця потенціалів:

.

В одновимірному випадку Е = - dv/dx. Якщо v залежить від

, то Е = - dv/dr

Напрямок Е співпадає з напрямком найскорішого зменшення електричного потенціалу.

Для точкового заряду

якщо .

Поверхня на якій потенціал приймає однакові значення називається еквіпотенціальною поверхнею. Лінії поля ортогональні до еквіпотенціальних ліній. Компоненти еквіпотенціалів рівні:

, .

9.3. Магнетизм і силові лінії магнітного поля.

Поле В визначається законом Біо-Савара і має вигляд:

[I] = A; [B] = Тл;

(Тл м)/А – магнітна проникність.

Це для ділянки

струму, що знаходиться у початку координат. Для довільної ділянки довжиною , що знаходиться в точці , магнітне поле в точці :

.

Найважливіші задачі: провідник, петля, котушка.

9.4. Числовий розв’язок рівняння Лапласа.

Часто є відомим електричний потенціал на границях області. Нехай маємо систему провідників і кожний під’єднано до батареї. Легко визначити потенціали провідників. Для металу потенціал одинаковий. Однак, розподіл заряду визначити складно, бо він залежить від форми тіла.

Нехай задано потенціал на границі і потрібно знайти потенціал в точках, де немає заряду. Будемо знати

, то знайдемо . Така задача називається краєвою.

Прямий метод базується на рівнянні Лапласа, яке має вигляд:

.

Для довільної форми провідників аналітичних методів немає. Скористаємося наближеними чисельними методами.

Для двовимірної сітки за відсутності зарядів потенціал визначається:

.

Тобто, значення у центральній дорівнює середньому за сусідніми комірками. Така властивість є аналог рівняння Лапласа. У правильності цієї формули можна переконатись для точкового заряду.

Метод релаксації базується на наступному алгоритмі:

Розбиваємо область сіткою із заданим потенціалом на границі.

Комірки ділимо на внутрішні і граничні, граничним приписуємо потенціал границі.

Внутрішнім приписуємо довільний потенціал, найкраще розумне початкове значення.

Приписуємо внутрішнім значення, усереднені за 4-ма сусідніми точками.

Повторюємо пункт 4, поки не досягнемо заданої точності.

Якщо область має заряди з об’ємною густиною

, то використовуємо рівняння Пуассона:

,

- густина зарядів.

Для двовимірного випадку:

.

10. Чисельне інтегрування

Ілюструємо класичні методи і метод Монте-Карло для оцінки чисельних інтегралів.

10.1. Прості одномірні методи чисельного інтегрування.

Ці методи (класичні) мають перевагу для малих розмірностей.

Геометрична інтерпретація інтегралу - площа під графіком у межах x = a до x = b, відрізок

ділимо на n відрізків довжиною :

де

, і ,

Оцінка площі - сума площ прямокутників. Значення

обчислюється у початку відрізків і оцінка інтегралу дається формулою:

.

10.2. Інший метод трапеції із сторонами у початку і кінці відрізка.

Тобто, f(x) замінюємо прямою, що сполучає значення f(x) в кінцях відрізка. Площа

.

Повна площа

.

Більшу точність дає квадратична, або параболічна інтерполяція за трьома точками

Площа під параболою між точками виражається формулою: