Використання комп’ютерів у фізиці (стр. 2 из 5)

Закон відноситься до тіл малих точкових розмірів, або для однорідної кулі, сферичної оболонки, якщо вимірювати від центра маси. Зауважимо, що Ньютон 20 років не публікував цього закону.

Сила тяжіння залежить від відстані між тілами і напрямлена вздовж лінії, що їх сполучає. Це центральна сила. З цього слідує, що орбіта Землі лежить у площині хоу, а момент імпульсу L зберігається і спрямований вздовж OZ, запишемо L_z у виді L_z=[r mv]_z=m(xv_y - yv_x).

L = [r p] ; p =[mv].

Крім того, рух обмежує закон збереження повної енергії Е:

E = mv²/2 – GmM/r.

З малюнка одержимо:

cos = x/r, sin = y/r.

Пов’яжемо систему з масою М, рівняння руху буде:

m(d²

/dt²) = - (GmM/r³)

.

Запишемо силу у декартових координатах:

F_x = F cos = - (GMm/r²) cos = - (GMm/r³) x,

F_y = F sin= - (GMm/r²) sin = - (GMm/r³) y.

Отже, рівняння руху матиме вигляд:

d²x/dt² = - (GM/r³) x,

d²y/dt² = - (GM/r³) y,

r² = x² + y².

Маємо систему диференціальних рівнянь.

4.3. Рух по колу.

Одержимо умову руху тіла за коловою орбітою:

a = v²/r,

зумовлене гравітаційною силою:

mv²/r = GMm/r²

або

v = (MG/r)^1/2.

Це є умова колової орбіти.

T = 2r/v

залежність періоду від радіуса знайдемо.

(2r)²/T² = MG/r,

T² = (2)²r³/MG – частинний випадок з закону Кеплера.

4.4. Еліптичні орбіти.

Опишемо властивості еліптичних орбіт:

F₁ і F₂ – фокуси еліпса. Для будь-якої точки Р.

F₁Р + F₂Р = const = 2a, остання рівність слідує з P(a, 0),

a – велика піввісь, b – мала піввісь.

В астрономії використовують a і e – ексцентриситет.

Відношення:

e =

/2a,

пов’яжемо з b.

Нехай Р(0, b):

(ea)² + b² = a²,

e = (1 – b²/a²)^1/2, причому 0<e<1

В частинному випадку

b = a еліпс стає колом і . Для орбіти Землі е =0.016.

4.5. Астрономічні одиниці

Зручно вибрати таку систему одиниць щоб

. Для опису руху Землі, у якості просторової одиниці, вибирають велику піввісь земної орбіти. Вона називається астрономічна одиниця (а.о.), яка рівна 1а.о.=1.496 10¹¹м.

У якості одиниць часу приймають 1рік = 3.15 10¹⁷с. У цих одиницях

Т=1рік, а=1а.о.

можемо записати

4.6. Зауваження до програмування

Будемо користуватись масивом чисел

^/ Коментар, Основна програма

DECLARE SUB ff(y) – об’явити підпрограму

REM Коментар

REM PROGRAM

CALL ff(x) – викликати підпрограму

END

SUB name [( parameterlist)]

END SUB

FOR I=1 to n,

NEXT

де I – змінна циклу.

PRINT y,z видає на екран y, z

INPUT x, y - ввід даних

Точність чисельного розв’язку визначають, зменшуючи величину кроку

до того часу, поки чисельний розв’язок не перестане залежати від кроку при заданому рівні точності, але це має виконуватись обережно, бо зростає число кроків і похибка округлення.

Найпростіша графіка.

CLS – очистити екран;

SCREEN 12 – графічна сторінка;

LINE (x1,y1) – (x2,y2), color, B – не замальовує рамку, якщо BF – замальовує.

CIRCLE (x1,y1), radius, PSET (x,y) – засвітити точку, PRESET (x,y) – погасити точку.

DO [white: until] condition

LOOP

DO

LOOP [{white: until}]

Оператор друкування по місцю:

LOCATE 5,5

VIEW PRINT 10 TO 15

Зупинка циклу з клавіатури при натисканні на клавішу “h”

DO UNTIL INKEY$ = ”h”

Задати логічні координати екрану

SCREEN 12

WINDOW (x1,y1)-(x2,y2)

Друкувати дані по формату експоненційної форми

PRINT USING “##.###^^^^”;x

4.7. Простий гармонічний осцилятор.

m d²x/dt² =-kx;

F = - kx – повертаюча сила, нехай w₀²=k/m. Розв’язок цього рівняння можемо представити у наступному вигляді

x(t)=Acos(w₀t + ).

A,  - амплітуда і фаза визначаються з початкових умов.

Перевіркою правильності роботи програми може бути умова збереження повної енергії.

E = mv²/2 +kx²/2.

Рівняння руху, що описує затухаючі коливання

d²x/dt² =-₀²x – g dx/dt + F(t)/m;

де другий доданок гальмуюча сила, третій – вимушуюча сила

F(t)/m = A₀cos(wt).

Математичний маятник довжиною L.

Швидкість точки, що рухається по колу v = L dq/dt, тангенціальне прискорення a = L d²q/dt².

Рівняння руху матиме вигляд

d²x/dt² = - mg sinq.

Повна енергія представиться формулою

E = mL² (dq/dt)² /2 + mgL(1 – cosq).

8. Хвильові явища

Моделюємо лінійний ланцюг зв’язаних осциляторів. Виділимо властивості ланцюга, що відносяться до хвильових явищ. У наближенні неперервного ланцюжка виводиться лінійне хвильове рівняння. Демонструються інтерференція, дифракція, рефракція і поляризація. Розглядаємо ряд Фур’є і принцип Ферма.

8.1. Вступ

Для опису коливального і хвильового руху використовують такі поняття як період, амплітуда і частота. Як пов’язані ці величини. Розглянемо натягнутий шнур.

Імпульс розповсюджується по ньому зі швидкістю, що визначається натягом і інерційними властивостями шнура. Рух ділянки локалізований і здійснюється перпендикулярно руху хвилі.

На макроскопічному рівні спостерігаємо поперечну, хвилю на мікроскопічному рівні дискретні частинки здійснюють коливний рух.

Почнемо з мікроскопічної картини і розглянемо коливний рух лінійного ланцюга частинок сполучених пружинками. Рух моделюється, чисельно розв’язуючи рівняння руху для окремої частинки.

Побачимо, що енергія передається вздовж ланцюга, хоча кожний осцилятор знаходиться поблизу свого положення рівноваги.

Побачимо, що найзагальніший рух системи N часток можна представити як суперпозицію N незалежних простих гармонічних рухів.

8.2. Зв’язані осцилятори.

Розглянемо простішу ніж у попередніх розділах модель.

Нехай u_i-зміщення ії маси вздовж осі системи.

Кінці лівої і правої частинок нерухомі. Нерухомість виразимо U₀ = U_N+1=0.

Рівняння руху і-ї частинки

, i=2, …, N-1

,

Це рівняння не тільки для повздовжніх коливань, але і для поперечних рівняння аналогічні.

Частоти нормальних коливань для k_с=k

²_n= ,

де N-число частинок, n-номер коливань n=1, …, N.

8.3. Фур’є аналіз.

Зміщення частинок можна представити у вигляді лінійної комбінації нормальних коливань, тобто лінійної суперпозиції синусоїдальних доданків.

Взагалі довільна періодична f(t) з періодом Т може бути записана у вигляді ряду Фур’є по sin i cos

f(t)=1/2 a₀+

,

₀-основна кругова частота, ₀=2/Т

Доданки для n = 2, 3… являють другу і третю гармоніки. Коефіцієнти Фур’є виражаються

a_n =2/T

,b_n =2/T ,

На практиці використовують скінчене число членів n.

8.4. Хвильовий рух.

Ми виявили, що коливання окремих зв’язаних осциляторів призводить до розповсюдження енергії на довільну відстань. Знову запишемо рівняння для зміщення

, i=1, …, N.

Розглянемо перехід N прямує до нескінченості, a прямує до 0 за сталої довжини ланцюга. Це дискретне рівняння можна замінити хвильовим. u_i(t) замінити на u(x, t), де x – неперервна змінна

похідну по часу записати як частинну похідну.

Через те що частинки розподілені неперервно, можна ввести величини M=m/a T=ka

легко показати що

Хвильове рівняння має величезну кількість розв’язків наприклад

Оскільки хвильове рівняння лінійне, то розв’язок можна представити у вигляді ряду Фур’є.

Якщо хвиля при русі зберігає свою форму то кажуть, що вона не диспергує, це зумовлено лінійністю зв’язку

i k, інакше кожна гармоніка хвилі рухається з тією ж швидкістю. Якщо ж швидкість хвилі залежить від довжини хвилі (або хвильового числа), то кажуть, що диспергує, і цьому випадку форма хвилі змінюється з часом.

8.5. Інтерференція і дифракція.

Про інтерференцію говорять, коли змішуються хвилі від невеликого числа джерел, а про дифракцію коли від великого.

Дослід Юнга.