Аппроксимация характеристик нелинейных элементов и анализ цепей при гармонических воздействиях (стр. 2 из 4)
Как и в выражении (6.6),
– ток покоя (постоянная составляющая выходного тока); 
– крутизна характеристики в точке 
. Для определения значений 
и 
необходимо составить систему уравнений: 
(5)Отсюда можно записать:
3. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики (рис. 4).
Рис. 4. Рабочая точка ВАХ – точка перегиба
В точке перегиба все четные производные функции
обращаются в нуль, поэтому в выражении (3) будут присутствовать только слагаемые с нечетными степенями 
, k = 1, 2, 3, … .Напомним, что точка перегиба – точка кривой, в которой:
1) вогнутость (выпуклость) кривой меняется на выпуклость (вогнутость);
2) кривая "лежит" по разные стороны от касательной в этой точке.
В общем случае аппроксимирующий полином может быть любого, сколь угодно высокого порядка. Однако в большинстве практических случаев достаточную для инженерной практики точность дает полином третьей степени:
(6)На рисунке 4 график, соответствующий (6), показан пунктирной линией. Рабочий участок ВАХ (динамический диапазон) определяется интервалом
. На границах этого интервала производные аппроксимирующей функции обращаются в нуль. Для нахождения коэффициентов и 
необходимо, как и в предыдущем случае, составить систему уравнений и решить ее относительно и : 
(7)Откуда
При очень больших амплитудах входного сигнала часто бывает удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление ВАХ называется кусочно-линейной аппроксимацией. На рисунке 5 показаны некоторые характерные примеры.
а б в
Рис. 5. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ
2. Графоаналитический и аналитический методы анализа
Графоаналитический метод анализа
Этот метод используется в тех случаях, когда отсутствует отсечка тока. Этот метод известен под названием трех (пяти, семи) ординат. Суть его заключается в следующем (рис. 6): пусть на НЭ воздействует напряжение
. (8) 
Рис. 6. Иллюстрация графоаналитического метода анализа
Ток через НЭ будет представлять собой периодическое колебание сложной формы. Аналитически его можно записать в виде ряда Фурье
(9)В реальных исследованиях приходится ограничивать число членов ряда, а для определения амплитуд
используются вышеназванные методы. Практически наиболее часто применяются методы трех и пяти ординат.Суть метода заключается в следующем: ВАХ нелинейного элемента делится на три (пять) участка, точки 1, 3, 5 или 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6.6), при этом фиксируются значения входного и выходного сигналов (
и 
). Затем составляется система из трех (пяти) уравнений для токов и решается относительно неизвестных 
и т. д. Из графика на рисунке 6 видно, что в точках 1–5 будут следующие значения амплитуд и фаз входного и выходного сигналов (табл. 1).Таблица 1
| №точек | Мгновенная фаза входного сигнала,  | Амплитуда входного сигнала, u(t) | Амплитуда выходного тока |
| 1 | 0 |  |  |
| 2 |  |  |  |
| 3 |  |  |  |
| 4 |  |  |  |
| 5 |  |  |  |
Для метода трех ординат ряд (9) сокращается до трех слагаемых:
, (10)Составляется система из трех уравнений и решается относительно
: 
(11)Откуда
(12)Если требуется определить большее число спектральных составляющих, аналогичным методом составляется и решается система из требуемого числа уравнений. Данный метод применим при слабо выраженной нелинейности ВАХ и отсутствии отсечки тока.
Аналитический метод анализа
Если работа НЭ (нелинейной цепи) происходит в режиме малого сигнала и, как правило, без отсечки выходного тока, для аппроксимации используется степенной полином вида:
. (13)Пусть на входе действует напряжение
При подстановке его в (13) получим: 
(14)Воспользовавшись известными формулами
(15)представим равенство (14) так:
(17)
(18)
). 
и длительностью 2 
, где 
. Спектральный состав такого периодического колебания легко определить, разложив функцию тока в ряд Фурье: