Анализ режимов работы электрических сетей ОАО "ММК им. Ильича" и разработка адаптивной системы управления режимами электропотребления (стр. 6 из 14)
Если это неравенство выполняется, вычислительный процесс продолжается.
Из точки с координатами х11, х21 выполняется следующий шаг. В результате этого шага имеем второе приближение – точку с координатами х12, х22. значение целевой функции в этой точке Z2.
Пусть для этой точки неравенство
не выполняется. Следовательно, точка с координатами х12, х22 вышла из области 
и необходимо выполнить возврат в эту область.Возврат в область
выполняется следующим образом. Из точки с координатами х12, х22 опускается перпендикуляр на прямую 
т.е. конец вектора (х11, х21; х12, х22) проектируется на эту прямую. В результате получается новое приближение – точка с координатами х13, х23, которая принадлежит области . В этой точке вычисляется значение целевой функции Z3.Дальнейший спуск к относительному минимуму целевой функции продолжается из точки х13, х23. на каждом шаге вычисляется значение целевой функции и проверяется принадлежность нового приближения к области
. Вычислительный процесс заканчивается при выполнении условия (1.16). 1.6 Метод штрафных функций
Рассмотрим задачу поиска локального минимума критерия оптимальности W в области, ограниченной системой неравенств (3.16)-(3.17). Введение обобщенного критерия оптимальности по методу штрафных функций [3,5] производится с помощью непрерывной функции
. (1.24)Обобщенным критерием оптимальности согласно методу штрафных функций является выражение
T=W+RQ(x),
где R - некоторое положительное число, называемое коэффициентом штрафа.
Рассматривается некоторая неограниченная, монотонно возрастающая последовательность {Rk}, k=1,2,... положительных чисел. Для первого элемента этой последовательности с помощью метода покоординатного спуска отыскивается локальный минимум функции T. Пусть этот минимум достигается при значениях (b*,R1).
Вектор (b*,R1) используется как начальное приближение для решения задачи поиска минимума функции T где R2>R1 и т.д. Таким образом, решается последовательность задач минимизации функций T(b*,Rk), k=1,2 ..., причем результат предыдущей оптимизации используется в качестве начального приближения для поиска последующей.
Рисунок 1.5 – Блок-схема метода штрафных функций
1.7 Методы полиномиальной аппроксимации
Согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, непрерывную функцию в некотором интервале можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка [6]. Следовательно, если функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно ее аппроксимирует, то координаты точки оптимума функции можно оценить путем вычисления координаты точки оптимума полинома.
Рассмотрим следующие вопросы:
квадратичная аппроксимация;
кубическая интерполяция;
квадратичные функции.
1.7.1 Квадратичная аппроксимация
Используется несколько значений функции в определенных точках для аппроксимации функции обычным полиномом по крайней мере в небольшой области значений. Затем положение минимума функции аппроксимируется положением минимума полинома, поскольку последний вычислитель проще.
Простейший случай основан на том факте, что функция, принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна быть по крайней мере квадратичной.
Если целевая функция W(x) в точках x1, x2, x3 принимает соответствующие значения W1, W2, W3, то можно определить коэффициенты aо, a1, a2 таким образом, что значения квадратичной функции
q(x) = ao + a1(x - x1) + a2(x - x1)(x - x2) (1.25)
совпадут со значением W(x) в трех указанных точках. Вычислим q(x) в трех указанных точках (см. табл.1.1).
Таблица 1.1 - Вычисление значений
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Если известны значения функции f(x) в трех разных точках α, β, γ равные соответственно fα, fβ, fγ, то функция f(x) может быть аппроксимирована квадратичной функцией
ö(x)=Ax2+Bx+C, (1.26)
где А, В и С определяются из уравнений
Aá2+Bá+C=fá,
Aâ2+Bâ+C=fâ,
Aã2+Bã+C=fã. (1.27)
После преобразований этих уравнений получаем
A=[(ã-â)fá+(á-ã)fâ+(â-á)fã] / D,
B=[(â2-ã2)fá+(ã2-á2)fâ+(á2-â2)fã] / D,
C=[âã(ã-â)fá+ãá(á-ã)fâ+áâ(â-ã)fã] / D, (1.28)
где D=(á-â)(â-ã)(ã-á)
Ясно, что φ(x) будет иметь минимум в точке
x=-B/2A,
если А>0. Следовательно, можно аппроксимировать точку минимума функции f(x) значением
(1.29)Этот метод может непосредственно применяться к функциям одной переменной. Он может быть очень полезен для выполнения линейного поиска в процедурах, описанных в теме №3. В этих процедурах требуется найти минимум функции f(x) в точках прямой x0+λd, где x0- заданная точка, а d определяет заданное направление. Значение функции f(x0+λd) на этой прямой является значениями функции одной переменной λ:
φλ = f(x0+λd). (1.30)
Идеи и результаты, изложенные выше, преобразуются в вычислительные процедуры, описанные далее. Предположим, что заданы унимодальная функция одной переменной f(x), начальная аппроксимация положения минимума и длинна шага D, является величиной того же порядка, что и расстояние от точки А до точки истинного минимума x*(условие, которое не всегда просто удовлетворить). Вычислительная процедура имеет следующие шаги:
Шаг 1. x2 = x1 + D x.
Шаг 2. Вычислить W(x1) и W(x2).
Шаг 3.
если W(x1) > W(x2), то x3 = x1 + 2 D x;
если W(x1)< W(x2), то x3 = x1 - D x;
W(x1) > W(x2),
Шаг 4. Вычислить W(x3) и найти
Wmin = min{ W(x1),W(x2), W(x3)},
Xmin = xi, соответствующая Wmin.
Шаг 5. По x1, x2, x3 вычислить x*, используя формулу для оценивания с помощью квадратической аппроксимации.
Шаг 6. Проверка окончания
если | Wmin - W(x*)| < W, то закончить поиск. В противном случае к шагу 7;
если | Xmin - x*| < x, то закончить поиск. В противном случае к шагу 7.
Шаг 7. Выбрать Xmin или x* и две точки по обе стороны от нее. Обозначить в естественном порядке и перейти к шагу 4.
Заметим, что если точка Е задана слишком малой, то á, â, ã, а также fá, fâ, fã будут очень близко друг к другу и значение d (1.29) может стать вообще недостижимыми. Чтобы преодолеть эту трудность, перепишем (1.29) для второй и последней интерполяции:
(1.31) Квадратичная интерполяция, которая рассматривалась в предыдущем разделе, называется методом Пауэлла и аппроксимирует функцию квадратным трехчленом. В этом разделе рассматривается метод Давидона [6,7], который гарантирует большую точность и аппроксимирует функцию кубическим полиномом.
Для кубической интерполяции в этом методе используются значения функции и ее производной, вычисленных в двух точках.
Рассмотрим задачу минимизации функции f(x) на прямой x0 + hd , то есть минимизацию функции
(1.32)Предположим, что известные следующие значения:
(1.33)Эту информацию можно использовать для построения кубического полинома a+bh+ch2+dh3, который будет аппроксимировать функцию φ(h) Если p=0 , то уравнения, которые определяют a, b, c, d имеют вид :
(1.34)Следовательно, если r является точкой минимума кубического полинома,
(1.35)где
Одно из значений этого выражения является минимумом. Друга производная равна 2c +6dh.
Если мы выберем положительный знак, то при
другая производная будет
(1.36) 
(1.37)