Анализ и обеспечение надежности технических систем (стр. 3 из 6)

+( x₅ x₄₅ x₃₄ x₃₇ x₇)+( x₅ x₄₅ x₃₄ x₂₃ x₂₆ x₆)=Z_1-2·(Z_2-6 + Z_2-7+ Z_2-8) + Z_5-4 ·(Z_4-8 + +Z_4-7 + Z_4-6) (1.14)

Структурная схема представления ЛФР в форме (1.14) показана на рисунке 1.3.

Раскроем выражения составляющих ЛФР в формуле (1.7) P(Z = 1), для ее конкретного представления (1.13) - (1.14) и заданного экспоненциального закона распределения:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.3:

P(Z_1-2 =1 ) = P(x₁=1)·P( x₁₂=1) = p_1-2 =e^-(λ₁^+λ₁₂ ^)t,

P(Z_5-4 =1 ) = P(x₅=1)·P( x₄₅=1) = p_5-4 = e^-(λ₅^+λ₄₅ ^)t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.3:

P(Z_2-6 =1 )= P(

₂₆ =1)·P( ₆ =1) = q_2-6 = 1- e^-(λ₆^+λ₂₆ ^)t

P(Z_2-7 =1 )= P(

₂₃ =1)·P( ₃₇ =1) P( ₇ =1) = q_2-7 =1- e^-(λ₂₃^+λ₃₇^+λ₇ ^)t

P(Z_2-8=1)=P(

₂₃ =1)·P( ₃₄ =1)P( ₄₈ =1) P( ₈ =1)=q_2-8=1- e^-(λ₂₃^+λ₃₄^+λ₄₈^+λ₈ ^)t

P(Z_4-8 =1 )= P(

₄₈ =1)·P( ₈=1) = q_4-8 = 1 - e^-(λ₈^+λ₄₈ ^)t

P(Z_4-7 =1 )= P(

₃₄ =1)·P( ₃₇ =1) P( ₇ =1) = q_4-7 = 1- e^-(λ₃₄^+λ₃₇^+λ₇ ^)t

P(Z_4-6=1 )= P(

₃₄=1)·P( ₂₃=1)P( ₂₆=1)P( ₆=1)=q_4-6=1-e^-(λ₂₃^+λ₃₄^+λ₂₆^+λ₆ ^)t

Введем промежуточные обозначения:

p_2-6-7-8 = 1-q_2-6-7-8 = 1- q_2-6∙ q_2-7 q_2-8 - ВБР блока параллельных элементов Z_2-6 + Z_2-7 + Z_2-8 ,

p_4-8-7-6 = 1-q_4-8-7-6 = 1- q_4-8∙ q_4-7 q_4-6 - ВБР блока параллельных элементов Z_4-8 + Z_4-7 + Z_4-6

q_1* = 1 - p_1-2∙p_2-6-7-8 - ВО питания на пути от узла №1 на схеме замещения,

q_4* = 1 – p_4-5∙p_4-8-7-6 - ВО питания на пути от узла №2 на схеме замещения и запишем окончательно:

Q= q_1*∙ q_4* ; k_Г(t) = P(Z = 1) = 1 – Q. (1.15)

Расчеты, выполненные по полученным формулам, приведены в таблице 1.4. Данные таблицы характеризуют изменение составляющих ЛФР на заданном периоде предстоящей эксплуатации (L = 2 года) с поквартальной разбивкой. На рисунке 1.4. показаны графики изменения трех основных показателей надежности данной системы: q_1*∙(t), q_4*(t), k_Г(t), построенные по данным табл.1.4. Такой вид изменения показателей во времени типичен для экспоненциального закона распределения.

Таблица 1.4 Расчет показателей надежности на двухлетний период эксплуатации (прогноз)

Формула Z(*)	∑ λ	1-й год				2-й год
		0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2
p1-2 = e-(λ1+λ12 )t	0,5805	0,864914	0,748077	0,647022	0,559618	0,484022	0,418637	0,362085	0,313173
p5-4 = e-(λ5+λ45 )t	0,642	0,851718	0,725423	0,617856	0,526239	0,448207	0,381746	0,32514	0,276927
q2-6 = 1- e-(λ6+λ26 )t	0,023	0,005734	0,011434	0,017102	0,022738	0,028341	0,033912	0,039451	0,044958
q2-7=1- e-(λ23+λ37+λ7 )t	0,265	0,064103	0,124097	0,180245	0,232794	0,281974	0,328002	0,371079	0,411395
q2-8 = 1- e-(λ23+λ34+λ48+λ8 )t	0,223	0,054224	0,105509	0,154012	0,199885	0,243271	0,284304	0,323112	0,359816
q4-8 = 1- e-(λ8+λ48 )t	0,023	0,005734	0,011434	0,017102	0,022738	0,028341	0,033912	0,039451	0,044958
q4-7 = 1- e-(λ34+λ37+λ7 )t	0,261	0,063167	0,122344	0,177782	0,229719	0,278375	0,323958	0,366661	0,406667
q4-6 = 1- e-(λ23+λ34+λ48+λ6 )	0,223	0,054224	0,105509	0,154012	0,199885	0,243271	0,284304	0,323112	0,359816
p2-6-7-8 = 1- q2-6 ∙ q2-7∙ q2-8	0,99998	0,99985	0,999525	0,998942	0,998056	0,996838	0,99527	0,993345
p4-8-7-6 =1- q4-8 ∙ q4-7∙ q4-6	0,99998	0,999852	0,999532	0,998956	0,998081	0,996877	0,995326	0,993421
q1* = 1 - p1-2 ∙p2-6-7-8	0,135103	0,252035	0,353285	0,440974	0,516919	0,582686	0,639627	0,688911
q4* = 1 – p4-5 ∙p4-8-7-6	0,148299	0,274684	0,382433	0,474311	0,552653	0,619446	0,67638	0,724894
kГ (t)= 1 – q1* ∙ q4*	0,979964	0,93077	0,864892	0,790842	0,714323	0,639057	0,567369	0,500612

Изменение ВО питания и k_г системы

Из таблицы и графиков видно, что критерий (1.12) нарушается уже в четвертом квартале 1-го года последующей эксплуатации:

k_Г(0,75) > k_Гдоп > k_Г(1), или: 0.8649 > 0,92> 0,7908

поэтому t_доп = 0,5 и техническое обслуживание (профилактическое) следует назначить либо в конце второго квартала, либо в начале третьего квартала.

Структурная схема ЛФР в данном случае была несколько загрублена, более точное её представление, возможно, несколько уточнит ситуацию.

Рис 1.6. Схема представления ЛФР

Теперь представим ВБР согласно этой схемы:

· Для блоков последовательных элементов на рис. 1.4:

P(Z_1-2 =1 ) = P(x₁=1)·P( x₁₂=1) = p_1-2 =e^-(λ₁^+λ₁₂ ^)t,

P(Z_5-4 =1 ) = P(x₅=1)·P( x₄₅=1) = p_5-4 = e^-(λ₅^+λ₄₅ ^)t

P(Z_2-3 =1 ) = P(x₂₃=1)= p_2-3 = e^-λ₂₃ ^t

P(Z_3-4 =1 ) = P(x₃₄=1) = p_3-4 = e^{- λ}₃₄ ^t

· Для блоков параллельных элементов на рис. 1.4:

P(Z_2-6 =1 )= P(

₂₆ =1)·P( ₆ =1) = q_2-6 = 1- e^-(λ₆^+λ₂₆ ^)t

P(Z_2-7 =1 )= P(

₃₇ =1)·P( ₇ =1) = q_3-7 =1- e^-(λ₃₇^+λ₇ ^)t

P(Z_3-8=1)= P(

₃₄ =1)·P( ₄₈ =1)·P( ₈ =1) = q_3-8 = 1- e^{-( λ}₃₄^+λ₄₈^+λ₈ ^)t

P(Z_4-8 =1 )= P(

₄₈ =1)·P( ₈=1) = q_4-8 = 1 - e^-(λ₈^+λ₄₈ ^)t

P(Z_3-6=1 )= P(

₂₃=1)P( ₂₆=1)P( ₆=1) = q_4-6 =1-e^-(λ₂₃ ^+λ₂₆^+λ₆ ^)t

Введем промежуточные обозначения:

p_3-7-8 = 1- q_3-7-8 = 1- q_3-7 ∙q_3-8 - ВБР блока параллельных элементов Z_3-7 + Z_3-8

q_2-7-8 = 1- p_2-7-8 = 1- p_2-3 ∙p_3-7-8 - ВБР блока последовательных элементов Z_2-3 и группы элементов Z_3-7 + Z_3-8