Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 26 из 27)

1) Проблема какая? У нас летит пуля, а нам надо в абстрактном пространстве придумать вектор, который соответствует вот этой конкретной пуле. Как вообще задать вектор в обычном пространстве? Вот вектор – стрелка, я представляю, как сообщить по телефону, что вот у меня тут вектор передо мной. Вектор задаётся в нормальном пространстве тройкой чисел, где взять три числа? Если у нас есть базисные векторы, то любой вектор задаётся тремя числами. Как задать базис, как сообщить по телефону базис? На базис можно лишь указать пальцем, вот в реальном пространстве мы должны выбрать три вектора, тогда любой другой задаётся, можно и по телефону передать базис. Можно сказать: «Возьми камушек, подвесь на нитке, тогда вектор, идущий из камушка вдоль нитки, это будет вектор

, потом возьми компас, и единичный вектор в направлении синего конца стрелки это будет вектор , а потом построй вектор перпендикулярно по правилу правого винта это будет вектор ». После этого сообщаете три числа, и он там у себя слепил вектор, который вы видите перед собой. В абстрактном пространстве нет отвесов, нет компасов, нет ничего. Как там задать базис? Есть способ. В качестве базиса мы можем выбрать собственные векторы какого-либо оператора.

1)

действует, и получается «ку-ку».

2) Когда символ qсидит под скобками – это просто метка, а q перед вектором

– это число, то есть векторы помечены собственными значениями.

3) Действуем оператором

на некоторый вектор, мы получим какой-то вектор, на этот вектор действуем оператором , мы получим новый вектор. Оказывается, можно подобрать такой оператор, который подействует на исходный вектор и даст то же, что дают два оператора и .

4) В житейском плане: оператор

– одеть пиджак, оператор – одеть пальто, понятно, что эти операторы не коммутируют, а оператор – одеть шапку, оператор – одеть ботинки, они коммутируют, понятно, результат один и тот же, в какой последовательности ни выполняй.

1) Единичный оператор – это такой оператор, который любой вектор переводит в себя:

.

2) Так следует из этой теории, а что касается физики, то действительно нет никаких указаний на то, что координаты квантуются. Хотя идеи о том, что пространство и время могут квантоваться, были и, может быть, ещё остаются, но пока никаких указаний на это нет. Вполне могло бы быть, что пространство ячеистое, но ещё раз повторяю пока в казённой теории координаты не квантуются, и, в общем-то, нет особой потребности в модификации этой теории.

1) Мы сейчас пролезли в это абстрактное пространство, где живут векторы и операторы. Мы изобразили вектор для определённого физического состояния: изготовили частицу с импульсом

и энергией E, и мы для неё нарисовали вектор в абстрактном пространстве.

2) А теперь мы думаем, что получится, когда оператором

действуем на вектор . Дело в том, что – это собственные векторы оператора , и при его действии получится тот же самый вектор, но выскочит собственное значение: .

3) Здесь не так просто: мы не знаем, как действует оператор

на вектор . Но можно показать из того, что , верно следующее равенство.

1) Конечно, вопрос сразу может возникнуть, как понимать функцию от оператора? В конце концов, всякая функция выражается степенными рядами, например

, а оператор при действии на вектор даст: , короче, алгебраические действия над операторами известны.

1) Проверка:

, , подставляя это в уравнение, мы получим, что .

1) Кстати, ответ на этот вопрос вы уже можете знать только на основании того, что мы уже здесь обсуждали (вот, если вы удерживаете в голове всю цепочку, то ответ можно дать). У нас было коммутационное соотношение

, из этого математического факта следовало, что координата не квантуется, ну и импульс, надо ожидать, не будет квантоваться, потому что буквы и равноправны.

¹) Что даст скалярное произведение собственного вектора оператора координаты с собственным вектором оператора импульса?

Тогда другой вопрос: скалярное произведение двух собственных векторов оператора импульса. Ответ, он ясен заранее, если это разные векторы, то их скалярное произведение должно равняться нулю (собственные векторы ортогональны), посмотрим, как это сработает. Сначала

, вектор сопряжённый (кстати, нельзя сказать, чему равен этот вектор, это просто разложение по координате). Тогда мы имеем: , а теперь факт математический: , и , где . Мораль какая? Если не совпадает с , то скалярное произведение , они ортогональны. При этом мы убили ещё одного зайца – мы нашли нормировочную константу C. Итак, .

1) Это интересное чисто математическое следствие, но у нас нет времени, и я просто приведу результат.

1) Наглядно предметы, показывающие магнитный момент – стрелка компаса. Почему стрелка компаса показывает на север? Потому что магнитный момент ориентируется вдоль силовой линии. Если мы имеем магнит с такими силовыми линиями, то магнитный момент (стрелка компаса) ориентируется вдоль силовой линии, и на неё будет действовать сила

, втягивающая её в область с большей индукцией.