Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 21 из 27)

В твёрдом теле, в отличие от электромагнитных волн, которые имеют два состояния поляризации, может идти продольная волна и поперечная с двумя состояниями поляризации, поэтому появился множитель

. Для фонона . И ещё одна тонкость – для фонона три состояния волны имеют разные скорости, но мы будем считать, что они одинаковы.

Тогда внутренняя энергия кристалла изобразится как интеграл:

Для фотонов верхний предел был

, а здесь мы имеем дело с кристаллом, там длина волны меньше чем атомные расстояния, значит надо где-то оборвать интеграл. мы определим из условия, что полное число состояний должно равняться 3N, числу собственных колебаний.

Попробуем найти классический предел (классическая механика всегда является предельным случаем квантовой).

здесь

, а – дебаевская температура.

При

и , соответственно теплоёмкость . Это первое подтверждение теории. При больших температурах и мы получаем . Мы получили классический результат!

3. Твёрдое тело. Решётка Браве. Обратная решётка

Чем замечателен идеальный кристалл? Тем, что в нём возможны сдвиги, при которых вся эта структура переходит в себя (в узлах могут быть сложные группы атомов, они тоже переходят в себя).

Кристалл – это трёхмерная структура, три вектора

, не лежащих, естественно, в одной плоскости, такие, что при сдвиге на вектор , где n₁, n₂, n₃ – любые целые числа, структура переходит в себя, задают элементарную ячейку кристалла, объём этой ячейки равен

Данной решётке ставится в соответствие обратная решётка с такими условиями: . Объём ячейки обратной решётки из геометрических соображений будет равен .

Симметрия кристалла позволяет получить важную теорему Блоха: волновые функции стационарных состояний электронов в твёрдом теле имеют вид

, при этом пространственная функция

обладает таким свойством периодичности:

.

Что эта волновая функция из себя представляет в одномерном случае? Функция

для частицы в пустом пространстве это плоская волна, её амплитуда промодулирована вот такой пространственной функцией с периодом решётки , амплитуда должна быть больше в местах нахождения атомов и меньше там, где их нет, то есть в промежутках.

Вот примерно такая волновая функция электронов, она максимальна в окрестности атома, там плотность вероятности обнаружить электрон больше, но в общем-то она не равна нулю в межатомных промежутках. Это просто означает, что электроны в твёрдом теле уже не принадлежат атомам, каждый электрон – житель всей этой решётки, волновая функция электрона размазана по всему образцу. Понятно почему: атомы это соседние потенциальные ямы, разделённые потенциальным барьером, но есть туннельный эффект.

4. Зоны энергии

Электрон в твёрдом теле заведомо находится в связанном состоянии, согласно общим положениям квантовой теории его энергия должна квантоваться, то есть собственные значения гамильтониана должны быть дискретны. Мы увидим сейчас, как она квантуется. Напишем гамильтониан:

Потенциальная энергия выглядит, конечно, сложным образом: это потенциальные ямы в окрестности атомов, и её не только ядра создают, там и все электроны. Выражение для гамильтониана задать очень сложно, надо учитывать взаимодействие электронов между собой, взаимодействия с ядрами, взаимодействие ядер между собой…, но нам это не важно, нам важно одно – эта функция периодическая. Напишем уравнение на собственные значения гамильтониана, где функция имеет такой вид

:

или

Для каждого

имеются значения , при которых это уравнение имеет решение, и тогда каждому будут соответствовать собственные функции . Таким образом, стационарные состояния электронов в металле задаются двумя переменными вектором и числом n, им отвечает функция и энергия . Напишем окончательно так:

Вот главный результат от всей этой науки, и всё это добыто как следствие трансляционной инвариантности решётки (вся физика переходит в себя при сдвигах с определённым вектором ). Что мы получаем? Вот у нас энергетическая шкала E, возможные значения энергии определяются величинами . Фиксируем n, получаем какую-то функцию от , которая имеет минимальное значение и максимальное. n = 2, мы опять имеем полосу энергий, при каком-то значении она минимальна, при каком-то значении она максимальна. И в результате мы получаем, что энергия электронов в металле может лежать в пределах, так называемых, энергетических зон.

Для малых значений nэти зоны не перекрываются, но при больших значениях n они начинают перекрываться. Ещё более детальный анализ показывает, что имеются уровни энергий для электрона в атоме, когда эти атомы построятся в решётку, то эти уровни энергий расщепляются на зоны (рис. 4.2). Число уровней, на которые расщепляется начальный, равно 2N, где N – число атомов.

Чтоб с этим кончить, какие значения принимает вектор ? В прошлый раз мы обсуждали понятие обратной решётки, вектор имеет размерность обратной длины, значит вектор это вектор, принадлежащий обратной решётке. Все значения вектора в пределах элементарной ячейки отвечают определённым состоянию, если мы переходим в соседнюю ячейку, то там все состояния повторяются. Поэтому, если – трансляционный вектор обратной решётки, то выполняются условия: , .