Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 15 из 27)

В координатном представлении вектор состояния изобразится интегралом:

, где функция – это коэффициенты разложения вектора по базису из собственных векторов оператора координаты, это то, что у нас называлось волновой функцией. Вот таким образом стыкуется то, что раньше говорилось о волновой функции, и её представление в абстрактном пространстве.

Раньше я говорил, что волновая функция

описывает состояние частицы с импульсом и с энергией , где . Теперь мы можем изобразить вектор в абстрактном пространстве для этого состояния: . Вот наш вектор выражен через базисные векторы, которые мы обозначаем .1)

А как быть с другими операторами? Пусть у нас для простоты

, тогда . Кстати, что получится при действии оператора координаты на этот вектор ? Здесь вы должны довериться просто формализму. Пишем: 2) = . Когда оператор подействовал на вектор , мы получаем новый вектор с другими коэффициентами, и какие же это коэффициенты? А это та же функция , умноженная на x. Таким образом, в координатном представлении действие оператора на функцию сводится просто к умножению этой функции на число, то есть мы можем написать, что в координатном представлении .

Как же импульс? Оператор

действует на вектор :

3) =

Таким образом, в координатном представлении действие оператора

на функцию приводит к взятию частной производной и умножению её на число , или символически: . В векторной форме: .

И, наконец, последнее. Если мы имеем какую-то функцию координаты и импульса

, тогда оператором будет та же самая функция, но взятая от операторов и : .

10

Ещё раз, как можно ткнуть пальцем и предъявить базисные векторы, если мы работаем в абстрактном пространстве? В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-нибудь оператора. В таком базисе этот оператор выражается диагональной матрицей, где по диагонали стоят собственные значения, а собственные значения – это наблюдаемые величины, поэтому, если мы экспериментально определяем собственные значения оператора, то мы его матрицу тут же пишем. Операторы связаны между собой (по теории), тогда другие операторы можно находить через матрицу, которую мы нашли. Это общая программа. Теперь конкретное исполнение.

Рассматривалось специальное представление – в качестве базиса были выбраны собственные векторы оператора координаты (тогда собственные значения этого оператора это просто координаты частицы, которые мы экспериментально можем определять). Из постулируемого коммутационного соотношения

можно доказать, что собственные значения оператора координаты непрерывны. Оказывается, что в этом базисе оператор принимает вид , а всякий вектор задаётся функцией, в частности . При этом , если , то , векторы ортогональны. Если функция задаёт компоненты вектора в координатном базисе, то функция задаст компоненты вектора в том же самом базисе, так как

.

Мы уже получили два оператора, оператор координаты и оператор импульса. Как быть с остальными? Лекция была кончена утверждением, что если некоторая переменная A есть функция координаты и импульса

, то оператор будет функция от операторов и : . Рецепт такой: если переменная имеет классический аналог и в классической механике выражается как функция импульса и координаты, то оператор этой переменной изобразится той же самой функцией, но от операторов.1)

А вот если переменная не имеет классического аналога, а в квантовой механике появились такие переменные (например, спин), вот там приходится оператор для переменной изобретать.

4. Оператор энергии

У нас был один из постулатов, что существует оператор

, который называется гамильтонианом и который определяет динамику системы, то есть изменение вектора состояния за единицу времени получается как результат действия оператора на вектор состояния в данный момент времени:

Это аналог Второго закона Ньютона. Этот оператор

что такое?

Для частицы в потенциальном поле сил гамильтониан H – это полная энергия частицы, выраженная через координаты и импульс:

. Тогда оператор по нашему рецепту будет:

Задача на собственные векторы оператора энергии ставится так: оператор

действует на вектор , даёт число , : . В координатном представлении векторы задаются функциями : . Для частицы в связанном состоянии спектр собственных значений оператора энергии дискретен (энергия в этом случае квантуется), в несвязанном состоянии спектр собственных значений непрерывен (энергия не квантуется). То есть, если частица может уйти на бесконечность, то любое действительное число может представлять её энергию, а если не может уйти на бесконечность, то тогда энергия может принимать определённые значения. Как найти эти собственные значения и собственные векторы?