В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-либо оператора.1) Если взяты собственные векторы

оператора

, то говорят, что мы работаем в
A-представлении. Тогда все векторы и все операторы будут выражаться в этом базисе. Если

– оператор координаты, тогда имеет место такое равенство:

,

– собственный вектор, отвечающий собственному значению
q. Если в качестве базисных векторов будут взяты векторы

, то есть собственные векторы оператора координат, то значит мы работаем в
координатном представлении.
9
Проблема такая: как связать абстрактное пространство, в котором разыгрываются все эти события, с нашим реальным наблюдаемым миром, в котором мы живём? Как нам отсюда пролезть туда, в этот потусторонний мир, в котором действуют правила игры, которые мы сформулировали. Лазейка такая: чтобы задать вектор в виде набора чисел, надо предъявить базис. Операторы, с которыми мы имеем дело (это эрмитовы операторы), обладают тем свойством, что для них имеется n собственных векторов, эти собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, если в качестве базиса выбрать собственные векторы оператора, то его матрица в этом базисе будет диагональной, а по диагонали будут стоять собственные значения. Собственные значения – это те числа, которые мы получаем при измерении переменной, которую описывает данный оператор. Вот так можно состыковать эти абстрактные математические объекты с реальными наблюдаемыми величинами. Если мы, например, экспериментально исследовали набор собственных значений данного оператора, то мы сразу можем написать его матрицу в базисе его собственных векторов, просто по диагонали расположивши эти собственные значения. Есть законы, которые связывают операторы друг с другом, и если мы нашли один оператор, то просто зная связь между этими операторами, мы можем построить и другие операторы. Мы тогда получим матрицы в том представлении, в котором исходный оператор был диагональным.
Если

это оператор координаты, а

– собственный вектор этого оператора, отвечающий собственному значению
q, то есть имеет место такое соотношение:

,
1) оператор

действует на собственный вектор, получается тот же собственный вектор, которому отвечает число
q.
2)
Произведение операторов
Если

, то это означает, что

действует на некоторый вектор

(на любой), это то же самое, что

.
3) Матрица оператора

представится, оказывается, как произведение матриц
Bи
A, то есть

.
Произведение операторов, вообще говоря, не коммутативно (потому что произведение матриц не коммутативно), то есть когда мы действуем оператором

, а потом

или наоборот, сначала

, потом

, то это разные результаты.
4) Разность произведений это некоторый оператор:

и называется
коммутатором операторов

и

. Это математические факты, а вот с этим делом связан физический факт, очень существенный.
Переменные, операторы которых не коммутируют (коммутируют), не могут (могут) быть измерены [и заданы] одновременно.
Мы уже сталкивались с такими вещами. Иксовая координата частицы и иксовая компонента импульса xи

не могут быть заданы одновременно: нельзя сказать, что частица имеет точно такую координату и имеет такую-то составляющую импульса, есть соотношение неопределённости. Это, кстати, означает, что операторы

и

не коммутируют.
Утверждение. Постулируется, что

.
1)
Но, кстати, например

, это означает, что одновременно мы можем задать координату и игрековую составляющую импульса (или зетовую), а вот иксовую задать не можем, и измерить одновременно не можем. Это можно написать в более общем виде:

.
Из того, что

, следует, что спектр собственных значений оператора координаты

непрерывен. Иначе говоря, мы можем задать любое число
q, и для него найдётся вектор

, который является собственным вектором оператора

. Физически это означает, что при измерении координат может быть получено любое число или, ещё проще говоря, координаты не квантуются.
2)
Существует координатное представление, когда в качестве базисных векторов выбираются собственные векторы оператора координаты. Произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Если бы эти собственные векторы нумеровались каким-то дискретным параметром

, то тогда произвольный вектор

представился бы суммой

. Но у нас векторы нумеруются непрерывным параметром, это означает, что вместо суммы пишется интеграл:

. Как находить коэффициенты разложения? В дискретном случае

, а как быть, если параметр, нумерующий вектор, непрерывен? Аналогично:

, базисные векторы таковы, что

.

функция это функция, удовлетворяющая двум условиям:
1)

2)

функция проникла в математику именно в этой ситуации. Дирак, создатель квантовой теории, он эту функцию и изобрёл, потом в математике появилась целая теория этих функций.