Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр) (стр. 13 из 27)
Если имеет место такое равенство
, то оператор называется линейным.1) Дальше, когда идёт речь об операторах, имеются в виду только линейные операторы.Каким образом можно задать это правило, то есть как можно задать оператор? Если оператор
линейный, то вот такой строчкой: 
. Эта строчка – сжатое изображение вот такого: 
.Значит, любой линейный оператор будет представлен квадратной матрицей размерности 
.Задайте квадратную таблицу , любых чисел навтыкайте туда, эта матрица представляет линейный оператор.Любая матрица
представляет некоторый оператор , из неё можно получить другие матрицы, например, можем устроить транспонированную матрицу (отобразить её относительно главной диагонали), получим другую матрицу, то есть другой оператор. Можно не только сделать транспонированную матрицу, а сначала транспонировать и взять ещё комплексно сопряжённые элементы, ещё одну матрицу получим, получим другой оператор снова.Если матрица оператора
получается из элементов матрицы оператора с помощью транспонирования и комплексного сопряжения элементов: 
, то оператор называется эрмитово сопряжённым к оператору .Если
, тогда оператор называется самосопряжённым или эрмитовым.1)Если
, где α – число, то вектор 
называется собственным вектором оператора , а α – собственным значением, отвечающим этому собственному вектору.2)Оказывается, что эрмитов оператор
, то есть оператор, для которого верно вот такое равенство 
, имеет n собственных векторов, которые будем обозначать 
, при этом собственные значения, отвечающие этим векторам действительны, то есть 
и 
. И ещё замечательная вещь такая: скалярное произведение двух собственных векторов равно: 
, собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения действительны. Это наш реквизит, это факты математические, а теперь возвращаемся к физике.2. Постулаты квантовой механики
Утверждение 1. Состояние частицы задаётся некоторым нормированным вектором
в абстрактном пространстве,3) предполагается, что 
.Утверждение 2. Каждой наблюдаемой динамической переменнойA (координаты, импульс, момент импульса …) ставится в соответствие эрмитов оператор
.Вектор переменной в абстрактном пространстве изображается столбцом, оператор, отвечающий этой переменной, в этом же пространстве будет изображаться квадратной матрицей. Кстати, эпитет «наблюдаемый» не для красного словца. Наблюдаемая переменная – это переменная, которую можно измерить.1)
Утверждение 3. При измерении динамической переменной A(вот я подставляюсь под пулю, ловлю её и мерею её импульс) могут быть получены числа лишь из ряда собственных значений соответствующего ей оператора
.Сейчас мы это дело оформим более компактно. Если
, то при измерении переменной A может быть получено одно из чисел α1, α2, …, αn.Утверждение 4. Вероятность того, что при измерении переменной A частицы в состоянии, задаваемом вектором
, будет получено значение αn равна: 
Третий постулат утверждает, что при измерении переменной A могут получаться лишь числа α1, α2, …, αn, какое из них получится при конкретном измерении, теория отказывается отвечать, но она говорит, что вероятность того, что будет получено значение αk, например α7, будет определяться по такому рецепту. Возьмите вектор состояния частицы, умножьте скалярно на собственный вектор, отвечающий этому собственному значению, получится комплексное число, найдите квадрат модуля этого числа, и вы получите вероятность того, что будет получено значение α7. Этот рецепт можно выразить в более доступной форме.
Векторы
, собственные вектора оператора , они ортогональны, нормированы, их можно в этом абстрактном пространстве взять в качестве базисных векторов. Это означает, что произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Разложим вектор состояния по базису из собственных векторов оператора : 
. Тогда говорится, что 
(квадрат модуля проекции вектора на собственный вектор оператора) даст вероятность того, что при измерении переменной A будет получено значение 
(соответствующее собственное значение).Утверждение 5. Существует эрмитов оператор
(гамильтониан) такой, что имеет место уравнение 
уравнение Шрёдингера.
Короче говоря, существует оператор, который заведует изменением вектора состояния со временем. Малое изменение вектора за время
будет равняться: 
. То есть подействуем на вектор в данный момент оператором , полученный вектор умножим на число , разделим на 
, и мы получим маленькое приращение вектора . Поскольку , можно себе представлять, что в абстрактном пространстве вектор вращается, вот этот маленький поворот определяется оператором .Ну, что тут пока неудобно? Всё это звучит, наверное, замечательно и захватывающе, только не понятно, зачем это делали. В ньютоновской механике, когда всё там написали (Второй закон ньютона, силы), поскольку много лет все слышали, это кажется очевидным, а ведь на самом деле это голая форма, никакого содержания она не имеет. Содержание появляется только тогда, когда даются рецепты, что там в правой части писать. Ньютоновская механика это, на самом деле, утверждение такого сорта, что всё многообразие мира мы можем отлить в форму дифференциальных уравнений второго порядка, подбирая соответствующие функции
в правой части. Именно на этом стояла физика фактически до конца XIX века, считалось, что всё, что мы тут видим, оно вот в эту простую математическую форму отольётся, если мы только правильно подберём эти функции, и зада физики тогда была придумать эти функции в правой части, чтобы отлить в эту форму. На самом деле мир оказался хитрее, и он не отливается в теорию дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь мы пока тоже видим математическую форму. Утверждается, что мы подберём операторы такие, что всё окружающее нас тут отольём в эту математическую форму. В ньютоновской теории задача физики была в нахождении сил, в рамках этой механики задача физики это нахождение гамильтонианов, то есть операторов, которые определяют эволюцию состояния в заданной окружающей среде, а окружающая среда характеризуется гамильтонианом. Вот такая математическая структура.