Лекции по физике В.И.Бабецкого (стр. 3 из 21)

Если дует ветер, то циркуляция по замкнутому контуру, не всегда правда, равна нулю. А если возьмём вихрь, то циркуляция заведомо не равна нулю.

Статическое электромагнитное поле (электростатика)

В прошлый раз я нарисовал четыре уравнения. Начнём их жевать потихоньку. И сделаем упрощения. Прежде всего, положим

. от чего? От всего, то есть ничего со временем не меняется.

Особенность физики в чём состоит? Не в предмете! Все науки имеют свой предмет рассмотрения, биология - наука изучающая жизнь на Земле и т.д. Физика отличается взглядом на мир. С точки зрения электричества он характеризуется двумя векторными полями, кстати, если задать эти штуки, например, дать описание зарядов в этой аудитории, то мы сможем восстановить всю ту картинку, которую вы сейчас наблюдаете.

Итак,

. И второе .

В каждой точке пространства ничего не меняется, и все заряды неподвижны, то есть все заряды прибиты просто гвоздями. Тогда уравнения принимают вид:

Вот при такой подстановке

и наши четыре фундаментальные уравнения принимают такой вид.

Третье уравнение означает, что поток вектора

через любую замкнутую поверхность равен нулю, четвёртое - циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна нолю. Из этих двух уравнений следует, что . Это не очевидно, но мы ещё до этого доберёмся. Магнитное поле отсутствует. В статическом электромагнитном поле отсутствует магнитное поле, а электрическое описывается двумя уравнениями. В этих уравнениях сидят все свойства электростатического поля, то есть ничего больше не надо. И мы эти свойства сейчас извлечём.

Общие свойства электростатического поля

Прежде всего, что означают эти уравнения? Первое уравнение утверждает, что, если мы возьмём некоторую замкнутую поверхность S, V - объём этой поверхности, разбиваем поверхность на элементы, определяем в пределах каждого элемента напряжённость поля и вычисляем такую вещь

, суммируем, никто нам не запрещает это сделать, это математическая вещь, физика сидит в равенстве:

(поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность) =

Таким образом, поток вектора

через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри этой поверхности.

Например, стены, пол, потолок - это замкнутая поверхность. Можем сосчитать поток через эту замкнутую поверхность и получим число, и, если это число отлично от нуля, то это означает, что здесь находится заряд. Электромагнитное взаимодействие очень сильное, и в силу этого мы имеем нейтральное вещество. Ноль получим. Это не означает, что здесь нет электрических полей, но заряда нет.

Берём замкнутый контур, вычисляем циркуляцию. Второе уравнение утверждает, что, какой бы контур мы не взяли, циркуляция равна нулю. Отсюда следует, что силовые линии электромагнитного поля не могут быть замкнутыми. Мы могли бы взять контур, совпадающий с этой линией, скалярное произведение

не меняет знак, следовательно, интеграл не равен нулю. Силовые линии не могут быть замкнуты, но тогда что с ними?

Имеется некоторая область, из которой силовые линии выходят, тогда берём замкнутую поверхность S и по этой замкнутой поверхности . Это означает, что q>0.

Если наоборот, силовые линии входят в область, эту область окружаем поверхностью, тогда интеграл отрицательный. Нормаль направлена наружу, в первом случае произведение

положительно, а здесь отрицательно.

Можно сказать, что силовые линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность, но не может быть так, чтобы линия замкнулась на себя. Для магнитного поля, мы увидим дальше, что силовые линии всегда замкнуты, в отличие от электростатических, которые никогда не замкнуты.

Потенциал

Вот такое математическое утверждение:

.

Вы, вот, словами должны читать сами формулы. Кстати, физику можно излагать без слов, так же, как математику. Из того, что циркуляция для любого контура равна нулю, следует, что векторное поле

может быть выражено через некоторую функцию от , называемую градиентом скалярного поля : . Любому скалярному полю jможно поставить в соответствие векторное поле вот по такому рецепту. Это векторное поле называется градиентом скалярного поля j.

Смысл векторного поля.

- это вектор, направление вектора это направление, в котором функция j меняется наиболее быстро. Направление вектора это направление быстрейшего изменения функции j, а величина вектора характеризует скорость изменения функции jв этом направлении. Ну, скорость по отношению к пространственному перемещению.

Температура, заведомо скалярная величина. В данной точке сунули термометр, он что-то показал, сунули в другую, он покажет другую температуру. А теперь, градиент от этого скалярного поля. Температура в данной точке такая, сместились в эту сторону на метр - другая температура, и так во все стороны, где температура выше, туда будет направлен её градиент

, а величина этого вектора .

Другой пример - плотность. Имеем стационарную атмосферу. Направление градиента плотности воздуха будет по вертикали и именно сверху вниз (вниз плотность будет возрастать).

Вот смысл градиента.

Это следствие

чисто математическое, это можно доказать. Что физически означает уравнение ? Какую физическую интерпретацию можем ему дать?

Рассмотрим некоторую кривую с направлением. Вот имеем электрическое поле:

Возьмём точечный заряд q и будем перемещать заряд по заданной кривой из точки (1) в точку (2). Поскольку на заряд действует сила со стороны электрического поля, работа электрического поля при перемещении заряда вдоль кривой

равна:

. Работа, которая совершается электрическим полем при перемещении заряда, если я взял и принёс заряд из точки (1) в точку (2), а потом принёс его обратно (контур замкнулся!). То тогда следует, что .

Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Это означает другое: что работа по перемещению заряда из точки (1) в точку (2) не зависит от пути перемещения.

Это, может быть, не очень очевидно. Вот я перешёл по некоторому пути из (1) в (2), поле совершило некоторую работу, кстати, эта работа положительна. Положу рельсы из точки (1) в точку (2). Поставлю на них вагончик от игрушечной железной дороги, помещу в вагончик заряд, и этот вагончик поедет, (избыток кинетической энергии перейдёт во внутреннюю). В точке (2) перевожу стрелки и пускаю вагончик по другому пути. Так вагончик будет ездить, к нему можно приделать вертушку... но известно, что циркуляция ноль, и построить вечного двигателя нельзя.