Туннельные и барьерные эффекты. (стр. 4 из 7)

Рис 3.1. Поле на границе металла.

Рассмотрим теорию этого эффекта, представляющую одно из наиболее
простых приложений теории прохождения через потенциальный
барьер. Обратимся сначала к картине движения электронов в
металле в отсутствие внешнего электрического поля.

Чтобы удалить электрон из металла, необходимо затратитьнекоторую работу. Следовательно, потенциальная энергия электрона в металле меньше, нежели вне металла. Наиболее простым образом этот факт может быть выражен, если мы примем потенциальную энергий электрона U (х) внутри металла равной 0, а вне металла равной С>0, так что потенциальная энергия имеет вид, изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом истинный ход потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле. На самой деле, потенциал внутриметалла меняется от точки к точке с периодом, равным постоянной кристаллической решетки. Наше приближение соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U (х) = О, внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.

Здесь рассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений. Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным. Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляющее большинство электронов имеет энергию Е < С (при абсолютном нуле температуры электроны заполняют все уровни энергии от Е = 0 до Е = ε₀ < Сгде ε₀ есть так нулевая энергия; Потокэлектронов металла, падающий изнутри металла на его поверхность, обозначим через J_o. Так как электроны имеют энергию Е < С, то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место на границе металл — вакуум.

Представим теперь себе, что наложено электрическое поле ع, направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона U (х) (рис. 1) добавится потенциальная энергия электрона в постоянном поле ع, равная - е عх(заряд электрона равен — е). Полная потенциальная энергия электрона будет тецерь равна

(3.1)

Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на рис. 1 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля, поэтому изменение U (х) произойдет лишь вне металла.

Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По классической механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его энергия Е > С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической механике при наложении поля получиться не, должно. Однако, если поле ع достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима: электроны будут проходить через потенциальный барьер.

Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов, имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Е_х. Согласно (1.24) дело сводится к вычислению интеграла

где х_хи х₂ — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть (рис. 1), очевидно, х₁ = 0, так как для всякой энергии Е_х< С горизонтальная прямая Е_х, изображающая значение энергии движения по ОХ, пересекает кривую потенциальной энергии в точке х = 0. Вторая точка поворота х₂получится, как видно из чертежа, при

отсюда

следовательно,

(3.2)

Введем переменную интегрирования.

Тогда мы получим

(3.3)

Таким образом, коэффициент прозрачности Dдля электронов, обладающих энергией движения по оси ОХ, равной Е_х, равен

(3.4)

Коэффициент этот несколько различен для разных Е_х, но так как С > Е_Х, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет иметь вид

(3.5)

где

и ع₀— константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной эмиссии будет равен

Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.

§4. Трехмерный потенциальный барьер.Квазнстационарные состояния.

Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер, отличалось той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация атомов) нам встретятсятакие случаи, когда речь будет идти о потоке частиц, выходящих из некоторой ограниченной области пространства (ядро атома, атом), окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром в 0 и радиусом r₀(рис. 1,а)

Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r< r₀)

Есть та поверхность, на которой потенциальная энергия U (r) принимает максимальное значение, так что для r < r₀, U < U_mи для r > r₀, U < U_m. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне, отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь уходящие волны.

(4.1)

Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что уравнение Шредингера

(4.2)

в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Действительно, применим закон сохранения числа частиц к сфере радиуса r:

(4.3)

Из (4.1) имеем,

(4.4)

и, стало быть,

(4.5)

т. е. среднее число частиц в объеме сферы Vубывает, так что ψ не может гармонически зависеть от времени.

Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из уравнения (4.2) с начальным условием. таким, что функция ψ (r, 0) отлична от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот факт; что при t = 0 частица находилась внутри барьера). Можно, однако, исходить из другого условия, до некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц происходит уже давно и значительная часть их уже находится вне барьера.

Рис 4.2 Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r < r₁) и имеющий простую прямоугольную форму.

Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он удобен тем, что допускает разделе r и t в уравнении (4.2) Положим сразу

При этом величина Е будет комплексной, и ее нельзя рассматривать как энергию частиц. Положим

(4.7)

Тогда среднее число частиц в объеме V₀, заключенном внутри барьера, согласно (4.6) и (4.7), будет

т. е.

(4.8)

Величина λ - константа распада. Подстановка (46) в (4.2) дает

(99.9)

Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный пример, взяв форму барьера U (r), изображенную на рис. 4.1. Рассмотрим далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: / = 0. Тогда, полагая