Туннельные и барьерные эффекты. (стр. 3 из 7)
называют коэффициентом прозрачности барьера.
Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что
(19)
(приведенные выше выражения для Rи Dпозволяют непосредственно убедиться в справедливости этого равенства).
По классической механике, если E>Um, должно иметь место R=0, D=1барьер совершенно прозрачен. Из (15) следует, что | В| 2 ≠0 поэтому в квантовой механике R> О, D< 1. Частицычастью отражаются так же, как отражаются световые волны
на границе двух сред.
Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um , то по классической механике имеет место полное отражение D= 0, R=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.
Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в действительности световое поле при полном отражении все же проникает в среду, от которой происходит отражение и если эта среда представляет собой очень тонкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в случае Е < Um(случай отражения) приводит к выводу, аналогичному выводу волновой оптики. Действительно, если E < Um, то показатель преломления птявляется, чисто пт мнимой величиной (см. 4). Поэтому мы положим
(20)Внося это выражение для птв (14), вычислим теперь |а|2. Тогда, считая
получаем 
(21)Обозначая первый дробный множитель через Do(он не очень отличается от 1) и имея в виду значение k6, получаем
(22)Таким образом, при E<.Um, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.
Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта.
Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное значение лишь в тех случаях, когда Dне слишком мал, т. е. когда
(23)Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для Um — E ~ 10-11 эрг (около десяти электрон-вольт),μ ~ 10-11 (масса электрона) и l ~ 10-11cм, из (22) получим D ~ e-1. Но если мы возьмем, например, l=1 см, то из той же формулы получим,
. Увеличение массы частицы и превышение Umнад Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энергии частицы — квантовая механика переходит в классическую.Формулу (22) для коэффициента прозрачности D, выведенную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Произведем сейчас это обобщение простым путем.
Пусть имеем потенциальный барьер U(x), изображенный на рис. 1, Представим его приближенно в виде совокупностипрямоугольных барьеров с шириной dxи высотой U (х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает в барьер в точке х = х1 и покидает его в точке х = х2. Согласно (22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен
(потенциальная энергия U (х) должна быть достаточно плавной, чтобы dxможно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим
(24)§ 2. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»
Прохождение частиц через потенциальные барьеры представляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциального барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера Um, должна иметь отрицательную кинетическую энергию
, и полная энергия, как это имеет место в классической механике, является суммой энергий кинетической и потенциальной: 
В области, где,U (х) >Е,
это бессмысленно, так как импульс р естьдействительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, получается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кинетическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннельного эффекта».На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен. Дело в том, что, поскольку туннельный эффект естьявление квантовое (при ħ → 0 коэффициент прозрачности D (24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рамках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно
рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий
только на основе классической механики. Формула
предполагает, что одновременно знаем величину как кинетической энергии Т, так и потенциальной U{х). Иными словами, мы приписываем одновременно определенное значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой механике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую
в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс, основанный на возможности представить полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функция координат).
Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера. I
Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если E<.Um; однако если фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия в импульсе
так что уже нельзяутверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е.Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину I, определяемую равенством (23). Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью ∆x < l. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса 
Подставляя сюда l2 из (23), находим 
(2.1)
т. е. изменение кинетической энергии частицы, вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, которой ей недостает до высоты барьера Um. Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Определить координату частицы, находящейся внутри потенциального барьера таким путем, что будем посылать - узкий пучок света в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы. Если пучок рассеется, то значит, на его пути попалась частица.
Как объяснялось выше, точность нашего измерения должна быть такова ∆X<l;с другой стороны, нельзя создать пучок света, ширина которого была бы меньше длины световой волны λ а следовательно, длина волны света должна быть меньше l, т. е.
(2.2)так как
, где ω—частота световых колебаний, а с- скорость света,то отсюда следует, что 
Встречающиеся в нерелятивистской механике энергии должны быть меньше собственной, энергии частицы μс2, поэтому
(2.3)т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно большой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.
§ 3. Холодная эмиссия электронов из металла
Если к металлу приложить большое электрическое поле (порядка 106в/см) так; чтобы он являлся катодом, то такое поле вырывает электроны; получается электрический ток. Это явление получило название «холодной эмиссии». Она может быть легко истолковано на основе квантовой теории прохождения частиц через потенциальный барьер и притом, в общих чертах, в согласии с опытом.