Туннельные и барьерные эффекты. (стр. 2 из 7)
Квантовая частица, преодолевающая потенциальный барьер может быть связана с термостатом. В классической механике это соответствует движению с трением. Тем самым, ; описания туннелирования необходимо привлечение теории, получившей название диссипативной квантовой механики. Такого рода соображения необходимо использовать для объяснения конечного времени жизни токовых состояний контактов Джозефсона. В этом случае происходит туннелирование эффекта. квантовой частицы через барьер, а роль термостата играют нормальны электроны.
§ 1. Прохождение микрочастиц через потенциальные барьеры.
Постановка проблемы и простейшие случаи.
Если мы имеем две области пространства, в которых потенциальная энергия частицы меньше, нежели на поверхности, разделяющей эти области, то мы говорим, что области разделены потенциальным барьером.
Простейшим примером потенциального барьера может служить барьер в одном измерении, изображенный на рис.1. По оси ординат отложена потенциальная энергия U (х) в функции координаты частицы х. В точке х0потенциальная энергия имеет максимум Um. Все пространство - ∞ < Х < + ∞ делится в этой точке на две области; х < х0и х > х0, в которых U<Um. Значение термина «потенциальный барьер» сейчас же выяснится, если мы рассмотрим, движение частицы в поле U (х) на основе классической механики. Полная энергия частицы E равна
(1)где р —импульс частицы, а μ – её масса. Решая (1) относительно импульса, получим
(2)Знаки ± следует выбрать в зависимости от направления движения частицы. Если энергия частицы Е больше «высоты» барьера Um, то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, если начальный импульс р>0, или в противоположном направлении, если начальный импульс р < 0.
Допустим, что частица движется слева, имея полную энергию Е, меньшую U т. Тогда в некоторой точке xtпотенциальная энергия U (х1)=Е, p(x1)=0, частица остановится. Вся ее энергия обратится в потенциальную, и движение начнется в обратном порядке: х1есть точка поворота. Поэтому при E<.Umчастица, движущаяся слева, не пройдет через область максимума потенциала (х = х0) и не проникнет во вторую область х > х0 Подобным же образом, если частица движется справа налево, имея Е < Um , то она не проникнет в область за второй точкой поворота х2,
 |  |
| Рис. 1.1. Потенциальный барьер в одном измерении. | Рис. 1.2. Самый простой потенциальный барьер |
в которой U(x2)=E(рис.1). Таким образом, потенциальный барьер является «непрозрачной» перегородкой для всех частиц, энергия которых меньше Um(напротив, он «прозрачен» для частиц, обладающих энергией Е >Um). Этим и разъясняется название «потенциальный барьер».
Совсем иначе протекают явления вблизи потенциальныхбарьеров, если речь идет о движениях микроскопических частиц в микроскопических полях, т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать квантовые эффекты. В этом случае, как мы сейчас увидим, в противоположность выводам классической механики, частицы с энергией Е, большей высоты барьера Um, частично отражаются от барьера, а частицы с энергией, меньшей Um, частично проникают через барьер.
Для того чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай барьера, изображенный на рис. 2. Именно, мы будем считать, что потенциальная энергиячастицы U (х) всюду равна нулю, кроме области 0 ≤ Х ≤ l, где она имеет постоянное значение, равное Um. Такой барьер представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем, особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путемнепрерывной деформации плавного барьера, изображенного на рис. 1.
Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим уравнение Щредингера в виде
 (3) |
Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя оптические обозначения
(4)где п (х) — показатель преломления, мы перепишем уравнение (3) в виде
(5)Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей пространства:
(5'), (5"), (5'")
Решения в этих областях могут быть записаны сразу:
(96.6)(6), (6'), (6")
где А, В, α, β, a и b— произвольные постоянные. Однако это — общие решения трех независимых уравнений (5), (5'), (5") и они, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся в силовом поле U (х). Для того чтобы они давали действительно одну функцию ψ (х), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим.
Для этого будем рассматривать U(х) и, следовательно, п (х) как плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (5) около точки х = 0, получим
Отсюда(7 (7)
Переходя к пределу
получаем краевое условие 
(7')Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций, имеем второе краевое условие
(7")Точка х = 0 ничем не выделена, поэтому условия (7') и (7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х = 1.
Чтобы решение (6) трех уравнений (5) можно было рассматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения U (х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х = 0 и х = 1 удовлетворяли краевым условиям (7') и (7"), т. е.
(8)Подставляя сюда значение функций из (6), получаем
(9)Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.
Если мы, например, возьмем А, В≠0, b = 0, то Aeik0Xможет рассматриваться как падающая волна, Be-ik0X —как отраженная, аe-ik0X— как проходящая. Если бы мы взяли b ≠ 0, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.
Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда, мы должны взять b = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9) принимают тогда вид ' '
(10)Из этих алгебраических уравнений находим α, β, В и a:)
(11 ), (12), (13), (14)Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показатель преломления птдействителен. В этом случае интенсивность отраженной волны | В| 2равна
 |
а интенсивность проходящей волны
(15)Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне, (JQ), отраженной (Jr) и проходящей (Jd ). Получаем:
(16)Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих
(17)называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих
(18)