Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.
Решение. Из нескольких сил на жидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т.е.
...
Имеем
...
откуда
...
- уравнение прямой.
Следовательно, свободная поверхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом ..., который определяется из равенства
...
Пример 2. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ...
Решение.
Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия.
Из массовых сил на жидкость действует центробежная сила и сила тяжести. Центробежная сила, действующая на массу ..., находится на расстоянии ... от оси вращения
...
Проекции силы на оси, отнесенные к единице массы, будут
...
Тогда
...
Откуда
...
т.е. свободная поверхность - параболоид вращения.
4. Виды давления ( барометрическое, абсолютное, избыточное, манометрическое )
Различают следующие виды давления: барометрическое, абсолютное, манометрическое и вакуумметрическое.
Барометрическое (или атмосферное) давление ... зависит от места над уровнем моря и от погоды. За нормальное барометрическое давление принимают давление, равное 760 мм рт. ст., что соответствует 101325 ... С высотой барометрическое давление убывает. В глубоких шахтах барометрическое давление значительно больше, чем на уровне моря.
Давление, вычисляемое по соотношению
...
называется абсолютным.
Аналогичное давление в точке равно сумме внешнего поверхностного и весового давления.
Если к свободной поверхности приложено барометрическое давление ..., то есть ... и основное уравнение гидростатики перепишем так
...
Давление
...
носит название манометрического или избыточного. Таким образом, манометрическим давлением называется разность между абсолютным давлением ... и барометрическим ..., если ...
Если в данной точке жидкости абсолютное давление меньше барометрического, то разность между барометрическим и абсолютным давлениями называется вакуумметрическим давлением ...
Итак, если ... , то
...
Абсолютное давление ... отрицательным быть не может, поэтому вакуумметрическое давление не может быть больше барометрического.
5. Приборы для измерения давления
Приборами для измерения барометрического давления служат барометры различных конструкций.
Для измерения манометрического давления служит манометр. Манометрическое давление можно измерить высотой столба жидкости. Сосуд наполнен жидкостью с плотностью ... . Давление на свободной поверхности ...
Пусть необходимо измерить давление на уровне 1-1. Если на этом уровне сделать отверстие и присоединить к нему стеклянную трубку П, то жидкость в этой трубе поднимется под действием давления на некоторую высоту ... По основному уравнению гидростатики
...
откуда
...
Этой высотой ... поднятия жидкости в трубке П можно измерять манометрическое давление. Трубка П называется пьезометром.
Hайдем соотношение между 1 ..., 1 м вод. ст. и 1 мм рт. ст.
При высоте вод. столба ... = 1 м давление
...
При высоте ртутного столба ... = 1 мм давление
...
Для измерения вакуумметрического давления применяется вакуумметр. Допустим, что требуется измерить вакуумметрическое давление воздуха в сосуде ..., т.е. величину ..., где ... - абсолютное давление в сосуде.
Присоединим к сосуду изогнутую трубку, опущенную в жидкость. Применяя основное уравнение гидростатики для точки, расположенной в трубке на уровне свободной поверхности жидкости в резервуаре, получим
...
Так как
..., то
...
Вакуумметрическому давлению будет соответствовать высота подъема ... жидкости в изогнутой трубке над уровнем в резервуаре.
6. Сила давления жидкости на плоскую стенку
Гидростатическое давление представляет собой систему параллельных сил, действующих в одну сторону и перпендикулярных к плоскости стенок.
Такая система приводится к одной силе - равнодействующей, равной арифметической сумме всех сил и приложенной в центре параллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, приложенных к площадке ..., плоскость которой ... наклонена к горизонту под углом ..., возьмем начало координат в плоскости приведенного уровня на линии пересечения с плоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось ... на направив ось ... вертикально вниз, кроме того в плоскости площадки возьмем вспомогательные оси ... и ..., совместив ... и ... .
...
Последний интеграл равен площади площадки ..., умноженной на координату центра тяжести ... .
...
Произведение ... выражает объем цилиндрического столба с основанием ... и высотой ... и мы приходим к выводу, что давление тяжелой жидкости на плоскую площадку измеряется весом цилиндрического столба этой жидкости, который был бы расположен над площадкой, если бы она лежала горизонтально на глубине своего цента ... .
Сосуды различной формы, но с одинаковой площадью дна, наполненные жидкостью на одну и ту же высоту H, имеют одинаковую силу давления на дно.
7. Простейшие гидравлические машины
Жидкости практически несжимаемы и равномерно передают давление по всему объему. Это свойство широко используется в различных отраслях техники (гидроприводы, гидроавтоматика, гидравлические тормоза, усилители и т.д.).
Принцип их работы основан на следующем: имеются два соотносящиеся между собой цилиндра разного диаметра.
Приложим к поршню меньшего из цилиндров какую-то внешнюю силу ..., мы тем самым создаем на поверхности жидкости давление
...
Это давление равномерно передается во все точки пространства, заполненного жидкостью. Тогда на поршень большего цилиндра будет действовать сила
...
Таким образом, чем больше разняться между собой площади поперечного сечения цилиндров, тем большую силу мы будем получать в таких гидравлических устройствах.
8. Закон Архимеда
Определим силу давления жидкости на погруженное тело А объемом ...
Представим, что в жидкости выделен объем, точно такой же, как и тело А. Этот объем жидкости находится в равновесии под действием двух сил:
1) силы давления жидкости ... на поверхность выделенного объема,
2) силы тяжести жидкости, равной ... и направленной вертикально вниз.
Следовательно, сила ... равна силе тяжести выделенного объема жидкости, направленная в обратную сторону, то есть вертикально вверх, и приложена в центре объема, т.е. в той же точке, в которой приложена сила тяжести выделенного объема жидкости.
Точка ... называется центром водоизмещения.
Закон Архимеда.
Сила давления жидкости на погруженное в нее тело приложена в центре водоизмещения, направлена вертикально вверх и равна силе тяжести жидкости, вытесненной телом.
...
Сила ... называется архимедовой силой, ... - объемным водоизмещением, а ... - водоизмещением.
9. Равновесие и остойчивость тел, полностью погруженных в жидкость
Если сила тяжести ... тела А больше архимедовой силы ..., то равнодействующая этих сил (... и ... ) направлена вниз и заставляет тело опускаться на дно. Таким образом, если ..., тело тонет.
Если сила тяжести ... тела меньше архимедовой силы ..., то равнодествующая этих сил (... и...) направлена вертикально вверх и заставляет тело подняться на поверхность. При выходе части тела из жидкости сила давления на оставшуюся погруженную часть тела соответственно уменьшается, благодаря чему уменьшается и величина направленной вверх равнодействующей, заставляющей тело всплывать, в результате при некотором частичном погружении тела устанавливается равновесие и тело оказывается плавающим на поверхности жидкости.
Таким образом при ... тело всплывает на поверхность жидкости.
Для того, чтобы тело не опускалось на дно и не всплывало, необходимо, чтобы ... .
Остойчивостью плавающего тела называется его способность возвращаться в первоначальное положение равновесия после приращения силы, вызвавшей крен.
Возможны три случая
1) центр тяжести С лежит ниже центра водоизмещения ...,
2) центр тяжести С находится выше центра водоизмещения ...,
3) центр тяжести С совпадает с центром водоизмещения ....
В первом случае равновесие остойчивое, так как при ... возникает пара сил, стремящаяся вернуть тело в первоначальное положение.
Во втором случае равновесие неустойчивое, в третьем -
Тема 7
Анализ и применение уравнения Бернулли
1. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.
2. Анализ уравнения Бернулли.
3. Энергетический смысл уравнения Бернулли.
4. Предел применимости уравнения Бернулии.
5. Примеры применения уравнения Бернулли.
5.1. Расходомер Вентури.
5.2. Измерение скорости (Трубка Пито).
5.3. Кавитация.
5.4. Формула Торичелли.
6. Уравнение неразрывности в гидравлике. Расход.
1. Расход. Уравнение неразрывности в гидравлике
Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями 1,2.
Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведенная параллельно к направлению струек. За единицу времени через живое сечение 1 в рассматриваемый объем жидкости
...
где ... - площадь живого сечения, ... - средняя скорость в сечении.
Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости ...
где ... - площадь живого сечения 2, ... - средняя скорость в
сечении 2.
Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости ... должен равняться объему вытекающему ...
Поэтому можно записать
...
Это уравнение называется уравнением неразрывности
Из уравнения неразрывности следует, что
...
Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.
2. Анализ уравнения Бернулли
Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности (...) в поле массовых сил