...
С учётом того, что
...
имеем выражение для силы
...
Эта величина, очевидно, и есть скачок давления на поверхности раздела двух сред, обусловленный поверхностным натяжением.
Обозначив теперь через ... и ... давление в средах на границе раздела из условия равновесия элементарной площадки, запишем соотношение
...
которое называется формулой Лапласа.
Для цилиндрических поверхностей с круговым поперечным сечением радиуса ... имеем ... = ..., ... = ... и формула Лапласа принимает вид:
...
В случае сферических поверхностей ... = ... = ... и тогда получаем:
...
Если радиус сферической полости мал, то давления, развиваемое поверхностным натяжением, могут стать значительными.
...
...
Весьма характерной является система газ - жидкость - твёрдая стенка. В этом случае вводят значение краевого угла (угла ... или угла смачивания).
Характерные значения краевых углов приведены в таблице
Таблица
| | | Тв. вещества| | Жидкость | | Кр. угол, град | | | | |
| |||| | Сталь | | |Сталь | | ВодаЖидкий водородЖидкий кислородРтуть | | 70 - 90 || 0 || 0 || 128...148 | |
Если ... , жидкость называется смачивающей, если ...
- несмачивающей.
Высота подъёма или опускания жидкости в капиляре определяется с помощью соотношения
...
где ... - диаметр капиляра, а ... - угол смачивания.
Уравнение состояния воды. Адиабата Тэйда
Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давление, плотность, температура) существует определённая зависимость.
Уравнение
...
устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.
Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.
Для идеального газа уравнение состояния можно представить в виде
...
где ... - газовая постоянная, зависящая от
относительной молекулярной массы ... . Для воздуха ... = 29,
... = 287 ... .
Существенное отклонение свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давления и низких температурах. На состояние газа влияют такие процессы, как диссоциация и ... .
Уравнение состояния воды
Пусть в равновесном состоянии справедливо уравнение
. Тогда при малых отклонениях параметров Р и Т от ... и ... уравнение состояния воды в линейном приближении можно записать в форме, предложенной Буссинеском:
...
где - коэффициент изотермической сжимае-
мости
- коэффициент теплового расширения При температуре 293 К
...
Зависимость ... от давления весьма стойкая.
Адиабатические процессы, характеризующиеся отсутствием внешнего подвода или отвода тепла, протекают в воде практически при постоянной температуре. Это объясняется особенностью молекулярного строения жидкости. Ввиду большой плотности упаковки молекулы жидкости помимо обмена импульсами в ... движении испытывают дополнительные силы отталкивания. При сжатии жидкости даже без нагревания развивается большое внутреннее давление нетеплового происхождения. Изменение давления происходит только в результате давления происходит только в результате изменения его механической компоненты.
В случае значительных изменений давления связь между плотностью и давлением становится существенно нелинейной. Наиболее широкое распространение получило эмпирическое уравнение ...
, которое носит название уравнения Тэйда:
...
где С и ... - константы ( С ... 3200 ... Па, ... = 7.15).
Уравнение Тэйда устанавливает зависимость плотности только от давления. Это означает, что оно описывает баротропный процесс.
Тема 3
Кинематика течений жидкости
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока.
3. Кинематика вихрей. Циркуляция скорости.
Кинематикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения без выяснения причин его возникновения. Все кинематические величины, характеризующие движение твёрдого тела и движение отдельных точек (расстояния, скорости, ускорения и т.д.), рассматриваются как функции времени.
1. Два подхода к описанию движения сплошной среды.
Переменные Эйлера и Лагранжа
Для описания движения сплошной среды возможны два подхода. Один из них называется лагранжевым, другой - эйлеровым.
Лагранжев метод описания движения относится к типу отсчётных. В некоторый (начальный) момент времени ... каждая из жидких частиц маркируется путём присвоения ей значения координат в данный момент времени.
В трёхмерном пространстве введём обозначения
...
В дальнейшем прослеживается движение каждой частицы индивидуально. При таком подходе положение частицы в каждый момент времени
... будет зависеть от параметров а,б,с и ..., которые назы-
ваются переменными Лагранжа. Можно записать, что вектор положения
жидкой частицы равен
...
Скорость жидкой частицы выразится через производную радиус-вектора
...
а ускорение через производную скорости
...
В последних двух формулах при дифференцировании параметры а,б,с являются постоянными, ... и ... являются только функционалами времени и в этом случае энергии дифференцирования ... и ... тождественны.
Эйлеров метод описания движения относится к типу пространственных. В каждой точке пространства с координатами ... изучаются параметры движения в различные моменты времени ... . Таким образом, скорость жидкости в различных точках пространства должна быть функцией четырёх переменных ... , называемых переменными Эйлера,
...
а её дифференциал
...
В движущейся среде приращения ... не ...
независимыми, а соответственно равны
...
Поэтому справедливо равенство
...
где
...
Это означает, что полное ускорение ... индивидуальной жидкой частицы, находящейся в момент времени ... в точке пространства
с координатами ... , состоит из двух частей: локального ускоре-
ния ... , обусловленного изменением скорости во времени в данной
точке, и конвективного ускорения ... , обусловленного неоднородностью поля скоростей в окрестности данной точки и связанного с этим обстоятельством конвективного переноса.
Производная ... носит название индивидуальной или субстанциональной производной.
Если ... , поле скоростей стационарно, однако это ещё
не означает, что в жидкости отсутствуют ускорения. Стационарность
или нестационарность поля скоростей зависит от выбора системы координат.
Если ... = 0, поле скоростей однородно.
2. Траектория. Линия (поверхность) тока
Траекторией жидкой частицы называется геометрическое место точек пространства, через которое частица последовательно проходит во времени.
В переменных Лагранжа траекторию определяет уравнение
...
Если задача решена в переменных Эйлера, то известно поле скоростей ... и траекторию следует находить путём решения дифференциального уравнения
...
с начальным условием: при ... .
Линией тока называется линия, в каждой точке которой в каждый момент времени скорость направлена по касательной к этой линии.
В векторной форме условие тангенциальности можно записать в виде
...
В проекциях на оси координат получим систему уравнений
...
которую можно переписать также в виде
...
Время здесь является фиксированным параметром.
В стационарном случае траектория и линия тока совпадают. В нестационарных течениях траектории отличаются от линий тока.
Поверхность тока определяется как поверхность, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости лежит в касательной плоскости. Такую поверхность можно образовать, например, путём проведения через замкнутую кривую непрерывной совокупности линий тока. В этом случае говорят о трубке тока.
2. Кинематика вихрей
Рассмотрим вектор вихря скорости, который определяется соотношением
...
называемый иногда вектором завихренности.
Линии в потоке жидкости, в каждой точке которой вектор вихря скорости является касательным к данной линии, называются вихревыми линиями.
...
...
Обобщение данного понятия на поверхность (вектор вихря в каждой точке поверхности должен лежать в касательной плоскости) даёт понятие вихревой поверхности или вихревого слоя.
Совокупность вихревых линий,проведенных через замкнутый контур, образует вихревую поверхность, а жидкость, заключённая внутри вихревой поверхности, - вихревую трубку.
Интенсивность вихревой трубки удобнее выразить через циркуляцию вектора скорости Г.
В общем случае Г определяется как
...
где ... - вектор перемещения вдоль произвольного контура, соединяющего точки А и Б.
Если контур замкнут, то
...
Тема 4
Система уравнений гидростатики.
Динамика течений невязкой (идеальной) жидкости
1. Уравнение неразрывности.
2. Уравнение Эйлера.
3. Уравнение адиабатического движения жидкости.
4. Уравнения Эйлера в форме Громеки.
5. Гидростатика.
6. Уравнение Бернулли.
Система уравнений, описывающих течение жидкостей и газов, основывается на фундаментальных законах сохранения. К ним относятся законы сохранения массы, количества движения, энергии.
Уравнения записываются в интегральной или дифференциальной форме в зависимости от типа решаемой задачи.
Рассмотрим систему уравнений, которая описывает динамику течений невязкой (идеальной ) жидкости.
Идеальной называется жидкость, у которой нет трения, т.е. жидкие элементы, могут свободно перемещаться в касательном направлении один относительно другого. В такой жидкости отсутствует теплообмен между различными её участками, а тангенциальные и нормальные силы внутреннего трения не возникают.