Лекции по физике (стр. 18 из 42)
где F- произвольная функция . Подставим эту формулу в приведенное
выше продифференцированное функциональное уравнение. Учтем ,
что
и поэтому получим соотношение
Так как
то приходим к следующему уравнению
справедливому при любых значениях x1,x2,t1. Аргументы функций
в правой и левой частях принимают произвольные значения при произвольных
x1,x2,t1. Следовательно ,
а потому , игнорируя получаем
где - некоторые пока не определенные постоянные .
Составим теперь функциональное уравнение для функции . Имеем
где G - произвольная функция . Вычитая первое уравнение из третьего
уравнения и сравнивая полученный результат со вторым уравнением ,
получаем соотношение
Следовательно , 
или
Отсюда непосредственно приходим к следующему основному функциональному
уравнению для функции
: 
Разрешим это уравнение , для чего сначала продифференцируем егопо x2. Тогда получим уравнение
Полагая в этом последнем уравнении 
и 
, приходим кдифференциальному уравнению
или совсем простому уравнению
Следовательно ,
Подставив эту формулу для в приведенное выше продифференцированное
функциональное уравнение . Получим
Следовательно , 
Так как величины
совершенно произвольны , то аргументыфункций G в правой и левой частях могут принимать совершенно произвольные значения . Поэтому
а следовательно ,
где
- пока произвольные постоянные .Определение констант
Мы получили следующие формулыпреобразования координат и времен мгновенного точечного события :
Найдем константы
начнем с того , что выставим требование о согласовании начал отчетов
координат и времени в обеих системах отсчета 
и 
.
Требование 1. Событие , имеющее координаты 0 , 0 в системе отсчета ,
имеет координаты 0 , 0 в системе отсчета , и наоборот .
Следовательно , в приведенных формулах
, и формулыпреобразования приобретают следующий вид :
Приведенные формулы преобразования мы получили как следствия
наших шести основных соотношений . В них входят пока не определенные
нами величины
и 
.Подставив эти формулы преобразования обратно в исходные шесть
соотношений , мы можем найти ограничения на константы
и . Таксобственно говоря и получается . Действительно , имеем равенства
Как видим , чтобы эти равенства выполнялись , необходимо потребовать ,
чтобы константы
и были равны друг другу : 
Таким образом , искомые формулы преобразования координат мгновенного
точечного события имеют вид
где
- пока не определенная константа .Как и в случае преобразований Лоренца , воспользуемся тем , что
у нас имеется произвол в выборе единиц измерения либо длинны , либо
времени в обеих системах отсчета и . Чтобы фиксировать указанный произвол , выставим дополнительное требование .
Требование 2. Длина l движущегося в системе стержня , покоящегося
в системе , ориентированного вдоль оси
и имеющего в этой системе длину 
, т.е. 
.Рассмотрим движущийся стержень , все время покоящийся в системе отсчета
между точками от
с координатами 
и 
.Пусть в одинаковые локальные моменты времени
в системе отсчета Kлевый конец стержня совпал с точкой оси x, с координатой
(событие A), 
(событие B). Тогда 
Вычитая второе равенство из первого , с учетом условия
получаем 
и так как
согласно требованию 2 , то приходим к заключению ,что
Итак , мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений ,
аналогичных использованным Эйнштейном при выводе формул преобразований Лоренца , формулы преобразований Галилея :
4.13. Гипотеза эфира и гипотеза четырехмерного мира .
Подведем итог нашим рассуждениям . Исходя из условных в принципе процедур построения полей времени в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета , используя очевидные дополнительные требования о согласовании единиц измерения длинны и времени в обеих рассматриваемых системах отсчета , мы вывели как преобразования Лоренца , так и преобразования Галилея .