Лекции по физике (стр. 14 из 24)
Для подсчета тепловой энергии, запасенной молем вещества, нам надо взять интеграл:
.
При высокой температуре 
и экспоненту в знаменателе подынтегрального выражения можно разложить в ряд, ограничившись первым членом разложения: 
. Кроме того, куб скорости в знаменателе можно представить в виде:
.
Тогда для ET мы получим:
.
Таким образом, при высокой температуре молярная теплоемкость кристалла
,
и мы получаем закон Дюлонга и Пти. Как должно быть ясно из сказанного, это выражение справедливо лишь при достаточно высокой температуре, когда возможно разложение экспоненты в ряд с ограниченным количеством членов разложения.
Анализировать поведение теплоемкости при низких температурах мы не будем. Отметим только, что в качестве “граничной” температуры вводится так называемая температура Дебая q, которая определяется условием: 
. При температурах 
необходимо учитывать эффекты квантования энергии.
14.1. Преобразования Лоренца
Y Y’  K K’  v O O’ X,X’ |
До сих пор у нас не возникало необходимости переходить из одной системы отсчета в другую при больших скоростях относительного движения этих систем. Потому мы пользовались преобразования Галилея, не учитывающими релятивистские эффекты. Но теперь нам понадобятся преобразования Лоренца. При движении со скоростью v некоторой системы K’ вдоль оси OX “неподвижной” системы K они имеют вид:
; 
;
; 
.
Мы выписали прямые и обратные преобразования. Отмеченные штрихами величины относятся к движущейся системе отсчета.
Чтобы немного привыкнуть к этим преобразованиям, решим две частные задачи, не имеющие прямого отношения к волнам.
Рассмотрим движение некоторого стержня вдоль оси OX. Свяжем с ним движущуюся систему отсчета K’. Его длина в этой системе отсчета 
. Заметим, что, поскольку стержень в этой системе неподвижен, координаты его концов могут быть определены в произвольные моменты времени - координаты не изменяются во времени. Обратите внимание на это существенное обстоятельство.
Получим теперь выражение для длины стержня в неподвижной системе отсчета. Запишем такое выражение:
.
Чтобы определить длину движущегося стержня в неподвижной системе отсчета, нам следует определить координаты его концов в один и тот же момент времени, т.е. положить 
. При этом условии 
- длина стержня в неподвижной системе отсчета. Таким образом, длина движущегося стержня оказывается меньше его “собственной” длины:
.
В таком случае говорят о лоренцовом сокращении длины движущегося стержня.
Предположим теперь, что в неподвижной системе отсчета произошли два события, разделенные промежутком времени 
. Например, это может быть промежуток времени между рождением и распадом некоторой нестабильной частицы. Считая, что частица движется со скоростью v, свяжем с ней систему отсчета. В этой системе промежуток времени между событиями, которые, заметим, в ней произошли в одной и той же точке с координатой x’, будет:
;
.
В таком случае говорят о замедлении хода часов в движущейся системе отсчета.
Это замедление хода часов (или хода времени) приводит к любопытному эффекту. Исследуя некоторую нестабильную частицу, мы можем измерить ее “время жизни” t¢ которое является характеристикой частицы, а не системы отсчета. Если такая частица после рождения движется со скоростью v, мы можем подумать, что до момента распада она пройдет путь vt¢ - от рождения и до распада в связанной с частицей системе отсчета пройдет время t¢. Между тем пройденный за это время путь мы, естественно, измеряем в неподвижной системе отсчета. И тогда этот путь окажется намного больше, если скорость частицы близка к скорости света:
.
Так что, измеряя пройденное от момента рождения частицы до ее распада расстояние, можно непосредственно проверить вывод о замедлении хода времени в движущейся системе отсчета.
14.2. Эффект Допплера
   v  з  |
 |
 |
При излучении волны движущимся источником частота излученной волны не совпадает с частотой колебаний источника. Соответственно, воспринимаемая движущимся приемником частота колебаний не совпадает с частотой колебаний, распространяющихся с волной. Связанные с переходом из одной системы в другую изменения частоты и волнового вектора носят название эффекта Допплера.
Рассмотрим процесс отражения электромагнитной волны от движущегося навстречу ей зеркала.
На рисунке представлены электромагнитные волны до и после отражения. Перейдем в систему отсчета, связанной с движущимся зеркалом.
Подставим в выражение для падающей на зеркало волны значения t и x и проведем перегруппировку сомножителей:
.
В аргументе падающей на зеркало волны в движущейся K’ системе
;
.
Такой представляется волна наблюдателю, движущемуся вместе с зеркалом.
Проделаем те же операции с аргументом отраженной волны, распространяющейся направо:
.
Естественно, в этих выражениях w¢ и k¢ одни и те же: в связанной с зеркалом K’ системе волна отражается без изменения частоты и волнового числа. Поэтому
; 
.
С помощью этих равенств мы можем выразить значения w2 и k2 через частоту и волновое число падающей волны w1 и k1:
;
.
При преобразованиях мы воспользовались выражением 
.