Функция распределения электронов (стр. 2 из 2)
 |
Соответствующая замена переменных произведена непосредственно в уравнении (8). В дальнейшем мы всегда будем пользоваться следующими сокращенными обозначениями: 
(9)Уравнение Лиувилля в этих обозначениях записывается в виде:
 |
(10)
Из уравнения (10) следует, что интеграл от функции fN по всем координатам и скоростям является постоянным во времени. Поэтому функцию fN можно нормировать следующим образом:
 |
(11)
После такого формального введения уравнения Лиувилля мы должны дать физическую интерпретацию понятия ансамбля. Среди авторов, обсуждавших эту проблему в литературе, до сих пор имеются некоторые разногласия, в особенности эти разногласия касаются известной эргодической теоремы [2]. Мы не хотим здесь вдаваться в подробности этой весьма бесплодной дискуссии, тем более что недавно были высказаны некоторые сомнения в применимости этой теоремы к реальным физическим системам [З]. Мы будем считать, что для макроскопического наблюдателя невозможно по одному измерению получить сведения о системе, первоначальное состояние которой определено «макроскопически» (мы ниже вернемся еще к понятию «макроскопическое определение»). Единственное, что можно предсказать, это средний результат на основе большого числа измерений, полученных для одной и той же макроскопической системы. Предположим, что это среднее значение имеет вес, равный функции распределения fN . Эта функция для момента времени t=0 должна быть построена так, чтобы она согласовывалась с имеющейся макроскопической информацией о системе. Однако вследствие большого числа частиц в системе результат любого измерения будет очень близок к среднему значению измеряемой величины для ансамбля (ошибка приблизительно порядка N-1). Последнее утверждение никогда не доказывается, но является вполне естественным.
Из этого обсуждения можно сделать следующий вывод: наблюдаемое значение любой макроскопической динамической вeличины есть среднее значение соответствующей микроскопической величины с весом fN:
 |
(12)
Заметим теперь, что информация, заключенная в fN , в действительности оказы-вается излишней. Для всех величин, характеризующих макроскопическое состояние системы, таких, как плотность, гидродинамическая скорость и т. д., величина А (х, v) является функцией положения и скорости очень небольшого числа частиц (скажем, одной, двух и т. д.) по сравнению с полным числом частиц системы. Поэтому весом для функции А в (12) в действительности является интеграл от fN , по всем частицам, за исключением тех, от которых зависит А. Такие интегралы называются приве-денными, s-частичными функциями распределения. Определяются они формулой:
 |
(13)
Множитель N!/(N-s)! является удобным по следующим причинам. Если интерпретировать fN как вероятность, то функция fs определенная без такого множителя, соответствовала бы вероятности нахождения определенной частицы 1 в точке (x1,v1), частицы 2 в точке (x2,v2) и т. д. Однако в больших физических системах из одинаковых частиц все частицы равноправны; данные макроскопические свойства определяются набором частиц в целом независимо от их нумерации. Поэтому удобно умножать интеграл от функции fN на такой множитель, который представлял бы число способов выбора s частиц из полного числа частиц N.
Наиболее важные макроскопические величины выражаются через эти функции так [4, 5]:
Плотность в точке x
 |
(14)
Локальная (гидродинамическая) скорость в точке х
 |
(15)
Локальная плотность энергии в точке x
 |
(16)
Корреляция плотности между точками x и x’
 |
(17)
В дальнейшем будут определены другие средние величины:
В многокомпонентных системах необходимо дополнительно определить приведенные функции распределения. В системе, состоящей из s компонент, имеется s типов одночастичных распределений:
 |
Это обозначение, очевидно, относится к частице 1 типа s. Аналогично имеется всего 1/2s (s + 1) типов двухчастичных распределений:
 |
Эта функция соответствует распределению частицы 1 типа s и частицы 2 типа s’. Обобщение определений (14) — (16) в этом случае приводит к следующим соотношениям:
 |
(14a)
Локальная скорость в точке х
 |
(15a)
Локальная плотность энергии в точке х
(16a)
Рассмотрим еще три других типа приведенных функций распределения: приведенную s-частичпую функцию распределения по скоростям,fs ; приведенную s-частичную функцию распределения по координатам, ns; приведенную г-частичиую по скоростям и s-частичную по координатам функцию распределения (s¹r).Эти функции определяются следующим образом:
 |
(18)
 |
(19)
 |
(20)
Литература:
1.Р.Балеску “Статистическая механика заряженных частиц.”;
М.,”Мир” 1967г.