(31)
и задать начальное распределение давления в области D
p(x,y,z,0)=φ(x,y,z) (32)
то существует распределение давления p(x, y, z, t), и при том единственное, удовлетворяющее уравнению (29), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, и удовлетворяющее условия (31) и (32).
Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации.
Рассмотрим подробнее физический смысл тех или иных дополнительных условий.
Область, в которой ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающиеся с другими пластами и вскрывающими его скважинами. На непроницаемых границах должно удовлетворятся очевидное условие отсутствия потока - равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю:
un=0,
откуда, используя закон Дарси, получаем (33)
На участках границы с областями, в которых перераспределения давления практически не происходит (“области питания”), давление можно считать постоянным и известным, так что
р|Г = f(x, y , z). (34)
Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт граничит с высокопроницаемой областью,
запас жидкости в которой весьма велик. Давление на границе такой области близко к среднему давлению в ней и ввиду ее большого объема мало зависит от процессов, происходящих в исследуемой области. Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со все сторон обширной водоносной областью.
При рассмотрении нестационарных процессов в залежи давление в водоносной области можно считать постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области постоянного давления не является абсолютным. Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на большую область они распространяются.
Часть границы области фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей. На этой части границы чаще всего задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия зависит от режима работы скважины или галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь с расходом жидкости. Задание потока жидкости согласно закону Дарси эквивалентно заданию нормальной производной от давления.
Условия этого типа выполняются на тех участках границы, через которые может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки D мала, а давление р¢ за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадью ds составит . Это количество жидкости должно быть равно
где un - нормальная проекция скорости фильтрации на рассматриваемом участке границы. Отсюда имеем
(35)
т.е. условия третьего рода.
Все три типа условий являются частными случаями общего условия (31). Таким образом, задавая начальное распределение давления указанные условия на границе, получаем однозначно разрешимую задачу.
2.3. Уравнения безнапорной фильтрации
несжимаемой жидкости
Под безнапорным фильтрационным движением понимают движение со свободной поверхностью, на которой давление жидкости постоянно и равно внешнему атмосферному давлению. Наиболее часто приходится встречаться с безнапорным движением подземных вод; безнапорное движение нефти встречается сравнительно редко, только при шахтной добыче.
Рассмотрим безнапорное движение в однородной и изотропной пористой среде, область течения будем предполагать ограниченной снизу непроницаемой и криволинейной поверхностью - водоупором.
Закон Дарси в рассматриваемом случае можно записать в виде:
(36)
Величина С, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации, =- напором, а функция Сh- фильтрационным потенциалом. Заметим, что для безнапорного движения изменения давления обычно настолько малы, что пористую среду можно считать недеформируемой, а жидкость несжимаемой, так что С =const, rg = const.
В точной постановке исследование безнапорного фильтрационного движения представляет исключительные трудности математического характера; относящиеся сюда постановки задач и результаты можно найти в книге П. Я. Полубариновой-Кочиной [94]. Поэтому приходится обращаться к некоторым упрощенным постановкам.
Большое значение имеет приближенная постановка задачи о безнапорной фильтрации, соответствующая случаю движения, которое будем называть пологим. Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации uz мала сравнительно с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью в безнапорном фильтрационном движении является скорость С, то горизонтальная компонента скорости фильтрации может быть либо порядка С, либо малой сравнительно с С. В обоих случаях ясно, что вертикальная компонента uz мала сравнительно с С, т. е.
(37)
Это неравенство можно переписать еще так:
| |
(38)
Но представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена фильтрацией жидкости. Неравенство (38) показывает таким образом, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления мала сравнительно с гидростатическим градиентом давления. Поэтому распределение давления по вертикали можно в случае пологих движений считать гидростатическим.
Выведем важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через H- расстояние от свободной поверхности до горизонтальной плоскости z = 0; очевидно, dh/dt = dH/dt. Объем жидкости, заключенной в объеме V, равен
(39)
где площадка S представляет собой проекцию объема на горизонтальную плоскость. Изменение количества жидкости в объеме V за бесконечно малый промежуток времени dt равно поэтому
(40)
Вместе с тем это изменение равно притоку жидкости в объем V извне за время dt, равному
(41)
где g - замкнутый контур, ограничивающий площадку S, а un - нормальная компонента вектора потока , определяемого соотношением
(42)
Приравнивая (40) и (41) и используя формулу преобразования контурного интеграла в интеграл по площади
получаем (43) откуда, пользуясь произвольностью площадки S, находим уравнение
(44)
Согласно закону Дарси, скорость фильтрации определяется соотношением (36)
Поскольку, по предыдущему, давление распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, величина = вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна Н:
(x, y, z, t) = H (x, y, z, t) + O (uz/C); =C grad H + O(uz). Таким образом, скорость можно, пренебрегая малыми величинами, вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (42), определяющем вектор Тогда получаем = – Сh grad H. (45) Представляя (45) в (44), имеем
(46)
В это уравнение следует подставить соотношение
H(x, y, t) = h(x, y, t) + h0 (x,y),
