Физика 9-10 класс

18.10.2010

Лекция 1

Волны

1. Введение

2. Что такоеволна. Какиебывают волны

2.1. Синусоидальныеволны. Распространениеколебаний

2.2. Волна плоская,цилиндрическая,сферическая

2.3. Волны продольныеи поперечные.Поляризация

Лекция 2

3.1. Возникновениеволны. Группаволн

3.2. Точечныйисточник волн

3.3. Множествоточечных источников

Лекция 3

3.4. Периодическирасположенныеточечные источникиволн

3.5. “Точный”расчет угловогораспределения

потока энергииот системыисточников

3.5.1. Непрерывноераспределениеисточников

3.5.2. Излучениепары точечныхисточников

3.5.3. Излучениецепочки периодически

расположенныхисточников

Лекция 4

4. Законы геометрическойоптики

4.1. Прямолинейностьраспространениясвета. ПринципФерма

4.2. Отражениесвета. Плоскоезеркало

4.3. Сложениегармоническихколебаний

Лекция 5

4.4. Эллиптическоезеркало.

Уточненнаяформулировкапринципа Ферма

4.5. Сферическоезеркало

4.6. Параболическоезеркало

4.7. Закон преломлениясвета

4.7.1. Скоростьсвета в веществе

Лекция 6

4.7.2. Преломлениесвета

4.7.3. Дисперсияи поглощениесвета

4.7.4. Групповаяи фазовая скоростисвета в веществе

4.7.5. Аномальнаядисперсия

Лекция 7

5. Распространение(плоской) волны.Некоторые“тонкости”

6.1. Отражениесвета на границераздела двухсред.

Угол Брюстера

6.2. Полное отражение

Лекция 8

7. Линза

7.1. Фокусныерасстояниедля сферическойповерхности

7.2. Фокусноерасстояниелинзы

7.3. Фокусноерасстояниелинзы. Другойподход

7.4. Построениеизображенияпредмета. Увеличение

Лекция 9

8. Интерференция

8.1. Двухлучеваяинтерференция.Точечные источники

8.2. Опыт Юнга.Когерентностьволн

8.3. Длина когерентности

8.4. Линии равногонаклона

Лекция 10

8.5. Линии равнойтолщины

8.6. Интерферометры

8.6.1. ИнтерферометрЛинника

8.6.2. ИнтерферометрРэлея

8.6.3. ЗвездныйинтерфероментрМайкельсона

8.6.4. ИнтерферометрФабри-Перо

Лекция 11

8.6.5 ИнтерферометрФабри-Перо.

Угловое распределениеамплитудыпроходящейволны

9. ДифракцияФраунгофера

9.1. Дифракцияна щели

9.2. Дифракционнаярешетка

9.3. Дифракционнаярешетка какспектральныйприбор

Лекция 12

10. Дифракцияна кругломотверстии

10.1. Зоны Френеля

10.2. Обсуждениеполученныхрезультатов.Зонная пластинка

10.3. Линза какдифракционныйприбор

10.4. Пятно Пуассона

Лекция 13

11.1. Свет поляризованныйи неполяризованный.Закон Малюса

11.2. Одноосныекристаллы

11.3. Скрещенныеполяризаторы

11.4. Двойноелучепреломление

11.5. Поляризаторы

Лекция 14

11.6. Анализ поляризованногосвета

11.7. Естественноевращенниеплоскостиполяризации

11.8. Эффект Зееманаи поляризация

11.9. Искусственноедвойное лучепреломление

Лекция 15

12. Тепловоеизлучение

12.1. Основныепонятия. ЗаконКирхгофа

12.2. Плотностьлучистой энергии

12.3. Лучистаяэнергия

12.4. Формула Планка

Лекция 16

12.5. Закон Стефана-Больцманаи закон Вина

12.7. Оптическаяпирометрия

13.1. Теплоемкостькристаллическойрешетки

Лекция 17

13.2. Теплоемкостькристаллическойрешетки. Продолжение

14.1. ПреобразованияЛоренца

14.2. Эффект Допплера

14.3. Поперечныйэфект Допплера.Аберрация

Лекция 18

15. Фотоны

16. Примерыиспользованияпонятия фотона

16.1. Опыт Боте

16.2. Энергетическиесоотношения

16.3. Эффект Комптона

Лекция 19

17. Гипотеза деБройля

18.1. Дифракцияэлектрона надвух щелях

18.2. Соотношениянеопределенностей

18.3. УравнениеШрёдингера

Лекция 20

18.4. Стоячая волна

18.5. Физическийсмысл волновойфункции

19.1. Как нам этообъясняют

Лекция 21

19.2. Как нам этопонимать

19.3. ПарадоксБольцмана

19.4. Химическиеэлементы

19.5. Нормированиеволновой функции

Лекция 22

20. Стоячие волны.Рефракция

21. “Внутреннеедвижение”квантовогосостояния

22. Квантованиемомента импульса

23. Классическийгироскоп вмагнитном поле

Лекция213

Лекция 2

3.1. Возникновениеволны. Группаволн

Пожалуй,самыми нагляднымиявляются волнына поверхностиводы. Их можнопросто увидетьневооруженнымвзглядом. Прикаких условияхвозникают такиеволны? Прощевсего броситькамень, скажем,в пруд со спокойнойповерхностьюводы. От местападения камняначнет распространятьсяволна, которуюможно назватькольцевой. Ееамплитуда взависимостиот расстояниядо точки падениябудет изменятьсятак же, как и уволны цилиндрической.

Однако,это не совсемтакая волна,о которой мыговорили.Синусоидальнаяволна не должнаиметь началаили конца, чего,конечно, нельзясказать о волне,возникшей припадении камняв воду.

x

0 r

В этом случаебудет распространятьсятак называемая“группаволн”. Выбравнекотороенаправление,мы увидим волнус возрастающейи затем убывающейамплитудой.В оптике такуюволну называютцугом.Почему онаназываетсягруппой должнобыть понятноиз дальнейшего.

Совсемне обязательно,чтобы такаягруппа волнимела показаннуюна рисункединамику увеличенияи уменьшенияамплитуды,показанныйпрофиль. Длянас важнеепонять, почемуволна в этомслучае имеетназвание “группы”.Для этого надовспомнитьвозникновениебиений, которыенаблюдаютсяпри сложенииколебанийблизкихчастот. Разностьфаз таких колебаний

изменяетсядостаточномедленно. Междумоментами,когда амплитудасуммарныхколебаний

со среднейчастотой

обращаетсяв нуль, проходитдостаточномного (по сравнениюс периодомколебаний)времени:

; ;

,

посколькуразность частотколебаний многоменьше среднейчастоты:

.Поэтому мынаблюдаемприблизительногармоническиеколебания смедленно изменяющейсяамплитудой.Амплитудойв этом случаеназываетсяпроизведениеподчеркнутыхсомножителейв выписанныхвыше выражениях.

Предположимтеперь, чтовдоль некоторогонаправленияраспространяютсяплоские волныс близкимидлинами волн.Соответственнои частотыраспространяющихсяс ними колебанийбудут близкими.В каждой точке,например, вточке x= 0 будутнаблюдатьсябиения:

.

С другойстороны, вфиксированныймомент времени(пусть t= 0) мыполучим такойпрофиль волны:

.

В этомвыражении

,k- среднее значениеволновогочисла. Обратитевнимание насходство выражения,описывающеепрофиль нашейволны, и выражения,которое описываетпроцесс биений.

Дляпроизвольныхзначений времении координатымы получимтакое выражение:

.

В общемто, мы простозанималисьнекоторымитригонометрическимипреобразованиями.Но получиливесьма любопытныйи очень важныйрезультат. Хотяего важностьобнаружитсяеще нескоро.

Зададимсявновь вопросом:чему равнаскоростьраспространенияволны? Оказывается,ответ на этотвопрос неоднозначен.Для синусоидальнойволны это скоростьдвижения точкис постояннойфазой:

.

Это такназываемаяфазовая скорость.Но предположим,мы хотим измеритьскоростьраспространенияволны. Вообщеговоря, дляэтого создаетсянекоторыйимпульс (группаволн, волновойпакет, цуг) иизмеряетсявремя прохожденияим некоторогорасстояния.Но тогда мыопределимскорость волныкак скоростьперемещенияне точки с постояннойфазой, а точкис постояннойамплитудой(подчеркнутаягруппа сомножителейв выписанномвыражении):

; .

Посмотримкогда и почемуэти скоростиоказываютсяразличными.

Продифференцируемфазовую скорость,например, поволновому числуk:

.

x

0 X

Волновыепакеты прираспространении

двухсинусоидальных волн с близкими

частотами(длинами волн).

Таким образом,фазовая и групповаяскорости различаются,если перваязависит отволнового числа(производная отлична отнуля), а посколькудлина волны ,можно сказатьи иначе: этискорости различны,если фазоваяскорость зависитот длины волны.А если бы мыпроизвелидифференцированиепо частоте, мыбы говорилио зависимостифазовой скоростиот этой последнейкак об условиинесовпаденияфазовой и групповойскоростей.

Собственно,при гидролокации,радиолокациии проч. мы имеемдело именнос групповойскоростью, мыизмеряем именногрупповую, ане фазовуюскорость, такчто это оченьважное понятие.

Подведемнекоторый итогэтой частиразговора оволнах. Еслинаблюдаетсясумма колебанийразличныхчастот, тообнаруживаетсяизменениеамплитуды вовремени. Справедливои обратноеутверждение:если амплитудаколебанийнепостоянна,значит мы имеемдело с суммойнесколькихколебаний.Применительнок волне этоозначает, чтопри распространениинекотороговолновогоимпульса мынаблюдаемраспространениенесколькихволн, некоторойих группы. Скоростьраспространенияимпульса потомуи называетсягрупповой.Количествосинусоидальныхволн, образующихимпульс (волновойпакет, группуволн, цуг) можетбыть как конечным(минимум - две),так и бесконечным.

Заметимеще, что фазоваяскорость можетоказатьсябольше скоростисвета в вакууме,что невозможнодля групповойскорости. Приопределенныхусловиях этискорости вообщемогут бытьразного знака.

3.2. Точечныйисточник волн

Y XИтак, чтобыполучить круговыеволны на поверхностиводы нам необходимосоздать некотороевозмущениев точке, котораябудет центромкругов, образованныхфронтами. Чтобыэта волна имелаопределенную(единственную)частоту необходимонепрерывное(периодическое)возмущение.Его можно осуществитьс помощьюколеблющегосяв вертикальномнаправлениизакрепленногона стержнешарика подходящихразмеров. Вообщеговоря, такаяволна все-такине будет синусоидальной- ее амплитудабудет обратнопропорциональнойкорню квадратномуиз расстояниядо начала координат,как это следуетиз закона сохраненияэнергии. Обратитевнимание наочевидное, новесьма важноедля дальнейшегообстоятельство:причинойвозникновенияволны являетсяне само движениешарика, а периодическоевозмущениеповерхностиводы в точкевозникновенияволны.

Волнына поверхностиводы, стоячиеволны при колебанияхструны весьманаглядны иразговор оволнах традиционноначинаетсяс этих волн. Нонамного важнеедля нас другиеволны, например,электромагнитные(световые).Непосредственноувидеть ихнельзя (несмотряна то, что видиммы именно свет),но для пониманияи/или обсчетанекоторыхоптическихявлений важнохорошо представлятьсебе волны“вообще” независимоот их природы.И поняв нечтоприменительнок волнам наповерхностиводы, мы с большейвероятностьюсознательно,а не формально-математическисможем говоритьо волнах другойприроды.

При какихусловиях можетвозникнутьэлектромагнитнаяволна? Электромагнитноеизлучениепропорциональноускорениюзаряда. Еслиускорение,например, направленовдоль оси OZ,электрическоеполе на перпендикулярнойк оси прямойна расстоянииrпропорциональноэтому ускорению.Соответствующеевыражение имеетвид:

.

Доказательствосправедливостиэтого выражениядостаточносложно, и мызаниматьсяэтим не будем.А выписано оноздесь преждевсего для того,чтобы можнобыло обсудитьодно весьмаважное обстоятельство.

Преждевсего важно,что множительпри ускорении

обратно пропорциональнорасстояниюr.Это согласуетсяс выписаннымнами ранеевыражениемдля амплитудысферическойволны. Этообеспечиваетвыполнениезакона сохраненияэнергии. Ноособенно любопытназависимостьот времени.

Нас,естественно,интересуетзначениенапряженностиэлектрическогополя в определеннойточке в определенныймомент времени

.Но определяетсяэто значениеускорениемв некоторыйдругой, болееранний моментвремени .Обусловленоэто временнойзадержкойвызванногоускореннымдвижениемзаряда возмущения,связанной сконечностьюскоростираспространениясвета c.Эта задержка .

+

I

-

При изучениивозникновенияи распространенияэлектромагнитныхволн большуюроль сыгралвибратор (илидиполь) Герца.Он представляетсобой два стержняс шариками наконцах, стержниподключаютсяк индукционнойкатушке - источникувысокого напряжения.Когда напряжениемежду стержнямистановитсядостаточнобольшим, междушариками проскакиваетискра. И существенно,что вольтампернаяхарактеристикаискровогоразряда имеетотрицательноедифференциальноесопротивление.

Мы с Вамирассматривализадачу о возникновенииколебаний вLC -контуре привключении внего элементас отрицательнымдифференциальнымсопротивлением.Вибратор Герцаможно рассматриватькак колебательныйконтур, “открытый”колебательныйконтур. Емкостьюв таком контуреявляется емкостьмежду стержнями,преимущественномежду их концами,на которых инакапливаютсязаряды приколебаниях.Сами стержниобладаютиндуктивностью.Контур называетсяоткрытым, посколькув отличии от“обычного”конденсатораего поле нелокализованов ограниченномпластинамиконденсатораобъеме, а вокружающемстержни пространстве.

Приколебаниях,разумеется,в стержняхпроисходитускоренноедвижение зарядов(электронов),с их движениемможно, разумеется,связать электромагнитноеизлучение. Нопонятнейпредставляетсятакое объяснение.В окружающемвибратор пространствевозникаетпеременноеэлектрическоеполе. В результатевозникаетизменяющеесяво временивихревое магнитноеполе, оно вновьрождает такжевихревоеэлектрическоеполе и т.д. Возникаетэлектромагнитнаяволна.

Длинастержня примерноравна четвертидлины волны,длина обоихстержней - l/2.Вспомним, чтопри такой некоторойдлине струнына ней укладываетсятакже половинадлины волны.Удивительное,но не случайноесовпадение.

3.3. Множествоточечных источников

Предположим,что волны наповерхностиводы возбуждаютсяколебаниямидлинного стержня.Стержень параллеленповерхностиводы и совершаетколебания ввертикальномнаправлении.На расстоянияхменьше длиныстержня в такихусловиях будутнаблюдатьсяплоские волны.

q

Стерженьможно представитьсебе как совокупностьтесно друг кдругу, непрерывнорасположенныхточечных источниковволны, заменить,например, большимколичествомприжатых другк другу шариков.Вид возникающейпри этом волныне изменится,но появляетсявозможностьпровести важныерассуждения.

Множествоточечных источниковсоздает, естественно,множествокруговых волн.Как мы видим,при тесномрасположенииисточниковполучаетсяплоская волна.Каким образом?

l/2

d

q

При распространенииплоской волныпроисходитдвижение энергиив направлениинормали к фронту.Поэтому ответна вопрос, почемуволна плоская,заключаетсяв ответе навопрос, почемуэнергия нераспространяетсяв каком-то иномнаправлении,составляющемугол qс нормалью коси стержня.Ответом на этотвопрос мы сейчаси займемся.

Если унас имеетсямножествонепрерывнорасположенныхточечных источников(круговых) волн,мы всегда можемвыбрать паруисточников,расположенныхна некоторомнужном намрасстояниидруг от друга.Выберем паруисточниковна таком расстоянииd,чтобы выполнялосьусловие

.Далее, на достаточнобольшом расстоянииот источниковмалый участокфронта круговойволны можносчитать плоским,как это показанона рисунке. Ирасстояниемежду гребнямиволн двух источников,относящихсяк одному моментувремени излучения,будет равноl/2.Это означает,что в выделеннойобласти вызванныедвумя нашимиточечнымиисточникамиколебанияпроисходятв противофазе.Амплитудыколебанийпримерно одинаковыеи при их сложениимы получимнуль. В этомнаправленииэнергия распространятьсяне будет.

Y

r₀

2

y+dy

y 1 q

Предположимтеперь, чтофазы колебанийточечных источниковцилиндрическихили кольцевыхволн неодинаковы,изменяютсявдоль стержня,являясь функциейкоординатыj(y).Запишем условиеравенства фазколебаний,приходящихс волной източек 1 и2 вудаленную зонунаблюдения:

; ;

;

;

.

Сталобыть, при изменяющейсявдоль оси OYфазе колебанийj(y)излучениебудет распространятьсяв направлениипод углом q,определяемымвыписаннымусловием.Естественно,при неизменнойфазе dj/dy= 0 иизлучениенаправленопо нормали - вэтом случаеq= 0.

Лекция318

Лекция 3

3.4. Периодическирасположенные

точечные источникиволн

Рассмотриминтересныйи весьма важныйдля практикислучай, когдаточечные источникиволн расположеныв виде цепочки.Пусть расстояниемежду источникамиdсоставляетнесколько длинволн и разностьфаз колебанийравна нулю.

d

Применимту же техникурассуждений,что и для случаятесного (непрерывного)расположенияточечных источников.Рассмотримсначала нормальноек цепочкенаправление.

На достаточнобольшом удаленииот источниковузкий (несколькорасстояниймежду источниками)участок фронтакольцевой волныможно считатьплоским (прямолинейным).Колебания ототдельныхисточников,расстояниядо которыхпримерно одинаковы,будут происходитьв выделеннойобласти наблюденияв фазе, усиливаядруг друга. Вэтом направлениибудет распространятьсяплоская волна.

q

Но естьнаправления,в которыхраспространенияволны происходитьне будет. Попробуетдогадаться,каким можетбыть такоенаправление.

Будемпостепенноувеличиватьугол q.При этом в достаточноудаленной отцепочки источниковобласти наблюдения станет нарастатьразность фазколебаний,вызванныхразными источниками.Пусть при некоторомзначении углаqбудет выполнятьсяусловие

; ,

где N- количествоисточниковв цепочке. Еслирасстояниемежду источникамиdпорядка несколькихlи количествоисточниковвелико (например,более ста), значение угла qбудет оченьмаленьким. Нарисунке этотугол показандостаточнобольшим, правдоподобномаленькимизобразитьего нам не удастся.

При этомусловии колебанияот первогоисточника волни от источникас номером N/2в области наблюдениябудут происходитьв противофазе,погасят другдруга. Колебанияот второгоисточника будутпогашены колебаниямиот источникас номером N/2+1и т.д. Следовательно,такая цепочкабудет излучатьволну в пределахчрезвычайномалого угла±q.Мы получимпрактическиплоскую волну.

Однако,при выбраннойнами величинерасстоянияdпорядка несколькихдлин волн этоне будет единственнымнаправлениемраспространенияволны и, соответственно,потока энергии.Действительно,если выполняетсяусловие

,

где k- целое число,то колебанияот отдельныхисточниковв области наблюдениябудут происходитьс разностьюфаз 2pk,т.е. будут складываться,усиливать другдруга. В этихнаправлениях,как и в направлениинормали к линиирасположенияисточников(q= 0), будетраспространятьсяпримерно плоскаяволна. Этинаправленияназываютнаправлениямина главныемаксимумыk-тогопорядка.

Большимзначениям kсоответствуютбольшие разностирасстоянийдо областинаблюдения.Естественно,эта разность(разность хода)не может статьбольше чем d.Поэтому максимальноезначение порядкамаксимума kопределяетсяусловием

.

Для полученияузкого пучкарадиоизлученияиспользуетсяантенна срасположеннымив ряд дипольнымиизлучателями.Если создатьнекоторуюразность фазколебанийсоседнихосцилляторов,направленияглавного максимуманулевого порядкабудет отличатьсяот нормали(этот эффектмы обсуждалидля тесного,непрерывногорасположенияточечных источников).Таким способомможет бытьосуществленоизменениенаправлениярадиоизлучения(сканирование)без поворотаантенны.

3.5. Расчет угловогораспределения

потока энергииот системыисточников

3.5.1. Непрерывноераспределениеисточников

X

b

dx

0

DL q

В случаевозбужденияволн на поверхностиводы такоерасположениеточечных источников,колебаниякоторых происходятв фазе, обеспечиваетсявертикальнымиколебаниямипараллельногоповерхностиводы стержня.Рассмотримизлучение,вызванноеколебаниямистержня конечнойдлины, равнойb.

Положениеточечногоисточникаопределяетсяего координатойx,амплитудаколебанийпропорциональнаdx.Чтобы найтиамплитудуколебаний вудаленной отстержня областинаблюдениянеобходимопровести сложениеколебаний отвсех источников(интегрированиепо отрезку 0b):

.

У насполучилосьдовольно громоздкое“многоэтажное”выражение, всмысле которогонам надо разобраться.Во-первых, изэтого выражениявидно, что, каки должно былобыть, в некоторойобласти (точке)наблюденияпроисходятколебания счастотой wи некоторойначальнойфазой. В выражениедля амплитудыэтих колебанийвходит множительx₀.В принципе, онможет бытьвыражен черезамплитудуколебанийвблизи стержняс помощью законасохраненияэнергии. Но онне представляетдля нас особогоинтереса, каки начальнаяфаза колебаний.Нужное же намугловое распределениепотока энергииопределяетсямножителем

.

0 q 0 q 0 q

В числителеэтого выражениястоит синусзнаменателя.Поэтому, еслизнаменательобращаетсяв нуль при q= 0, будетA = 1.При измененииqв пределах ±p/2величина

периодическипринимаетнулевое значениеи затем достигаетмаксимумов.Величина модуляAв максимумепо мере увеличениимодуля qуменьшается,поскольку синусот некоторойвеличины изменяетсямедленнее, чемсама эта величина.Вид зависимости

при разныхотношенияхb/lпредставленна рисунке.

3.5.2. Излучениепары точечныхисточников

Ранеемы рассматривалисуммарныеколебания отсистемы точечныхисточниковв некоторойдостаточноудаленнойобласти наблюдения.При этом мы неопределяли,по сравнениюс чем это удалениевелико. Собственно,рассматриваяпараллельныелучи, мы неявносчитали, чтообласть наблюдениянаходится набесконечности.

Рассмотримтеперь колебанияот уединенногоисточника вточках плоскости,отстоящей отнего на большое,но конечноерасстояниеl.При этом мыограничимсянебольшим посравнению сlсмещением точкинаблюденияот точки паденияперпендикуляра,проведенногоот источникаволн Sк плоскости,при малых значенияхx.

X

l x

S q DL

x_S

l q/2

Проведемот источникаволн отрезокпрямой в точкунаблюденияс координатойx иперпендикулярк оси координат.Величина x_S- это x-координатаисточника.Мы получилипрямоугольныйтреугольник.Отложим отточки расположенияисточника вдольгипотенузытреугольникаотрезок длинойl исоединим конецэтого отрезкас точкой x_S,точкойпадения перпендикуляра.Угол при вершинепостроенноготаким образомравнобедренноготреугольника ,а основаниесоставляетс осью 0Xугол q/2.Таким образом,разность ходалучей

.

Соответственно,разность фазколебаний вэтих точках

.

В этомвыражении

- разностьx-координатточки наблюденияи источникаволн.

X

x

S’

d 0

S”

Полученноевыражениеявляется длянас вспомогательным.Применим егодля решениязадачи об амплитудеколебаний,созданных двумяточечнымиисточниками,расположеннымина расстоянииd другот друга и нарасстоянииl отплоскостинаблюдения.

Разностьфаз колебаний,созданныхнашими источникамив точке x,

.

В круглыхскобках записаныразности x-координатточки наблюденияи источниковволн. Послевозведенияв квадрат мыполучаем:

Dj

x

x₀

.

Произведемсложение этихколебаний спомощью векторнойдиаграммы. Фазарезультирующихколебаний насне интересует,а амплитуда

принимаетмаксимальныезначения 2x₀в точках, отстоящихдруг от другана

(при измененииаргументакосинуса наp).Центральныймаксимум наблюдаетсяпри x= 0.

3.5.3. Излучениецепочки периодически

расположенныхисточников

d q

Пусть теперьу нас имеетсяN точечныхисточниковволн, отстоящиходин от другогона расстояниеd порядканесколькихдлин волн. Вдостаточноудаленной отцепочки источниковобласти наблюдениявызванныесоседнимиисточникамиколебания будутпроисходитьс разностьюфаз

.

На векторнойдиаграммепредставляющиеколебания отсоседних источниковвекторы будутповернуты поотношению другк другу на такойугол.

j/2 x

Nj/2

R j

x₀

Эти векторыобразуют ломаную,вписанную вокружностьрадиуса R.Если амплитудаколебаний отодного источникав области наблюденияравна x₀,то

и дляамплитудысуммарныхколебаний мыполучаем выражение:

.

При q= 0 будетj= 0 и x_0S= Nx₀- векторы расположенывдоль прямой,посколькуразность фазколебаний отсоседних источниковравна нулю. Нопри большихзначениях Nуже при малыхq(и, соответственно,j)амплитудасуммарныхколебанийобращаетсяв нуль:

; .

Такимобразом, внаправленииj= 0 будетраспространятьсяпрактическиплоская волна.

Но будути другие направленияраспространенияпрактическиплоских волн.Для этих направленийдолжны выполнятьсяусловие

; -

разностьрасстоянийдо некоторой(любой!) точкидостаточноудаленнойобласти наблюдениядолжна равнятьсяцелому числудлин волн. Притакой разностихода векторына фазовойдиаграмме вновьвыстроятсявдоль прямой.

Этотрезультат мыполучили ранее,но теперь мыможем простоопределитьнаправленияближайших кданному максимумуk-тогопорядка минимумов.Для минимумовдолжны выполнятьсяусловия

.

Эти выражениясправедливыпри

;

(выполняетсяпервое условие),причем

(выполняетсявторое условие).При таких значенияхk’разность ходаот соседнихисточниковравна целомучислу волн:

, k = 0,1,2 ...

и наблюдаютсямаксимумыизлучения.

x_0S

0 q

На рисункепоказана зависимостьамплитудыколебаний отугла q.Линии настолькоузки и дополнительныемаксим стольмалы, что их нарисунке невидно. Криваяполучена дляколичестваисточниковN=200 иотношенияd/l=3,5.

Обратитевнимание: приувеличениимодуля qрасстояниемежду линиямиувеличивается.Это обстоятельствов дальнейшембудет для нассущественно.

Лекция425

Лекция 4

4. Законы геометрическойоптики

4.1. Прямолинейностьраспространениясвета.

Принцип Ферма

Физикав разных своихразделах частозанимаетсявопросамивесьма несхожими.В частностиоптика никакне представляетсялогическимпродолжениемпредыдущихразделов, которымимы с Вами занимались.И хотя светпредставляетсобой электромагнитнуюволну, разговоромо которой мызакончилипредыдущийраздел “Электричествои магнетизм”,вопросамиэлектромагнитнойприроды светамы будем заниматьсяне слишкоммного, нас скореебудет интересоватьсобственноволновая природасвета, а не то,что это волнаэлектромагнитная.

В своюочередь мы нестанем подробноговорить обоптике геометрической.Но основныеее законы, видимо,обсудить необходимо.Первым из нихявляется законпрямолинейностираспространениясвета. Выглядитон чрезвычайнопростым - междудвумя точкамисвет распространяетсявдоль прямой.И достаточноестественновозникаетвопрос такогорода: “А как жеиначе?”

Действительно,такой “способ”распространениясвета кажетсяболее чеместественным.Но в дальнейшемвозникнутдостаточносерьезныетрудности дляпонимания -когда мы встретимсяс отклонениямиот этого закона.Да и едва лиВам часто приходилосьнаблюдатьпрямолинейноераспространениеволны - прямолинейностьраспространенияи волноваяприрода, пожалуй,представляютсяскорее несовместимыми.Разве что такиедва примера.

Примерноплоскими являютсяморские волны,рожденныеветром и пришедшиек нам с оченьбольшого расстояния.Большое расстояниеи плоский характерволны представляютсянеразрывносвязанными.И еще такойпример. Возможно,в кинофильмахо войне Вамслучалосьобратить вниманиена непривычнуюдля современноговзгляда форму“динамиков”(тогда они называлисьрепродукторами)- этакая плоская“тарелка”. Вте времена ещене было созданомощных источниковзвука и достаточнохорошая слышимостьдостигаласьза счет созданияпо возможностиузко направленнойв нужном направленииплоской звуковойволны, амплитудаколебанийкоторой слабоуменьшаетсяс расстоянием.

Преждевсего следуетподробнеепоговоритьо том, что именномы понимаемпод направлениемили путемраспространениясвета. Важнымздесь оказываетсяпонятие луча.Часто говорят,что, например,солнечный лучможно легкоувидеть в слегказапыленномзатемненномпомещении, еслисвет проникаетв него черезнебольшоеотверстие. Илив тени деревамы можем видетьотдельныесолнечные“зайчики” -места падениялучей, прошедшихчерез промежуткимежду листьямикроны дерева.Такой “наблюдаемый”луч оказываетсяпрямолинейными о его отражениии преломленииобычно идетречь при постановкеэкспериментов.

Но мызнаем, что светимеет волновуюприроду и болеестрого лучемназываетсякривая (прямаяв частном случае),проведеннаяперпендикулярнокасательнымк фронтам волныв разных точках.Это уже достаточноабстрактноепонятие, то,что мы можемувидеть в слегказапыленнойкомнате, лишьприблизительносоответствуеттакому пониманиюлуча.

A *

* B

Итак, еслинет никакихпрепятствийи среда однородна,то луч светапрямолинеен.На рисунке мысоединяем точкиA и B прямой иговорим, чтосвет распространяетсявдоль этойпрямой. Изображенныепунктирнымиотрезкамикасательныек фронтам волныперпендикулярнылучу. Сами фронтыне обязательноплоские.

Заметим,что фронт волныобразуют точки,в которых фазыколебанийодинаковы.(Вспомним также,что фазой называетсяаргументгармоническойфункции.) Обычнорисуют линиипересеченияплоскостирисунка фронтами,на которыхдостигаетсямаксимум амплитудыколебаний. Втаком случаеговорят о гребняхволн.

Вдольпрямой расстояниемежду двумяточками минимально.Оказывается,что и в другихслучаях, когда,например, имеетсяотражающаяповерхность,путь распространениясвета оказываетсятаким, что вдольнего времядвижения волныминимально.Это утверждениеназывают принципомФерма - в простейшей,можно сказать,первоначальнойформулировке.Эту формулировкунам еще предстоитв дальнейшемуточнять.

4.2. Отражениесвета. Плоскоезеркало

Отражениесвета происходитна границе средс различными(фазовыми) скоростямираспространенияволны. Особыйинтерес представляетсобой границаметалл - вакуум.Внутри металлараспространениесвета, вообщеговоря, невозможно.

Рассмотримпроцесс отражениясвета от зеркальнойметаллическойповерхностиподробнее.

Сложностипри анализеоптическихявлений возникаютиз-за сложностисамих процессов.По мере углубленияих анализа намбудет необходимоучитывать всебольше разногорода тонкостейи особенностей.К таковым относится,например, поляризациясвета.

Мы говорили,что электромагнитная(световая) волнаназываетсяпоперечной- в ней колеблющеесяэлектрическоеполе направленоперпендикулярнолучу, перпендикулярнонаправлениюраспространениясвета. При этомвозникаетдостаточномного разныхвозможностейизменениянаправлениявектора электрическогополя вдоль лучасвета, типовполяризации.Простейшимявляется случайлинейно илиплоско поляризованногосвета, когданаправлениевектора

в некоторойточке или вдольнаправленияраспространенияостается неизменным.Им мы пока иограничимся.Более того,будем считатьвектор направленнымперпендикулярноплоскостичертежа, параллельноповерхностизеркала. В этомслучае (согласнограничнымусловиям длявектора электрическогополя) вблизизеркальнойповерхности равно нулю, чтосущественноупрощает наширассуждения.А рассуждениянаши будуттакими.

В направленииот точки Aк точке B’распространяетсяэлектромагнитнаяволна, встречающаяна своем путиметаллическоезеркало. Поддействиемэлектрическогополя в металлевозникаетускоренное(колебательное)движение электронов,и в результатевозникаетвторичноеизлучение.Результирующаяволна (или волны)есть результатсложения(суперпозиция)волны, пришедшейот точки A,и волны, котораяизлучаетсяэлектронамизеркала. Этапоследняятакова, чтосправа от зеркалаэлектрическоеполе равно нулю- колебанияэтих двух волнпротивоположныпо фазе, они“гасят” другдруга.

A A’

a₁

a₂

C

B B’

Вспомнимрезультат,который мыполучили дляизлученияцепочки непрерывнорасположенныхточечных источников- при линейномизменении фазыколебаний вдольцепочки излучениепроисходитпод некоторымотличном отp/2направлении.При “косом”падении волнына поверхностьзеркала фазаколебанийэлектронов,естественно,изменяетсяот точки к точке- расстоянияот источникасвета до этихточек различны.Поэтому и вторичнаяволна, излучаемаяколеблющимисяэлектронами,направленапод некоторымуглом к норамалик поверхностизеркала. И именнопод тем, подкоторым онана него падает.

Можнобыть уверенными,что справа ислева от зеркалаизлучениеколеблющихсяэлектроновсимметричны.Излучаемаявправо волнагасит исходнуюволну, а излучаемаявлево как рази являетсяволной отраженной.Как мы видели,фаза этой волныдолжна бытьпротивоположнафазе волныпадающей.

Волну,идентичнуюотраженной,мы могли быполучить поместивв точку A’такой же источниксвета как в A,но излучающийволну с противоположнойфазой. И этомслучае в плоскостизеркала (в плоскостисимметрии)напряженностьэлектрическогополя равна нулю- такие волны“гасят” другдруга в плоскостисимметрии, вплоскостизеркала. Амплитудаэлектромагнитныхколебаний равнанулю.

Привзаимодействииэлектромагнитнойволны с веществомс этим последнимвзаимодействуетименно электрическое,а не магнитноеполе. Поэтому,если из точкиA’происходитизлучение волныс противоположнойфазой и мы простоуберем зеркало,картина колебанийне изменится.

В связис изменениемфазы колебанийпри отраженииот зеркала наpвводится новыйдля нас термин- “потеряполуволны”.Он будет достаточнопонятен, есливспомнить, чтопри распространенииволны в отстоящихна l/2точках колебанияпроисходятв противофазе.

Законотраженияутверждает,что при отражениисвета луч падающий,луч отраженныйи перпендикулярк поверхностизеркала в точкеотражения лежатв одной плоскости.При этом уголпадения равенуглу отражения- a₁= a₂.Этот законможно считатьследствиемпринципа Ферма:длина ломанойACB,равная длинеотрезка A’B,представляетсобой минимальныйпуть междуточками Aи Bдляраспространениясвета с отражениемот зеркала. Присмещении точкиотражения Cвверхили вниз длинапути увеличивается.

4.3. Сложениегармоническихколебаний

E

0 x

Из всехразнообразныхвидов волн мыограничиваемсяздесь лишьволнами, которыепредставляютсобой процессраспространениягармоническихили почтигармоническихколебаний.Нам придетсядостаточномного заниматьсясложениембольшого числаколебаний ипотому представляетсяполезным ещераз вспомнитьо сущностииспользуемогометода - методавекторныхдиаграмм.

Сначалапосмотрим, какмогут бытьпредставленыили описаныволновой процесси происходящиепри этом колебания.

На рисункепредставленграфик зависимостинапряженностиэлектрическогополя световойволны от координаты.Естественно,это графикзависимостиE(x)в некоторыймомент времени.Эту картинкуследует представлятьсебе движущейсясо скоростьюсвета вдольоси OX.Если по осиабсцисс будетотложено времени,тот же графикбудет представлятьсобой колебанияэлектрическогополя в некоторойточке.

E₀

wt+j

Такие способыпредставленияволны достаточнонаглядны, нонеудобны длясложения колебанийили волн. Дляэтих целейчасто используетсяпредставлениеколебаний ввиде векторнойдиаграммы.

Предположим,что в некоторойточке происходятколебания позакону E= E₀cos(wt+j).Эти колебанияможно представитьтаким способом.

E₀

j_i

j

Нарисуемнекий вспомогательныйвектор длиныE₀таким образом,чтобы его уголс осью абсцисспри t=0 былравен j.Если мы теперьбудем вращатьвектор с угловойскоростью w,его проекцияна ось абсциссбудет равнаE₀cos(wt+j),т.е. будет представлятьсобой нашеколебание.

Предположимтеперь, что внекоторой точкепроисходитнесколькоколебаний видаE_i=E_0icos(wt+j_i).Для прямогонахожденияих суммы нужнорешить достаточносложную тригонометрическуюзадачу. Но векторнаядиаграммапозволяетдостаточнопросто решитьэту проблемугеометрически.

Для этогодостаточнонарисоватьвекторы длинойE_0iтак, как этопоказано нарисунке. Легконайти суммуэтих векторов- обозначимдлину суммарноговектора E₀,его угол с осьюабсцисс в начальныймомент времениj.Посколькупроекциясуммы векторовравна суммеих проекций,при вращениисуммарноговектора соскоростью wего проекцияна ось абсциссбудет представлятьсобой суммуколебаний E_i.

Припрактическомиспользованиивекторнойдиаграммыобычно “забывают”о том, что векторавращаются:определив длинусуммарноговектора E₀и начальнуюфазу j,можно записатьвыражение длясуммарныхколебаний:

.

Такимобразом, тригонометрическаязадача сводитсяк задаче геометрической,которая обычнооказываетсяпроще, а результат- более наглядным.

Но тообстоятельство,что этот векторвращается, внекоторыхзадачах неожиданностановитсясущественными приходитсявспоминатьоб этом вращении.

Применимэтот метод дляанализа отраженияволны от плоскогозеркала. Предположим,что в точке Aнаходитсянекоторыйисточник света.В разных точкахзеркала (Cи C’,например) колебанияэлектроновбудут происходитьс разными начальнымифазами. С разнымифазами будутпроисходитьи колебанияэлектрическогополя в точкеB,вызванныеколебаниямирасположенныхв разных точкахэлектронов.

Разностьфаз этих колебанийопределяетсяразностью длинломаных ACBи AC’B.Обозначим ихкак Lи L’.Тогда разностьфаз колебаний

.

A Z

C’

C

B

Здесь c- скоростьсвета, Dt- разностьвремен распространениясвета вдольломаных AC’Bи ACB,время запаздыванияодного сигналапо отношениюк другому. Появлениезнака “минус”связано с тем,что вдоль ломанойAC’Bволна проходитбольшее расстояние,в сложенииучаствуютколебанияволны, излученнойв более ранниймомент времени.

Длиналоманой ACB минимальна.Поэтому припрохождениилуча через этуточку

.

Это означает,что при маломсмещении отточеи Cвверх или внизфаза колебанийв точке Bиз-за колебанийотдельныхэлектроновостается примерноодинаковой,амплитудысоответствующихколебанийскладываются.Но при отклоненииточки от положенияz = 0(точки C)производнаяdt/dz и, стало быть,

будет возрастатьпо модулю и“скорость”изменения(модуль производной)будет тем больше,чем сильнееотличаетсязначение координатыzот нуля. На векторнойдиаграмме этопроявлятьсяв быстром измененииразности фазколебаний (вточке B),вызванных дажеблизко другдругу расположенныхэлектронов.Соответствующиевекторы E_0iна диаграммеповорачиваютсяи при большихзначениях zсобираютсяв тесный “клубок”,т.е. дают всеменьший вкладв суммарноеколебаниенапряженностиэлектрическогополя в точкеB.

Так вот, пририсованиивекторнойдиаграммынеобходиморешить, в какуюсторону поворачиватьвекторы, отвечающиеопережающимпо фазе колебаниям.Иначе говоря,выбрать положительноенаправлениеотсчета угла,и тем самым -направлениевращения вектора.

В механикеи электричествеза положительноенаправленияотсчета углапринимаетсянаправлениепротив часовойстрелки. Но воптике традиционноза положительноенаправлениевыбираетсяпротивоположноенаправление,по часовойстрелке. Этоизменяет видвекторнойдиаграммы ибудет существеннопри решениинекоторыхзадач.

В этойсвязи полезнозапомнить такоепростое правилодля рисованиявекторныхдиаграмм: еслипуть распространениясвета больше,то соответствующийвектор на диаграммеоказываетсяповернутымна некоторыйугол противчасовой стрелки.

Произведемнекоторыеоценки дляконкретноговзаимногорасположениязеркала, источникасвета Aи точкинаблюденияB.Будем считать,что a₁= a₂»45⁰,а координатыточек z_A= 20см, иz_B= -15 см.Нас будетинтересовать,при каком смещенииточки Cфаза электромагнитныхколебаний вточке Bизменится наp/2.

При такойгеометрии длинапути распространениясвета

и

.

Изменениефазы колебанийна p/2(и, соответственно,поворот векторана фазовойдиаграмме натакой угол)отвечает разностипутей распространениясвета l/4.Приняв длинуволны l= 0,5 мкм,мы получаем:

;

.

Такимобразом, согласнонашей оценкезаметный вкладв электромагнитныеколебания вточке Bдают лишь колебанияэлектронов,расположенныхна расстоянияхменьше ±0,2 ммв окрестноститочки C.

Лекция531

Лекция 5

4.4. Эллиптическоезеркало.

Уточненнаяформулировкапринципа Ферма

A B

Эллипспредставляетсобой геометрическоеместо точек,сумма расстоянийот которых донекоторых двухточек (фокусовэллипса) постоянна.Благодаря этомузеркало, сечениекоторого представляетсобой эллипс,оказываетсяисключительноинтересным.При отраженииот такого зеркалакаждый луч,вышедший изфокуса Aпосле отраженияпопадает вфокус B.

Мы рассматривалиотражение отплоского зеркала,тогда путьраспространениябыл минимальным.В случае эллиптическогозеркала всепути распространениясвета одинаковы.Как и в случаеплоского зеркала,отраженнаяволна представляетсобой результатизлученияколеблющихсяэлектронов,колебаниякоторых вызвалападающая волнаБудем считать,что источникволн, излучательнаходится вточке A.Но теперь вызванныедвижениемразных электроновэлектромагнитныеколебания вточке Bбудут происходитьс одинаковымифазами. Векторнаядиаграмма будетвыглядеть иначе- отдельныевекторы небудутповернуты одинпо отношениюк другому, будутлежать на однойпрямой.

A B

С

Естественно,при таком отражениидля каждоголуча такжебудет справедливзакон отражения.

Есликривизна зеркалав точке отражениябудет большекривизныэллиптическогозеркала, длинапути распространения(длина ломанойACB)будет не минимальной,а максимальной.Но отражениев точке Cбудет происходитьтак же, как отэллиптическогозеркала. Этовынуждает насуточнить формулировкупринципа Ферма:для пути распространениясвета определяющейоказываетсяне минимальность,а экстремальностьэтого пути. Илиже длина путине должна изменятьсяпри смещенииточки отражения.

В этойсвязи можнопровести такиеболее доказательныерассуждения.

B”

A B

С B’

Луч CB проходиттакже черезточки B’и B”.И если длиныразных лучей,приходящихиз точки Aв точку Bодинаковы,такого утверждениянельзя сделатьдля точек B’и B”.Соответственно,и векторныедиаграммы длясложения колебанийот отдельныхэлектроновв этих точкахбудут выглядетьиначе - эти векторыне будут выстраиватьсяпо одной прямой,станут скручиватьсяв “клубки”.Попробуйтесамостоятельноразобраться,какая из приведенныхна рисункедиаграмм относитсяк точке B’,а какая к точкеB”.

Если Вампонятен смыслвекторныхдиаграмм, Выпоймете и то,что такое различиеих вида означаетвесьма существенноеразличие амплитудколебаний вточке B(амплитудавелика) и точкахB’ иB” сдругой стороны.Говорят, чтосвет “фокусируется”в точке B,в этой точкенаходитсяизображениеисточника светаA.

4.5. Сферическоезеркало

A B

R

C F

2q R/2

D O

Свойствомсферическогозеркала являетсято, что послеотражения отнего лучи собираютсяв некоторойточке, называемойфокусом зеркала.

Рассмотримпадение плоскойволны на сферическоезеркало радиусаR. Приэтом мы ограничимсярассмотрениемотраженияпараксиальныхлучей, расстояниекоторых отоптическойоси на малоерасстояние,равное длинеотрезка AB. В этомприближенииугол паденияqможно считатьмалым.

Послеотражения лучпересечетоптическуюось в некоторойточке F.При малых qбудут справедливывыражения:

; ,

из которыхследует, чтофокусное расстояниезеркала OFравно половинерадиуса.

Собственно,мы решили задачуо сферическомзеркале. Ноболее важнойзадачей длянас являетсядетальноезнакомствос процессамиизлучения,распространенияволн. Поэтомупоговорим опроцесс фокусировкиподробнее.

Y

d

q

Ранее мыполучили связьмежду характеромизменения фазыколебанийнепрерывнорасположенныхточечных источниковпри переходеот точки к точкеи направлениемизлучения q:

.

При малыхзначениях qбудет:

.

C

R

a q

O

Применимэто выражениек случаю отраженияплоской волныот сферическогозеркала. Обозначимна этот разугол падениячерез aи вместо дифференцированияпо yнам нужно будетпровестидифференцированиефазы по расстояниюx(a)от точкиO.

Почему припереходе отточки к точкевдоль поверхностизеркала изменяетсяфаза вызванныхволной колебанийэлектронов?Видно, что чемдальше точкападения отцентра зеркала,тем меньше путьлуча, попадающегов эту точку.Если разностьхода равна DL,то для подсчетаразности фазнеобходиморазделить этувеличину наlи умножить на2p.Таким образом(по модулю),

; .

Теперьмы можем найтизависимостьугла направленияизлучения (поотношению кнормали, радиусу)от угла a:

; .

Мы неполучили новогорезультата.Как и должнобыть, в чем мыубедились ещераз, угол отраженияqравен углупадения a.Но для нас важно,что этот результатдля отраженияот сферическогозеркала можетбыть получени с помощьюанализа зависимостифазы колебанийэлектронов,излучающихвторичную,отраженнуюволну, от x- расстоянияот точки падениялуча до оптическойоси OC.

4.6. Параболическоезеркало

При отраженииот сферическогозеркала происходитфокусировкатолько параксиальныхлучей. Попробуемтеперь найтитакое сечениезеркала, чтобыв его фокусесобиралисьвсе лучи независимоот расстояниядо оптическойоси.

У

F

f

y

x 0 X

Для определениявида сечениязеркала воспользуемсяпринциповферма.

Пустьсоответствующаякривая описываетсяфункцией y(x),координатыточки паденияx иy. Обозначимбуквой Fфокус зеркала,его координата(фокусное расстояние)- f.

От точкипадения лучпройдет дофокуса расстояние

.

Чтобыу всех параллельныхлучей былаодинаковаядлина пути,необходимочтобы выполнялосьусловие

-

послепересеченияс горизонтальнойпунктирнойлинии до фокусасовпадающийс оптическойосью луч пройдетсначала путьyдо точки отраженияи затем - fв обратномнаправлении.Этот путь долженбыть равен L,Только в этомслучае все лучисоберутся вфокусе зеркала.

Такимобразом, мыполучаем:

;

;

.

Это параболаи, значит, необходимымнам свойствомобладаетпараболическоезеркало.

4.7. Закон преломлениясвета

4.7.1. Скоростьсвета в веществе

Мы с Вамиубедились всвое время, чтоиз уравненийМаксвелласледует волновоеуравнение.Электромагнитныеволны с длинойволны примернов пределах 0,4ё0,7 мкм,воспринимаемыеглазом, называютсветом. И средимножествавеществ естьтакие, в которыхсвет можетраспространятьсябез заметногоуменьшенияамплитудыэлектромагнитныхколебаний,прозрачныевещества. Однако,скорость светав веществеотличаетсяот скоростисвета в вакууме,выражение длякоторой

мы в свое времяполучили. Повторимтеперь проведенныеранее преобразованияуравненийМаксвелла, нотеперь не длявакуума, а длянекотороговещества.

ВыпишемуравненияМаксвелла дляслучая отсутствиясвободныхзарядов и токовпроводимости:

Мы будемтакже использоватьвыражения

,

считаявещество однородным.

Как ираньше, ограничимсяслучаем плоскойволны, когдаэлектрическоеи магнитноеполя зависятот одной координаты- от координатыx,т.е. в последующихвыражения изпроизводныхпо координатамотличны от нулятолько производныепо x:

.

Как видноиз этого уравнения,

.Это означает,что x- составляющаямагнитногополя не зависитот времени.Положим ееравной нулю,посколькустационарноеполе (магнитноекак и электрическое)к распространениюволны отношенияне имеет.

Далее,вектор

имеет некотороенаправление,и если мы вдольэтого направлениянаправим ось0Z,то будет и, следовательно, (см. уравнение).Таким образом,

. (*)

Аналогичнополучим

;

(поскольку

)и

. (**)

Продифференцируемуравнение (*)по координатеx,а уравнение(**) по времени:

.

Тогда

.

Мы получиливолновое уравнение,и скоростьраспространениясвета в веществе

.При распространениисветовой волныс большой степеньюточности можносчитать m= 1, искорость светав веществе .Таким образом,для нахождениязначения скоростиvнеобходимознать значениедиэлектрическойпроницаемостиe.

Заметим,что на большихчастотах, характерныхдля световойволны, значениеeсущественноотличаетсяот стационарного,которое входитв уравненияэлектростатики,и - зависит отчастоты. Соответственно,от частотызависит и (фазовая)скоростьраспространениясветовой волныв веществе. Втаком случаеговорят, чтовещество обладаетдисперсией.

Самымсущественным,что происходитпри взаимодействииполя

с веществом,это “подвижка”электронов,поляризациямолекул. Приэтом поляризованностьоказываетсяпропорциональнойполю, что свидетельствуето квазиупругомхарактередействующихна электрон“возвращающих”сил. Поэтомупри взаимодействииэлектроновсо световойволной будет:

.

Этомууравнениюудовлетворяетрешение вида

.Подставив xв уравнение,получим:

; .

Итак,при смешениипод действиемэлектрическогополя волны наэлектрон образуетсядиполь с моментомp = ex.Обозначив черезN концентрациюэлектронов,мы получимтакие выражениядля поляризованности

,для поляризуемостивещества kи диэлектрическойпроницаемостиe:

;

; .

В зависимостиот соотношениямежду wи w₀и от величиныNвеличина eбольше илименьше единицыи даже отрицательной.Соответственномы должны сказать,что скоростьсвета в веществе

будетлибо меньшескорости светав вакууме, либобольше ее, либомнимой. Этивозможностинам нужно будетобсудить болееподробно. Апока сделаемодно уточнение.

В каком-токонкретномвеществе входящиев атомы электронымогут иметьразличныечастоты свободныхколебаний w_0k,разными могутбыть и их концентрацииN_k.Все они будутвносить свойвклад в поляризованностьвещества и,соответственно,в величину e.поэтому в болееобщем случаевыражение дляскорости волнызапишется ввиде

.

Такимполучаетсявыражение дляфазовойскорости волныв веществе.

Лекция636

Лекция 6

4.7.2. Преломлениесвета

Преломлениелуча светапроисходитпри переходеиз одной средыв другую. Причинапреломления- изменениескоростираспространения.Применим дляполучениязакона преломленияпринцип Ферма.

Пустьскоростьраспространениясвета в некоторойсреде равнаv,в вакууме -c. Обычноскоростьраспространениясвета в средеменьше скоростив вакууме. Этоозначает, чтодля прохождениянекоторогопути lв веществепотребуетсянесколькобольшее время

Z

A

a₁ z

0 a₂ X

B

.

Мы ввелиобозначениеn = c/v,эта величинаназываетсяпоказателемпреломления.Произведениеlnназывают оптическойдлиной пути.Для вакуумаn = 1.Если n> 1, товремя распространениясвета от точкиA доточки Bбудет уменьшатьсяпри отклонениипути распространенияот прямолинейного,причем притаком отклонении,когда длинапути в вакууменесколькоувеличивается,а в веществе- уменьшается.

Подсчитаемвремя распространениясвета междуточками Aи B.Пусть (x_A,z_A)и (x_B,z_B)- координатыточек, z- координататочки преломлениялуча. В вакуумеи в веществесвет проходитрасстояния

и ,

времяраспространения-

.

Согласнопринципу Ферма

.

Используявведенное ранееобозначение,мы можем записатьзакон преломленияв виде:

.

Получимтеперь законпреломленияиначе, анализируяпересечениеграницы плоскойволной.

a₁

a₁ l₀

l_n a₂

a₂

Нарисуемфронты волнытаким образом,чтобы они проходиличерез максимумынапряженностиэлектрическогополя при одинаковомих направлении.Они будут совпадатьс гребнямиволн. Тогдарасстояниемежду фронтамибудет равнодлине волнысвета.

Частотаколебаний ввакууме и воптически болееплотной среде(n > 1),естественно,одинакова.Значит, длиныволны в этихсредах различаютсятак же, какразличаютсяскорости, - в nраз. Это приводитк “излому”фронтов наповерхностиоптическиплотной среды,причем углымежду фронтамии этой поверхностьюa₁и a₂равныуглам паденияи преломления(как углы совзаимно перпендикулярнымисторонами).

Треугольники,в которых отрезкидлиной l_nи l₀являютсякатетами, имеютобщую гипотенузу.Поэтому,

.

Мы вновьполучили законпреломления.

4.7.3. Дисперсияи поглощениесвета

Полученноенами ранеевыражение дляскоростираспространениясвета являетсядостаточногрубым приближением.Однако, онопозволяет впринципе понятьпричину зависимостискорости светаот частоты.

Заметим,что удовлетворительноеописание зависимостифазовой скоростиот частотыполученноенами выражениедает лишь прине слишкоммалой величинеразности w₀и w.Иначе амплитудаколебанийэлектроновстановитсяслишком большойи некоторыенаши утвержденияоказываютсяневерными. Так,мы считали, чтопри колебанииэлектроновне происходитдиссипациимеханическойэнергии, чтопри большихамплитудахоказываетсяневерным. Крометого, возникаютнекоторыепроблемы сфазой колебаний.

Мы знаем,что при резонансеразность фазколебанийвынуждающейсилы (электрическогополя

)и координатыравно p/2.Это легко понятьи запомнитьпосле такогорассуждения.

При резонансемаксимальныамплитуда идиссипацияэнергии. Значит,при резонансемаксимальнамощность вынуждающейсилы. Для этогонеобходимо,чтобы силаизменяласьв фазе со скоростью:

.

Умножениеэкспонентына мнимую единицукак раз и означаетизменение фазыколебаний наp/2.В таких условияхне будет пропорциональностимежду электрическимполем

и поляризованностьювещества - они просто несовпадают пофазе, например,обращаютсяв нуль в разныемоменты времени.

X

0

При малыхпотерях дажепри не слишкомбольшом различииw₀и wразность фазколебанийэлектрона иэлектрическогополя можносчитать равнойнулю (при ww₀)или p(при w> w₀).Это обстоятельствоважно для наспо несколькимпричинам.

Зависимостьразности фазот частоты мыв свое времяобсуждали. Темне менее представляетсяуместным сказатьздесь об этомнесколько слов.

Рассмотримэтот вопросна примередвижения грузикана пружине. Придействии медленноизменяющейсясилы (ww₀) наличие грузика,собственно,несущественно- внешняя силауравновешиваетсяупругой силойдеформированнойпружины, и всоответствиис законом Гукаэта сила пропорциональнасмещению грузика.Поэтому изменениекоординаты,смещение происходитв фазе с силой.

n

1 w

w₀₁ w₀₂

Более удивительнымпредставляетсяслучай, когдачастота вынуждающейсилы большерезонанснойчастоты, когдасмещение и силаизменяютсяв противофазе:не просто понять,почему грузиксмещается,например, вверх,тогда как силанаправленавниз, “тянет”его в противоположнуюсторону. Дляэтого можетбыть предложенотакое объяснение.

При большойчастоте несущественнымоказываетсяналичие пружины.Движение грузикаопределяетсязаконом Ньютона,т.е. в фазе с силойизменяетсяускорение,а это последнее- изменяетсяв противофазесо смещением.

Общийход показателяпреломленияот частотыпоказан нарисунке. Причастотах w₀₁,w₀₂происходитпоглощениесвета, при частотахменьших илибольших этихзначений показательпреломленияоказываетсябольше илименьше единицы.Это означает,что скоростьраспространенияволны в веществеоказываетсябольше илименьше скоростисвета в вакууме.И это обстоятельствонепосредственносвязано с фазамиколебанийэлектронов.Сколько-нибудьточный расчет,приводящийк такому результату,провести снашим уровнемзнаний непредставляетсявозможным.Попробуем, темне менее, понятьпричины измененияскоростираспространенияволны хотя быкачественно.

Дело втом, что, вообщеговоря, скоростьраспространенияэлектромагнитнойволны и в веществеравна скоростиволны в вакууме.Но при этом,проходя некоторыйтонкий слойвещества, волнавозбуждаетв нем колебанияэлектронов.В свою очередь,колебанияэлектроновсоздают некоторуювторичнуюволну, котораяскладываетсяс волной, приходящейк этому слою.И здесь намнужно провестидостаточнотонкое рассуждение.

Сказанноеозначает, чтоза слоемколебанияпредставляютсобой суммудвух колебаний:колебанийпроходящейволны и другой,“вторичной”волны, излученнойколеблющимисяэлектронами.Естественно,мы будем рассматривать(бесконечно)тонкий слойи амплитудаколебанийвторичной волны(бесконечно)мала. Но приэтом амплитударезультирующихколебанийдолжна остатьсяпрежней. Этовозможно тольков том случае,если эти колебанияразличаютсяпо фазе на ±p/2.И это приводитк удивительномурезультату.

dE dE

E’ E

E E”

wt+d-kx wt-d-kx

wt-k’x wt-k”x

Обратимсяк векторнойдиаграмме,которую мы уженеоднократноиспользовалидля сложенияколебаний.Пусть на этойдиаграммеколебанияпроходящейволны представленывектором длинойE, авторичной волны dE. Какмы выяснили,эти векторыперпендикулярныи на рисункепоказаны возможныевзаимные расположенияэтих векторов.

С однойстороны в каждойточке частотаколебанийодинакова. Нопри переходеот точки к точкеизменяетсяфаза колебаний,изменяетсяна kDx.Таким образом,для этих колебанийв разных точкахслагаемое -kxимеет смыслначальной фазы.Но при распространениисвета в веществепри переходеот точки к точкемы “подключаем”все новые иновые слоивещества, которыедобавляют кначальной фазеколебаний плюсили минус d.Иначе говоря,при одной и тойже частоте ввеществе припереходе отточки к точкефаза колебанийизменяетсялибо больше,чем на -kx,либоменьше чем ввакууме. Говоряиначе, волновоечисло kв веществедругое, не такое,как в вакууме.Поэтому и наблюдаемаяфазовая скоростьв веществе v= w/kдругая,отличная отскорости ввакууме c.

Вспомнимеще раз, что мыговорим о частотах,достаточносильно отличающихсяот резонансной,и при этом взависимостиот знака разностиw₀-wфазаколебанийэлектроновпо отношениюк фазе электрическогополя принимаетлибо значение0,либо - p.Поэтому, взависимостиот w₀-wфазовая скоростьлибо меньше,либо большеc.

4.7.4. Групповаяи фазовая скоростисвета в веществе

Человека,хоть немногосведущего вфизике, сильношокирует утверждение,что скоростьсвета в веществеможет бытьбольше скоростисвета в вакуумеc.Такой человекобычно знает,что согласнотеории относительностиЭйнштейнаскорость c- это максимальнаяскорость движенияфизическогообъекта. Нофазовую скоростьнельзя связатьс движениемкакого-нибудьобъекта, этолишь скоростьдвижения точкис постояннойфазой колебаний:

.

Иноедело групповаяскорость v= dw/dk- онане может бытьбольше c.

Обратимсяк зависимостифазовой скоростисветовой волныот частоты:

;

и рассмотримв качествепримера распространениерентгеновскихлучей. Для ниххарактернаочень большаячастота колебаний,так что в выписанномвыражении можнопренебречьчастотой w₀,величинаe Вэтом случае

; .

Запишемвыражение дляквадрата волновогочисла:

и возьмемдифференциалот обеих частейполученноговыражения:

.

Таковосоотношениемежду скоростьюсвета в вакууме,фазовой и групповойскоростями.При этом

; .

Такимобразом, хотяфазовая скоростьэлектромагнитнойволны в рентгеновскомдиапазонебольшеc, групповаяскорость оказываетсяменьше этойвеличины.

4.7.5. Аномальнаядисперсия

Присмотримсявнимательнеек выражениюдля скоростисвета в веществе:

.

Слагаемыепод знакомсуммированиявелики причастотах w~w₀.При резонанснойчастоте такоеслагаемоеменяет знак,причем применьшей поотношению крезонанснойчастоте фазоваяскорость большескорости светав вакууме, апри большейv .Такую зависимостьфазовой скоростиот частотыназывают аномальнойдисперсией.

Нормальнаядисперсиянаблюдаетсяв промежуткемежду соседнимирезонанснымичастотами w_0kи w_0k+1.Аномальнаядисперсиянаблюдаетсяв узком диапазонечастот, этообъясняет тотфакт, что, какправило, прозрачныевещества обладаютнормальнойдисперсией.

Для наблюдениядисперсии можетбыть использованапризма, припрохождениикоторой лучисвета отклоняютсяк ее основанию.При нормальнойдисперсии ввидимой областипоказательскоростьраспространениякрасного цветабольше, а показательпреломлениябольш меньше,чем фиолетового.Поэтому красныйи фиолетовыйцвета будутнаблюдатьсяв разных точкахэкрана, как этопоказано нарисунке.

Кр

Ф

1 2Y

Кр

Y=Y(n₁)

X=X(n₂) Ф

0

X

Для наблюденияаномальнойдисперсии можновоспользоватьсяметодом скрещенныхпризм. В этомслучае отклонениепо вертикалиопределяетсядисперсиейодной призмы,а по горизонтали- другой. Выбраводну из призмтакой, что дисперсияее материаланормальная,мы сможем наблюдатьна экране зависимостьпоказателяпреломленияматериаладругой призмыот частоты.

Ниже нарисунках показаныполучающиесяпри этом картинки.И более узкойобласти аномальнойдисперсиипроисходитсильное поглощениесвета, что иопределяетразрыв наблюдаемойкривой.

Крф КрФ

Как мы видели,ничего ненормальногов аномальнойдисперсии нет.Просто в некоторыхдиапазонахчастот показательпреломленияувеличивается,а в некоторых- уменьшается.Теперь мы понимаем,почему это такпроисходит.

Лекция742

Лекция 7

5. Распространение(плоской) волны.

Некоторые“тонкости”

по фронту

j= const

q q излучениепри

q= 0

Мне бы хотелосьеще раз подчеркнуть,что колебанияв некоторойобласти пространствавызывает колебанияв соседнихобластях, онив свою очередьвновь вызываютколебания итак происходитраспространениеволны. Рассмотримна примереплоской волныэтот вопроснесколькоподробнее.

На рисункепоказана плоскость,параллельнаяфронту волны,распространяющейсянаправо. Колебанияв этой плоскостипроисходятс постоянной(по осям координат)фазой, и мы выяснили,что в такойситуации излучениепроисходитпо направлениюq= 0. Нотаких направленийдва - налево инаправо. Ипредставляетсядовольно естественнымвопрос: почемуволна распространяетсятолько в одномнаправлении?Почему колебанияэлектрическогополя плоскойволны в некоторойплоскости,параллельнойфронту, вызываетраспространениеколебаний лишьв одном направлении,в направлениираспространенииволны? Попробуемответить наэтот вопрос.

4 1 2 3

Dx

X

Рассмотримнекоторуюпротяженнуюузкую область,например, ввиде цилиндра,ось которойперпендикулярнафронту плоскойволны .Выберем в этойобласти двепроизвольныеточки на расстоянииDx.В этих точках,как и в любойдругой точкевнутри выделеннойобласти, происходятколебания вида .При этом разностьфаз колебанийj₂-j₁=-kDx- мы уже говорили,что для разныхточек вдольоси 0Xвеличина -kxимеет смыслначальной фазы.

Эти точки(области малогообъема) являются(не “могутсчитаться”,а именно “являются”!)источникамиволн, распространяющихсяво времениколебаний. Иэти колебанияв точке 3происходятв фазе, складываются.Действительно,колебания вточке 1опережаютколебания вточке 2на kDx,но из этой точкиколебания доточки 3распространяютсядольше на

.Поэтому разностьфаз колебанийволн, приходящихв точку 3из точек 1и 2

.

Естественно,из точек 1и 2колебанияраспространяютсяи назад, к точке4.Но теперь дольшераспространяютсяколебания отточки 2.Поэтому

и всегданайдутся такиедве точки, чтобудет выполнятьсяравенство 2kDx= p,- колебаниябудут гаситьдруг друга.

Этим иобъясняется,то обстоятельство,что если в некоторойобласти распространяетсяплоская волна,то в противоположномнаправлениираспространенияколебанийвозникать небудет.

6.1. Отражениесвета на границераздела двухсред

Рассмотримнесколькоподробнеепроцесс отраженияна границе двухсред.

Преждевсего вспомним,что мы говорилипри анализеотражения светаот металлическогозеркала. Припадении наповерхностьметалла волна,естественно,вызывает колебаниянаходящихсяв нем электронов.Эти колеблющиесяэлектроны, всвою очередь,влево и вправоот поверхностиизлучают плоскиеволны с амплитудой,равной по модулюамплитудепадающей волныи противоположнойпо знаку. То,что эти вторичныйволны одинаковыследует изсоображенийсимметрии, аизменение знакаамплитудыследует изтакого элементарногорассуждения.В направлениираспространенияпадающей волны(в металле) волнане распространяется.Но она равнасумме волныпадающей иизлученнойколеблющимисяэлектронами.Значит, их амплитудыпротивоположныпо знаку.

Обратитевнимание - мыне анализируемхарактер движенияэлектронов,не подсчитываемамплитуду ихколебаний иамплитудуизлучаемыхволн и проч. Мысудим о однойиз волн по результатусложения другойс падающейволной.

E₀E_1^E_1ък

E_2^ E_2ък

a ab ab

E₀E_0^ E_0ък

При падениилуча света награницу разделадвух сред, когдавозможнораспространениеволны (в отличииот металла) вобеих средах,происходятдостаточносложные процессы.И прежде всегосложностисвязаны с тем,что процессотраженияпроисходитпо-разному дляволн, колебаниявектора электрическогополя которыхпроисходятперпендикулярноплоскостипадения (E_0^)и параллельноей (E_0ък).Любая волнапредставляетсобой суммуволн с такиминаправлениямиколебанийэлектрическоговектора, нопроцессы отраженияи преломленияих мы рассматриваемпо отдельности,одновременноих сравнивая.

Введенныеобозначениядолжны бытьпонятны изрисунка.

Отражениедвух компонентс разныминаправлениямилинейной поляризациипроисходитпо-разному.Отраженнаяволна, как и вслучае металлическогозеркала, излучаетсяколеблющимисяэлектронамиСреды, и их колебанияпроисходятв направлении,перпендикулярномпреломленномулучу.

Вспомнимособенностизависимостиамплитудыизлучаемойдиполем вперпендикулярнойи параллельнойнаправлениюего колебанийплоскостях.В первой амплитудаволны не зависитот направления,как это и следуетиз соображенийсимметрии.Иначе обстоитдело в параллельнойнаправлениюколебанийплоскости.

q q

dE/dq= 0 E = E₀cos(q)

Дело в том,что в направлении,совпадающимс направлениемколебаний,диполь волнуне излучает.Для произвольногонаправления,составляющимугол qс направлениемколебанийдиполя, амплитудаколебаний E= E₀cos(q).Это будет понятным,если вспомнить,что дипольможно представитькак сумму двухдиполей - параллельногонаправлениюизлучения (амплитудаизлучаемойволны нулевая)и перпендикулярного- .

ab

a

Таким образом,в перпендикулярномпреломленномулучу направлениии при параллельнойплоскостипадения поляризациисвет отразитьсяне может: амплитудаотраженнойволны в этомслучае пропорциональна - угол междупреломленнымлучем, которыйнаправленперпендикулярнонаправлениюколебанийдиполя, и лучемотраженнымравен 180⁰-a-b,и .

Этообстоятельствоприводит клюбопытномуэффекту: приa+b=p/2отражения светапри такой поляризациине происходит.Такой уголпадения называетсяуглом Брюстера:

.

Коэффициентомотраженияназывают отношениеинтенсивностиотраженноголуча к интенсивностилуча падающего.Они, в свою очередь,пропорциональныквадратамамплитуд колебанийсоответствующихволн. Их значениядаются формуламиФренеля. Мыопустим выводэтих формул,но упомянутьо них необходимо:

; .

Знак ’-’перед отношениямитригонометрическихфункций означает,что при отраженииот границы соптически болееплотной средой(a>b)отражениепроисходитс потерей полуволны.

Соответственно,коэффициентыотражения

; .

При a+b=p/2будет

и .

6.2. Полное отражение

До сихпор мы рассматривалипадение лучана границувакуум - некотороевещество, ввакууме n=1.При падениисвета на границураздела двухсред, для которыхn₁№1и n₂№1вид законапреломлениянесколькоизменится:

.

При падениисвета на границус оптическименее плотнойсредой (n₁>n₂)относительныйпоказательпреломленияn₁₂и b>a,и если sin(a)=n₁₂,то b=p/2.При дальнейшемувеличенииугла aпреломленноголуча наблюдатьсяне будет.

Такойпредельныйугол паденияназываетсяуглом полногоотражения - притаком и большихзначениях aкоэффициентотражения равенединице.

45⁰

1

2

2’

1’

Явлениеполного (внутреннего)отраженияиспользуетсяв так называемойобращающейпризме. Обычноэто прямоугольнаяпризма, уголпадения награницу равенa=45⁰.Чтобы происходилополное внутреннееотражениенеобходимо,чтобы коэффициентпреломленияn былбольше .

При отраженииот металлическогозеркала мыговорили, чтоотраженнаяволна генерируетсяв результатеколебанийэлектроновметалла вблизиповерхности.Но при отраженииот поверхности,разделяющейнекую средуи вакуум, справаот поверхностиэлектроновнет. Тогдавозникновениеотраженнойволны можнообъяснитьтолько такимобразом.

Электромагнитноеполе проникаетправее поверхностиотражения, ввакуум, и тампроисходятэлектромагнитныеколебания. Этиколебания ивызывают появлениеволны, котораягасит волнупадающую (справаот границыотражения), исоздает волнуотраженную.И вот здесь,для пониманияфизики отраженияоказываетсясущественнымпрежнее нашезамечание, чтопри колебанияхэлектроновпричиной излученияявляется, собственно,не сами колебанияэлектронов,а колебанияэлектромагнитногополя, которыеобусловленыколебаниямиэлектронов.В рассматриваемомслучае электроновсправа от поверхностиотражения нет,но есть колебанияэлектромагнитногополя как причинаизлученияотраженнойволны.

Обратимсявновь к отражениюсветовой волнына границераздела вакуум-металл.В этом случаетакже происходитпроникновениеэлектромагнитногополя за границуотражения - вметалл. Приэтом диэлектрическаяпроницаемость

.

При такомусловии распространенияволны наблюдатьсяне будет. Формальнопри отрицательномзначении eскоростьраспространениястановитсявеличиноймнимой как ипоказательпреломленияn=c/v.

Давайтетакже формальновоспользуемсявыражениемдля фазовойскоростью вслучае мнимогоее значения:

.

Вместодействительноговолнового числаkв знаменателетеперь стоитмнимая величинаik’.Запишем выражениедля колебанийв “волне” примнимом волновомчисле:

.

Мы получиливыражение дляколебаний,амплитудакоторых экспоненциальнозависит откоординаты.Физическийсмысл это выражениеможет иметьтолько при k’- амплитудаколебаний неможет растинеограниченно.Заметим, чтоэтот результатможет бытьполучен инепосредственноиз уравненийМаксвелла.

Металлычасто бываютокрашенными.Мы наблюдаемих в отраженномсвете и причинаокрашенностиотраженногосвета в том,что при некоторойчастоте (частотах)электромагнитныеколебанияпоглощаютсяв металле. Этосогласуетсяс утверждением,что электромагнитнаяволна проникаетна некоторуюглубину внутрьметалла. Обэтом свидетельствуети то, что (весьма)тонкий слойметалла можетпропускатьсвет, коэффициентотражения rтонкого слоязависит от еготолщины. Такоезеркало называютполупрозрачными оно используетсяна практикедостаточночасто. Коэффициентпропусканиятакого зеркаларавен 1-rзависит оттого, как сильноуменьшаетсяамплитудаколебаний

.Вспомним ещераз, что в этомвыражении k’.

Цветметалла в проходяшемсвете оказываетсядополнительнымк цвету, наблюдаемомупри его (света)при отражении.

6.3. Затуханиеволны

При частотах,близких крезонансной,происходитпоглощениеволны. Сколько-нибудьточный обсчетэтого процессадля нас затруднителен.Ограничимсяпоэтому лишькачественнымобсуждениемтого, что приэтом происходит.

Объясняя,каким образомфазовая скоростьможет бытьбольше илименьше скоростисвета в вакууме,мы рассматривалисложениераспространяющейся(со скоростьюc),так сказать,первичной волныи другой, излучаемойколебаниямиэлектроновнекоторогослоя вещества.При этом соответствующая“добавка”,вектор

был направленперпендикулярновектору .И направлениевектора либо совпадалос направлениемвращения вектора ,либо противоположно.Связано этобыло со значениемразности фазмежду вынуждающейсилой (действующимна электроныэлектрическимполем) и смещениемэлектронов.Эти два случаясоответствуютразности фаз0илиp.

При резонансеразность фазравна p/2.Поэтому вектор оказываетсянаправлен вдольвектора или составляетс ним некоторыйугол, отличныйот p/2.В результатеизменяетсяамплитудаколебаний. Призатуханииволны, поглощенииэнергии, естественно,должно наблюдатьсяуменьшениеамплитуды.

Соответствующеевыражение длязатухающейплоской волныможно получить,введя комплексноевыражение дляволновогочисла:

;

.

Мы получиливыражение дляволны с экспоненциальноубывающейамплитудой.

Отметим,что векторы

и - это вспомогательныевекторы векторнойдиаграммы, невекторы электрическихполей.

Лекция848

Лекция 8

7. Линза

7.1. Фокусныерасстояниедля сферическойповерхности

A b

as’

O s R O’

B C

n=1 n>1

Рассмотримпрохождениесветовой волнойсферическойповерхности,разделяющейвакуум и некоторуюсреду, например,стекло, показателькоторой равенn. Пустьв точке Oнаходитсяисточник света.

Ранеемы получилисоотношениемежду угломизлучения(падения) лучасвета и производнойначальной фазывдоль поверхностираздела двухсред:

.

В данномслучае справаи слева у насразные углыq- это углы паденияaи b,и разные длиныволн- l₀в вакууме иlв стекле. ПрямаяOO’обозначаетоптическуюось и мы ограничиваемсяпараксиальнымилучами, т.е. лучами,проходящимичерез преломляющуюповерхностьвблизи оптическойоси. Это означает,что углы aи bмалы.

С учетомэтих замечаниймы можем записать:

; .

Здесьh- расстояниеточки Aот оптическойоси.

Из этихуравненийследует:

; .

Собственно,мы здесь записализакон преломлениядля малых углов

и из негополучили выражение,с помощью которогоможно подсчитатьрадиус сферическойповерхности,необходимойдля того, чтобывышедшие източки Oлучисобиралисьв точке O’.

Ограничиваясьлишь рассмотрениемпараксиальныхлучей, мы можемне делать различиямежду величинамиs иs’с одной стороныи длинами отрезковOB иO’Bс другой. Обозначимдлины этихотрезков какx иx’.

Устремивтеперь величинуxк бесконечности(на сферическуюповерхностьпадает плоскаяволна), мы получим

; .

Иначеговоря, припадении насферическуюповерхностьпараллельногопучка параксиальныхлучей они соберутсяв точке O’на расстоянииx’=f’от поверхности.Величина f’называетсяфокусным расстоянием.

Если мыхотим, чтобывышедшие източки Oлучи послепреломленияна сферическойповерхностибыли параллельныоптическойоси, нам в полученномвыражении нужноположить равнойбесконечностивеличину x’»s’и тогда

; .

Такимобразом, слеваи справа фокусныерасстояниянеодинаковыи различаютсяв nраз.

С учетомполученныхвыражений мыможем записатьтакие соотношения:

или .

O’O

Предположимтеперь, чтовеличина x.тогда будетn/x’.Это означает,что точка O’будет находитьсяслева от сферическойповерхности.Точку O’называют изображениемточки O.Если x’,реальные лучине пересекаютсяв точке O’,они идут послепреломлениятаким образом,как если бы онивышли из этойточки. В такомслучае говорят,что изображениеточки Oмнимое. Еслилучи пересекаютсяв точке O’,то говорят одействительномизображении.

O

O’

Но можетбыть и такоеположение, чтолучи направленыв точку O,расположеннуюсправа от поверхности(x) ипосле преломленияпересекаютсяв точке O’.Тогда говорято мнимом источникесвета, в отличииот действительного,из которогона самом делеисходят лучисвета. Разумеется,при x’мнимый источникрасположенпо отношениюк преломляющейповерхностиближе правогофокусногорасстояния.

7.2. Фокусноерасстояниелинзы

Обычноиспользуетсяустройствоиз стекла илидругого материала,ограниченноедвумя сферическимиповерхностями.Если эти поверхностирасположеныблизко другот друга, говорято тонкой линзе.Подсчитаемфокусное расстояниетонкой линзы.

Пустьрадиусы сферическихповерхностей,отделяющихстекло от вакуума,равны R₁и R₂.Запишем координатуточки, в которойсобрались быпараллельныеоси лучи справаот первойповерхности:

.

На такомрасстоянииоказываетсяизображениебесконечноудаленногоисточника светапосле прохожденияпервой сферическойповерхности.Оно является(мнимым) источникомдля второйсферическойповерхности.Применим полученноевыше выражениядля определениякоординатыизображенияточки O’,которое получаетсяс помощью второйсферическойповерхности.Но здесь необходимынекоторыепояснения.

Заменяяxна y,мы можем записатьдля нее такоевыражение:

.

В этомвыражении намследует положитьy=-f’,поскольку(мнимый) источникнаходитсяправее преломляющейповерхности,а поверхностимы считаемблизко расположенными.Наконец, в точкес координатойy’соберутсяпараллельныелучи, падающиена линзу. Поэтомувведем обозначениеF’=y’- фокусное расстояниелинзы. Такимобразом,

; .

Если пообе сторонылинзы вакуум,то левый и правыйфокусы находятсяна одинаковыхрасстоянияхот нее. Докажемэто утверждение,повторив снекоторымиизмененияминаши рассуждения.

Еслиисточник светарасположенв левом фокуселинзы F,после нее пучоклучей долженбыть параллельнымоптическойоси. Для этогоизображениеисточника,полученноес помощью первойповерхностидолжно находитьсяв левом фокусевторой преломляющейповерхности(слева от первой,почему x’).Кроме тогоy’=Ґ.Поэтому:

; ;

.

Что мыи хотели доказать.

7.3. Фокусноерасстояниелинзы. Другойподход

Решаяту или инуюзадачу мы применяем,по возможности,самый подходящийметод решения.И, вообще говоря,нет нужды решатьзадачу еще идругим методом.Но некоторыеметоды не слишкомпросты и самипо себе не всегдадо конца понятны.Тогда и решениезадачи такжеоказываетсянепонятным.Поэтому полезноиногда решитьодну и ту жезадачу разнымиметодами. Собственно,нашей цельюявляется нестолько изучениезадач, сколькоизучение разныхметодов ихрешения. Поэтомумы сейчас иобращаемсяк задаче обопределениифокусногорасстояниялинзы, используяиные рассуждения.

Вернемсявновь к задачераспространенияволны, плоскойволны. Вдольпоказанногона рисункефронта фазаколебанийпостоянна -согласно определениюфронта. Этиколебания, какмы знаем, являютсяисточникамидругих колебаний,распространениекоторых и естьраспространениеволны. Причемочень удобно,что мы заранеезнаем направлениеее распространения.

Y Y l

q q

0X 0 X

x=x₀cos(wt-kx)

Колебаниявдоль фронтапроисходятв фазе, на левойкартинке и излучениепроисходитпо нормали кповерхностифронта, что непредставляетсяудивительным.

Проведемтеперь плоскостьпод углом qк фронту волны.Мы уже говорили,что величина-kxпри определенномxимеет смыслначальной фазы.Поэтому вдольоси Olначальная фазаколебанийизменяетсяпо закону:

.

По отношениюк нормали кэтой поверхностинаправлениеизлученияпроисходит,как видно изрисунка, подуглом q.Этот же результатдает и полученноеранее выражение:

.

В данномслучае мы неполучили новогорезультата,просто убедились,что полученнаянами выражениедействительно“работает”.А теперь применимего в задачеоб определениифокусногорасстояниялинзы.

dx

q

rF

X

0 Ra q

d

Для простотырассмотримплоско-выпуклуюлинзу с показателемпреломленияматериала n.

Проведемнекоторыерасчеты. Пустьв плоскостис x=0начальная фазаколебаний равнанулю. Тогда вплоскости приx=d(на заднейповерхностилинзы) начальнаяфаза на оптическойоси j₀=-k’d(k’-волновое числоволны в стекле).Иная фаза назадней поверхностилинзы при x=dна расстоянииrот оптическойоси:

,

посколькуk=2p/lи k’/k=n.Кроме того вэтом выраженииdx- координататочки пересеченияпараллельногооптическойоси луча в переднейповерхностьюлинзы:

.

Такимобразом,

.

Такимобразом, мыполучаем выражениедля фокусногорасстоянияплоско-выпуклойлинзы:

;

,

что,естественно,совпадает сполученнымранее результатомпри R₁=Rи R₂=Ґ.Значит, и в этомслучае выражениеsin(q)=-(dj/dy)(l/2p)“работает”.

7.4. Построениеизображенияпредмета.

Увеличение

Предположим,что на некоторомрасстоянииот линзы находитсяосвещенныйпредмет, каждаятоска котороготем самым являетсяисточникомсвета. Рассмотримсначала лучи,исходящие източки предмета,находящиесяна оптическойоси линзы.

r

qs’

s f O f’

При падениина тонкую линзуна ее заднейповерхностивдоль радиусасоздаетсянекотораязависимостьфазы колебаний

.

При косомпадении лучейк этой производнойфазы по радиусудобавляетсяеще

.

В результатеугол направленияизлучения светабудет:

;

; .

y

x’

s’

s x f f’ y’

Введемобозначения

и перемножимэти величины:

;

.

Мы доказали,что на расстоянияхx иx’находятсяизображениянижних (совпадающихс оптическойосью) концовпредметов. Атеперь проведемтакие построения.

y

x’

s’

s x f f’ y’

Проведемчерез верхнийконец предметана высоте yгоризонтальныйлуч. Послепересечениялинзы он будетнаправлен вправый фокус.Другой лучпроведем изверхнего концапредмета черезлевый фокуслинзы - послеее пересеченияон будет параллеленоптическойоси. В точке ихпересечениябудет находитьсяизображениеверхнего концапредмета.

Из подобныхтреугольниковполучаем выражения:

;

.

Мы доказали,что изображенияверхних концовтакже находятсяна таком жерасстоянииот линз, что инижних. Иначе,изображениеперпендикулярногооптическойоси предметатакже ей перпендикулярно.

Теперьнам осталосьлишь получитьвыражения дляувеличения.Оно легко получаетсяиз выписанныхвыражений:

.

Чтобыподсчитатьувеличениенам нужно знатьположениепредмета относительнофокуса линзыи, конечно, величинуфокусногорасстояния.

Лекция954

Лекция 9

8. Интерференция

Этимсловом обозначается,в общем-то, всеголишь сложениеволн. Всеголишь сложение,но при этомвозникает многовопросов исложностей.Прежде всегодело в том, чтоволна являетсявесьма непростымобъектом, объектомболее сложным,чем нам этопредставляетсяна данном этапе.

Крометого многообразнымии не очень простымиоказываютсясхемы наблюденияразных явлений,возникающихв результатесложения волн,их интерференции.Так что лучшевсего заранеенастроитсяна обсуждениемногочисленныхи достаточнонепростыхвопросов.

8.1. Двухлучеваяинтерференция.Точечные источники

X

x

S’

d 0

S” l

Собственно,эту задачу мыуже решали -при падениина экран двухволн от разнесенныхна расстояниеd точечныхисточниковдолжны наблюдатьсяминимумы имаксимумыинтенсивности.Если расстояниедо экрана l>>d,то, как мы выяснилиранее, расстояниемежду минимумамиоказываетсяравным

.

Обычнорасстояниемежду источникамисоставляетнесколько длинволн, и расстояниемежду минимумамиDxоказываетсяне слишкоммаленьким.

Мы крометого считаем,что координататочки наблюденияx,и это обстоятельствопозволяетввести понятиеуглового расстояниямежду источникамиq»d/l. Тогдавыражение дляширины интерференционногомаксимума можетбыть записанов виде:

.

Получимэто выражениееще одним способом.На достаточнобольшом расстоянииот источниковприходящиеот них волныможно считатьплоскими, ивблизи нуляна оси OXуглы паденияэтих волн будутравны

и

.Далее, при паденииплоской волнына экран, какмы в свое времявыяснили, фазаэлектромагнитныхколебаний будетзависеть откоординаты:

.

Проинтегрировавэти уравнения,мы получимтакие выражениядля зависимостифаз колебанийот координаты:

.

Мы посчиталифазы равныминулю при x=0.В этой точкебудет наблюдатьсямаксимум колебаний.Ближайший кнему минимумбудет наблюдатьсяна расстоянииполуширинылинии Dx/2,которое определяетсяусловием

; .

Y

l(y)

S

0

q(y)=d/l

Мы рассматривали,как это обычнои делается,интерференциюволн от точечныхисточников,от которых,стало быть,исходят сферическиеволны. При удаленииот точки наблюденияв перпендикулярномк плоскостирисунка направлении(вдоль оси OY)будет уменьшатьсяугловое расстояниемежду источникамиq,и полосы будутнаблюдатьсяв виде расходящихсядуг.

На практике,однако, вместоточечных источниковиспользуютсяпараллельныеоси OYщели, которыеосвещаютсянекоторымиисточникамисвета. В пределахщели происходятэлектромагнитныеколебания иони действуюткак множествонепрерывнорасположенныхточечных источников.В этом случаеинтерферируютцилиндрическиеволны и интерференционныеполосы параллельныдруг другу.

8.2. Опыт Юнга.Когерентностьволн

При наблюденииинтерференционнойкартины возникаютнекоторые невполне очевидныетрудности.Представимсебе, что в качествеисточниковцилиндрическихволн мы попыталисьиспользоватьнити двухэлектрическихлампочек. Излучениераскаленныхнитей осуществляетсяускореннымдвижениемэлектроновв нитях, никакдруг с другомне связанных.Такие волны,естественно,не будут иметьодинаковыеначальные фазы,которые призаписи соответствующихвыражений мыпросто считалинулевыми. И этиначальные фазыне только различныу рассматриваемыхдвух волн, нои непостоянныво времени,изменяютсяслучайнымобразом. Такиеволны называютнекогерентными.

В принципенам не обязательнонужно, чтобыначальные фазыколебаний отдвух источниковбыли равны. Намнадо, чтобыпостояннойво времени быларазность фазэтих колебаний.Если это требованиевыполняется,то волны (илиисточники)называюткогерентными.Это определениекогерентностиволн(источниковволн).

Такимобразом, возникаетпроблема: какдобиться того,чтобы источникибыли когерентными?

Представимсебе, что источником(приблизительно)цилиндрическихволн являетсявертикальнорасположеннаяраскаленнаяполоска металла.Понятно, чтоона будет излучатьсвет по разнымнаправлениямкак в вертикальной,так и в горизонтальнойплоскостях.

Мы связалинаправлениеизлучения спроизводнойфазы колебанийпо координате.Из огромногочисла колеблющихсяэлектроновнайдутся итакие, которыев данный моментколеблютсяс (примерно)одинаковойфазой. Их излучениебудет направленопо нормали кполоске. Нонайдутся иэлектроны,которые колеблютсятак, что дляних производнаяфазы по направлениювдоль некоторойпрямой, “нарисовано”на поверхностиполоски, имеетотличное отнуля значение.Их излучениебудет направленопод некоторымуглом к излучающейповерхности.

Но пустькакая-то группаэлектроновизлучает волнупримерно понормали и онапопадает затемна экран. Однако,в следующийпромежутоквремени этобудут уже другиеэлектроны,начальная фазападающей наэкран волныбудет другой.Но, разумеется,в течение некотороговремени онавсе же будетиметь какое-тозначение, будет(примерно)постоянной.Такое постоянствофазы определяетвременную(с ударениемна ‘у’) когерентность.

При этомволна не будетнаправленастрого по одномунаправлению,она обязательнобудет распространятьсяв некоторомтелесном угле.Значит в точкахна некоторыхрасстоянияхв поперечномнаправлениифаза колебанийбудет одинаковой.И чем дальшеот источника,тем эти расстояния,естественно,будут больше.В таком случаеговорят опространственнойкогерентности.

Поэтомуможно, например,осветить парущелей достаточноудаленнымисточникомэлектромагнитныхколебаний.Например, весьмавелика пространственнаякогерентностьу света, которыйприходит отзвезд. Вот толькосила света приэтом оказываетсяочень малой.

X

b

dx

0

DL q

Проще (применьшем удаленииот источникови с большейсилой света)осветить когерентнымсветом однуузкую щель.Выделив на нейпоперечнуюполоску, мыможем надеяться,что в ее пределахколебания будуткогерентными.Такая полоскаможет рассматриватьсякак системанепрерывнорасположенныхточечных источников,зависимостьамплитуды волныот угла мы сВами ранеепосчитали:

.

щель

S S’

d

линза S”

экран

Чем ужещель, тем большеугол, в пределахкоторого происходитизлучения. Ив пределахэтого углаизлучение будеткогерентным.

Эта идеяреализованав классическомопыте Юнга. Наэкране наблюдаетсяинтерференциякогерентныхволн от двухщелей, которые,в свою очередь,освещаютсяцилиндрическойволной от одиночнойщели.

8.3. Длина когерентности

В опытеЮнга обеспечиваетсякогерентность(постоянстворазности фазколебаний) двухисточниковсвета - параллельныхщелей. Естественно,при некогерентныхисточникахинтерференционнаякартина наблюдатьсяне может. Нодля успешностинаблюденияинтерференционнойкартины оказываетсяважной и временнаякогерентность.При этом оказываетсяболее удобнымговорить одлине когерентности.Она определяетсякак характерноевремя, в течениекоторого фазаколебаний волныостается постоянной,умноженноена скоростьсвета в вакууме.

Действительно,при удаленииот центра экранаувеличиваетсяразность ходалучей от источниковS’ иS”. Иесли разностьхода большедлины когерентности,то мы опять-такине сможем наблюдатьинтерференционуюкартину.

Сделаемтакое (достаточноочевидное)утверждение:“чисто” синусоидальныхволн в природене бывает. Ближевсего к такойволне излучениелазера, но идля него длинакогерентностиконечна, хотяи весьма велика.Но любая реальнаяволна представляетсобой суммубольше илименьше отличающихсяпо частотесинусоидальныхволн.

Интенсивностьизлучения,таким образом,некоторымобразом распределенапо оси частот(или длин волн).В этой связиговорят о ширинеспектральнойполосы, и в вопросео том, как связанадлина когерентностис разностьюдлин волн намвновь поможетрассмотрениебиений.

Предположим,что волна светапри наблюденииинтерференциив опыте Юнгапредставляетсобой суммудвух синусоидальныхволн. Как мызнаем, амплитудасуммарныхколебанийизменяетсяпо закону

.

Следовательно,изменение фазыпроисходитчерез времяDt,которое определяетсяусловием

;

и длинакогерентности

.

С другойстороны мыимеем:

; .

По смыслудлина когерентности- величинаположительная.Беря поэтомусоответствующиевеличины помодулю, имеем:

.

Подойдемтеперь к этомувопросу с другойстороны. Предположим,мы проводимопыт Юнга стакой волной- суммой волнс близкимичастотами. Дляних расстояниямежду минимумамиDxразличны:

.

На такуювеличинуинтерференционныймаксимум однойдлины волнысдвинут поотношению кмаксимумудругой. Есливзять достаточнобольшое количествомаксимумовn,то сдвиг равенndxи если он окажетсяравным половине(средней дляэтих волн) шириныинтерференционногомаксимума,картинка “смажется”.Заметив, чтодля максимумас номером nразность ходалучей равнаnl,мы получим:

; ; .

Такимобразом, длинакогерентностиоказываетсявеличинойпорядка разностихода, при которойинтерференционнаякартина ужене наблюдается.

8.4. Линии равногонаклона

Рассмотримтеперь задачуоб отражениисветовой волныот плоскопараллельнойпластины (“тонкойпленке”). Частьсвета отражаетсяот верхнейповерхностипластины (“перваяволна”), частьпроникаетвнутрь ее. Послеотраженияпроникшей втолщу пластиныволны от нижнейее поверхностии преломленияна верхнейповерхности(“вторая волна”)две эти волныбудут распространятьсяв одном направлении.

Dl₁ 1 2

n=1

q q

qў

dDl₂

n>1

Коэффициентотраженияпрозрачныхматериаловневелик - порядканесколькихпроцентов.Поэтому обеволны имеютпримерно равнуюамплитуду.Амплитудасуммарныхколебаний внекоторойудаленной зоненаблюдениязависит, естественно,зависит отразности фаз,а эта последняя- от разностихода, которуюнесложно подсчитать.

Послепадения наверхнюю поверхностьпластины дозоны наблюдениялучи 1и 2проходят разныепути. При этомследует учестьтакие обстоятельства.При подсчетеразности путей,проходимыхдвумя волнамипуть пройденныйв вещественеобходимоумножать напоказательпреломленияn- для подсчетаразности фаз,собственноважна разностьвремен распространенияволн, а в веществескоростьраспространенияв nраз меньше.Кроме того приотражении волныот верхнейповерхностипроисходитпотеря полуволны- изменениефазы на p.

Подсчитаемдлину путиволны 2в веществе:

.

Далее,

.

Такимобразом, оптическаяразность ходаволн 1и 2

.

При выводеэтого выражениямы использовализакон преломленияв виде

.

При наблюдениипластины поднекоторым угломмы будем видетьее либо темнойлибо светлой.Светлой онабудет в томслучае, еслиоптическаяразность ходаравна целомучислу длинволн. Иначеговоря, условиемаксимумаотражения имеетвид

,

где k- целое число.

Если вразных точкахповерхностипластины углыпадения разные,вдоль линийс одинаковымуглом падения,удовлетворяющемусловию максимума,мы будем наблюдатьсветлые полосы,между ними -темные. Этилинии и называютсялиниями равногонаклона - имеетсяввиду “наклон”падающего лучасвета. При освещениипластины белымсветом мы можемувидеть разныеее части окрашенными- для разныхдлин волн условиемаксимумавыполняетсяпри разныхуглах падения.

Обратимвнимание - разностьхода не должнабыть большедлины когерентности.Вот почему(если речь неидет о лазерномизлучении,длина когерентностикоторого велика)линии равногонаклона наблюдаютсялишь на тонкихпленках. Потомуэтот тип интерференциичасто так иназывается- интерференцияна тонких пленках.