Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D при симметричных расположениях заряда.
Поток вектора электрич. _
смещения D cквозь произвольн. замкн. поверх. S равен алгебраич. сумме зарядов заключ. внутри поверх.
Замкнутая поверх - такая вкотор нет отверстий.
Алгебр. сумма - сумма заряда с учетом их знаков.
_ _ n
ѓDdS=Sqi 1)
S i=1
_ _
ѓEdS=(1/e0)Sqi 2)(для вакуума)
S i
Док - во.
1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q .
_ _
ѓDdS=ѓDdS
S S
_ _
Dn a=0 Dn=D
Вынесем за знак интегр.
DѓdS=D4pr2=(q/4pr2)´4pr2=q
S
_ _
3) ѓDdS=q
S
Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а в люб. т внутри поверх. S колич. линий
_
D прониз. поверх. не измен. , т.е. для люб. положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.
Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.
Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q1, q2 ,q3, ...,qi,...qn 1£ i £n
Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна.
На основ. 1)
для кажд
зар. теор.
справедлива.
_ _
4) ѓDidS=qi
S
в 4) просуммируем левую и правую часть.
_ _
SѓDidS=Sqi
i i
_ _
ѓ(SDi)dS=Sqi
s i i
_ _ n
ѓDdS=Sqi 5)
s i
Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи.
Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства.
r - об. плотность.
r=dq/dv (Кл/м3)
6)Sqi=òrdv
i v
_ _
ѓDdS=òrdv S и V -
v согласо-
ванны.
Практич. применение теор. Гаусса.
Методика применения теоремы.
Дано:
Шар , eш ¹ 0 , eш>0 , eш=e , ecp=1 , r=const , R - радиус шара 1) r>R (вне шара)
2) r<R (внутри)
Найти Е и D вне и внутри шара).
ОА=r
1) Наход. картину линий поля.
2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач.
Во всех точках поверх. или к части точек cosa=1.
3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку.
4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх a=0 D=const.
5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ n
ѓDdS=Sqi
S i=1
_ _
ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2 (1)
S S
6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.)
Sqi=rV=r(4/3)´pr3 (2)
7) Приравниваем (1) и (2)
D´4pr2=r(4/3)´pr3
D=((rR3)/3)´1/r2 D~1/r2
q=r(4/3)´pr3 D=q/4pr2
Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.
Рассм. точку внутри шара.
1) _ _
ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2
S S
2) Sqi=rV=r(4/3)´pr3
D=4pr2=r(4/3)´pr3
D=r/3´r D~r
Постр. граф. завис. D(r).
Dв диэлектр и Dв вакууме - одинаков.
Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D=r/3´r
E=D/ee0
для А E=(q/4pe0r2)=k(q/r2) b)
для С E=(r/3ee0)´r a)
Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.
6) ER=q/4pe0R2 r=R
Подходим к поверх. изнутри.
7) ER=(r/3ee0)´R
E=(r4pR3)/(3´4pe0R2)
8) E=(r/3e0)´R
Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.
ER¹ER ER>ER (скачок)
вн сн вн сн
Завис. Е(r)
При eср<eш
Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи.
Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.
1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:
Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s (s = dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.
плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр,
основание параллельно плоскости.
Полный поток сквозь цилиндр
равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e0 ,
откуда Е=sS/2e0. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.
2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин.
Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=s/e0.
3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает
весь заряд и по теор. Гаусса
4pr2E=Q/e0 , откуда
E=(1/4pe0)´Q/r2 (r ³ R)
Если r¢<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0.
4) Поле объемно заряженного шара.
Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r=dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4pe0)´Q/r2
Внутри же будет другая.
Сфера радиуса r¢<R охватывает заряд Q¢=(4/3)p(r¢)3q. Поэтому по теор. Гаусса: 4p(r¢)2Е= Q¢/e0=(4/3)p(r¢)3´re0
, получим: E=(1/4pe0)´(Q/R3)r¢ (r¢£ R).
5) Поле равномерно зар. без-
кон. цилиндра.
Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl - заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2prlЕ , где l -высота. По теореме Гаусса, для r>R
2plЕ=t(l/e0) , от сюда Е=(1/2pe0)(t /r) (r ³ R).
Если r<R , Е=0.
Теор. Гаусса в дифференциальной форме.
В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса.
Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r¹const
В общем случае r =f(x,y,z)
Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r(x,y,z). В т. А D(x,y,z) D - смещение в т. А.
Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.
Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r =const
_ _
1) ѓDdS=rDV DV®0
S
Нах. предел отношения потока через поверхность куба. на DV при DV®0.
_ _
2) lim ( ѓDdS/DV)=r (в т. А)
DV®0 S
_ _ _
lim ( ѓDdS/DV)=div D
DV®0 S (дивергенция)
В математике показ. что
_
div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+
+(¶Dz/¶z)
_ _ _ _ _
D=iDx+jDy+kDz divD - скалярная вел.
Перепишем 2) в окончательном виде.
_
3) div D=r - теор. Гаусса в дифр. форме.
Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке.
Из 3) очевидно если r>0
_
(+ зар) div D>0 - исток расхождения. Если r<0 ( - зар)
_
div D<0 вхождение линий.
Из3) важное следствие:
Источником поля явл. электрич. заряд.
Теор. Остроградскрго Гаусса.
Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.
_
4) div DdV=r dV
проинтегрируем 4) по объему
_
5) òdiv DdV=òr dV
v v
_ _
òr dV=òDdS
v s
_ _ _
6) òdiv DdV=ѓDdS - Остр. Г.
v s
согласован «
В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.
Работа сил. электростатич. поля.
Потенциал поля.
Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.
Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.
q - созд. поле.
+q0 -перемещ. в поле заряда q.
Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl.
0) dA=Fldl =Fcos adl =Fdr
r - тек. расст. между q иq0.
Найдем полную работу.
2 2
А=òdA=òFdr
1 1
Поскольку Fdr cosa¢=1
_ _
Fdr=Fdr
r 2_ _
1) A=òFdr
r 1
Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между
_ _ _ _ _ _
Е и F. E=F/q0 E=q0E
_ _
2) dA=q0Eldl =q0Edl =
=q0Ecos adl
интегрируем 2) лев. и прав. часть
2 _ _
3) A=q0òEdl
1
Получим еще одну формулу.
Воспольз. 1) в котор. подставим ур. Fкл.
r2
A=òk(q0´q/r2)dr
r1
A=q0((kq/r1) - (kq/r2))
Из 4)
5) A=q0(j1 - j2)
Работа при перемещении зар. q0 электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.
Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем.
Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q0 из данной т. в котор.
j1 = j в бесконечность j2=j¥=0.
Из 5) А¥=q0j
6) j = А¥/q0
Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В
Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.
Потенциальный характер поля.
Рассм. перемещ. зар. q0 в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.
Возмем для работы форм. 3)
_ _
q0ѓEldl=q0ѓEdl =0
L L
q0 ¹ 0
_
1) ѓEldl=0 - циркуляция Е
L _
Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.
Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.