Физика

Раздел 4.Основы специальнойтеории относительности

ирелятивистскаямеханика.

4.1. Краткиеисторическиесведения.

Механика,сформулированнаяНьютоном в1687 году в егознаменитых«Принципах»и существенноразвитая в 18веке Эйлером(1707-1783) ,Клеро (1713-1765) иДаламбером(1717-1783),а в конце 18 века- начале19 века-Лагранжем(1736-1813), Лапласом(1749-1827) и Пуассоном(1781-1840) и, наконец,в 19 веке - Гамильтоном(1805-1865), Якоби (1804-1851) иПуанкаре(1854-1912), достигластоль выдающихсяуспехов и получиластоль широкоепризнание, чтодолгое время,вплоть до последнейчетверти 19 века,ее основы никемне подвергалисьникакой критике.

Механикастала первойнаукой современногоестествознания,которая получиламощное и законченноеразвитие наоснове тогоэкспериментально-математическогометода познанияприроды, которыйот Галилея ещев 17 веке принялосовременноеестествознаниеи благодарякоторому онодостигло стольпоразительныхи выдающихсяуспехов.

Красивоездание механикибыло стольсовершенным,что и все остальныефизическиенауки (об электрических,магнитных,оптических,тепловых и др.физическихявлениях) долгоевремя, особенновесь 18 век и дажедо последнейчетверти 19 века,пытались строитьпо образу иподобию механики.

Возниклодаже особоетечение внатурфилософии- механистическоемировоззрение,которогопридерживалисьмногие, можносказать, подавляющеебольшинство,ученых конца19 века. Это мировоззрениеставило своейцелью сведениевсех физическихявлений к проявлениюпростых механическихзаконов.

Вместес тем, оченьбольшие успехи,достигнутыев 19 веке электродинамикой- открытие законаэлектромагнитнойиндукции,электрическогомотора и трансформатора,электромагнитнойприроды света,электромагнитныхволн радио- иСВЧ-диапазона- и термодинамикой- открытиеобщефизическогозакона сохраненияэнергии, паровоймашины и двигателявнутреннегосгорания, ракетногодвигателя, атакже фантастическиеуспехи атомно-молекулярногоучения о строениифизическоговещества - открытиеэлектрона всамом конце19 века, а такжеструктурыатома, открытиеатомного ядра,ядерной физикии физики элементарныхчастиц - всеэто уже к 1926-27 гг.,как снежныйком, смеломеханистическуюфилософиюприроды и заменилоее правильнымпониманиемхотя и существенной,но все же в целомограниченнойроли механикив физическойнауке, котораяв 20 в. Нам всемизвестна сошколы.

Но этопроизошло в20 в., а мы хотимзаняться сейчасисториейисследованийконца 19 в. - начала20 в., зародившихсяна основе критикифундаментальныхоснов ньютоновскоймеханики, связанныхс появлениемтеории относительностии релятивистскоймеханики.

А. Проблеманьютоноваабсолютногопространстваи существованияв природе классаинерциальныхсистем отсчета.

Начинаяс 1872г. Э.Мах первымв истории наукине побоялсяпублично выступитьс критикойсамых фундаментальныхоснов механикиНьютона - в товремя прочноутвердившейсяи незыблемойтеории.

Махсправедливоуказал на отсутствиеу Ньютона четкихопределенийпонятий массыи силы, на очевиднуюлогическуюзависимостьпервого законаот второгозакона, на неясностипредставленийНьютона обабсолютномдвижении исвязанных сним его представленийоб абсолютномпространствеи абсолютномвремени.

Фундаментальнаяидея механикиНьютона о том,что в природесуществует«абсолютноедвижение»- действительноу Ньютонасформулированоочень нечетко.В этих представленияхНьютона, однако,получил отражениев его механикетот важныйэкспериментальныйфакт, что в природепо какой-топричине существуютпривилегированные,т.е. выделенныев отношениимеханическихявлений, нополностьюэквивалентныедруг другу -так называемыеинерциальныесистемы отсчета,движущиесяотносительнодруг другапрямолинейнои равномерно,с постояннымискоростями.Одна из этихсистем, по Ньютону,фактическии является тойсамой абсолютнойсистемой отсчета,относительнокоторой Ньютони отсчитывалсвое абсолютноедвижение.

Такимобразом, инерциальнойсистемой отсчетав механикеНьютона, строгоговоря, называетсясистема отсчета,движущаясяпрямолинейнои равномерно,с некоторойпостояннойскоростью,относительноабсолютнойсистемы, хотясамой абсолютнойсистеме строгогоопределенияи не дается.

Следует,однако, заметить,что хотя самНьютон четкоабсолютноепространствои связаннуюс ним абсолютнуюсистему отсчетаи не определил,но если внимательнопроследитьисторию предваряющихисследованияНьютона исследованийГалилея и Гюйгенсапо движениюземных тел вполе тяжестиЗемли и Коперникаи Кеплера подвижению основныхнебесных тел- Солнца, Луны,и пяти главныхпланет, из которых,собственноговоря, непосредственнои возникламеханика Ньютона,в частности,его решениесамой основнойзадачи небесноймеханики - такназываемойзадачи Кеплерао движениипланеты вокругСолнца поэллиптическойорбите, то нетруднопрактическибезошибочноустановить,что под абсолютнойсистемой отсчетаНьютон фактическипонимал коперниковскуюгелиоцентрическуюсистему отсчета,а под абсолютнымпространством- межпланетноепространствоСолнечнойсистемы. Именноэта системабыла принятаНьютоном вовсех его успешнорешенныхмеханическихзадачах - о движенииЗемли, Луны ипланет, об океанскихприливах иотливах наповерхностиЗемли и т.д.

Историческийвопрос о существованииистинной системыотсчета, самойестественнойдля математическогоописаниямеханическихдвижений небесныхтел - Солнца,Луны и пятиглавных планетбыл поставленв 16-17 вв., на зарестановлениясовременногонаучногомировоззрения,И вопрос этотбыл окончательнорешен ужеоснователемсовременногоестествознанияН. Коперником(1473-1543) в 1520-30 гг. И в егознаменитомсочинении «Обобращенияхнебесных сфер»,которое началопечататьсяза несколькодней до егосмерти в 1543 г.

ФактическиКоперник решилосновнуюкинематическуюзадачу нашейСолнечнойпланетнойсистемы, - нашелсамую удобнуюсистему координат,жестко связаннуюс межпланетнымпространством,для описаниявидимого намидостаточносложного движенияСолнца, Луныи главных планетсреди неподвижныхзвезд.

Именноэта «абсолютная»система отсчетаи была принятанеявно Ньютономв его «Принципах»при формулировкеоснов механике,при решенииим задачи Кеплераи других астрономическихзадач, а такжепри решениизадач о движениител на Земле.

Ньютонсвой выборуказаннойабсолютнойсистемы отсчетане формулировал,однако, явно,заявив бездолжных поясненийдовольно туманно,что в природесуществуетабсолютноевремя, абсолютноепространствои абсолютноедвижение, чтоименно абсолютноедвижение тели являетсяистинным предметомизучения созданнойим механикис ее тремя законами.

Здесьследует подчеркнуть,что особенноудивительното обстоятельство,что специальная,выделеннаяпо своим механическимсвойствам,инерциальнаясистема отсчетав природе имеетсяне одна, а существуетцелый класс- бесконечноемножествоподобных систем,по своим механическимсвойствамдействительнополностьюэквивалентныхдруг другу,Все они движетсяпоступательноравномернои прямолинейно,с постояннымискоростямидруг относительнодруга. По механическомуповедениюдвижущихсяв них тел всеэти инерциальныесистемыотсчета принципиальнымобразом отличаютсяот остальныхсистем отсчета- так называемыхнеинерциальныхсистем.

Что существуетмножествоэквивалентныхособенныхсистем отсчета,- знал уже Галилей,на экспериментальныеисследованиякоторого опиралсяНьютон в своих«Принципах».Именно Галилейоткрыл механическийпринцип относительности,согласно которому,производячисто механическиеэкспериментыв рамках какой-нибудьодной инерциальнойсистемы отсчета,невозможноопределитьфакт движенияэтой системыотсчета относительнодругих инерциальныхсистем. В инерциальныхсистемах отсчетаидентичныепо постановкемеханическиеопыты всегдаодинаковыерезультаты.

Галилейсформулированныйим механическийпринцип относительностииспользовал,как известно,для снятиянаивных возраженийпротив системыКоперника,исходящих отперпатетиков,сторонниковАристотеля,утверждающих,что если быЗемля двигалась,то находящиесяна ней телаоторвалисьбы от ее поверхностии отстали быот нее. Галилейсправедливозаявил, чтоникакие механическиеэксперименты,производимыена поверхностиЗемли, движущейсяв межпланетномпространствевокруг Солнцаравномернои прямолинейно,не могут установитьфакт движенияЗемли.

Впрочем,не совсем правильноутверждать,что Земли движетсяпрямолинейнои равномерно.Земля вращаетсявокруг своейоси с угловойскоростью0.000073 1/с;кроме того, еедвижение попримерно круговойорбите вокругСолнца совершаетсясо среднейлинейной скоростью30 км/с,что соответствуетугловой скорости0.0000002 1/с,Само Солнцедвижется соскоростью 220км/собращаясьвокруг центранашей галактики,что соответствуетугловой скорости0.00000000000000088 1/с.Ввиду исключительноймалости всехэтих угловыхскоростей, вочень хорошемприближенииможно считать,что Земля движетсячерез пространствопоступательноравномернои прямолинейнос постояннойскоростью 30км/с.

В отличииот Ньютона Э.Мах пыталсяобъяснитьфизическуюприроду наличияв природе особыхмеханическихсвойств уинерциальныхсистем отсчета- он справедливозаметил, чтоодна из инерциальныхсистем - самаяглавная, фактическии определяющаяньютоновоабсолютноепространство- это действительнофизическивыделеннаядля нас, каклюдей на Земле,система отсчета,- связанная снебом неподвижныхзвезд, т.е. смежпланетнымпространством,от которой мыникогда и нипри какихобстоятельствахне можем абстрагироваться.

ТакоеразъяснениеМахом загадкиприроды обинерциальныхсистемах отсчета,кажется достаточноубедительным,хотя и порождаетвопросы. Неясно, в частности,почему стольудаленные отнас объекты- звезды могутстоль существенновлиять на движениетел на Землеи Земли вокругСолнца в нашейСолнечнойсистеме.

В. Проблемасветоносногоэфира и существованияна Земле эфирноговетра.

Вопроссуществованияв природе целогокласса механическиэквивалентныхинерциальныхсистем отсчетаи о наличиисреди них одной,самой главной- абсолютнойсистемы, или,как мы объяснили,коперниковскойсистемы, жесткосвязанной смежпланетнымпространствоми небом неподвижныхзвезд, по Махувоплощающимв себе абсолютноепространствоНьютона, в которомдвижется Земля,Солнце, Луна,планеты и ихспутники, нельзяограничитьисключительномеханическимирамками, каквпрочем мыпока что этоделали.

Это,разумеется,общефизическийвопрос:ведьна Солнечнуюсистему нельзясмотреть простокак на чистомеханическуюсистему материальныхточек, подчиняющуюсяисключительнозаконам ньютоновскоймеханики. Кромемеханических,существуетогромное числодругих чистофизическихявлений, немеханическойприроды, постояннопроисходящихв Солнечнойсистеме. Вовсяком случае,даже в рамкахчистой небесноймеханики мыне можем абстрагироватьсяот света, таккак посредствомсвета, приходящегок нам от Солнца,Луны, планети их спутников,мы вообще можемсудить о существованииэтих небесныхтел и делатьзаключенияоб их механическомдвижении.

Какраспространяетсясвет в межпланетномпространстве,как он доходитот Солнца донас, - ведь межпланетноепространствопрактическисовершеннопусто, в немнет вещества,которое насокружает здесьна Земле, - этоочень существенныйвопрос.

С моментазарожденияфизическойоптики, т.е. еще17 века, когдазародиласьи механика,сразу возниклидве взаимоисключающиетеории света.С именем Ньютонасвязываюткорпускулярнуютеорию, в которойсвет мыслитсякак поток быстролетящих маленькихтелец - корпускул,причем считается,что все корпускулыв потоке имеютодинаковуюскорость с -скорость света.С именем Х. Гюйгенсасвязываютволновую теорию,в которой светпредставляетсяв виде волн,наподобиезвуковых волнв воздухе,являющихсявозбужденияминекоторойупругой оченьтонкой сплошнойсреды - эфира,при этом скоростьсвета с считаетсяскоростьюраспространенияволн в этойсреде.

Практическис самого началаоптическихисследованийпо волновойтеории светабыло принято,что световыеволны определенноне являютсяколебаниямиили возмущениямиобычной материальнойсреды, как звуковыеволны - колебаниямивоздуха. В отличиеот звуковыхволн световыеволны могутраспространятьсяи в сильноразреженныхматериальныхсредах и дажев пустоте. Светот Солнца доЗемли проходитчерез пустоемежпланетноепространствомежду Солнцеми Землей и другимипланетами.

Различиезвуковых исветовых волнлегко проиллюстрироватьследующимпростым экспериментом

Звонящийбудильникпомещают подстеклянныйколокол, изкоторого насосомвыкачиваютвоздух. По мереудаления воздухаиз - под колоколазвук от будильникастановитсявсе слабее ислабее, покане пропадетсовсем. Еслиоткрыть крани впуститьобратно подколокол воздух,то громкийзвук будильникабудет сноваслышен. Привсех этихманипуляциях,однако, мы всевремя видимбудильникчерез стенкиколокола, аследовательно,световые волныв отличие отзвуковых могутраспространятьсяи в пустомпространствепод колоколом,фактическилишенном воздуха.

Скоростьсвета в пустоте(впрочем, каки в другихпрозрачныхсредах - в воздухе,воде, стеклеи т.д.) огромна.Она равна 300.000км/с. О. Ремером,который определилее из наблюденийвариаций временпоследовательнонаблюдаемыхзатмений спутникаЮпитера, и вначале 18 векав 1728 г. Дж. Д. Брэдли,который нашелее из измеренияугла аберрациидля несколькихзвезд, расположенныхвблизи полюсаэклиптики. Обаизмерения -астрономические,т.е. В них определяласьскорость светав межпланетномпространстве.Оба они далипримерно 300.000км/с.

Так каксвет, по представлениямволновой теории,являетсяколебаниями,т.е. Возмущенияминеподвижнопокоящегосяэфира, то естественнобыло считать,что фактическии было сделано,что абсолютнаясистема отсчетаНьютона - этокак раз та самаясистема, в которойневозмущённыйсветовой эфирпокоится.

Естественнобыло предполагать,чтоэфир заполняетвсё пространствомежду Солнцеми планетами,а таккак с этимпространствомуже была связанаабсолютнаясистема отсчётаНьютона,относительнокоторой Ньютонотсчитывалабсолютноедвижение,топредставлялосьвполне естественнымпредположение,чтоэфир покоитсяв этой системеотсчёта.

Представлениеоб эфире какоб особой тонкойгипотетическойсреде, заполняющейвсю нашу Солнечнуюсистему и всёмежпланетноепространствов ней, существеннообогащалоньютоновучисто механическуюнебесную механику,изложеннуюв его «Принципах»,в которой интереспроявилсятолько к механическим,а точнее - геометрическимхарактеристикамдвижения планети их спутников,под действиемсил всемирноготяготения, вньютоновойабсолютнойсистеме отсчёта.

Одновременнос представлениемо покоящемсяэфире в межпланетномпространствевозникал вопросо возможностиизмерениянемеханическимспособом скоростиЗемли, движущейсяравномернопрямолинейнос постояннойскоростью внеподвижномэфире, т.е. спомощью немеханических,а оптическихэкспериментов.Согласно принципуотносительностиГалилея, механическиеэкспериментыне позволяютэтого сделать.Возникла, однако,теперь надежда,что оптическиеэкспериментыкак раз и позволяткакие-нибудьэффекты, в которыхпроявляласьбы указаннаяскорость. Всёдело тольков том, чтобыизобрестикакой-нибудьтакого родаэксперимент.

Вся этапроблема обизмерениискорости Землис помощью чистооптических,а позднее такжеи электродинамическихэкспериментов,производимыхна поверхностиЗемли, известнав истории наукипод названиемпроблемы измерения«эфирноговетра».

В теорииэтого ветра,с самого начала,приходилосьвыбирать однуиз двух гипотез,известных подименами гипотезФренеля и Стокса.

ГипотезаФренеля (1818 г.)

Землядвижется сквозьнеподвижныйэфир, которыйвовсе не увлекаетсяею или увлекаетсяочень слабо,и поэтомунаблюдательна Земле долженощущать ирегистрироватьнатеканиеэфира на Землю,т.е. «эфирныйветер», измеряяскорость которогоможно определить«абсолютнуюскорость»Земли в ньютоновомабсолютномпространстве.

ГипотезаСтокса (1845 г.)

Земляпрактическиполностьюувлекает ссобой примыкающийк ней эфир, подобношару, движущемусяс постояннойскоростью ввязкой неподвижнойжидкости, которыйувлекает примыкающуюк его поверхностичасть жидкости,и никакого«эфирноговетра», по крайнеймере на самойповерхностиЗемли, а скажем,не высоко вгорах, наблюдатьсяне должно.

Обе гипотезы- Стокса и Френеля- о взаимодействииэфира с движущимсяв нём телом -оказались всостоянииколичественнообъяснитьявление астрономическойаберрациизвёзд и отрицательныерезультатыоптическихэкспериментов,произведённыхна Земле с цельюизмеренияскорости Землив межпланетномпространстве.Оптическиеже явления,наблюдаемыев движущихсяпрозрачныхтелах на Земле,смогла объяснитьтолько гипотезаФренеля.

Первуюпопытку измеритьскорость эфирноговетра предпринялАраго в 1810 г. Онрешил обнаружитьвлияние движенияЗемли на преломлениесвета, идущегоот звезды. Сэтой целью онизмерял разностизенитных угловодной и той жезвезды, наблюдаемойв телескопнепосредственнои через призму,т.е. попыталсянаблюдатьизменение углапреломлениялуча света отзвезды к призме,когда Земля(а значит, и призма)двигалась кзвезде и (черезполгода) - отзвезды. Арагоожидал измеритьугол отклонения,равный, по егооценке, 2’.Ноопыты далиотрицательныйрезультат. Итогда Арагообратился кФренелю с просьбойобъяснить этотнеожиданныйдля него факт.В 1818 г. было опубликованописьмо Френеляк Араго, в которомФренель с единыхпозиций нашёлобъяснениеи отрицательногорезультатаопыта Араго,и объяснениеастрономическойаберрации.

ХотяФренель понимал,что допущениеполного увлеченияэфира движущейсяЗемлёй легкообъясняетотрицательныйрезультатопыта Араго,он его не принял,так как долженбыл объяснитьтакже и результатопыта Брэдлипо наблюдениюаберрациизвёзд. ПоэтомуФренель, следуяпредложениюЮнга 1804 г., в основусвоей теориивзял допущениео неподвижном,практическине увлекаемомдвижущейсяЗемлёй эфире(так как показательпреломленияn воздуха оченьблизок к единице).Стекляннаяпризма Араго(показательпреломлениястекла n»1,3), однако, попредположениюФренеля частичноувлекала эфир.Френель теоретическивывел значениекоэффициентаувлечения,равное 1-1/n²,где n-показательпреломлениястекла призмы.При таком значениикоэффициентаувлеченияФренель смогобъяснить иотрицательныйрезультатопыта Араго,и опыта Брэдлипо аберрации.

Физо в1856 г. удалосьизмерить вземных условияхне только скоростьсвета в воздухе(практическисовпадающуюсо скоростьюв пустоте),нои скоростьсвета в воде,движущейсяс некоторойзаданной скоростьюV. Экспериментсостоял в изменениисмещенияинтерференционныхполос в интерферометре,в плечи которогобыли помещеныдве трубы спрозрачнымиторцами и стекущей по нимв противоположныхнаправленияхсо скоростьюV водой.

ЭкспериментФизо показал,что наблюдаемыйсдвиг интерференционныхполос соответствовалскорости светав движущейсяводе относительнонеподвижныхстенок труб,равной

Ccp.=c/n±v(1-1/n²),

где знакплюс соответствуетдвижению световоголуча и воды водинаковомнаправлении,минус -в противоположных,n-показательпреломленияводы.

Попыткамиизмерить скоростьэфирного ветрана движущейсяЗемле занималисьмногие крупныефизики в последнейчетверти XIX в.,проводившиедля этого различныеоптическиеи электродинамическиеэксперименты.

Скоростьсвета в пустотеравна 300 000 км/c.Скорость движенияЗемли по своейорбите равна30 км/с. Следовательно,v/c=0,0001, v²/c²=0,00000001;речь идёт обочень малыхэффектах.

В 1871 г.Майкельсон,а в 1878 г. Майкельсони Морли произвелипервый, ставшийвпоследствиизнаменитымэкспериментвторого порядкамалости по v/c- экспериментМайкельсона,который потомнеоднократнобыл повторендругими исследователями.

Оптическийприбор - знаменитыйинтерферометрМайкельсона- размещалсяна тяжёлойкаменной плите,которая плавалана ртути в бассейнев подвале здания.Ориентируяэтот приборлибо плечомL1 либо плечомL2 вдоль направлениядвижения Земли,не удалосьнаблюдатькакого-либоразличия в егопоказаниях(это различиедолжно быловыразитьсяв смещенииинтерференционныхполос, наблюдаемыхв зрительнуютрубу), т.е. неудалось измеритьскорость V движенияЗемли в межпланетномпространстве.

C.Проблема правильнойфизическойинтерпретациипреобразованийЛоренца.

Проблемаизмеренияскорости эфирноговетра в оптическихэкспериментахполучила новоесвоё развитиев последнейчетверти XIX в.,когда былооткрыто, чтосвет имеетэлектромагнитнуюфизическуюприроду, чтооптика являетсятолько частьюдругой болеефундаментальнойи более глубокойфизическойнауки-электродинамики.

ОсновыэлектродинамикисформулировалМаксвелл всвоём знаменитом“Трактате”в 1873 г., играющемтакую же основополагающуюроль в электродинамике,как «Принципы»Ньютона в механике.В этом трудебыли сформулированызнаменитыеуравненияМаксвелла ибыла высказанагипотеза обэлектромагнитнойприроде света- что свет являетсяэлектромагнитнымиволнами, - котораяв 1888 г. была подтвержденаГ. Герцем,экспериментальнооткрывшимэлектромагнитныеволны радио-и СВЧ- диапазона.

В теорииМаксвеллавпервые в историинауки связывалисьмежду собойэлектрическиеи магнитныеявления соптическимиявлениями.Упругий эфирФренеля превратился,таким образом,в носителяэлектромагнитныхвозмущенийи электромагнитныхволн, т.е. сталэлектромагнитнымэфиром, а электрическиеи магнитныеполя напряжённостии индукциистали рассматриватьсякак показателинапряженийи деформацийэтого эфира.

Максвеллпредставлялсебе электрическиеи магнитныеполя и электромагнитныеволны механически- как возмущениягипотетической,хотя и оченьсвоеобразной,но всё же чистомеханическойсплошной среды,наделённойособыми механическимисвойствами;при этом онсчитал, чтоэфир в пустотеи эфир в веществеимеют различныемеханическиесвойства.

Сам Максвеллсчитал, чтоего уравнениясправедливытолько дляпокоящегосяэфира, возмущениямикоторого являлись,по его представлениям,рассматриваемыеим электромагнитныеполя и волны.Систему отсчёта,в которой эфирпокоится Максвеллсвязывал сабсолютнойсистемой отсчётаНьютона.

УравненияМаксвелласоставленыдля четырёхвекторныхфункций: E(x,y,z,t),D(x,y,z,t) - напряжённостии индукцииэлектрическогополя, H(x,y,z,t), B(x,y,z,t) - напряжённостии индукциимагнитногополя. Эти функциихарактеризуютвозмущениенеподвижногоэлектромагнитногоэфира. Изменяющиесясо временемэлектрическоеи магнитноеполя не могутсуществоватьпо отдельности- они образуютединое электромагнитноеполе, представляющеесобой электромагнитные,в частностиоптическиеволны.

УравненияМаксвеллаимеют следующийвид:

rot E = -дB/ дt , rot H = j + дD / дt , div D = р , div B = 0,

гдеj=j(x,y,z,t)- объёмная плотностьэлекрическогозаряда.

Как видим,уравненияМаксвеллапредполагают,что координатыx,y,z и время t описываютсяв некоторойсистеме отсчёта,которая, попредположениюМаксвеллаявляется системойотсчёта, в которойневозмущённыйэлектромагнитныйэфир покоится.

ПопыткамираспространитьуравненияМаксвелла напроизвольнодвижущиесяматериальныепрозрачныесреды, которыекак предполагалосьв соответствиис гипотезойФренеля каким-тообразом увлекалис собой эфир,занималисьмногие крупныефизики последнейчетверти XIX в.,но, пожалуй,больше всехГ.А. Лоренц.

Исследуявыведенныеим на основеего электроннойтеории уравненияМаксвелла длядвижущейсясреды, Лоренцв 1895 г. пришёл кудивительномурезультату,что с точностьюдо членов первогопорядка малостипо v/c, где v-скоростьдвижения системыотсчёта, c-скоростьдвиженияэлектромагнитныхволн, эти уравненияМаксвелламожно строгоматематическипреобразоватьк виду уравненийМаксвелла длянеподвижнойсреды, т.е. онстрого доказал,что уравненияМаксвелла «нечувствуют»поступательногодвижения системыотсчёта, еслитолько онадвижется спостояннойскоростью.

Лоренцполучил темсамым объяснениеотрицательныхрезультатовпроведённыхк тому времениэкспериментов,показывающих,что с помощьюоптическихи электродинамическихэффектов первогопорядка поv/c, производимыхс земнымиисточникамисвета, невозможноопределитьскорость движенияЗемли относительномежпланетногопространстваНьютона.

Чтобыобъяснитьостающийся,однако, необъяснённымотрицательныйрезультатэкспериментаМайкельсона- Морли второгопорядка малостипо v/c Лоренц инезависимоФицджеральдвыдвинулизнаменитуюгипотезу осокращениивсех тел, движущихсяв абсолютномпространствевдоль направлениядвижения вотношении,зависящем отскорости движения.

Если Lо- длинапокоящегосятела, L-длинадвижущегосятела вдольнаправлениядвижения ,то,согласноэтой “гипотезесокращения”,

где b=, v/cv -скоростьдвижения тела.

Чтобыобъяснитьневозможностьопределенияскорости vтела,равномернои прямолинейнодвижущегосяотносительноабсолютногопространствавоптическихиэлектродинамическихэкспериментах,не только первого,нои второго, иболее высокихпорядков поv/c,Лоренцдоказал в своейработе поэлектродинамикедвижущихсясред (1904 г.) строгуюматематическуютеорему,чтоуравненияМаксвелла впокоящейсяи движущейсяинерциальныхсистемах отсчетаимеют математическисовершенноодинаковыйвид ,с точностьюдочленови первого ,ивторого,иболее высокихпорядков поv/c включительно.Он установил,что они инвариантны.Приэтом Лоренцпри преобразованииуравненийМаксвелла отодной инерциальнойсистемы отсчетак другой преобразовывалтакже и времяt,вводяматематическисовершенноформально такназываемое“локальноевремя”:

tў=t-

x

где x,t-координатаи время в покоящейсясистеме отсчета.

В результатетеоретическихисследованийЛоренца ипроведённогоМайкельсономи Морли экспериментаестественновозникалэлектродинамическийпринцип относительности,сформулированныйГаллилеем ещёв XVII в.

Правдасам Лоренцэтот принципне провозгласил.Это сделалина основе егоработ и в особенностиего работы1904 г. сначалаПуанкаре ,анемного позжеи независимоЭйнштейн в1905 г.

Согласномеханическомупринципуотносительности,проводя различныемеханическиеэкспериментыв лаборатории,движущейсяс постояннойскоростьюотносительнопокоящейсяабсолютнойлаборатории,невозможноизмерить еескорость движения.(Все механическиеявления в обеихлабораторияхпроисходятсовершенноодинаково).

Согласноэлектродинамическомупринципуотносительности,нельзя определитьскорость движенияуказаннойдвижущейсялаборатории,производя вней также ивсевозможныеэлектродинамические,в том числеоптическиеэксперименты.(Все электродинамическиеявления в обеихлабораторияхпроисходятсовершенноодинаково).

Как мыуже сказали,очень четкообобщенныйобщефизическийпринцип относительности,об инерциальныхсистемах отсчета,впервые сформулировалПуанкаре в1904 г. за год доформулировкиэтого принципаЭйнштейномв 1905 г. и появленияосновополагающейв специальнойтеории относительностиего знаменитойработы 1905 г. Пуанкареещё с начала90-х годов XIX в.интересовалсятеорией Лоренцаи работал надеё развитием.

Основныепреобразованияинвариантности-так называемыепреобразованияЛоренца:

былиопубликованыЛоренцем в1904 г. в упомянутойработе.

Пуанкарепонял, чтопреобразования,найденныеЛоренцем, составляютгруппупреобразованийинвариантностичетырехмерногопространства-времени,координатнымиосями которогоявляютсяпространственныеоси x,y,zи ось времениt. Онже назвалпреобразования,найденныеЛоренцем,”преобразованиямиЛоренца”.

В знаменитойработе 1905 г. Эйнштейнсформулировалнезависимоот Пуанкареобщефизическийпринцип относительностидля инерциальныхсистем отсчётаи, как он самутверждал икак это частоутверждаютдругие, далфизическиединственноправильнуюинтерпретациюформулампреобразованияЛоренца.

Эйнштейнзаявил. чтопреставлениео времени. котороесуществовалов физике совремён Галилеяи Ньютона,ошибочно,что его надоисправить,т.е. строгимформальнымобразом определить,что такое “время”.Это его утверждениеосновывалосьна предложенномим в работе1905 г. кинематическом,т.е. в отличиеот работ Лоренцаникак не связаныс электродинамикой,выводе формулпреобразованийЛоренца, выведенных,как Эйнштейнсчитал, толькоиз правильного,предложенногоим в этой работепониманияпонятия времени.

Родившаясяс появлениемработы Эйнштейна1905 г. так называемая специальнаятеория относительностиоказаласьисключительнополезной вфизике микромираи стала широкоиспользоватьсяв бурно развивавшихсяв XX в. атомнойфизике, ядернойфизике и физикеэлементарныхчастиц, т.е. вмикрофизике.

Вообщесчитается, чтов физике XX в.имеется толькодва главныхфундаментальныхтеоретическихдостижения:теория относительностии квантоваямеханика.

4.2. Понятияабсолютногои относительногомеханического движения уНьютона

В настоящеевремя в классическоймеханике и вовсех техническихнауках безкаких-либоособых оговорокшироко используетсявведённоеНьютоном в“Принципах”в 1687 г. представлениеоб абсолютномдвижении,т.е. о движениитела или системытел в абсолютнопустом пространстве,т.е.относительноэтого пространствапри теченииабсолютноговремени. Считается,что природасостоит изтел, движущихсяили покоящихсяв пустом пространстве.Само пространствонеподвижно.О его движенииговорить простобессмысленно.Эти совершенночёткие представленияоб абсолютномвремени требуют,однако ,серьёзныхфизическихразъяснений.

Необходимохорошо понимать,что при непосредственноэкспериментальномисследованиимеханическогодвижения илисостоянияпокоя тела мывсегда подразумеваем(неявно, неосознанно)достаточномассивныетвёрдыетела, относительнокоторых отсчитываемположениечастей тела,системы тел,малого телав различныемоменты времени,мы подразуемыеи некоторыйопределённыйконкретныйизмерительвремени, т.е.часы.

Другимисловами, приэкспериментальномизучениимеханическогодвижения мывсегда имеемнекоторуювполне определённую«систему отсчета»,под которойпонимаютсякак все массивныетела ,относительнокоторых мыотсчитываемположениенашего движущегосяили покоящегосятела, так иконкретныйиспользуемыйв экспериментахизмерительвремени.

Эту мысльчасто выражаютсловами: движениеотносительно,или движениепо природесвоей относительно.

Пример:1)Космонавтыв космическомкорабле в качествеестественнойдля себя системыотсчета используютсистему ,жёсткосвязанную состенкамикосмическогокорабля, и обычные,механическиеили электронныечасы, имеющиесяна борту.

2)Для нас,людей на Земле,имеется естественнаясистема отсчета,жёстко связаннаяс неподвижнымителами наповерхностиЗемли, или, чтотоже самое,жёстко связанныесо стенамилаборатории.Это так называемаялабораторнаясистема отсчета.В качествеизмерителявремени используютлабораторныечасы.

Отмечаяотносительныйхарактермеханическогодвижения инеобходимостьфиксацииопределённойсистемы отсчёта,обязательнонадо даватьсебе отсчетв том, что различныесистема отсчётафизически имеханическивовсе не равноправны.

Другимисловами, механическиедвижения телв различныхсистемах отсчётапроисходятпо-разному, поразным математическими физическимзаконам.

Эксперименты,однако, показывают,что среди всехвозможныхсистем отсчетав природе существуютвсё-таки такиесистемы отсчёта,относительнокоторых движениеили системытел или малыхчастей телаявляются наиболеепростым иестественным.

Эти системыопределяютсякак системыотсчета, в которыхвыполняютсяабсолютнострого тризакона Ньютона(вчастностипервый закон,согласно которомупоступательнодвижущеесятело, не подверженноеникаким внешнимвоздействиям,движется равномернои прямолинейно).Такиесистемы отсчётаназываютинерциальными.Ихбесконечномного .Все онидвижутся друготносительнодруга прямолинейнои равномерно.Одну из этихсистем мы можемназвать абсолютнойи считать, чтоэто как раз тасистема ,которуюиспользуетклассическаямеханика Ньютона.

С другойстороны, можетбыть и на самомделе в природесуществуетодна .действительноабсолютнаяфиз. системаотсчета, скажем,связанная скосмическимпространством,простирающимсямежду Солнцеми Землёй и другимипланетами.

Инерциальнаясистема отсчётаявляетсяидеализацией,абстракцией,таккак любая конкретнаясистема отсчётавсегда, строгоговоря, неинерциальна.Вместе с темэто очень полезнаяабстракция,так как всегдаможно указать(и использоватьв экспериментах)систему отсчёта,сколь угодноблизкую кинерциальной.Например, длябольшинствамеханическихэкспериментов,проводимыхв лабораториитакой приближённоинерциальнойсистемой являетсясама лабораторнаясистемаотсчёта,хотя она и участвуетво вращательномдвижении Земли(вчастностичтобы убедитьсяв её неинерциальности,в ней можнопроизвестиизвестный опытФуко с маятником,плоскостькачания которогомедленноповорачивается).

Намногоболее инерциальнане так называемая“геоцентрическая”,а рассматриваемаяв небесноймеханике“гелиоцентрическая”система, центркоторой помещёнв центр массСолнечнойсистемы и осикоторой направленына три неподвижныезвезды. Этагелиоцентрическаясистема ,однако, тоже, строгоговоря, неинерциальна,так как Солнцес планетамисовершаетвращательноедвижениеотносительноядра нашейгалактики-”Млечногопути”.

Эксперименты,вообще ,не могутуказать ниодной по-настоящемуинерциальнойсистемы отсчёта.

Однакоэто неважно,так как мы всегдаможем найтидостаточноинерциальнуюсистему длянаших конкретныхцелей и представитьсебе абстрактно дажецелый классинерциальныхсистем отсчёта,движущихсяотносительнодруг другапоступательнос постояннымискоростями.

Это - полезнаяабстракция.Из того что вприроде нетидеальныхгеометрическихпрямых линийили идеальныхгеометрическихплоскостей,вовсе не следует,что абстракциибесконечнойпрямой линиии бесконечнойплоскости неявляются полезными;они даже оченьполезны длянас.

Такимобразом, говоряоб относительномхарактередвижения, нельзявстать на наивнуюточку зрения-считать, чтовсе системыотсчёта равноправны,что”всё на светеотносительно”.

И тем неменее на такуюточку зрения,к сожалениючасто встают.Так ,с появлениемтеории относительностив XX в. некоторыееё не оченьобразованныеадепты сталиутверждать,что бессмысленбыл спор Коперникаи Галилея скатолическойцерковью (афактическис Аристотелеми Птолемеем)о том, вращаетсяли Земля вокругСолнца илиСолнце вокругЗемли.

Чтобыобъяснить идеюабсолютногохарактерадвижения, Ньютонв “Принципах”(1687 г.) приводитописание знаменитогоэкспериментас подвешеннымведром (“ведёркоНьютона”). Возьмёмведро, или бадью,и подвесим егона верёвке кпотолку ,закрутимверёвку и ведро,чтобы верёвкастала совсемтугой ,а потомотпустим ведро.Ведро придёттогда черезнекотороевремя в равномерноевращение ,приэтом свободнаяповерхностьводы приметформу параболоидавращения(“параболическиймениск”). Водаотносительнонас будет вращаться,т.е. будет происходитьдвижение водыотносительнолабораторнойсистемы отсчёта.Представимтеперь себе,что мы всталина большуювращающуюсяплатформу,расположимсяточно на еёоси и будемрассматриватьсвободно подвешенноеведро на незакрученнойверёвке ,идущейточно вдольоси платформы.Вода в ведреотносительнонас вращается.Теперь, однако,свободнаяповерхностьводы будетгоризонтальной.

Дверассмотренныесистемы отсчёта,таким образом,неравномерны,хотя относительноедвижение наси ведра одинаковов обеих системах.

4.3. Неинерциальныесистемы отсчётаи силы инерции

МеханикаНьютона справедливав инерциальныхсистемах отсчёта.

В качестветакой системыс достаточнымприближениемможно взятьстены лаборатории-лабораторнуюсистему отсчёта.

В некоторыхслучаях ,однако,удобно, и дажеочень удобно,изучать движениетела, системытел, малых частейтела в неинерциальной системеотсчёта .Иногдаэто даже обязательнонужно сделать,так как используемаяинерциальнаясистема отсчётавсегда в какой-томере неинерциальнаи это пороюнеобходимоучитывать.

Можнопривести примерымеханическихдвижений впадающем,оторвавшимсялифте, на вращающейсяплатформе накарусели, вкупе железнодорожноговагона, движущегосяс ускорениемили замедлением,в кабине космическогокорабля привыводе его наорбиту иликувыркающегосяв пространствеи т.д. Все такиедвижения приходитьсярассматриватьв существеннонеинерциальныхсистемах отсчёта.

В этихсущественнонеинерциальныхсистемах уравнениямеханики неверны,т.е. неправильнои уравнениевторого законаНьютона:

где F-сумма реальныхфизическихсил, действующихна тело со стороныдругих физическихтел.

В случаях,когда всё-такиудобно илинеобходиморассматриватьмеханическуюсистему внеинерциальнойсистемеотсчёта ,нужнопоэтому иметькакое-то исходноеосновноемеханическоеуравнениевместо уравнениявторого законаНьютона.

Такоеуравнениеможно, разумеется,получить специальнымматематическимпересчётомиз уравнениявторого законаНьютона, составленногодля какой-нибудьинерциальнойсистемыотсчёта, в даннуюудобную неинерциальнуюсистему.

Результатыпересчетапредставляют,однако, сновав форме уравнениявторого законаНьютона, которыйтеперь записываетсяследующимобразом:

,

где F_ин.обозначаютвозникающиепри пересчетедополнительныематематическиечлены, которыеназывают силамиинерции.Это название,однако, не должновводить насв заблуждение:силы инерцииникоим образомне являютсянастоящимифизическимисилами, таккак нельзяуказать никакогореальноготела, или тел,действиямикоторых обусловленыуказанные"мифические"силы. Они целикомопределяютсямеханическимисвойствамирассматриваемойконкретнойнеинерциальнойсистемы отсчета,характеромее движения.

Следуетхорошо усвоить,что силы инерциидействительномифические,так как они несвязаны ни скакими физическимивзаимодействиямиреальных физическихтел.

К силаминерции относятся,в частности,так называемыецентробежныесилы и силыКориолиса.

Пример1. Определимсилу F,стремящуюсярастянуть, апотом и разорватькруговой обручрадиуса Rмассы M,равномерновращающийсявокруг своейоси с угловойскоростью w.

Рассмотрениепроведем внеинерциальнойсистеме отсчета,вращающейсявместе с обручемс угловой скоростьюw,в которой обручпокоится. Вэтой системелюбая малаячасть обручатоже покоится.Рассмотримбесконечномалый элементобруча, стягиваемыйцентральнымуглом da.Кроме реальныхфизическихсил, действующихна этот элементобруча (к которымотносятся силыF,действующиесо

стороныпримыкающихк обоим концамэлемента остальныхчастей обручаи стремящиесярастянуть этотэлемент обруча),надо рассмотретьтеперь такжеи мифическуюцентробежнуюсилу F_цб.,действующуюна элементнашего обруча.При этом, согласнозакону центробежнойсилы, на бесконечномалый элементобруча, стягиваемыйцентральнымуглом da,действует сила

,

гдеk- массав расчете наединицу длиныобруча, илилинейнаяплотностьмассы, т.е. k=M/2pR.

Сумматрех векторовсил, действующихна рассматриваемыйбесконечномалый элемент,должна равнятьсянулю, так какэтот элементобруча в рассматриваемойнеинерциальнойсистеме отсчетапокоится.Другими словами,

или

и окончательнополучаем

Пример2. Найтиугол наклонак горизонталисвободнойповерхностижидкости, налитойв сосуд прямоугольнойформы, скатывающийсяс наклоннойплоскости,имеющей уголнаклона к горизонтуa.

Рассмотрениеснова удобновести в неинерциальнойсистеме отсчета,жестко связаннойс сосудом сжидкостью, вкоторой жидкостьпокоится. Этанеинерциальнаясистема равномерноускореннодвижется внизвдоль наклонной плоскости сускорениемa=gsin a.

Такимобразом, накаждую малуюжидкую частицумассы mв этой инерциальнойсистеме действуетне только силатяжести F=mg,направленнаявертикальновниз, но и силаинерции F_ин.=ma,направленнаяв противоположнуюсторону движения,т.е. вверх вдольнаклоннойплоскости.

Жидкостьв прямоугольномсосуде как бынаходится воднородномполе новыхсил тяжести,имеющих ускорениеg’,которое составляетнекоторый уголbс вертикалью.Следовательно,свободнаяповерхностьжидкости вскатывающемсясосуде, перпендикулярнаянаправлениюнового ускоренияg’,будет составлятьтакой же уголbс горизонтальнойплоскостью.Найдем уголb.Имеем косоугольныйтреугольник

Применимк нему теоремусинусов

,

,

sin b(1-sin²a)=cosb sin a cos a,

sin b cos a =cos b sin a,

tg b=tg a.

Следовательно,искомый уголbравен углу a,т.е. свободнаяпо верхностьжидкости вскатывающемсяпо наклоннойплоскостисосуде будетпараллельнанаклоннойплоскости.

4.4. Астрономическиеи земные измеренияскорости света

Впервыескорость светабыла измеренав конце XVII в. в1675 г. датскимастрономомО.Ремером(1644-1710), который смогнайти ее значениеиз наблюденийза спутникамиЮпитера- четырьмя "медичейскимизвездами",открытымиГалилеем в1610 г. В настоящеевремя открыто11 спутниковЮпитера.

Периодыобращений этихспутниковпорядка несколькихдней; они малыпо сравнениюс периодомобращенияЮпитера (12 лет)и Земли (1 год)вокруг Солнца.Ремер наблюдалза первым спутниковЮпитера с периодомобращения 42час 28 мин. Онзаметил, чтокогда Землядвигалась посвоей орбите,удаляясь отЮпитера, периодобращенияспутника становилсядлиннее.Когда Земля,наоборот,приближаласьк Юпитеру, периодобращенияспутника становилсякороче.Ремер из этихнаблюденийсделал правильныйвывод, - чторазностьмаксимальногои минимальногопериодов обращенийспутника равнавремени, необходимогосвету дляпрохождениярасстоянияравного диаметруземной орбиты.

ОрбитаЮпитера, каки других планет,лежит приблизительнов плоскостиорбиты Земли- в плоскостиэклиптики;все планетывращаются водну сторону.

На рисункеLобозначаетрасстояниемежду Землейи спутникомЮпитера в тотмомент, когдаон входит втень Юпитера.Момент затмениянаблюдаетсяна Земле сзапаздыванием,равным Dt=L/c,где c- скоростьраспространениясвета в межзвезднойсреде - эфире.Очевидно времязапаздыванияминимальноили максимально,когда расстояниемежду Юпитероми Землей, соответственно,минимальноили максимально.

Рассмотримсначала наблюдаемыйс Земли интервалвремени Tмежду двумяпоследовательнымизатмениямиспутника, т.е.период обращенияспутника вокругЮпитера. Обозначимчерез T₀истинный интервалвремени междудвумя последовательнымизатмениями,или истинныйпериод обращенияспутника вокругЮпитера.

Рассмотрим,например, дляопределенностислучай, когдаЗемля движетсяпо направлениюк Юпитеру соскоростью v.Тогда первоезатмение спутникамы зафиксируемна Земле сзапаздыванием,равным l/c,где l- расстояниеот Земли доЮпитера в моментпервого затмения,c- скорость света.Второезатмение спутникамы зафиксируемна Земле немногос другим запаздыванием,равным (l-Dl)/c,где Dl- расстояние,пройденноеЗемлей к Юпитеруза время T₀,прошедшеемежду двумяпоследовательнымизатмениями.Таким образом,отличие наблюдаемого периода Tмежду двумязатмениямии истинногопериода T-0между нимиравно

;

но очевидно

,а потому

,

т.е. наблюдаемыйс Земли периодобращения Tоказываетсяменьшеистинногопериода T₀.

Еслитеперь Земляудаляется отЮпитера соскоростью v, то отличиенаблюдаемогопериода Tобращениеспутника отистинногопериода T₀будет равно

,

т.е. наблюдаемыйс Земли период обращенияспутника Tокажется большеистинногопериода T₀.

Предположимтеперь, что мыбудем наблюдатьзатмения спутникаЮпитера в течениеполугода, когдаЗемля перемещаетсяиз точки Aв точку C.

Еслинаблюдать двапоследовательныхзатмения сЗемли, находящейсяв некоторойпромежуточнойточке Mна своей орбите,то очевидно

где f- угол ASM,который равенf =2pt/T₃, где t-время, протекающеес момента, когдаЗемля находиласьв точке Aсвоей орбиты,T₃- период обращенияЗемли вокругсвоей орбиты.В течение полугода,когда Земляперемещаетсявдоль путиABC,изменениепериода варьируетсяот DT=0в точке Aдо максимальногозначения DT=T₀v/cв точке Bи вновь до значенияDT=0в точке C.

Возьмемсумму измененийпериода DT заполгода:

где k-номернаблюдаемого периода.

Очевидносумму

можнорассматриватькак интегральнуюсумму для следующегоинтеграла

так какt_k=kT₀,Dt_k=T₀.Вычисляя приведенныйинтеграл , находим

Следовательноприходим кформуле

т.е. суммаизмененийнаблюдаемыхс Земли периодовобращенияспутника заполгода равнавремени,котороетребуетсясвету дляпрохождениядиаметра земнойорбиты.

Если впервую половинугода, когдаЗемля двигаласьпо пути ABC, т.е.удаляясь отЮпитера, наблюдаемыес Земли периодыT_kобращенияспутника былибольше истинногопериода T₀,то во вторуюполовину года,когда Землябудет двигатьсяпо пути CDA, т.е.приближаяськ Юпитеру,наблюдаемыепериоды T_kобращенияспутника будутменьше истинногопериода T₀причем длявторой половиныгода

Такимобразом,истинное значениепериода T₀обращенияспутника вокругЮпитера можноопределить,составив суммунаблюдаемыхпериодов T_Кобращенияспутника загод и разделивеё на полноечисло Nнаблюдаемыхза год периодов:

Сам Ремерполучил заниженноезначение скоростисвета, равноеприблизительнос=214000км/с, при этомего ошибка восновном объясняласьнеточным знаниемзначения диаметраземной орбиты.ФактическиРемер привелне значениедля скоростисвета, а значениедля временитребующемусядля свету напрохождениерасстоянияот Солнца доЗемли, котороеон считал равным11 мин=660 сек (насамом деле этовремя равнопримерно 8 мин20 сек=500 сек).Позднее,уже в 18 и 19 векахДеламбр (1790 г.)дал значениевремени 493,2сек.и Глазенап(1874 г.)- значение 500,8сек.Сэмпсон в 1909 г.приводит значение498,79

0,02сек. НеровностиповерхностиЮпитера ведутк неизбежнымошибкам временинаблюденийзатмений спутника.

Следующее,тоже астрономическоеизмерениескорости светабыло произведеноанглийскимастрономомДж.Д.Брэдли(1692-1762). В 1728 г. он нашелправильноеобъяснениеувиденногоим необычногоявления в движениизвезд, котороебыло названовскоре аберрацией.

Однойиз важнейшихзадач наблюдательнойастрономиипоследнихдесятилетийXVIIв. и первыхдесятилетийXVIII в.было обнаружениепараллаксовзвёзд, необходимостьнаблюденийкоторых непосредственновытекала изкоперниковойсистемы мироздания,а их отсутствиеслужило существеннымдоводом противэтой системы;здесь речьидет, конечно,не о суточных,а о так называемыхгодичных параллаксах(“суточный”- это угол, подкоторым виденрадиус Землис небесноготела;“годичный”- это угол, подкоторым виденс небесноготела радиусорбиты Земливокруг Солнца).Брэдли как рази стремилсяобнаружитьэти так называемые“годичныепараллаксы”,то есть углырастворовконусов, отбрасываемыхна небеснуюсферу линиямивизирования,направленнымина звезду сразличныхточек земнойорбиты. Однаковместо параллаксов(которые вследствиеих чрезвычайноймалости из-заогромной удаленностизвезд от Земливпервые былиизмерены тольков конце XIXв. Бесселем,то есть через100 лет после Брэдли), Брэдли открылне параллакс,а аберрацию.

На рисункепоказано, какобразуютсязвездой круговыетраекториина небеснойсфере для звезды,расположеннойточно в полюсеэклиптики. Налевом рисункепроиллюстрированоявление годичногопараллакса,на правом - явлениеаберрации.Видим, что положениязвезды на кругепри параллаксеи при аберрациидля фиксированногоположенияЗемли на орбитеразные;они различаютсяповоротом на90⁰.

Брэдлинаблюдал заежесуточнымипроходамичерез меридианзвезды gв голове созвездияДракона, находящейсявблизи полюсаэклиптик. Начавнаблюденияв декабре 1725 г.,Брэдли заметил,что эта звездавсё болееотклоняласьк югу. Её смещениедостигло 20``к началумарта. Затемзвезда на несколькодней остановилась,а затем сталаснова двигаться,но теперь вобратную сторону- к северу. К июнюзвезда заняласвое прежнееположение,какое у неёбыло в декабре,прошла его ив течение второгополугодияпроделалаточно такойже путь на севери обратно. Этодвижение звездынельзя былообъяснить какрезультатпараллакса(если бы этобыло годовоепараллактическоедвижение, тодвижение звездык югу должноначаться нев декабре, а вмарте, а движениееё к северу нев июне, - а в сентябре)и Брэдли догадался,что наблюдаемыйим эффект обязанконечностискоростираспространениясвета и годичномудвижению Землипо своей орбите.

Брэдлипишет :“Наконеця догадался,что если светраспространяетсяво времени, токажущеесяположениенеподвижногопредмета, когдаглаз находитсяв покое, будетиное, чем когдаглаз движетсяв направлении,уклоняющемсяот линии, соединяющейпредмет с глазом,и что когдаглаз движетсяв различныхнаправлениях,то и кажущеесяположениеобъекта будетразличным”.

ОбъяснениеБрэдли эффектааберрации былоследующее.

Пустьпрямая CA- путь луча света,идущего отисточника C,по которомудвижется световаякорпускула.Пусть глазнаблюдателядвижется вдольпрямой BAсо скоростьюv,которая относитсяк скоростисвета c,как BAотносится кCA.Корпускуласвета, котораяобеспечиваетвидение глазомисточника Cв точкеA, должнабыла быть испущенаисточникомCв тот момент,когда глазнаходился вточке B.

Трубутелескопа,которую Брэдлимысленно представилсебе движущейсяпараллельносамой себевдоль прямойBAнадо направитьвдоль прямойBC,чтобы получитьсвет от источникаC.Трубу телескопа,Брэдли взялтакого диаметра,чтобы она пропускалатолько однусветовую корпускулу.Угол BCA= aхарактеризуетугол наклоналинии визированияна источникк линии, вдолькоторой движетсяглаз. Очевидноsin a= (v/c)sinj ,приj =90⁰,то есть длязвезды в полюсеэклиптики,имеем sina = v/c ;приj =0⁰,то есть длязвезды на эклиптике,имеем sina = 0.

Скоростьv- это скоростьдвижения Землина орбите. ОнаБрэдли былаизвестна, таккак радиусземной орбитыбыл уже к томувремени давноточно измерен.Зная длинупути, пройденногоЗемлей за год,можно быловычислить, чтоv= 30 км/с.Знаяэту скоростьи угол аберрацииa,по приведеннойформуле можнобыло легкорассчитатьскорость светаc.Создавтеорию для gДракона, Брэдлиперешел к еёподтверждениюпутем наблюденийза другимизвездами. В1726-28 гг. он наблюдалаберрацию ещёдля 7 звёзд вблизиполюса эклиптикии для всех нихполная амплитудауглового смещенияна небе составилавеличину 40``-41``(среднее40``,4).Таким образом,угол аберрацииaоказалсяравным 20``,2.Этот угол даётзначение скоростисвета 301000 км/с,но Брэдли насамом делеприводит неэто значение,а значение длявремени распространениясвета от Солнцадо Земли, котороеон считал равным8 мин 12 сек.

Брэдлиобъяснил открытуюим в 1728 г. аберрациюнеподвижныхзвёзд на основекорпускулярнойтеории света.В 1804 г. Юнг показал,однако чтоаберрациюможно объяснитьи на основеволновой теориисвета. При этомЮнг сделалследующеепредположение.Земля и всетела на Землепронизаны,пропитаныэфиром, но придвижении Землии тел на еёповерхностиони не могутэтот эфир увлечьза собой илисколь-либосущественнымобразом еговозмутить.Поэтому возникает“эфирныйветер”,пронизывающийвсе тела надвижущейсяЗемле. Тела неспособны задерживатьэфир, как “неспособныудерживатьветер кроныдеревьев”,как писал Юнг.

Такимобразом, световыеволны, идущиеот звезды, небудут приниматьучастия в движениителескопа, иесли считатьчто телескопнаправлен наистинное положениезвезды, а Земля,для простоты,пусть движетсяперпендикулярнонаправлениюна звезду, тоизображениезвезды будетсмещено отцентральногоперекрестьяв фокусе нарасстояние,равное тому,которое пройдетЗемля за время,пока свет будетидти черезтрубу телескопа.

На рисункеMN =ct, KN = vt, гдеt- время, требующеесясвету, чтобыпройти черезтрубу телескопа.Таким образом,угол аберрации

Здесьрассматриваетсядля простотыслучай, когданаправлениедвижения Землисоставляетточно прямойугол с направлениемна звезду.

В земныхусловиях скоростьсвета сумелиизмерить тольков середине XIXв. Это сделалиФизо (1849 г.) и Фуко(1865 г.) двумя различнымиметодами (сиспользованиембыстро вращающегосязубчатогоколеса и сиспользованиембыстро вращающегосямногогранногозеркала), приэтом былоподтвержденозначение скоростисвета c= 300000 км/с,полученноеастрономическимметодом.

5. ТеорияФренеля частичногоувлеченияэфира движущимсятелом и еготеория аберрации.Опыты Арагои Физо.

   Аберрационнойконстантойназываетсяотношениеv/c,скорости vЗемли на орбите(v=30км/с) к скоростиcсвета в пустоте(c=300000км/с).Онаочень мала :

   

Вопросо том, преломляютсяли по-разномустекляннойпризмой лучи,идущие от звездыи от земногоисточника, былпоставлен впервой четвертиXIXв. Араго. Рассужденияего были следующие.Так как Землядвижется внеподвижномэфире со скоростьюv,то скоростьсвета, идущегоот звезды, встекле призмыпри приближениик звезде будетc -v, а приудалении отзвезды (черезполгода) будетc +v.Такимобразом, показательпреломленияnпризмы,через которуюнаблюдаетсязвезда, длясвета звездыдолжен в течениегода периодическиизменятьсяот значенияn (c- v )до значенияn (c+v ),а потому лучот звезды долженпериодическиотклонятьсяот своего начальногоположения ипо прошествиигода долженвозвращатьсяв свое начальноеположение.

Арагов 1810 г. произвёлтакой экспериментсо стекляннойпризмой, направленнойна определеннуюзвезду. Он наблюдалпреломлениелуча светазвезды в призме,когда Землядвигалась кзвезде (черезполгода), когдаЗемля удаляласьот звезды. Арагоожидал получитьугловое смещение2`.Но получилотрицательныйрезультат -никакого смещенияне было. Такон пришёл кзаключению,что преломлениев движущейсяпризме идентичнопреломлениюв покоящейсяпризме.

Получивтакой результат,Араго обратилсяк Френелю спросьбой объяснитьего. В письмек Араго от 1818 г.,опубликованномво французскомнаучном журналев том же 1818 г., Френельне только нашелобъяснениеотрицательногорезультатаопыта Араго,но и сделалпринципиальноновый шаг втеории аберрации.Фактическис этого письмаФренеля начинаетсявся оптикадвижущихсясред. Френельпоставил болееширокий вопрос- как влияетдвижение Землина оптическиеявленияна Земле? Аберрация,таким образом,у Френеля пересталабыть изолированнымастрономическимоптическимявлением, требующимдля своегообъясненияособых рассуждений.

Френельсразу отказалсяот объясненияопыта Араготем, что эфирполностьюувлекаетсяЗемлёй, таккак тогда, какпишет Френель,невозможнообъяснитьявление аберрации,ибо её объяснениеон видел, следуяЮнгу, в том, чтоэфир не увлекаетсядвижущейсяЗемлёй.

В отличиеот Юнга Френель,однако, предположил,что Земля сообщаетпропитывающемуи окружающемуеё эфиру оченьмалую частьсвоей скорости(очень “пористая”Земля “частично”увлекает эфир).С помощью этогопредположенияФренель объяснилудовлетворительнымобразом нетолько аберрациюзвёзд, но такжеи опыт Арагои все другиеоптическиеявления, связанныес движениемЗемли.

Френельпринял фактическидве следующиегипотезы:

1) Различиескоростейсвета в стеклепризмы и вокружающемеё неподвижномэфире происходитисключительноиз-за различияплотностиэфира

, пронизывающеготело призмы,и плотностиэфира

,находящегосявне призмы,так что

где

-показательпреломлениястекла призмы.Упругостьэфира вне призмыи внутри неёФренель посчиталодинаковой.Таким образом,он пришёл ксоотношению

2) ДалееФренель посчитал,что движущаясяв неподвижномэфире призмаувлекает ссобой не весьэфир, её пропитывающий,а только егочасть, котораяявляется избыткомплотностиэфира над плотностьюэфира в пустомпространстве,т.е. плотностьэфира, переносимогопризмой равна

Френельпредположил,что когда движетсятолько частьтакой комбинированнойсреды, а другаяеё часть покоится,скорость

волны в среде,распространяющейсяв направлениидвижениясреды, увеличиваетсяна скоростьдвижения центрамасскомбинированнойсистемы, составленнойиз покоящейсяи движущейсячастей среды,т.е. в нашем случаеувеличиваетсяна величину

такимобразом, имеемформулуувеличения:

Коэффициент

вэтой формуленазывается“коэффициентомувеличения”.

Здесь

-этоскорость движенияэфира, заключённогов объёме движущегосясо скоростью

тела;скорость эфирав теле

,как было бы,если бы эфирсовсем не увлекалсядвижущимся,и скоростьэфира в теле

,как было бы,еслибыэфир полностьюувлекалсядвижущимсятелом.

Френельубедился всправедливостисвоей формулыв частных предельныхслучаях. Этаформула очевидноверна, когдаплотностьувлекаемойчасти эфираравна нулю,-тогда

,так как по формуле

Формулаочевидно такжеверна и тогда,когда весьэфир увлекается;тогда

,так как по формуле

Фактически,как мы видим,Френель попростуугадал своюформулу увлечения,предположивпростую экстраполяционнуюлинейнуюзависимостьдля увеличенияскорости

волныв среде от степениувлечениясреды.

Стоксв 1846 г. вывел формулуувлеченияФренеля изследующейфизическиразумной модели.Он предположил,что при движениипрозрачноготела черезнеподвижныйэфир, входящийв тело эфир,при проходечерез переднююграницу движущегосятела, скачкомувеличиваетсвою плотностьот плотности

в пустомпространстведо плотности

внутритела, причёмв системе отсчёта,в которой телопокоится,на переднююграницу тела,которая считаетсядля простотыплоской, в единицувремени наединицу площадинатекает массаэфира

, авытекает изнеё масса эфира

,где

-относительнаяскорость движенияэфира относительнотела (если

-абсолютнаяскорость движениятела ,

-абсолютнаяскорость движенияэфира, заключённогов теле, то

Так какэфир на рассматриваемойгранице телане накапливаетсяи не исчезаетс течениемвремени, то

аследовательно,

Возвратимсяк рассуждениюФренеля. СледуяФренелю, рассмотримтеперь стекляннуюпризму

наповерхностиЗемли с прямымуглом при вершине

и углом

при вершине

.Пусть эта призмадвижется вместес Землёй внеподвижномэфире с постояннойскоростью

внаправлениислева направо.Пусть на еёгрань

нормальнопадает плоскаясветовая волнас фронтом

,идущая от далёкойзвезды, расположеннойна горизонте.На переднейграни

призмы,входя в стекло,волна не преломляется,так как падаетна эту граньнормально. Онапреломляетсяпри выходе изстекла на заднейграни

призмы.

На рисункеизображенодва положенияпризмы

и

в дваразных моментавремени, скажем,в нулевой моментвремени и вмомент времени

закоторое фронтволны как разпродвинулсяиз положения

в положение

,изображенноена рисунке.

Обозначимчерез

- скоростьсветовой волныв неподвижномэфире и через

- скоростьсветовой волныв неподвижнойпризме. Тогда,согласно волновойтеории света,показательпреломлениястекла призмыравен

Согласногипотезе Френеляо частичномувлеченииэфира, скоростьсвета в движущейсяпризме равна

Найдемзначение угла

,на которыйотклоняетсяфронт (или луч)света от звезды,проходя черездвижущуюсяпризму

.

Рассматриваяпрямоугольные

и

с общейгипотенузой

,для отрезков

и

получаемочевидныесоотношения:

Такимобразом,

Вычислимтеперь отрезки

и

по-другому.Очевидно изрисунка, чтоимеем следующиепростые соотношения:

Изприведённогочертежа имеем,кроме того,также следующиесоотношения:

где

- уголповорота фронтаволны послепрохожденияего через призму.Таким образом,

Учтёмтеперь, что

ичто при малых

имеемприближённоеравенство

приэтом, считаяотношение

малым,мы заменилиугол

,на угол

,его значениепри

.Учтём, крометого, что прималой разности

имеемприближённоеравенство

Приходим,таким образом,к следующемуприближённомууравнению дляопределенияугла

:

При

и

очевидноотсюда имеемсоотношение

справедливоедля неподвижнойпризмы, котороепозволяетсократить ввышеприведённомуравнениичлены нулевогопорядка в обеихчастях приведённогоравенства.Тогда окончательнопридём куравнению

Преобразуемвыражение,стоящее в правойчасти. Очевидно,что

Такимобразом, приходимк уравнению

котороепозволяетвычислить уголотклонения

лучаот звезды,движущейсясо скоростью

,призмой, еслиизвестенугол отклонения

дляэтого лучапокоящейсяпризмой.

В качествелуча, отклонениекоторого мырассмотрим,возьмём луч

,изображённыйна рисунке.Как видим, уголпреломления

вдвижущейсяпризме всегданесколькоменьше углапреломления

впокоящейсяпризме.

Проследимтеперь за дальнейшейсудьбой луча

послевыхода его изпризмы. Этотлуч света, вышедшийиз призмы,движущейсявместе с Землёй,из-за движенияЗемли, попадётна экране, тожедвижущемся,как и призма,со скоростью

,не в точку

,а в точку

,которая определяетсяиз условия,что за время,пока светраспространитсяот точки

доточки

,двигаясь соскоростью

,точка

попадётв точку

,двигаясь соскоростью

.

Такимобразом, если

-времяраспространениясвета от точки

доточки

,то

Рассмотримтеперь косоугольный

C₁KNи применим кнему теоремусинусов. Получимсоотношение:

следовательно:

Учитывая,что

,получаем:

.

Как видим,для определенияугла

получили вточности такоеже уравнение,как и уравнениедля определения

.Следовательномы должны заключить,что

.

Итак, мырассчиталиположениеточки Kнаэкране, в которуюпадает лучсвета от звезды,учитывая иэффектчастичногоувлеченияэфира движущейсяпризмой и эффектаберрации.Оба эти эффектав точностискомпенсировалидруг друга,т.к., как этонепосредственновидно из чертежа,в точку Kнаш луч от звездыпопадет и втом случае,когда призмаи экран покоятся.Действительно,отрезок C₁Kперпендикулярен“мнимому”фронту волны,отклоняющемусяв призме наугол

.

Видим,что движениеЗемли в первомпорядке поконстантеаберрации

неоказываетникакого влиянияна преломлениесвета от звезды.

Френельиз своей формулычастичногоувлеченияэфира вывелеще одно интересноеследствие.Если трубутелескопанаполнитьводой, то наличиеводы в телескопеникак не будетвлиять на величинуаберрации.

Произвестиизмерение угла аберрации спомощью телескопа,труба которогонаполненаводой, предложилБошкович(1711-1787), горячийсторонник идейНьютона и ихнеустанныйпроповедникв Италии. Такойопыт был произведен,однако, тольков 1871 г. Эйри(1801-1892). Опытподтвердил,в согласии стеорией Френеля,что угол аберрациидля наполненнойтрубы остаетсятаким же, каки для пустой.

КаксвидетельствуетМайкельсон,“вниманиефизиков впервыебыло обращенона влияниедействия средына скоростьсвета в связис опытом Эйри”.

Изложимтеперь, следуяЛоренцу, рассуждениеФренеля, объясняющее,почему заполнениетрубы телескопаводой не изменяетзначения углааберрации.

Телескопдля простотызаменим примитивнымоптическимприбором безлинз, позволяющим,тем не менее,определитьнаправлениена звезду. Этотприбор пустьсостоит изэкрана abсотверстиемABи расположенногоза ним параллельноэкрана ef.По взаимномурасположениюсветлого пятнаEF наэкране ef и отверстияAB можносудить о направлениина звезду.

Оба этихэкрана, разумеется,неподвижныотносительнодруг друга.Пусть приборнаходится наЗемле, движущейсяс постояннойскоростью

,скажем, в направлениислева направо.

Френельпредполагает,что эфир неподвиженв межпланетномпространствеи что Земля иприбор никакне увлекаютего своим движением.Это значит,что в системеотсчета, жесткосвязанной сЗемлей и прибором,эфир натекаетна прибор однороднымсплошным потокомс постояннойскоростью

справа налевои сносит своимдвижениемлюбое имеющеесяв нем световоевозмущение.

Ограничимсярассмотрениемзвезды, расположеннойточно в полюсеэклиптики.Свет от такойзвезды представляетсобой у поверхностиЗемли практическинеограниченнуюплоскую волну,которая падаетперпендикулярнонаотверстие AB,вырезающееограниченномалую частьволновогофронта.

В течениевремени

,пока образованныйотверстиемABфронт ограниченныхразмеров(изображаемыйна рисункеотрезком AB)распространитсяв эфире повертикальномунаправлениювниз и достигнетэкрана ef,он будет постоянносносится движениемэфира в горизонтальномнаправлении,справа налево,так что в концеинтервалавремени

фронт ABпопадет наместо EFэкрана. Приэтом вырезанныйэкраном пучоксвета ABEFокажется наклоненнымк вертикальномунаправлениюна некоторыйугол

,который и являетсяуглом аберрации.При этом

,где

— скоростьсвета в неподвижномэфире,

,где

— скоростьдвижения Земли,так что

Отношение

очень мало,примерно 10^-4.

Обратимвнимание, чтокажущеесянаправлениена звезду (котороетолькои наблюдаетсяс помощью телескопаили описанногопримитивногоприбора) определяетсяне направлениемволновойнормали,которая перпендикулярнафронту волныи направленаперпендикулярновниз по прямой

,а направлениемлуча,т.е. направлениемпрямой

и характеризуетнаклон образованногоотверстиемсветовогопучка

,по отношениюк вертикальномунаправлению.

Лоренцопределяетлучи,как прямые,которые показывают,каким образомсветовые пучкиограничены сбоку (дифракциейполностьюпренебрегается).

Изменимтеперь немногоконструкциюнашего примитивногооптическогоприбора, используемогодля определениянаправленияна звезду. Возьмемснова двапараллельныхэкрана

и

,верхний сновас отверстием

,но теперь заполнимнижнюю частьприбора — междуплоскостями

и

— плоско-параллельнымслоем некоторойпрозрачнойсреды, например,водой, с показателемпреломления

, где

— скоростьсвета в неподвижномэфире,

—скорость светав неподвижномстекле. Сновавозьмем свет,приходящийна Землю отзвезды, расположеннойточно в полюсеэклиптики, иснова всерассмотрениебудем в системеотсчета, жёсткосвязанной сЗемлей и прибором,в которой эфироднороднымсплошным потокомнатекает наприбор справаналево со скоростью

.

Из практическибесконечногофронта плоскойсветовой волны,приходящейна Землю отрассматриваемойзвезды, отверстие

вырежет малуючасть

.Ограниченноев первый моментвремени краямиотверстиясветовое возмущение

дальше,— между экраном

и поверхностьюсреды

,— распространяетсяв эфире, движущемсясправа налевооднороднымсплошным потокомсо скоростью

.Поэтому образуетсясветовой пучок

,наклоненныйк вертикалипод очень малымуглом аберрации

как мыэто объясниливыше.

Определимтеперь наклон световогопучка

в прозрачнойсреде, которыйобразуетсяиз световогопучка

.Если бы движениеэфира черезпрозрачнуюсреду отсутствовало,то мы имели быпучок

,имеющий угол

наклона квертикали,определяемыйиз закона Снеллиуса:

;

считая,что угол

,а следовательнои угол

очень малы.Таким образом,для длины отрезка

имеем выражение

еслипредположить,что

— толщина слояпрозрачнойсреды в приборе.Движение эфирачерез прозрачнуюсреду, однако,происходит.Согласно гипотезечастичногоувлеченияэфира прозрачнымтелом, эфирпротекаетчерез плоскопараллельныйслой

прозрачнойсреды справаналево горизонтальнымнепрерывнымсплошным потоком,движущемсясо скоростью

;

она меньшескорости

движения Земли,которую эфиримел бы, еслибы он не увлекалсяпрозрачнойсредой. Вследствиепереносногодвижения,фронт волны

,распространяющийсяв прозрачнойсреде вертикальновниз до экрана

со скоростью

— скоростьюсвета в среде— за время

,

при попаданиина экран

будет снесенв горизонтальномнаправлениивлево на расстояние

Получилидля отрезка

тотже результат,что и выше, когдаделали предположение,что движениеэфира отсутствует.

Такимобразом мыдолжны сделатьвывод, что движениерассматриваемого оптическогоприбора вместес Землей соскоростью

сквозь неподвижныйэфир никак несказываетсяна ходе лучейв нем; законпреломленияостается такимже. Луч, приходящийот звезды, ведетсебя в точноститак же, как илуч такого женаправления,идущий от земногоисточника.

6. Геометрическаяоптика неоднороднойпрозрачнойсреды, пронизываемойдвижущимсячерез нее эфиром.Теорема Лоренца.

Своюоптико-геометрическуютеорию движущихсявместе с Землейоптическихприборов Лоренцразвил в 1886 г. сцелью объясненияследующих трехк тому времениуже твердоустановленныхопытных фактов:

1. существуетявлениеастрономическойаберрацииположенийзвезд, заключающеесяв том, что звездыв течение годаописывают нанебе маленькиеэллипсы (переходящиев окружностидля звезд,находящихсявблизи полюсаэклиптики, идважды покрытыеотрезки длязвезд, находящихсявблизи экватораэклиптики);

2. свет отлюбой звезды,фиксируемыйна Земле каксвет, приходящийпо определенномунаправлениюи определеннойчастоты, будучииспользованнымв любых оптическихэкспериментах— по отражению,по преломлению,по интерференциии т.д., ведет себяв точноститак же, как исвет от земногоисточника,распространяющийсяпо тому женаправлениюи обладающийтой же частотой;

3. ни в одномоптическомэксперименте,который можнопроизвестис земным источникомсвета, нельзянаблюдатьникакого эффекта,связанногосо скоростью

   движения Землина ее орбитевокруг Солнца,если ограничитьсячленами первогопорядка малостипо
   ,где
   — скоростьсвета в пустоте.

Любойкак угодносложный оптическийприбор, содержащийлинзы, призмы,щели, диафрагмыи т.д., можносчитать кусочнооднороднойсредой (т.е. средой,состоящей изпространственныхобластей сразными показателямипреломления).Будем, однако,следуя Гамильтону,полагать, чтоимеем дело нес такой специфическойкусочно-однородной,а с произвольнойоптическинеоднородной средой, оптическиесвойства которойхарактеризуютсязаданной функциейлокальногопоказателяпреломления

,где

— показательпреломленияв точке средыс координатами

.

Средубудем считатьтвердой, прозрачной,неподвижнойи жестко связаннойс Землей, движущейсясквозь эфир,покоящийсяв мировомпространстве.

Лоренцпроводит рассуждениев декартовойпрямоугольнойсистеме координат

,жестко связаннойсо средой и сЗемлей. Приэтом он предполагает,что Землю ипрозрачнуюсреду пронизывает“эфирный ветер”,характеризующийсястационарным(не зависящимот времени)полем скоростей

.

Такимобразом Лоренцберет развитуюим самим обобщеннуюформулировкупринципа Гюйгенса,учитывающую,что эфир движетсяотносительнопрозрачнойсреды, в котороймы исследуемраспространениесветовых волн,т.е. что в средеимеется эфирныйветер.

Как приформулировкеобычного принципаГюйгенса, длянеподвижногоэфира, возьмемдва бесконечноблизких положенияволновогофронта, илифронта волны,распространяющейсяв покоящейсяотносительноЗемли, но движущейсяотносительномировогопространствасреде, увлекающейс собой частичноэфир, в двабесконечноблизких моментавремени tи t+dt.Пусть эти положенияхарактеризуютсядвумя геометрическимиповерхностямиS иS¹,см. рис.

Чтобыисходя изповерхностиволновогофронта Sпостроитьповерхностьволновогофронта S¹,надо взятькаждую точкуPна поверхностиSи мысленноиспустить изэтой точки вмомент времениtт.е. взять бесконечномалую поверхностьоколо точкиP,до которой кмоменту времениt+dtэто возмущениедошло. Такуюповерхностьназовем фронтомэлементарнойволны. На приведенномрисунке криваяabизображаетчасть поверхностифронта элементарнойволны, испущеннойиз точки P,рассматриваемойв момент времениt+dt.

Согласнопринципу Гюйгенса,поверхностьS¹,будет геометрическойогибающейповерхностьюфронтов всехэлементарныхволн, построенныхдля всех точекPповерхностиS.

Одновременнос построениемположенияпоследующегофронта волнымы узнаем идальнейшийход всех лучей.Прямой отрезок,проведенныйиз точки Pна поверхностиP,являющейсяцентромиспусканияэлементарнойволны, в точкуP¹,расположеннуюна поверхностиS¹и являющуюсяточкойкасания этойэлементарнойволной огибающейповерхностиS,является элементомлуча.Один из элементовлуча изображенотрезком PP¹на рисунке.

ТочкиPи P¹,принадлежащиесоответственноповерхностямS иS¹и являющиесяначалом и концомодного и тогоже элементалуча, называютсясопряженнымиточками.

При помощигеометрическогопостроенияГюйгенса можнонайти последовательныеположения S,S¹,S¹¹,...фронтараспространяющейсяволны и последовательныеэлементыPP¹,P¹P¹¹,P¹¹P¹¹¹,...любоголуча. Каждыйтакой луч проходитчерез рядсопряженныхточек, следующиходна за другойчерез бесконечномалые расстояния.

В случаеотсутствияв среде эфирноговетра каждаяиз рассмотренныхбесконечномалых элементарныхволн представляетсобой бесконечномалую сферурадиуса c₁t,с центром,расположеннымв соответствующейточке P,где c₁- локальнаяскорость светав точке Pсреды. Длянеоднороднойсреды скоростьсвета являетсязаданной функциейс₁=с₁(x,y,z)точки средыи поэтому различныеэлементарныеволны будутиметь разныерадиусы, см.рис.

В случаеналичия в средеэфирноговетраэлементарныеволны тожеявляются бесконечномалыми сферическимиповерхностями,но эти поверхноститеперь непрерывносносятся движениемэфира, и поэтомуцентры их вмомент времениt+dtрасполагаютсяне в точках Pиспусканияволн, а в бесконечномало сдвинутыхточках Q,которые находятсяна бесконечномалых, прямолинейныхотрезках PR,вдоль точкиPэфира перемещаютсяпри его движенииза интервалвремени t,t+dt. ОтрезокPRимеет длинуv·dt,где v- скорость эфирав точке Pи он направленвдоль вектораскорости vэфирного ветрав этой точкеP.Радиусысфер элементарныхволн, однако,все равно равныc₁·dt,как в неподвижнойсреде, см. рис.

ТочкаQможет находитьсяи в начале (Q=P),и в конце (Q=R)отрезка PQ,а также можетлежать и внутриэтого отрезка.СоответственноЛоренц пользуетсяодной из следующихгипотез.

а) ЕслиQ=P,то эфир неувлекаетсядвижущейсясредой.

б) ЕслиQ=P,то эфир полностьюувлекаетсядвижущейсясредой.

в) ЕслиPQ=(1/n²)PR,то эфир частичноувлекаетсядвижущейсясредой; здесьn - локальныйпоказательпреломлениядля неподвижнойсреды в точкеP.

Рассмотримтеперь важныйчастный случайдвижения Землии прозрачнойСреды, когдаони движутсяв мировомпространствепоступательноравномернопрямолинейновдоль некоторогонаправленияс некоторойпостояннойскоростью v.

Длинаотрезка PQтеперь равна

причемнаправленияотрезков PRи скорости vво всех точкахPбудут одинаковы.

Для частногослучая поступательногоравномерногопрямолинейногодвижения Землии прибора сквозьмировой эфирЛоренц доказалследующуюзамечательнуютеорему.

ТеоремаЛоренца.С точностьюдо членов первогопорядка включительнопо отношениюскоростей v/c,где v - поступательноравномерногопрямолинейногодвижения оптическогоприбора черезнеподвижныйэфир, с - скоростьсвета в пустоте,геометрическийход лучей воптическомприборе независит отдвижения среды.

Приступимк доказательствусформулированнойтеоремы. Рассмотримход лучей вприборе относительнодекартовыхпрямоугольныхосей координатOxyz, жестко связанныхс ним. Прибордвижется равномернопрямолинейнопоступательнос постояннойскоростью vчерез неподвижныйэфир.

Обратимсяеще раз к рассмотренномувыше рисунку.ОбозначимРP¹PQмежду направлениесветовоголуча, исходящегоиз точки P,и направлениемдвижения среды- через q, см. рис.

На рисункеполупрямаяQPнаправленавдоль направленияэфирного ветра.Согласно теоремекосинусов,примененнойк DP¹PQ,имеем следующеесоотношение

.Отрезок P¹Q,согласно лоренцевупринципу Гюйгенса,равен c₁·dt,где c₁- локальнаяскорость светав точке P.Отрезок PQ,согласно томуже принципу,равен k·v·dt,где k=1/n²,n- локальныйпоказательпреломленияв точке P,v- скорость эфирноговетра. ОтрезокPP¹равен с₁^дв·dt,где с₁^дв- локальнаяскорость светав точке Pдля Среды сэфирным ветром.Таким образом,приведенноесоотношениеможно представитьв следующемвиде:

илив виде квадратногоуравнения

изкоторого можноопределитьскорость с₁^дв.Решая это квадратноеуравнениеполучим

очевидноперед корнемнадо взятьзнак плюс, иначеполучили быотрицательноезначение дляскорости с₁^дв.Считая скоростьv движения средычерез неподвижныйэфир или, чтото же самое,скорость эфирноговетра малойпо сравнениюсо скоростьюсвета си разлагаякорень в рядпо малости v²,имеем

Следовательно,с точностьюдо членов третьегопорядка малостипо v/c получаемприближеннуюформулу

.Из этой формулысразу выведемеще одну приближеннуюформулу, котораянам понадобитсяв дальнейшем:

или

справедливос точностьюло членов порядкамалости v³/c³₁.

Определив,с помощью лоренцеваобобщенногопринципа Гюйгенса,скорость с₁^двраспространениясвета по лучудля поступательноравномернопрямолинейнодвижущейсяпрозрачнойсреды, воспользуемсятеперь принципомФермадля определенияхода лучей воптическомприборе, жесткосвязанном сдвижущейсяЗемлей и перемещающимсявместе с ней.Согласно принципуФерма, для истинногопути Lсветовоголуча, выходящегоиз какой-тофиксированнойточки А и приходящегов другую фиксированнуюточку В, криволинейныйинтеграл

представляющийсобой времяраспространениясвета по лучу,долженпринять минимальноезначение.Здесь ds- длина элементадуги кривойALB.

Пренебрегаячленами второгопорядка малостиv²/c²₁в вышеприведеннойформуле для1/ с₁^дв,получаем следующуюпростую формулудля времениt для любогомысленновоображаемого пути ALB:

Множительv мы вынеслииз-под знакаинтеграла, таккак скоростьдвижения среды- постоянна.Учтем далее,что показательпреломленияСреды определяетсяформулой

изкоторой сразуполучаем с₁n=c,где с - скоростьсвета в пустоте,- некотораяуниверсальнаяконстанта.Таки м образом,множитель

имеетпостоянноезначение, иего тоже можновынести из-подзнака интеграла.Так приходимк формуле длявремени распространениясвета по лучуALB

Легковидеть, чтовторой интегралне зависитот формыпути ALB,так как он равендлине проекциипрямолинейногоотрезка АВ нанаправлениеэфирного ветрав нашей прозрачнойсреде. Первыйинтеграл независит отскорости движениясреды, таккак с₁- это линейнаяскорость светав неподвижнойсреде.

При отысканииминимумавремени t дляразличныхпутей ALB,соединяющихфиксированныеточки А и В, второйинтеграл, независящий отформы путиALB,можно поэтомуигнорировать.А так как первыйинтеграл независит отскорости движениянашей среды,т.е. оптическогоприбора, то мывидим, что формапути истинноголуча междуточками А и Вв движущемсяоптическомприборе будетв точноститакой же, каки в покоящемсяприборе.

Тем самымтеорема Лоренцадоказана.

4.7. ТеорияаберрацииСтокса.

В 1845 г. Стоксопубликовалзнаменитуюработу “Обаберрациисвета”, в которойизложил своютеорию аберрации.В момент написанияэтой работыСтокс не зналеще работыФренеля 1818 г. потеории аберрации,о чем свидетельствуетотсутствиессылок на работуФренеля в егоработе 1845 г. и егостатья, появившаясячерез несколькомесяцев, ужев 1846 г., в которойСтокс подробноизлагает по-своемутеорию Френеля,называет ее“замечательной”и дает ей интересноедальнейшееразвитие. Однакоздесь же, в этойстатье 1846г. Стоксотмечает, чтотеперь “мыстолкнулисьс любопытнымслучаем существованиядвух совершенноразличныхтеорий, одинаковохорошо объясняющихявление”. Издесь же говорито том, что неможет проверить“без хорошегодоказательства”,что эфир можетсвободно проходитьчерез твердуюмассу Земли.

В работе1845 г. Стокс пишетупоминаеттолько об известномэлементарномобъясненииаберрации спомощью корпускулярнойтеории света,говорили обольших успехахволновой теориисвета, которая“просто и красивообъясниламногие сложныеявления”, оботсутствииобъяснения аберрации врамках волновойтеории.

Приступимк изложениюсодержанияработы Стокса1845 г. Однако несколькоформализуемрассужденияСтокса, длялучшего пониманияих сути.

Стокспредполагает,что Земля, двигаясьс постояннойскоростью вмежпланетномпространствепереноситкакую-то частьэфира с собой,вследствиетого, что эфирвблизи еёповерхностипокоитсяотносительноеё поверхности,как бы “прилипает”к ней, причёмскорость эфиранарастает приудалении отповерхностиЗемли, пока нане очень большомрасстоянии,она не станетравной скоростиэфира, покоящегосяв межпланетномпространстве,относительноЗемли. Такимобразом, можнопредположить,что в системеотсчёта, жёсткосвязанной сЗемлёй, эфирнатекает наЗемлю стационарнымсплошнымпотоком, обтекаяеё со всех сторон,с некоторымполем скоростей

, не зависящимот времени t.

Предположим,что положениефронта световойволны, распространяющейсяв стационарнодвижущемсяэфире, в моментвремени t,даётся уравнениемвида

составимдифференциальноеуравнение, которое позволилобы определитьпоследовательныеположенияфронта световойволны в различныемоменты времени,т.е. определитьэволюцию волновогофронта. Дляэтого надонайти функцию¦.

Возмущениеэфира, каковымявляется световаяволна, в случаепокоящегосяэфира перемещаетсяза интервалвремени t,t+dt източки x,y,z в точкус координатами

гдес — скоростьсвета в покоящемсяэфире и где

считаем, чтовозмущениераспространяетсяпо нормали кповерхности¦=0, взятой в точкеx,y,z. Возмущениев движущемсяэфире,с заданнымполем скоростей,по определению Стокса, за интервалвремени t,t+dt източки x,y,zперемещаетсяв точку с координатами

т.е. Стокс считает,что распространяющеесяв эфире возмущениепросто сноситсядвижениемэфира. Такимобразом, положениефронта в движущемсяэфире в моментвремени t+dtдаётсяуравнением

.Разлагая последнееуравнение помалости dt, получаемискомое уравнение,описывающееэволюцию волновогофронта оптическойволны, распространяющейсяв движущемсяэфире:

или

;

Хотяэтого рассужденияСтокс и не приводит,но оно неявносодержитсяв его рассуждениях. Знак ± соответствуетнеопределённостинаправлениянормали, задаваемойвектором скомпонентами

Будемтеперь считать,что скоростьэфира, т.е. величиныu, u, w малы по сравнениюсо скоростьюсвета с и построимчастное приближённоерешение дифференциальногоуравнения,которое Стоксфактическии рассматриваетв своей работе1845 г. по теорииаберрации.

Нулевоеприближение.Положим u= u = w = 0 вприведённомуравнении для¦, т.е. рассмотримпокоящийсяэфир. Тогдалегко убедиться,что уравнениенулевого приближенияимеет следующеечастное решение:

,это решениеописываетоптическуюплоскую волну,распространяющуюсяв отрицательномнаправленииоси z.Действительно,уравнениенулевого приближенияимеет вид

здесь мы взялизнак минусперед корнем,причём дляприведеннойнулевой функциисправедливысоотношения:

перед корнеммы берём знак “-”.

Первоеприближение.Считаятеперь скоростиu, u, w малыми величинами,первого порядкамалости, найдёмприближённоерешение приведённогополного уравнения,со знаком “-”перед корнем, переходящеепри пренебрежениивеличинамиu, u, w в решение ¦₀, в виде функции

где

является малойвеличинойпервого порядкамалости по u,u, w . СледуяСтоксу, считаем,что поправочнаяфункция z зависиттолько от координатx, y ине зависит откоординатыz.Это предположение,разумеется,несколькоограничивает произволотыскиваемогорешения. Ноесли нам удастся его построить,то всё в порядке.Из полногоуравнения,которомуудовлетворяетфункция ¦, сознаком “-” передкорнем, имеемследующееприближённоеуравнение дляопределениефункции z :

из которогонепосредственнополучаемприближённоеуравнение

для определенияфункции z. Интегрируяполученноеуравнение поt,приходим ксоотношению

Такимобразом, окончательноприходим кследующемуприближённомууравнению дляопределенияположенияфронта рассматриваемойволны в моментвремени t:

Составимвыражения длякомпонентненормированнойнормали к этойповерхностиволновогофронта в точкеx,y,z = - ct вмомент времениt.Имеем

Обозначимчерез

направляющиекосинусы длянормали, взятойк найденнойприближённоволновойповерхности.Так как величинаw /c мала, то углы

так что приближённоможно положить

.

В этомместе своихрассужденийСтокс прибегаетк гипотезе опотенциальностиполяскоростейэфира.

ГипотезаСтокса. Полескоростейэфира потенциально,т.е. существуеттакая функцияj(x,y,z), что

Согласногипотезе Стоксаимеем следующиеочевидныепростые соотношениядля компонентполя скоростей:

используякоторые, выведенныеприближённыеформулы дляуглов a иb можнозаписать ввиде

Следовательнодля измененияуглов a иb отмомента времениt=t₁ до моментавремени t=t₂имеем следующиеочень простыеформулы:

Из этихформул нетруднополучитьобщеизвестныйзаконаберрации.Пусть свет отзвезды идёт по направлению,строго перпендикулярномунаправлениюдвижения Земли.Первый моментвремени t=t₁возьмём таким,чтобы фронтсветовой волнынаходился настоль большомудалении отЗемли, чтобыдля скоростиэфира в точкахэтого фронтаможно былосчитать, что

предполагаем,что Земля движетсяв положительномнаправленииоси xс постояннойскоростью u. Второй моментвремени t=t₂возьмём в тотсамый момент,когда волновойфронт дошёлдо Земли, тогда

Следовательно,фронт, идущийот звезды плоскойволны, поворачиваетсяпо приближениюк Земле такимобразом, чтоугол, составленнойего нормальюс осью х,станет равным

где u— скоростьдвижения Земли,с— скоростьсвета в покоящемсяэфире. См. рис.

Наблюдателюна Земле будетказаться, чтозвезда сместиласьна небе в сторонунаправлениядвижения Землина угол аберрацииравный

.

В 1880 г. Стоксопубликовалважное дополнениек изложеннойнами сейчасработе 1845 г. Онобратил вниманиена то, что в работе1845 г. он проследиллишь за измененияминаправлениянормалик фронту волны,по мере распространенияволны от звездыдо Земли. Когдаэфир покоится,траекторииволновых нормалейсовпадают страекториямилучей.Когда эфирдвижется,с заданнымполем скоростей,траекторииволновых нормалейи траекториилучей перестаютсовпадать.

Обозначимчерез n— единичныйвектор нормалив некоторойточке фронтаволны в моментвремени tи через s— единичныйвектор направлениялуча в этойточке волновогофронта, рассматриваемогов момент времениt. Пустьa, b— углы векторанормали nс осямиx, y, причём всеэти углы малоотличаютсяот прямых

Стокссчитает, что

где v(u,u,w)— поле скоростейэфира в рассматриваемойточке волновогофронта в моментвремени t.Следовательно:

или

окончательно

Приращениеэтих углов заинтервал времениt, t+dt, когдаdz= - cdt,таким образомравно

Выше мыпоказали, что

так чтоокончательно

Принимаягипотезу Стоксао потенциальностиполя скоростейэфира, такимобразом, заключаем,что правыечасти приведенныхравенств равнынулю.

Итак,изменениенаправлениялучапо мерераспространенияравно нулю;лучисвета в увлекаемомЗемлей эфире- приближеннопрямолинейные.

4.8. Механическийпринцип относительности.

ИнвариантностьотносительнопреобразованийГалилея.

Галилейеще в XVII в. сформулировалпринцип относительностив механике,или механическийпринцип относительности.

Механическийпринцип относительности.Механическиеявления вовсех инерциальныхсистемах отсчетапроисходятсовершенноодинаково.Нельзя с помощьюмеханическихэкспериментов,производимыхв движущейсяинерциальнойсистеме отсчета,определитьскорость еедвижения (еслине производитьнаблюденийтел из системыотсчета, относительнокоторой мыхотим определитьскорость движения).

Покажем,что уравнениямеханикиматематическизаписываютсясовершенноодинаково вовсех инерциальныхсистемах отсчета.Для простотырассмотримдвижениематериальнойточки,т.е. тела, размерамикоторого можнопренебречьв рассматриваемойситуации. Пустьэто движениеописываетсяв двух каких-нибудьинерциальныхсистемах - в“покоящейся”системе Kи в “движущейся”системе K'.Пусть в начальныймомент временидекартовы осиэтих системсовпадали ипусть системаKдвижется вдольоси xс постояннойскоростью v.

Координатыточки M,отсчитываемыеотносительнодвижущейсяи относительнопокоящейсясистем отсчетаKи K'связаны следующимиформуламипреобразования:

которыеназывают формуламипреобразованияГалилея.Время припреобразованияхГалилея никакне преобразуем,так что следуетположить, что

.

Эту формулутоже будемотносить кформулампреобразованияГалилея.

Рассмотримдвижениематериальнойточки Mмассы mотносительнотой и другойсистем, происходящее,к примеру, вдольоси x,под действиемнекоторойзаданной силыF(действующейтолько вдольоси x).Тогда в системахKи K'имеем следующиеуравнениядвижения:

которыематематическисовершенноодинаковы(инвариантны).При этом одноуравнениеполучаетсяиз другого спомощью преобразованийГалилея. Действительно,согласно этимпреобразованиям:

так какочевидно dv/dt = 0 (скорость vпостоянна).

Самымифундаментальнымиобъектами вфизике являютсяточки и волны.Поэтому интереснопосмотреть,а будет лиинвариантноотносительнопреобразованийГалилея волновоеуравнение,скажем, дляпростоты, одномерноеволновое уравнение(уравнениеДаламбера) дляплоских волн,распространяющихсявдоль оси x.Пусть u= u(x,t) -волновая функцияи c- скорость волны.Тогда имеемуравнение

Совершимв нем преобразованиеГалилея, другимисловами - перейдемот независимыхпеременныхx,tк переменнымx',t',считая, чтонеизвестнаяволновая функцияuтеперь выраженав переменныхx',t',т.е.

где

Такимобразом,

Следовательно,

Далее,

Следовательно,

Подставимполученныевыражения длявторых производныхв исходноеволновое уравнение.Тогда получим,что

или

Как видим,получили совсемне Даламбера,а другое уравнение(в которое входитv).

Такимобразом, мыдоказали, чтоодномерноеволновое уравнениенеинвариантноотносительнопреобразованийГалилея.

Остановимсяна выяснениифизическогосмысла полученногорезультата.Для определенностипредставимсебе обычныезвуковые волныв воздухе. Ониявляются малымивозмущениямиплотности идавления малыхчастиц воздуха,и в так называемомакустическомприближении(когда амплитудыэтих возмущениймалы) описываютсяволновым уравнениемДаламбера

когдаречь идет оплоских волнах,распространяющихсявдоль оси x.

Этоуравнение,однако, математическиописываетзвуковую волнутолько в покоящемсявоздухе.Если мы хотимописать звуковуюволну в движущемсявоздухе(движущемсяравномернопрямолинейносо скоростьюvвдоль оси xв отрицательномнаправленииоси xв лабораторнойсистеме отсчета),то мы должныиспользоватьне приведенноеволновое уравнение,а только чтовыведенноеболее сложноеуравнение

Такимобразом, волновоеуравнение длязвука в движущейсясредеотличаетсяпо виду от волновогоуравнения длязвука в покоящейсясреде. И нетничего удивительногов том, что волновоеуравнение неинвариантноотносительнопреобразованийГалилея. Мынеявно предположили,что исходнаясистема K- это системаотсчета, в которойсреда (воздух)покоится.

Пояснимсказанноеподробнее.Пусть у насимеется тело,движущеесясо скоростьюvвдоль оси xи пусть в этомтеле распространяетсяволна в положительномили отрицательномнаправленииоси x.

Рассмотримволну, распространяющуюсяв положительномнаправленииоси x.Относительновзятой системыотсчета онаимеет скоростьc_дв= c + v. Такимобразом, еслиформа волныв нулевой моментвремени даетсяфункцией f(x),которая можетбыть взятапроизвольной,то в моментвремени tона будетописыватьсяфункцией

Найдемвид уравнения,которомуудовлетворяетэта функция.Очевидно

Поэтомуфункция uудовлетворяетследующемууравнению

котороеможно представитьв виде

Подействуемна это уравнениесправа и слевадифференциальнымоператором

и получимуравнение

Следовательно,раскрываяскобки, имеемуравнение

членысо смешаннойпроизводной,пропорциональныеc,взаимно сокращаются.Разделив наc²,окончательноприходим куравнению

котороев точностисовпадет суравнением,полученнымвыше.

Рассмотримтеперь волну,распространяющуюсяв отрицательномнаправленииоси x.Относительнонашей системыотсчета волнабудет двигатьсясо скоростьюc_дв= c - v.

Еслиформа волныв нулевой моментвремени t= 0 даетсяфункцией g(x),которая можетбыть совершеннопроизвольной,то в моментвремени tона будетописыватьсяфункцией

Найдемвид уравнения,которомуудовлетворяетэта функция.Очевидно

Поэтомуимеем уравнение

котороеможно записатьв следующемвиде

Подействуемна это уравнениесправа и слевадифференциальнымоператором

и получимуравнение

Следовательно,раскрываяскобки, имеемуравнение

членысо смешаннойпроизводной,пропорциональныеc,взаимно сокращаются.Разделив наc²,окончательноприходим куравнению

т.е. вточности ктакому уравнению,которое мыполучили дляволны, распространяющейсяв положительномнаправленииоси x.

4.9. Электродинамическийпринцип относительности.

ИнвариантностьотносительнопреобразованийЛоренца.

Оказывается,одномерноеволновое уравнениевсе же остаетсяинвариантнымпри переходеот системыотсчета K к системеотсчёта К’, ноесли воспользоваться не преобразованиямиГалилея, а такназываемымипреобразованиямиЛоренца, которыеимеют вид:

Теперьне только координатаХ, но и время Тпреобразуются.Докажем инвариантность.Снова рассмотримфункцию

где b=V/C.Тогда , дифференцируяеё по t , получим

Следовательно,

Далее,дифференцируяпо t, получаем

Следовательно,

Подставимполученныевыражения длявторых производныхв исходноеволновое уравнениеДаламбера

Получимтогда уравнение

Такимобразом, приходимк уравнению

слагаемыесо смешаннымвторым производнымв обеих частяхравенствасокращаются.Окончательнополучаем уравнение

Следовательно,приходим куравнению

т.е. в точностик исходномуодномерномуволновомууравнениюДаламбера.

Итак,приходим кзаключению,что волновоеуравнениеДаламбераинвариантноотносительнопреобразованийЛоренца. Этоважное математическоеоткрытие в своёвремя сделалЛоренц, который,однако, рассматривалне просто одномерноеволновое уравнение,а уравненияМаксвелла,которые можносчитать усложненнымтрехмерным“волновымуравнением”- для поперечныхэлектромагнитныхволн. Именноэто математическоеоткрытие позволилоЛоренцу в 1904 г.Объяснитьотрицательныйрезультатэкспериментовпервого и второгопорядков поV/C по обнаружениюскорости Vпоступательногодвижения относительноэфира.

Отметимздесь ещё однуинтереснуювозможнуюфизическуюинтерпретациюполученногоматематическогорезультата- с инвариантностьюволновогоуравненияотносительнопреобразованийЛоренца.

Для большейопределённостиснова рассмотримзвуковые волныв воздухе вакустическомприближении. Эти волны можнорассматриватькак самостоятельныефизическиеобъекты , никакне связанныесо средой - воздухом,колебаниямикоторого онина самом делеявляются . Средатеперь - совершеннодругой физическийобъект, дажеиной физическойприроды. Звуковыеволны существуютсами по себе,безо всякойсреды. И этотновый физическийобъект -“волны“- поэтому совершенноестественнодолжен одинаковоописыватьсяво всех инерциальныхсистемах отсчета,так как инерциальныесистемы отсчетане толькомеханически,но и физическидолжныбыть полностьюравноправными.

В отношениизвуковых волнв воздухе такаяфизическаяинтерпретациявполне возможна,но только орамках акустическогоприближения,т.е. для волночень малой(даже бесконечномалой) амплитуды.В случае звуковыхволн конечнойи большой амплитудытакая, казалосьбы, самая простаяи естественнаяинтерпретация,разумеется,неправильна.

В специальнойтеории относительностиобсуждаютсяне звуковые,а электромагнитныеволны. Средой,подобной воздуху,для звуковыхволн здесьявляется, правда,пока ещё экспериментальноне открытаяособая гипотетическаясреда, называемаяэфиром. Но эфирэкспериментальноне обнаружен, и вообще внастоящее времяв современнойфундаментальнойфизике электромагнитногополя ещё многоеостаётся неясным.Поэтому можносчитать, какэто делают внастоящеевремя, описаннуюфизическуюинтерпретациюединственноприемлемой,как это провозгласилЭйнштейн в 1905г., что эфира вприроде несуществует.

Как вышеотмечалось,оптическиеи электродинамическиеэксперименты,проведённыена Земле с цельюобнаруженияи измеренияпоступательнойскорости V Землипервого и второгопорядков малостипо величинеV/C=10^-4, дали отрицательныйрезультат. Вчастности,отрицательныйрезультат дали экспериментМайкельсона- Морли с двухплечевыминтерферометром.Никаких эффектоввлияния поступательнойскорости движенияЗемли все этиэкспериментыне выявили.Скорость Землив указанныхэкспериментахизмерить неудалось.

Такимобразом, к концуХ|Х века в результатевсех этихэкспериментальныхнеудач удалосьобобщить механическийпринцип относительностиГалилея наэлектромагнитные(в том числе иоптические)явления ипровозгласитьобщефизическийпринцип относительности,который иногданазывают принципомотносительностиЭйнштейна.

Электродинамическийпринцип относительности.

Всефизическиеявления во всехинерциальныхсистемах отсчетапротекаютодинаково.Нельзя с помощьюкаких-либофизическихэкспериментовв движущейсяинерциальнойсистеме отсчетаопределитьскорость еедвижения , еслине производитьнаблюденийтел из системыотсчета , относительнокоторой мыхотим определитьскорость движения.

МатематическоесвойствоинвариантностиотносительнопреобразованийЛоренца основныхуравненийэлектродинамики- уравненийМаксвеллаиспользовалосьЛоренцем в 1895г. И в 1904 г. Дляобъяснения,почему с помощьюэлектродинамическихэкспериментовнельзя определитьскоростьпоступательногодвиженияЗемли в эффектахпервого и второгопорядков малости( 1895 г.) и вообщево всех эффектах(1904 г. ).

4.10. Обсуждениепонятия скороститела и построенияполей временив покоящейсяи движущейсясистемах отсчета.

Казалосьбы, понятиескорости тела,как пройденногопути за определенныйпромежутоквремени:

настолькоясно, что нетребует вообщеникаких пояснений.Конечно, еслитело движетсянеравномерно,то надо вводитьв рассмотрениемгновеннуюскорость

ноне об этом сейчасречь. Вместес тем в связис данным определениемскорости необходимо,однако, обсудитьвесьма существенныйфизическийвопрос.

Чтобылучше представитьсебе ситуацию,рассмотримконкретныйэксперимент,проводимыйдля измеренияскорости тела.Пусть имеетсядвижущеесятело и пустьоно в какой-томомент временипроходит илипролетает черезто место N , гдемы сами сейчаснаходимся.Засечём этотмомент t1 наимеющемся унас измерителевремени - часам.

Предположим,что мы находимсяв месте N и наблюдаемиз этого местаза нашим движущимсятелом. Черезнекотороевремя, скажемв момент времени t2 , зарегистрированнымпо нашим часам,тело проходитчерез другоеместо M, расстояниедо которогоS2-S1 от нашего места N, мы можем измеритьзаранее. Тогдаскоростью теламы назовемотношение

Вродебы всё совершенноясно. Но это нетак. Мы должныучесть, чтокогда мы увидели,что тело проходитчерез местоM ,мы на самомделе простозарегистрировалисветовой сигнал,приходящийк нам из места M, свидетельствующийо совпадениитела и места M. Так как сигналраспространяетсяс некоторойконечной скоростьюС, то мы должныэто учесть иввести поправкуна время распространениясигнала отместа M до местаN, т.е. поправкуна время запаздывания.

Такимобразом, мыдолжны в формуледля скоростиV взять не момент t2, непосредственноэкспериментальнонаблюдаемыйи зафиксированныйпо нашим часам,а момент

и скоростьютела должнына самом деленазвать величину

котораялишь незначительнобольше величиныV, если тело движетсяне слишкомбыстро.

Так какскорость светаC очень большая( С=300000 км /c), то рассматриваемаяпоправка, конечно,будет для реальнонаблюдаемыхдвижений телна Земле чрезвычайномалой .

Однакоона становитсятем больше, чемдальше удаленоместо М от местаN и чем скореедвижется тело.Если скоростьV тела будетблизка к скоростисвета, то поправкабудет оченьбольшой .

Именноэта поправкав определениискорости телаи учитываетсяв специальнойтеории относительности.

Здесьследует сказать,что наше субъективноеощущение обокружающемнас мире в некоторыйданный моментвремени, действительносубъективнои неправильно.Дело в том, чтоудаленныепредметы мывидим такими,какими они былив более ранниемоменты времени,чем видимыенами близкиеот нас предметы.

Скажем,мы видим наулице “одновременно”идущих людей,здания, Солнце.Но ведь, на самомделе, Солнцемы видим не втот момент, вкоторый мы нанего смотрим,а в момент примернона 8,5 минут раньше(так как времяраспространениясвета от Солнцадо Земли составляетпримерно 8 мин.20 сек. ). А если мы“одновременно”взглянем втелескоп наудаленные отнас звезды игалактики, тогалактики насамом делесейчас мы видимв такие моменты,когда мы ещёи сами не родились,и даже ещё непоявилась нашаЗемля и нашаСолнечнаясистема .

Такимобразом, обсуждаяпонятие скоростидвижущегосятела, нам надообязательноразобраться,что мы понимаемпод временемв различныхместах пространства.Чтобы экспериментальноисследоватьперемещениетела в пространствес течениемвремени, лучшевсего иметьлокальныесогласованныедруг с другомизмерителивремени - часы,расставленныево всех точкахпространства.Тогда совсемне нужно будетдумать о поправкахв отсчётахвремени, скоростяхсветовых сигналови т.д. Множестволокальныхвремен в различныхточках системыотсчета образуетто, что мы будемназывать полемвремени.

Построимсначала полевремени в“покоящейся“системе отсчетаК. Для этого вначале отсчетаО организуем“производство”совершенноодинаковых,идентичных,измерителейвремени - часов,ход которых,по возможности,одинаков. Затемэти измерителивремени достаточноосторожноразнесём поразличнымточкам пространстваM, N,… .

Если бывсе эти часымы сначаласинхронизовали(выставили бына них одинаковыепоказаниявремени), а затемразнесли поразличнымточкам пространства,то показаниячасов, помещенныхв различныхточках, мы моглибы и назватьвременемв системе отсчетаК.

Так поступать,однако, нельзя.Чтобы перенестичасы, напримериз точки «О»в точку М,мы должны сначалаэти часы в точкеОускорить, затемпередвинуть,а затем замедлитьдля остановкив точке М.При ускоренноми замедленномдвижениях приэтом ход часовобязательнонарушится ив показаниявремени будетвведена неконтролируемаяошибка.

Поэтомупоступим так,как поступилЭйнштейн вработе 1905 г. Будемвсе часы синхронизироватьне в началекоординат, доих разнесения,а лишь послетого, как мыуже их разнеслии установилив разных точкахпространствасистемы отсчетаК.

Синхронизациюпроведем припомощи бесконечнокоротких световыхсигналов, которыебудем испускатьиз начала координатО.В момент времениt=0,фиксируемыйпо часам в точкеО,мы испустимиз точки Осигнал по направлениюк точке М,и зарегистрируеммомент приходаэтого сигналав точку Мпо часам в этойточке Ми, наконец, выставимна часах в точкеМвремя

,

где r- расстояниемежду точкамиNиM.Величинойскорости cпри этом мыпросто зададимся,т.е. возьмем вкачестве неелюбое положительноечисло.

Очевидно,что если теперь,с помощьюсинхронизированныхописаннымспособом локальныхчасов, мы будемизмерять скоростьиспользуемыхдля синхронизацииимпульсныхсветовых сигналов,то получиместественнозначение c,причем этаскорость окажетсяизотропной,т.е. не зависящейот выбора направленияв пространстве.

Однаконадо отчетливопонимать, чтоэто не измерениескорости света,так как самопонятие временимы установилис помощью световыхсигналов изначениемскорости светасмы просто задались.

Вместес тем, для краткости,будем называтьвеличину с- «скоростьюсвета»(болееточно, скоростьюсвета в системеотсчета К).

Теперьв точноститаким же образом,с помощью импульсныхсветовых сигналов,установим полевременив «движущейсясистеме отсчетаК'.

Конечно,можно было быпостроить полевремени в системеотсчета К'и другим способом.Мы могли бы,например, рассудитьследующимобразом. Гипотетическаяэлектромагнитнаясреда - эфир,колебаниямикоторой являетсясвет, покоитсяв системе отсчетаК,поэтому в системеотсчета Кмы имеем светв покоящейсясреде. В системеотсчета К'имеем свет вдвижущейсясреде, а поэтомускорость световогоимпульса,испущенного,например, вположительномнаправленииоси x'в системе отсчетаК'равна не с,а c-u,а в отрицательномнаправленииоси x'равна c+u,где u- скоростьдвижения системыК'относительносистемы К.Но так сейчасмы поступатьне будем, а простопримем,что в системеотсчета К'световые импульсыраспространяютсяв точности также, как в системеК.В этом заключенооднако серьезноефизическоепредположение.При построенииполя временив системе отсчетаК'используемтожесамоечисло с,что и в системеотсчета К.Последнее посуществу условноедопущение,следуя работеЭйнштейна 1905г., иногда неправильноназывают «закономпостоянстваскорости светав инерциальныхсистемах отсчета».Как мы видим,это вовсе незакон, а говорясловами Пуанкаре,«плод совершаемогонеосознанногоусловногосоглашения».

11. Кинематическийвывод преобразованийЛоренца

Приступимтеперь к кинематическомувыводу преобразованийЛоренца. Объектомнашего рассмотрениябудет так называемоемгновенноеточечноесобытие,т.е. событие,происходящеев очень маломместе пространстваи за очень короткийпромежутоквремени. Например,из некоторойточки Nвфиксированныймомент времениt= t₀испустимимпульснуюсферическуюбесконечнотонкую световуюволну.

Уточняем- испускаем непериодическуюгармоническуюволну, а оченькороткий световойимпульс. Испусканиесветовогоимпульса вмомент времениt= t₀в точкеNи есть примермгновенноготочечногособытия.Разумеется,мгновенныеточечные событиямогут бытькакие - угодно.

Приведемеще один пример.Твердый стерженьABпусть движетсяв положительномнаправленииоси x.

Мгновеннымточечным событиемтеперь можносчитать событие,заключающеесяв совпадении,например, левогоконца Aстержня сфиксированнойточкой Nоси x.Другим мгновеннымточечным событиемявляется совпадениев какой-то моментвремени правогоконца Bс фиксированнойточкой Mна оси x.

Теперь,одно и то жекакое-нибудьмгновенноеточечное событиебудем изучатьс помощью наблюденийего в двухинерциальныхсистемах отсчетаKи K',или в двух системахкоординат,движущихсяравномернои прямолинейноотносительнодруг друга -«покоящейся»системы Ки «движущейся»системы K',- движущейсясо скоростьюuвдоль оси xотносительнопокоящейсясистемы отсчета,причем в обеихэтих системахкоординатразмещенылокальные часы,синхронизированныетак, как мыразъясниливыше.

Пустьx,y, z, t- координатыи время нашегомгновенноготочечногособытия, отсчитанныев системе отсчетаК.Пусть x',y',z',t'- координатыи время нашегомгновенноготочечногособытия, отсчитанныев системе отсчетаК'.

Радипростоты дальшебудем рассматриватьтолько координатыxи x',считая чтовсегда y'= y иz'= z.Тогда в системахотсчета Ки К'координатыодного и тогоже мгновенноготочечногособытия будутx,tи x',t'соответственно,причем «координатой»будем называтьне только координатуx,а координатуи время - x,t.

Так какэти числа относятсяк одному и томуже событию(существующемув природе внезависимостиот наличия илиотсутствиясистем отсчетаКи К'),то очевиднодолжны существоватьоднозначныематематическиезависимостивида

x'= j(x,t), t'= y(x,t).

Формулыуказанныхзависимостейбудем называтьформуламипреобразованиякоординатмгновенноготочечногособытия (любого)от системыотсчета K системеотсчета К'.

Нашаконечная цель- найти вид функцийjи yвприведенныхформулахпреобразования.Чтобы это сделать,обратимся ктак называемымосновным,исходным длянас, соотношениям,которые мысейчас сформулируем.

Рассмотримтриследующихмгновенныхточечных события.Опишем их сначалав системе отсчетаК.Пусть в точкеx₁осиxв момент t₁мгновенно былиспущен короткийсветовой импульсв положительномнаправленииоси x.Пусть в моментвремени t₂этотимпульс оказалсяв точке x₂осиx,в которой онзеркальноотразился истал двигатьсяв отрицательномнаправленииоси x.Пусть, наконец,в момент времениt₃этот световойимпульс сноваоказался висходной точке,так что x₃= x₁.

Посмотримтеперь на триуказанныхмгновенныхточечных событияс точки зрениясистемы отсчетаK'.Мы увидим, чтов точке x₁'вмомент времениt'был испущенв положительномнаправленииоси x'короткий световойимпульс, которыйв момент времениt₂'достиг точкиx₂',отразился вней и в моментвремени t₃'оказался вточке x₃',причем теперьx₃'№x₁'.

Согласноописанным вышепроцедурампостроенияполей временив системахотсчета KиK'имеем следующиеочевидныесоотношенияв системе отсчетаK:

x₃= x₁

и в системеотсчета K':

Точкаx₁= x₃на оси xсистемыотсчета Kдвижется соскоростью uв отрицательномнаправленииоси x',если ее наблюдатьв системе отсчетаK'.

Мы сформулировалишестьосновныхсоотношений,исходя из которыхмы теперь найдемвид функцийjи y.

Нахождениефункции j.Составимфункциональноеуравнение дляопределенияфункции j.Представимтри соотношениядля системыотсчета Kв следующемвиде:

Вычитаяпервое соотношениеиз третьего,получаем

Используявторое соотношение,отсюда приходимк равенству

Следовательно,

или

Такимобразом, видим,что функцияjудовлетворяетследующемуфункциональномууравнению:

В этомуравнениивеличины x₁,t₁,x₂,t₂,x₃,t₃,однако,не независимы,а связаны нашимиосновнымисоотношениямидля системыотсчета K.Учтем наличиеэтих соотношенийи оставимнезависимымитолько следующиетри величины:x₁,x₂и t₁.Величины x₃,t₂и t₃можно выразитьчерез указанныенезависимыевеличины.Действительно,из первогосоотношенияполучаем

следовательно,

Далее,из второгосоотношенияимеем

а следовательно,

мы воспользовалисьвыражениемдля t₂и условием x₃= x₁.

Такимобразом, получаемследующееокончательноефункциональноеуравнениедля определенияфункции j:

котороедолжно выполнятьсядля произвольныхзначений x₁,x₂и t₁.

Приступимк решению полученногофункциональногоуравнения.Начнем с того,что продифференцируемэто уравнениепо x₂.Получим тогдасоотношение,которое будемназыватьпродифференцированным функциональнымуравнением

на общуюдвойку можносократить всетри слагаемые(производнаяот последнего,третьего слагаемогов исходномфункциональномуравнении равнанулю, так каконо не зависитот

).В полученномдифференциальномуравненииположим теперь и .Тогда придемк следующемудифференциальномууравнению:

Общеерешение полученногоочень простогодифференциальногоуравнения легконайти, еслиперейти к переменным

и и показать, чтов новых переменныхэто уравнениеимеет вид

Так получаем,что общее решениерассматриваемогодифференциальногоуравнения имеетвид

где F —покапроизвольнаяфункция.

Найдемвид этой функции.Для этого подставимполученнуюформулу для

в наше дифференциальноефункциональноеуравнение.Получим тогдаследующеефункциональноеуравнение:

Послеэлементарныхалгебраическихпреобразований,отсюда получаем,что

или

Так какпри произвольных

аргументыфункций в правойи левой частяхравенстваразличны имогут приниматьсовершеннопроизвольныезначения, топриходим кзаключению,что

а следовательно,

F

где

— некоторыепостоянные,которые намеще предстоитнайти.

Итак, мыпоказали, чтоисходная функция

имеет следующийвид:

где

— некоторыепоканеопределенныепостоянные.

Нахождениефункции

.Найдем теперьаналогичнымобразом функцию

.Три основныхсоотношениядля системыотсчета представимв виде:

Вычитываяпервое соотношениеиз третьегои сравниваярезультат совторым соотношением,получаем уравнение

т.е. уравнение

Видим,что функция

удовлетворяетследующемуфункциональномууравнению:

в которомвеличины

не независимые,а связаны нашимиосновнымисоотношениямидля системыотсчета К.Используя этисоотношения,оставим независимымитолько следующиетри величины и .Величины и выразим черезуказанныевеличины:

Такимобразом, приходимк следующемуосновномуфункциональномууравнениюдля искомойфункции:

котороевыполняетсяпри произвольныхзначениях

и .

Приступимк решению полученногофункциональногоуравнения.Начнем с того,что продифференцируемего по

:

производнаяпоследнего,третьего слагаемогов исходномфункциональномуравнении равнанулю, так каконо не зависитот

.Положим теперьв выведенномуравнении,

и тогдапридем к дифференциальномууравнению

или уравнение

Легконайти общеерешение последнегодифференциальногоуравнения. Дляэтого надоперейти толькок новым независимымпеременным

и показать,что в новыхпеременныхуравнение имеетвид

Такимобразом получаемобщеерешениенашего дифференциальногоуравнения:

в котором

— покапроизвольнаяфункция.

Найдемвид этой функции.Подставимполученноевыражение дляфункции

в продифференцированноефункциональноеуравнение.Получимтогда соотношение

или соотношение

Так какаргументы уфункций в правойи левой частяхравенства припроизвольныхзначениях

и совершеннопроизвольны,то получаем,что

а следовательно,

где

— поканеопределенныепостоянные.

Определениеконстант

. Мы получили,что формулыпреобразованийкоординат ивремен произвольногомгновенноготочечногособытия винерциальныхсистемах отсчетаи имеют вид

Для нахожденияконстант

привлечемдополнительноетребование.

Требование1. Предположим,что общиеначалаотсчета координати времени всистемах отсчетаK и

согласованытаким образом,что мгновенноеточечное событиес координатами0,0 в системе отсчетаK имеет в системеотсчета координаты0,0 ( тоже нулевыекоординаты),инаоборот.

Применяявышеприведенныеформулы преобразованияк событию 0,0получаем, что

и поэтому формулыпреобразованиякоординатмгновенноточечногособытия приобретаютследующий вид:

Теперьнеопределеннымиостались толькоконстанты

и .

Учтемтеперь тообстоятельство,что формулыпреобразованиямы получиликак следствиянашихшести основныхсоотношений.Подставимпоэтому полученныепростые формулыобратно в этиисходные основныесоотношенияи установимограниченияназначения констант

и .Имеем:

Такимобразом, приходимк заключению,что константы

и равны другдругу:

=

и поэтомуформулы преобразованиякоординатмгновенноготочечногособытия имеютследующий вид:

где

— пока чтонеопределеннаяпостоянная.

Разрешимтеперь этиформулы преобразованияотносительно

и .Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученныеформулы сопоставимс формуламипреобразования:

которыеполучаютсяс помощьюрассуждений,совершенноаналогичныхприведеннымвыше, но с заменойсистем отсчетаK и

друг на друга.Следует приэтом толькоучесть, чтосистема отсчетаK движетсяотносительносистемы отсчета не в положительном,а в отрицательномнаправленииоси с некоторойположительнойскоростью (положительной),определеннойв системе отсчетаK . Здесь — некотороепока неизвестноенам число.

Сравниваядруг с другомприведённыепарыформул преобразований,приходим кзаключению,что имеют местоследующиечетыре равенства:

из которыхнепосредственнозаключаем, что

и чтовеличины a и a’ удовлетворяютсоотношению

Такимобразом, мыпоказали, чтоимеются следующиеформулы преобразованийкоординат x,t и x’,t‘ мгновенноготочечногособытия в системахотсчета K и K’:

и

где величины a’ и a связанывышеуказаннымсоотношением.

Чтобынайти числаa’ и a,выставим ещёодно требование. Обратим внимание,что пока мы доконца не условилисьо выборе основныхединиц измерениядлинныивременив системахотсчета K и K ’. Разумеется,отчасти этотвыбор уже былвыше ограничентребованием,чтобы скоростьсвета в обеихсистемах отсчётадавалась одними тем же числомc, котороемы учли, т.е. мыуже согласовалиотчасти единицыизмеренияскоростейв системах K и K’.Но единицаскорости естьтолькоотношениеединицдлины и времени.Поэтому остаётсяпроизвол ввыборе единицыизмерения либодлины, либовремени. Фиксируемтеперь окончательноэтот произволс помощью следующеготребования.

Требование2. Длины l и l’ двухпокоящихсяв системахотсчёта K и K’стержнейодинаковойсобственнойдлинны l0 (измеренной в этих системахотсчёта, в которыхкаждый из этихстержней покоится),измеренные,соответственно,в системахотсчёта K и K’ ,относительнокоторых этистержни движутсяодинаковы.

Возьмёмстержень длинныl0 ,покоящийсяв “движущейся”системе отсчёта K’. Пусть он лежитна оси x’и его левыйконец пустьимеет координату x’A ,а правый - координатуx’B

Из меримдлину этогостержня в“покоящейся”системе отсчёта K. Пусть в одинаковыемоменты времени tA и tB ( tA = tB) левый и правыйконцы стержня,движущегосяв системе отсчётаK,имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составитьразность xA - xB = l , чтобы найтидлину движущегосясо скоростью u стержня, длинакоторого равнаl0 в покоящейсясистеме координат.

Согласноуже выведеннымформулампреобразованийкоординат ивремён мгновенныхточечных событий,имеем соотношения:

Вычтем

из и учтём условие Тогдаполучим

Такимобразом, имеемсоотношение

Еслитеперь, наоборот,взять стерженьдлины l0, расположенныйв “неподвижной”системе отсчётаK , и измерить егодлину l’ в “движущейся”системе отсчёта K’, то для этойдлины, рассуждаяаналогично,получаем соотношение

Потребуемтеперь, чтобы

Тогдамы придём кравенству , а следовательно,с учётом выведенногосоотношения

к равенствам

Знакминус передкорнем не подходит,так как неудовлетворяеточевидномутребованию,что a= 1 при u =0 , когда мы имеемформулы тождественныхпреобразований.

Длинадвижущегосястержня, каквидим, меньшеего собственнойдлины l0. Движущийсястержень какбы сокращаетсявдоль направлениясвоего движения. Однако это неистинное,а кажущеесясокращение,более точно,это исключительнокинематическийэффект, целикомобязанныйпринятомуопределениюлокальногополя временив движущейсясистеме отсчёта.

Итак,мы вывели спомощью исключительнокинематическихрассужденийследующиеформулы преобразований:

которыеназывают формуламипреобразованийЛоренца.

В заключениезаметим, чтокроме кажущегося,чисто кинематическогосокращениядлинныдвижущегосястержня врассматриваемойкинематике,основаннойна описаныхвыше процедурахпостроенияполей временив системахотсчёта K и K’, имеется ещёи эффект кажущегосязамедленияходадвижущихсячасов.

Пустьмы имеем часы,неподвижныев “движущейся”системе K’, находящиесяв точке x’A = x’B. Пусть в нихпроизошел одинпериод колебаний,начавшийсяв момент времениt’A (событие A) иокончившийсяв момент времениt’B (событие B), такчто t’B- t’A= t0 , где t0 - периодколебаний часовв “собственной”системе отсчёта

(где онипокоятся). Обозначивчерез xA, xB, tA и tB координатысобытий A и B всистеме отсчёта K ,получаем

Вычитаявторое равенствоиз первого длякажущегосяпериода колебаний t часов, определённогов “движущейся”системе K’ имеем следующуюформулу

так как x’A = x’B. Следовательно,окончательнополучаем формулу

для кажущегося, т.е. кинематического,замедленияхода движущихсячасов.

4.12 Кинематическийвывод преобразованийГалилея.

Введёмтеперь, рассуждаясовершенноаналогичнотому, как мыэто делали привыводе формулпреобразованийЛоренца, формулыпреобразованийГалилея,изменив процедурыпостроенияполей временив инерциальныхсистемах отсчета K и K ’.

Построениеполей временив системахотсчета K и K ’. Будем теперьсчитать, чтов системе отсчёта K среда, возбуждениямикоторой являетсясвет, покоится. Тогда относительносистемы отсчётаK’эта Среда будетдвигаться соскоростью u вотрицательномнаправленииоси x’.

Процедурупостроениялокальныхвремён и синхронизациичасов в системеотсчёта K оставимпрежней. Нопроцедурупостроениялокальныхвремён в системеотсчёта K’ изменим.При синхронизациичасов, помещённыхв точке M но осиx’ скоординатойx’M>0, с помощью короткогоимпульсногосветовогосигнала, выпущенногоиз начала координат x’= 0 в начальныймомент времени t’= 0, в момент приходасигнала в точкуM , на часах в точкеM теперь поставимне время r/c, где r- расстояниемежду O и M , а время

r .

c+ u

Аналогичнопоступим сточкой M на осиx’ скоординатойx’M

r .

c- u

Основныесоотношения.Рассмотримснова тримгновенныхточечных события.В системе отсчётаKони выглядятследующимобразом. В точке x1 на оси x в момент t’1пусть испускаетсякороткий световойимпульс вположительномнаправленииоси x. В момент t’2пусть он приходитв точку x2 на оси x, отражаетсяв ней и в моментt’3возвращаетсяв точку x1, так что x1= x3.

Согласнопринятым процедурампостроенияполей временив системахотсчета K и K ’, имеем теперьследующие шестьосновных соотношений:

Нахождениефункций jи y. Составим сначалафункциональноеуравнение дляфункции j.Имеем

Вычтемпервое соотношениеиз третьегои результатсравним совторым соотношением.Получим тогдауравнение

или

то есть

С учётомсоотношений

отсюдаприходим кследующемуокончательномуфункциональномууравнениюдля определениявида функцииj:

котороеудовлетворяетсяпри любых значенияхнезависимыхпеременныхи x1 ,x2 и t1. Чтобы разрешитьэто функциональноеуравнение,продифференцируемего по x2и получим изнего продифференцированноефункциональноеуравнение:

Положимв этом уравнении.x1 = x2 = x & t1 = t. Придемк уравнению

так чтоимеем оченьпростое дифференциальноеуравнение

или

для определениявида функции

.

Общеерешениепоследнегоуравнения имеетвид

где F-произвольнаяфункция. Подставимэту формулув приведенноевыше продифференцированноефункциональноеуравнение.Учтем, что

и поэтомуполучим соотношение

Так как

то приходимк следующемууравнению

справедливомупри любых значенияхx1,x2,t1.Аргументыфункций в правойи левой частяхпринимаютпроизвольныезначения припроизвольныхx1,x2,t1.Следовательно,

а потому, игнорируяполучаем

где aи b-некоторые покане определенныепостоянные.

Составимтеперь функциональноеуравнение дляфункции y.Имеем

где G- произвольнаяфункция. Вычитаяпервое уравнениеиз третьегоуравнения исравниваяполученныйрезультат совторым уравнением,получаем соотношение

Следовательно,

или

Отсюданепосредственноприходим кследующемуосновномуфункциональномууравнению дляфункции

:

Разрешимэто уравнение,для чего сначалапродифференцируемего по x2.Тогда получимуравнение

Полагаяв этом последнемуравнении и ,приходим к

дифференциальномууравнению

или совсемпростому уравнению

Следовательно,

Подставивэту формулудля в приведенноевыше продифференцированноефункциональноеуравнение.Получим

Следовательно,

Так каквеличины

совершеннопроизвольны,то аргументыфункций Gвправой и левойчастях могутприниматьсовершеннопроизвольныезначения. Поэтому

а следовательно,

где

- пока произвольныепостоянные.

Определениеконстант

Мыполучили следующиеформулы преобразованиякоординат ивремен мгновенноготочечногособытия:

Найдемконстанты

начнемс того, что выставимтребованиео согласованииначалотчетовкоординат ивремени в обеихсистемах отсчета

и

.

Требование1. Событие,имеющее координаты0, 0 в системеотсчета

,имеет координаты0, 0 в системеотсчета

,и наоборот.

Следовательно,в приведенныхформулах

и формулыпреобразованияприобретаютследующий вид:

Приведенныеформулы преобразованиямы получиликак следствиянашихшести основныхсоотношений.В них входятпока не определенныенами величины

и .

Подставивэти формулыпреобразованияобратно в исходныешестьсоотношений,мы можем найтиограниченияна константы

и .Так, собственноговоря, и получается.Действительно,имеем равенства

Как видим,чтобы эти равенствавыполнялись,необходимопотребовать,чтобы константы

и были равны другдругу:

Такимобразом, искомыеформулы преобразованиякоординатмгновенноготочечногособытия имеютвид

где

- пока не определеннаяконстанта .

Как и вслучае преобразованийЛоренца, воспользуемсятем, что у насимеется произволв выборе единицизмерениялибо длинны,либо временив обеихсистемах отсчета

и

.Чтобы фиксироватьуказанныйпроизвол, выставимдополнительноетребование.

Требование2. Длинаlдвижущегосяв системе

стержня,покоящегосяв системе

,ориентированноговдоль оси

иимеющего в этойсистеме длину

,т.е. .

Рассмотримдвижущийсястержень, всевремя покоящийсяв системе отсчета

между точкамиот

с координатами и .

Пустьв одинаковыелокальныемоменты времени

всистеме отсчета

левыйконец стержнясовпал с точкойоси x,с координатой (событиеA), (событиеB).Тогда

Вычитаявторое равенствоиз первого, сучетом условия

получаем

и таккак

согласнотребованию2, то приходимк заключению,что

Итак, мывывели с помощьюисключительнокинематическихрассуждений,аналогичныхиспользованнымЭйнштейномпри выводеформул преобразованийЛоренца, формулыпреобразованийГалилея:

13. Гипотезаэфира и гипотезачетырехмерногомира.

Подведемитог нашимрассуждениям.Исходя из условныхв принципепроцедур построенияполей временив «неподвижной»и «движущейся»системах отсчета,используяочевидныедополнительныетребованияо согласованииединиц измерениядлинны и временив обеих рассматриваемыхсистемах отсчета,мы вывели какпреобразованияЛоренца ,так и преобразованияГалилея .

При этоммы следовалиосновным идеямкинематическогорассужденияиз работы Эйнштейна1905 г. (усилив ихтолько рассмотрениемфункциональныхуравнений).

Такимобразом, выводЭйнштейна,сделанный имв работе 1905 г., оложностиньютоновскойконцепцииабсолютноговремени Ньютонаследует считатьнеобоснованным.Также не обоснованои утверждение,что он якобыдоказал, чтосветоносногоэфиране существует,что электромагнитныеволны существуютсамипо себебез какой-либосреды (в отличиеот всех другихизвестных намфизическихволн).

Конечно,несмотря нина что, мы можемпринять утвержденияЭйнштейнапопросту занекую (пока,правда, существующимиэкспериментамиеще не доказанную)научную гипотезу.Но одновременномы должны считатьсяи с другой гипотезойклассическойфизики - чтосветоноснаясреда (эфир)существует,что электромагнитныеволны являютсявозмущениямиэфира, чтомеханическаяабсолютнаясистема отсчета- это системаотсчета, в котороймировой эфирпокоится.

Выбортого или иноголокальногополя временив движущейсясистемеотсчета (ньютоноваили эйнштейнова)является,по-видимому,вообще полностьючисто условными диктуетсяисключительносоображениямиудобства проведениятех или иныхфизическихрассуждений.В классическоймеханике удобно«ньютоново»,а в теорииэлементарныхчастиц - «эйнштейново»время.

Выбортой или инойконцепцииколичественноговремени,как утверждалПуанкаре ещев 1898 г., т.е. за 7 летдо работы Эйнштейна1905г., подобенвыбору той илииной системыгеометрическихкоординат втрехмерномпространстве,скажем, прямоугольнойдекартовойили сферической.Только от конкретнойзадачи зависит,какая из этихсистем координатудобнее и полезнее.

Сформулируемтаким образом,альтернативныефундаментальныефизическиегипотезы .

Гипотезаэфира. Существуетособая физическаясреда - эфир,заполняющаяпространство,возмущеннымиколебаниямикоторого являютсяэлектромагнитныеволны (включаяоптические,радио, телевизионныеи т.д. волны).Система отсчета,в которой этасреда покоится,является физическойабсолютнойсистемойотсчета. Она,разумеется,единственнаи уникальнапо всем физическимсвойствам.Класс системотсчета, движущимсяотносительноабсолютнойравномернопрямолинейнос постояннымискоростями,образует классинерциальныхсистемотсчета. В этомклассе системотсчета механические,электродинамическиеи др. физическиеявления математическии физическиописываютсянаиболее просто.

Гипотезаэфира былапровозглашенав классическойфизическойоптике и разделяласьмногими физикамии математиками17,18,19 вв., в частностиФренелем впервой четверти19 в., а также иЛоренцем вконце 19 в. и доего смерти в1928г.

Гипотезачетырехмерногомира.Ньютоноваклассическаямеханика ошибочна.Представленияоб абсолютномпространствеи времени ложныпо существу.Пространствои время являютсягеометрическим,или точнее -физическимединым целым.Их нельзярассматриватьизолированноодно от другого,а надо объединятьв “четырёхмерныймир”, или“пространство-время”,в рамках котороготолько и возможнодать правильноефизическоеописание явленийприроды. Инерциальныесистемы отсчёта- отражениесвойств симметриичетырёхмерногомира, и ничегоболее. Другимисловами, ввопросеоб инерциальныхсистемах отсчётаречь идёт очисто геометрическихсвойствахсимметриичетырёхмерногопространства-времени.

Существуютпреобразования- преобразованиясимметриичетырёхмерногопространства-времени,при которыхоно переходитсамо в себяподобно тому,как наше трёхмерноепространствопереходит самов себя припроизвольныхпараллельныхпереносах ипроизвольныхповоротахвокруг любойоси на любойугол. Все декартовысистемы координатв трёхмерномпространстве,полученныепараллельнымпереносом и(или) произвольнымповоротомотносительнопроизвольнонаправленнойоси одна издругой, - равноправны.

Обсуждаемуюскорее геометрическую,чем физическуюгипотезу наиболеенаглядносформулировалМинковскийв работе 1909 г. Норанее него еёсовершенночётко сформулировалПуанкаре, хотяв математическоми намного болеестрогом, но нестоль наглядномвиде, как уМинковского.Этой гипотезыпо существупридерживалсяи Эйнштейн вработе 1905 г.

4.14. Геометрическаясимметриячетырёхмерногомира

Соображения,опирающиесяна симметрию,играют важнуюроль в физических,и не толькофизическихисследованиях.Использованиеимеющихсясимметрийсущественноупрощает анализлюбой ситуации.

Пространство,в которомразыгрываютсяфизическиесобытия, - нашеобычное трёхмерноепространствоили четырёхмерныймир, или пространство-время,рассматриваемыев специальнойтеории относительности,- тоже обладаютопределённойсимметрией.

Объясним,- Что это означает?Какой именносимметриейобладаетчетырёхмерныймир?

Идеясимметриипространствавозникла изидеи симметриигеометрическойфигуры, например,равностороннеготреугольникаили идеальноправильногокуба. В частности,куб определённообладает оченьвысокой симметрией,и под этим мыпонимаем толькото, что существуютоперации, отличныеот тождественной,которые переводяткуб сам в себя.

Еслипредставитьсебе, что мырасполагаемдвумя идентичнымиэкземплярамикуба,то можно представитьсебе мысленнотакже и “совмещение”этих двух кубовдруг с другомпри перемещенияхи поворотахих в пространстветак, чтобы ивершины, и рёбра,и грани кубовсовместилисьдруг с другом.Легко видеть,что такое совмещениеможно осуществлятьпо-разному:повернувпредварительнокаким-либоопределённымобразом второйкуб перед совмещениемего с первым.В частности,второй кубможно совместитьс первым, вообщене повёртываяего заранее.Такая операциясовмещенияназываетсятождественной.Кромеэтой тождественнойоперации, существуюти другие операции,позволяющиесовмещатьпо-разномуповёрнутыйпредварительноодин экземпляркуба с другимего экземпляром.

Наличиетаких операций,которые называют“операциямисимметрии”,позволяющихсовмещатьгеометрическуюфигуру самус собой, свидетельствуето геометрическойсимметриирассматриваемойфигуры. Множествоопераций симметриигеометрическойфигуры образуютто, что в математикеназывают группойсимметрии этойфигуры.

Чем большечисло операцийсимметрии угеометрическойфигуры, темвыше её симметрия.У куба, с учётомтождественнойоперации,которой обладаетлюбое даже исовсем несимметричноетело, их оказывается48. У треугольникана плоскостиих 3.

Можетслучиться, чтомножествоопераций симметриив группе симметриифигуры бесконечно.Тогда имеемслучай чрезвычайновысокойсимметрии.Так, шар в трёхмерномпространствеможно совместитьс самим собой,повёртываяего на любойугол относительнолюбой оси, проходящейчерез центршара, числотаких поворотовочевидно бесконечно.

Вернёмсяк симметриибесконечногонеограниченногопространства.Здесь тожеследует рассматриватьгруппу преобразованийсимметрии,переводящихпространствосамо в себя.Что касаетсяобычного трёхмерногопространства,то его группасимметриисостоит изпреобразованийпараллельныхпереносовпространствавдоль любойпрямой на любоерасстояниеи из преобразованийпроизвольныхповоротовпространствана любой уголвокруг любойоси, проходящейчерез любуюточку пространства.

С указаннойсимметриейтрёхмерногопространстваочевидно связанаинвариантностьвсехего свойствотносительновыбора любойпрямоугольнойсистемы координатOXYZ,центр которойможно поместитьв любую точкуи оси которойможно ориентироватькак угодно.

Что касаетсячетырёхмерногомира,то его группасимметрии тожесостоит избесконечногочисла преобразований,а именно - изпреобразованийпроизвольныхпараллельныхпереносовпространствавдоль любой“прямой” в этомпространстве,включая и осьвремени, ипроизвольных“поворотов”пространствана любой “угол”вокруг любой“оси” в этомпространстве,включая и “повороты”,не затрагивающиеосей yи z.Такие поворотыкак раз и являютсярассматриваемыминами здесьпреобразованиямиЛоренца.

С указаннойсимметриейчетырёхмерногомира неразрывносвязана инвариантностьего геометрическихсвойств относительновыбора однойиз систем отсчётав классе системотсчёта, получаемыхдруг из другаравномернымдвижением впроизвольномнаправлениис произвольнойпостояннойскоростью. Этоткласс “системкоординат”в четырёхмерноммире или по-другому- системотсчёта,отражающихвнутреннююсимметриючетырёхмерногомира, и являетсязагадочнымклассом инерциальныхсистемотсчёта классическоймеханикиГалилея-Ньютона.

Величины,не изменяющиесяпри любых операцияхсимметриипространства,являются еговажнейшимихарактеристиками.Такие величиныназываютинвариантнымивеличинами,или простоинвариантами.

В обычномтрёхмерномпространствеосновнымивеличинами,инвариантнымиотносительновыбора декартовыхосей координат,являются длинапроизвольногоотрезка и уголмеждудвумя произвольнымиотрезками. Этосамые важныеколичественныегеометрическиевеличины внашем трёхмерномпространстве.

Еслиимеем две точкиМ₁и М₂с координатамиx₁,y₁,z₁и x₂,y₂,z₂,в декартовойсистеме координатК,то квадратдлинны r отрезкамежду этимиточками даётсяизвестнымвыражением

r²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)².

Это выражениеинвариантноотносительновыбора системыдекартовыхкоординат впространстве.Если x1’, y1’, z1’ иx2’, y2’, x2’ обозначаюткоординатывзятых точекотносительнодругой декартовойсистемы К’,то имеем равенство

r’²= (x₂’-x₁’)²+(y₂’-y₁’)²+(z₂’-z₁’)²=

= (x₂- x₁)²+(y₂-y₁ )²+(z₂-z₁ )²=r²,

причёмштрихованныевеличины выражаютсячерез нештрихованныес помощью формулпреобразованиякоординат.

Так, еслисистема К’получаетсяиз системы Кповоротомна угол Ф, производимымпо правомувинту вокругоси z,то указанныеформулы преобразованияимеют вид:

x’ = x cos Ф -y sin Ф,

y’ = x cos Ф -y cos Ф,

z’ = z.

В четырёхмерноммире тоже имеетсягеометрическиестественнаявеличина, подобнаярасстояниюмежду двумяточками. Это- “расстояние”двух “точек”в четырёхмерноммире. Пусть унас имеетсядва мгновенныхточечных событияМ₁и М₂с координатамиx₁,y₁,z₁,t₁и x₂,y₂,z₂,t₂отсчитаннымиотносительноинерциальнойсистемы отсчётаК и с координатамиx₁’,y₁’,z₁’,t₁’и x₂’,y₂’,z₂’,t₂’отсчитаннымиотносительнодругой инерциальнойсистемы отсчётаК’. Тогда относительнопреобразованийЛоренца, т.е.выбора системыотсчёта К и К’,инвариантнавеличина квадрататак называемогочетырёхмерного,илирелятивистскогоинтервала:

s’²=(x₂’-x₁’)²+(y₂’-y₁’)²+(z₂’-z₁’)²-c²(t₂’-t₁’)²=

=(x₂ -x₁ )²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²-c²(t₂-t₁ )²=s²

В частности,легко убедитьсянепосредственно,что эта величинадействительноинвариантнаотносительнотех преобразованийЛоренца, которыемы рассматриваливыше:

x -vt t - xv/c²

x’= , y’=y, z’=z, t’=

1-v²/c² 1-v²/c²

Действительно,

1

s’²=(x₂’-x₁’)²-c²(t₂’-t₁’)²= *

1- v²/c²

*{(x₂-vt₂-x₁-vt₁)²- c²(t₂-x²v/c²-t₁-x₁v/c)²}=

1

= {(x₂-x₁)²- 2v(x₂-x₁)(t₂-t₁)+v²(t₂-t₁)²}-

1-v²/c²

1

- {-c²(t₂-t₁)²+2v(x₂-x₁)(t₂-t₁)-v²/c²(x₂-x₁)²}=

1-v²/c²

=(x₂-x₁)²- c²(t₂-t₁)²=s²

Как мыуже сказали,релятивистскийинтервал, вернееего квадратs²играет рольквадрата “расстояния”между двумя“точками” вчетырехмерномпространстве.

В отличиеот квадратарасстояниямежду двумяточками в обычномтрехмерномпространстве,который всегдаположителенпри несовпадающихточках и равеннулю при совпадающихточках, квадратрелятивистскогоинтервала можетбыть как положительным,так и отрицательным.В четырехмерноммире имеютсяпары несовпадающихточек, “расстояния”между которыми равнонулю. Например,рассмотримгеометрическоеместо точек,лежащих наплоскости xt,от начала координатна нулевое“расстояние”.Для них имеемусловие

x²-c²t²=0,

или

(x-ct)(x+ct)=0.

Следовательно,искомым геометрическимместом несколькихточек будутдве прямые,симметричнорасположенныеотносительнооси времени.

В четырехмерноммире, или впространстве- времени множествоточек, удаленныхот начала координатна нулевое“расстояние”,образуют конус,осью которогоявляется осьвремен. Конусназываетсясветовым. Точки,расположенныевнутри световогоконуса, имеютотрицательныеквадратырелятивистскогоинтервала доначала координат.Точки, расположенныевне световогоконуса, имеютположительныеквадратырелятивистскогоинтервала доначала координат.

Множествоточек, для которыхквадрат интервалаs²от начала координат0 положителени постоянен,образуетоднополостныйгиперболоид,окружающийсветовой конус.

Рассматриваемоенами преобразованиеЛоренца - простейшее;оно затрагиваеттолько двекоординаты,а именно xи t вчетырехмерноммире. Это преобразованиеможно рассматриватькак некоторый“поворот”,который называется“гиперболическим”,в плоскостиxt.

Поясним,что мы имеемв виду. Вместовременнойкоординатыt вчетырехмерноммире введеммнимуювременнуюкоординатуx₄=ict.ТогдапреобразованияЛоренца можнозаписать спомощью следующихформул:

1 v/c

x₁’= x₁+ i x₄,

1- v²/c² 1-v²/c²

v/c 1

x₁’= i x₁+ x₄

1-v²/c² 1-v²/c²

x₂’= x₂, x₃’=x₃

Здесьx₁єx, x₂єy,x₃єz. Этиформулы можносравнить сформуламиобычного поворотав плоскостиx₀, x₁на уголj, которые имеютвид

При таком,сравненииполучим, что

Очевидноне существуетдействительногоугла

,которыйудовлетворялбы этим соотношениям.Однако, каклегко видеть,существуетчисто мнимыйугол ,для которогоприведенныесоотношениябудут выполняться.Действительно,

Поэтому,как следствиевышеприведенныхсоотношений,получаем формулы

Данныесоотношенияразрешимы, таккак, согласноим,

Как видим,значение мнимогоугла

,определяетсязначениемотношенияскоростей .Введем теперьдействительнуювременнуюкоординату ,длякоторой ,или

Тогдаформулы преобразованияЛоренца примутвид

Это формулытак называемогогиперболическогоповорота- Пояснимгеометриютакого поворота.Рассмотримплоскость

, где

Тогдаимеем формулыпреобразования

4.1.5. Релятивистскаямеханика материальнойточки

Принявгипотезу оедином четырехмерномпространстве-времени,или четырехмерноммире, мы должныпересмотретьклассическуюмеханику Ньютона,исправить ее,сделав инвариантнойне относительнопреобразованийГалилея, аотносительнопреобразованийЛоренца. Такуюпрограммупересмотрадинамики материальнойточки в классическоймеханике выполнилМинковский,создавшийрелятивистскуюдинамику материальнойточки.

Чтобыперейти в обычномтрехмерномпространствек геометрическиестественнымвеличинам (независящим отвыбора системыдекартовыхкоординат, каккоординатыточки или компонентывектора), вводятпонятия трехмерныхвекторов а,bи т.д. и операциинад этимивекторами,в частностидлина векторааравна

и косинусугла междувекторами аи bравен ,где -скалярноепроизведениевекторов ав b.В частности,квадрат длинырадиус-векторагточки Мс координатамиx,y,z, в некоторойдекартовойсистеме координат,который имеетдекартовыкомпонентыг(x,у, z), равен

В четырехмерноммире для мгновенноготочечногособытия Мс координатамиx,y,z,tв некоторойинерциальнойсистеме отсчетаможно ввести"4-радиус-вектор"c компонентами

причем квадратдлины этоговектора равен

Мгновеннойскорость материальнойточки

неявляетсялоренц-инвариантнойвеличиной,поэтому Минковскийвместо нее в

четырехмерноммире ввелрелятивистскиинвариантную"4-скорость",которая имееткомпоненты

-интервал такназываемогособственноговремени материальнойточки, связанныйс ds- релятивистскиминтерваломмежду двумяблизкими мгновеннымиточечнымисобытиями,характеризующимидва бесконечноблизких состояниядвижения движущейсяточки

и соотношением , т.е.

где v- обычная мгновеннаяскорость материальнойточки. Так что

Аналогичнымобразом релятивистскиинвариантное"4-ускорение" Минковскийопределилследующимобразом:

Основныеуравнениярелятивистскойдинамики материальнойточки в релятивистскоймеханике Минковскийзаписал следующимобразом:

где

-так называемая"масса покоя"материальнойточки -компонентытак называемой"4-силы " Минковского.

Покажемтеперь, какуравненияМинковскогорелятивистскойдинамики материальнойточки связаныс обычнымиуравнениямиНьютона дляматериальнойточки. Преждевсего очевидно,что

так что

т.е. 4-скоростьвсегда имеетпостояннуювеличину, чистомнимую, по модулюравную с.

Используянайденныеформулы длякомпонент4-скорости иформулу длядифференциаласобственноговремени, имеемследующиеуравнениядвижения:

Три уравнения,в которые входят

легко сопоставитьс уравнениямиНьютона. Нужнотолько предположить,что теперьмасса mматериальнойточки зависитот скоростипо закону

а импульсдвижущейсяматериальнойточки определяетсяформулой

где v- вектор мгновеннойскорости материальнойточки.

Четвертоеуравнение, вкоторое входит

,оказывается,выражает уравнениебаланса кинетическойэнергии материальнойточки. Чтобыв этом убедиться,умножим уравненияМинковскогона и на- ,соответственнои сложим. Получимтогда уравнение

Отсюдаможно найти

.Имеем

где

-мгновеннаямощность, развиваемаясилой, действующейна рассматриваемуюматериальнуюточку. Такимобразом,

и потомурассматриваемоечетвертоеуравнениепримет вид :

Такимобразом, величину

следуетсчитать энергиейдвижущейсяматериальнойточки. Если

,то приближеннополучаем

Второеслагаемое естьклассическаякинетическаяэнергия материальнойточки

а первоеслагаемое - такназываемая"энергия покоя".Кинетическойэнергией материальнойточки в релятивистскоймеханике называютвеличину

Приведемеще одно важноесоотношение,связывающееимпульс и энергиюрелятивистскойматериальнойточки. Имеем

так чтоимеем формулу

В заключениезаметим, чтоописываемоерелятивистскоеобобщениеклассическоймеханики материальнойточки сказалосьполезным приприменениик электронами другим элементарнымчастицам, и,как показалиэксперименты,очень хорошоописываютмеханическиедвижения.

Вместес тем, здесьследует отметить,что попыткирелятивистскогообобщенияуравненийклассическоймеханики Ньютонадля системыдаже двухматериальныхточек в релятивистскоймеханике неувенчалисьуспехом, здесьона столкнулисьс серьезнымипротиворечиямии непреодолимымитрудностями.

Раздел 4.Основы специальнойтеории относительностии релятивистскаямеханика.

1. Краткиеисторическиесведения.

Механика,сформулированнаяНьютоном в 1687году в его знаменитых‘Принципах’и существенноразвитая в 18веке Эйлером(1707-1783) ,Клеро (1713-1765) иДаламбером(1717-1783),а в конце 18 века- начале19 века-Лагранжем(1736-1813), Лапласом(1749-1827) и Пуассоном(1781-1840) и, наконец,в 19 веке - Гамильтоном(1805-1865), Якоби (1804-1851) иПуанкаре (1854-1912),достигла стольвыдающихсяуспехов и получиластоль широкоепризнание, чтодолгое время,вплоть до последнейчетверти 19 века,ее основы никемне подвергалисьникакой критике.

Механикастала первойнаукой современногоестествознания,которая получиламощное и законченноеразвитие наоснове тогоэкспериментально-математическогометода познанияприроды, которыйот Галилея ещев 17 веке принялосовременноеестествознаниеи благодарякоторому онодостигло стольпоразительныхи выдающихсяуспехов.

Красивоездание механикибыло стольсовершенным,что и все остальныефизическиенауки ( об электрических,магнитных,оптических,тепловых и др.физическихявлениях ) долгоевремя, особенновесь 18 век и дажедо последнейчетверти 19 века, пытались строитьпо образу иподобию механики.

Возниклодаже особоетечение внатурфилософии- механистическоемировоззрение,которогопридерживалисьмногие, можносказать, подавляющеебольшинство,ученых конца19 века. Это мировоззрениеставило своейцелью сведениевсех физическихявлений к проявлениюпростых механическихзаконов.

Вместес тем, оченьбольшие успехи,достигнутыев 19 веке электродинамикой- открытие законаэлектромагнитнойиндукции,электрическогомотора и трансформатора,электромагнитнойприроды света,электромагнитныхволн радио- иСВЧ-диапазона- и термодинамикой- открытиеобщефизическогозакона сохраненияэнергии, паровоймашины и двигательвнутреннегосгорания, ракетногодвигатель, атакже фантастическиеуспехи атомно-молекулярногоучения о строениифизическоговещества - открытиеэлектрона всамом конце19 века, а такжеструктурыатома, открытиеатомного ядра,ядерной физикии физики элементарныхчастиц - всеэто уже к 1926-27 гг.,как снежныйком, смеломеханистическуюфилософиюприроды и заменилоее правильнымпониманиемхотя и существенной,но все же в целомограниченнойроли механикив физическойнауке, котораяв 20 в. Нам всемизвестна сошколы.

Но этопроизошло в20 в., а мы хотимзаняться сейчасисторией исследованийконца 19 в. - начала20 в., зародившихсяна основе критикифундаментальныхоснов ньютоновскоймеханики, связанныхс появлениемтеории относительностии релятивистскоймеханики.

А. Проблеманьютоноваабсолютногопространстваи существованияв природе классаинерциальныхсистем отсчета.

Начинаяс 1872г. Э.Мах первымв истории наукине побоялсяпублично выступитьс критикойсамых фундаментальныхоснов механикиНьютона - в товремя прочноутвердившейсяи незыблемойтеории.

Мах справедливоуказал на отсутствиеу Ньютона четкихопределенийпонятий массыи силы, на очевиднуюлогическуюзависимостьпервого законаот второгозакона, на неясностипредставленийНьютона обабсолютномдвижении исвязанных сним его представленийоб абсолютномпространствеи абсолютномвремени.

Фундаментальнаяидея механикиНьютона о том,что в природесуществует«абсолютноедвижение»- действительноу Ньютонасформулированоочень нечетко.В этих представленияхНьютона, однако,получил отражениев его механикетот важныйэкспериментальныйфакт, что в природепо какой-топричине существуютпривилегированные,т.е. выделенныев отношениимеханическихявлений, нополностьюэквивалентныедруг другу -так называемыеинерциальныесистемы отсчета,движущиесяотносительнодруг другапрямолинейнои равномерно,с постояннымискоростями.Одна из этихсистем, по Ньютону,фактическии является тойсамой абсолютнойсистемой отсчета,относительнокоторой Ньютони отсчитывалсвое абсолютноедвижение.

Такимобразом, инерциальнойсистемой отсчетав механикеНьютона, строгоговоря, называетсясистема отсчета,движущаясяпрямолинейнои равномерно,с некоторой постояннойскоростью,относительноабсолютнойсистемы, хотясамой абсолютнойсистеме строгогоопределенияи не дается.

Следует,однако, заметить,что хотя самНьютон четкоабсолютноепространствои связаннуюс ним абсолютнуюсистему отсчетаи не определил,но если внимательнопроследитьисторию предваряющихисследованияНьютона исследованийГалилея и Гюйгенсапо движениюземных тел вполе тяжестиЗемли и Коперникаи Кеплера подвижению основныхнебесных тел- Солнца, Луны,и пяти главныхпланет,, из которых,собственноговоря, непосредственнои возникламеханика Ньютона,в частности,его решениесамой основнойзадачи небесноймеханики - такназываемойзадачи Кеплерао движениипланеты вокругСолнца поэллиптическойорбите, - то нетруднопрактическибезошибочноустановить,что под абсолютнойсистемой отсчетаНьютон фактическипонимал коперниковскуюгелиоцентрическуюсистему отсчета,а под абсолютнымпространством- межпланетноепространствоСолнечнойсистемы. Именноэта системабыла принятаНьютоном вовсех его успешнорешенных механическихзадачах - о движенииЗемлм, Луны ипланет, об океанскихприливах иотливах наповерхностиЗемли и т.д.

Историческийвопрос о существованииистинной системыотсчета, самойестественнойдля математическогоописания механическихдвижений небесныхтел - Солнца,Луны и пятиглавных планетбыл поставленв 16-17 вв., на зарестановлениясовременногонаучногомировоззрения,И вопрос этотбыл окончательнорешен уже основателемсовременногоестествознанияН. Коперником(1473-1543) в 1520-30 гг. И в егознаменитомсочинении «Обобращенияхнебесных сфер»,которое началопечататьсяза несколькодней до егосмерти в 1543 г.

ФактическиКоперник решилосновнуюкинематическуюзадачу нашейСолнечнойпланетнойсистемы, - нашелсамую удобнуюсистему координат,жестко связаннуюс межпланетнымпространством,для описаниявидимого намидостаточносложного движенияСолнца, Луныи главных планетсреди неподвижныхзвезд.

Именноэта «абсолютная»система отсчетаи была принятанеявно Ньютономв его «Принципах»при формулировкеоснов механике,при решенииим задачи Кеплераи других астрономическихзадач, а такжепри решениизадач о движениител на Земле.

Ньютонсвой выборуказаннойабсолютнойсистемы отсчетане формулировал,однако, явно,заявив бездолжных поясненийдовольно туманно,что в природесуществуетабсолютноевремя, абсолютноепространствои абсолютноедвижение, чтоименно абсолютноедвижение тели являетсяистинным предметомизучения созданнойим механикис ее тремя законами.

Здесьследует подчеркнуть,что особенноудивительното обстоятельство,что специальная,выделеннаяпо своим механическимсвойствам,инерциальнаясистема отсчетав природе имеетсяне одна, а существуетцелый класс- бесконечноемножествоподобных систем,по своим механическимсвойствамдействительнополностьюэквивалентныхдруг другу, Всеони движетсяпоступательноравномернои прямолинейно,с постояннымискоростямидруг относительнодруга. По механическомуповедениюдвижущихсяв них тел всеэти инерциальныесистемыотсчета принципиальнымобразом отличаютсяот остальныхсистем отсчета- так называемыхнеинерциальныхсистем.

Что существуетмножествоэквивалентныхособенныхсистем отсчета,- знал уже Галилей,на экспериментальныеисследованиякоторого опиралсяНьютон в своих«Принципах».Именно Галилейоткрыл механическийпринцип относительности,согласно которому,производя чистомеханическиеэкспериментыв рамках какой-нибудьодной инерциальнойсистемы отсчета,невозможноопределитьфакт движенияэтой системыотсчета относительнодругих инерциальныхсистем. В инерциальныхсистемах отсчетаидентичныепо постановкемеханическиеопыты всегдаодинаковыерезультаты.

Галилейсформулированныйим механическийпринцип относительностииспользовал,как известно,для снятиянаивных возраженийпротив системыКоперника,исходящих отперпатетиков,сторонниковАристотеля,утверждающих,что если быЗемля двигалась,то находящиесяна ней телаоторвалисьбы от ее поверхностии отстали быот нее. Галилейсправедливозаявил, чтоникакие механическиеэксперименты,производимыена поверхностиЗемли, движущейсяв межпланетномпространствевокруг Солнцаравномернои прямолинейно,не могут установитьфакт движенияЗемли.

Впрочем,не совсем правильноутверждать,что Земли движетсяпрямолинейнои равномерно.Земля вращаетсявокруг своейоси с угловойскоростью0.000073 1/с;кроме того, еедвижение попримерно круговойорбите вокругСолнца совершаетсясо среднейлинейной скоростью 30 км/с,что соответствуетугловой скорости0.0000002 1/с,Само Солнцедвижется соскоростью 220км/собращаясьвокруг центранашей галактики,что соответствуетугловой скорости0.00000000000000088 1/с.Вводу исключительноймалости всехэтих угловыхскоростей, вочень хорошемприближенииможно считать,что Земля движетсячерез пространствопоступательноравномернои прямолинейнос постояннойскоростью 30км/с.

В отличииот Ньютона Э.Мах пыталсяобъяснитьфизическуюприроду наличияв природе особыхмеханическихсвойств уинерциальныхсистем отсчета- он справедливозаметил, чтоодна из инерциальныхсистем - самаяглавная, фактическии определяющаяньютоновоабсолютноепространство- это действительнофизическивыделеннаядля нас, каклюдей на Земле,система отсчета,- связанная снебом неподвижныхзвезд, т.е. смежпланетнымпространством,от которой мыникогда и нипри какихобстоятельствахне можем абстрагироваться.

ТакоеразъяснениеМахом загадкиприроды обинерциальныхсистемах отсчета,кажется достаточноубедительным,хотя и порождаетвопросы. Неясно, в частности,почему стольудаленные отнас объекты- звезды могутстоль существенновлиять на движениетел на Землеи Земли вокругСолнца в нашейСолнечнойсистеме.

В. Проблемасветоносногоэфира и существованияна Земле эфирноговетра.

Вопроссуществованияв природе целогокласса механическиэквивалентныхинерциальныхсистем отсчетаи о наличиисреди них одной,самой главной- абсолютнойсистемы, или,как мы объяснили,коперниковскойсистемы, жесткосвязанной смежпланетнымпространствоми небом неподвижныхзвезд, по Махувоплощающимв себе абсолютноепространствоНьютона, в которомдвижется Земля,Солнце, Луна,планеты и ихспутники, нельзяограничитьисключительномеханическимирамками, каквпрочем мы покачто это делали.

Это,разумеется,общефизическийвопрос:ведьна Солнечнуюсистему нельзясмотреть простокак на чистомеханическуюсистему материальныхточек, подчиняющуюсяисключительнозаконам ньютоновскоймеханики. Кромемеханических,существуетогромное числодругих чистофизическихявлений, немеханической природы, постояннопроисходящихв Солнечнойсистеме. Вовсяком случае,даже в рамкахчистой небесноймеханики мыне можем абстрагироватьсяот света, таккак посредством света, приходящегок нам от Солнца,Луны, планети их спутников,мы вообще можемсудить о существованииэтих небесныхтел и делатьзаключенияоб их механическомдвижении.

Какраспространяетсясвет в межпланетномпространстве,как он доходит от Солнца донас, - ведь межпланетноепространствопрактическисовершеннопусто, в немнет вещества,которое насокружает здесьна Земле, - этоочень существенныйвопрос.

С моментазарожденияфизическойоптики , т.е. еще17 века, когдазародиласьи механика,сразу возниклидве взаимоисключающиетеории света.С именем Ньютонасвязываюткорпускулярнуютеорию, в которойсвет мыслитсякак поток быстролетящих маленькихтелец - корпускул,причем считается,что все корпускулыв потоке имеютодинаковуюскорость с -скорость света.С именем Х. Гюйгенсасвязываютволновую теорию,в которой светпредставляетсяв виле волн,наподобиезвуковых волнв воздухе, являющихсявозбужденияминекоторойупругой очньтонкой сплошнойсреды - эфира,при этом скоростьсвета с считаетсяскоростьюраспространенияволн в этойсреде.

Практическис самого началаоптическихисследованийпо волновойтеории светабыло принято,что световыеволны определенноне являютсяколебаниямиили возмущениями обычной материальнойсреды, как звуковыеволны - колебаниямивоздуха. В отличиеот звуковыхволн световыеволны могутраспространятьсяи в сильноразреженныхматериальныхсредах и дажев пустоте. Светот Солнца доЗемли проходитчерез пустоемежпланетноепространствомежду Солнцеми Землей и другимипланетами.

Различиезвуковых исветовых волнлегко проиллюстрироватьследующимпростым экспериментом

Звонящийбудильникпомещают подстеклянныйколокол, изкоторого нсосомвыкачиваютвоздух. По мереудаления воздухаиз - под колоколазвук от будильникастановитсявсе слабее ислабее, покане пропадетсовсем. Еслиоткрыть крани впуститьобратно подколокол воздух,то громкий звукбудильникабудет сноваслышен. Привсех этихманипуляциях, однако, мы всевремя видим будильник через стенкиколокола , аследовательно,световые волныв отличие отзвуковых могутраспространятьсяи в пустомпространствепод колоколом, фактическилишенном воздуха.

Скоростьсвета в пустоте/впрочем, каки в других прозрачныхсредах - в воздухе,воде, стеклеи т.д./ огромна.Она равна 300.000км/с. О. Ремером,который определилее из наблюденийвариаций временпоследовательнонаблюдаемыхзатмений спутникаЮпитера, и вначале 18 века в 1728 г. Дж. Д. Брэдли,который нашелее из измеренияугла аберрациидля несколькихзвезд, расположенныхвблизи полюсаэклиптики. Обаизмерения -астрономические, т. е. В них определяласьскорость светав межпланетномпространстве.Оба они далипримерно 300.000км/с.

Так каксвет, по представлениямволновой теории, являетсяколебаниями,т. е. Возмущенияминеподвижнопокоящегосяэфира, то естественнобыло считать, что фактическии было сделано,что абсолютнаясистема отсчетаНьютона - этокак раз та самаясистема, в

точках,мы могли бы иназвать временемв системе отсчетаК.

Так поступать,однако, нельзя.Чтобы перенестичасы, напримериз точки «О»в точку М,мы должны сначалаэти часы в точкеОускорить, затемпередвинуть,а затем замедлитьдля остановкив точке М.При ускоренноми замедленномдвижениях приэтом ход часовобязательнонарушится ив показаниявремени будетвведена неконтролируемаяошибка.

Поэтомупоступим так,как поступилЭйнштейн вработе 1905 г. Будемвсе часы синхронизироватьне в началекоординат, доих разнесения,а лишь послетого, как мыуже их разнеслии установилив разных точкахпространствасистемы отсчетаК.

Синхронизациюпроведем припомощи бесконечнокоротких световыхсигналов, которыебудем испускатьиз начала координатО.В момент времениt=0,фиксируемыйпо часам в точкеО,мы испустимиз точки Осигнал по направлениюк точке М,и зарегистрируеммомент приходаэтого сигналав точку Мпо часам в этойточке Ми, наконец, выставимна часах в точкеМвремя

,

где r- расстояниемежду точкамиNиM.Величинойскорости c приэтом мы простозададимся,т.е. возьмем вкачестве неелюбое положительноечисло.

Очевидно,что если теперь,с помощьюсинхронизированныхописаннымспособом локальныхчасов, мы будемизмерять скоростьиспользуемыхдля синхронизацииимпульсныхсветовых сигналов,то получиместественнозначение c,причем этаскорость окажетсяизотропной,т.е. не зависящейот выбора направленияв пространстве.

Однаконадо отчетливопонимать, чтоэто не измерениескорости света,так как самопонятие временимы установилис помощью световыхсигналов изначениемскорости светасмы просто задались.

Вместес тем, для краткости,будем называтьвеличину с- «скоростьюсвета»(болееточно, скоростьюсвета в системеотсчета К).

Теперьв точноститаким же образом,с помощью импульсныхсветовых сигналов,установим полевременив «движущейсясистеме отсчетаК'.

Конечно,можно было быпостроить полевремени в системеотсчета К'и другим способом.Мы могли бы,например, рассудитьследующимобразом. Гипотетическаяэлектромагнитнаясреда - эфир,колебаниямикоторой являетсясвет, покоитсяв системе отсчетаК,поэтому в системеотсчета Кмы имеем светв покоящейсясреде. В системеотсчета К'имеем свет вдвижущейсясреде, а поэтомускорость световогоимпульса,испущенного,например, вположительномнаправленииоси x'в системе отсчетаК'равна не с,а c-u,а в отрицательномнаправленииоси x'равна c+u,где u- скоростьдвижения системыК'относительносистемы К.Но так сейчасмы поступатьне будем, а простопримем,что в системеотсчета К'световые импульсыраспространяются в точности также, как в системеК.В этом заключенооднако серьезноефизическоепредположение.При построенииполя временив системе отсчетаК'используемтожесамоечисло с,что и в системеотсчета К.Последнее посуществу условноедопущение,следуя работеЭйнштейна 1905г., иногда неправильноназывают «закономпостоянстваскорости светав инерциальныхсистемах отсчета».Как мы видим,это вовсе незакон, а говорясловами Пуанкаре,«плод совершаемогонеосознанногоусловногосоглашения».

11. Кинематическийвывод преобразованийЛоренца

Приступимтеперь к кинематическомувыводу преобразованийЛоренца. Объектомнашего рассмотрениябудет так называемоемгновенноеточечноесобытие,т.е. событие,происходящеев очень маломместе пространстваи за очень короткийпромежутоквремени. Например,из некоторойточки Nвфиксированныймомент времениt= t₀испустимимпульснуюсферическуюбесконечнотонкую световуюволну.

Уточняем- испускаем непериодическуюгармоническуюволну, а оченькороткий световойимпульс. Испусканиесветовогоимпульса вмомент времениt= t₀в точкеNи есть примермгновенноготочечногособытия.Разумеется,мгновенныеточечные событиямогут бытькакие - угодно.

Приведемеще один пример.Твердый стерженьABпусть движетсяв положительномнаправленииоси x.

Мгновеннымточечным событиемтеперь можносчитать событие,заключающеесяв совпадении,например, левогоконца Aстержня сфиксированнойточкой Nоси x.Другим мгновеннымточечным событиемявляется совпадениев какой-то моментвремени правогоконца Bс фиксированнойточкой Mна оси x.

Теперь, однои то же какое-нибудьмгновенноеточечное событиебудем изучатьс помощью наблюденийего в двухинерциальныхсистемах отсчетаKи K',или в двух системахкоординат,движущихсяравномернои прямолинейноотносительнодруг друга -«покоящейся»системы Ки «движущейся»системы K',- движущейсясо скоростьюuвдоль оси xотносительнопокоящейсясистемы отсчета,причем в обеихэтих системахкоординатразмещенылокальные часы,синхронизированныетак, как мыразъясниливыше.

Пустьx,y, z, t -координатыи время нашегомгновенноготочечногособытия, отсчитанныев системе отсчетаК.Пусть x',y',z',t'- координатыи время нашегомгновенноготочечногособытия, отсчитанныев системе отсчетаК'.

Радипростоты дальшебудем рассматриватьтолько координатыxи x',считая чтовсегда y'= y иz'= z.Тогда в системахотсчета Ки К'координатыодного и тогоже мгновенноготочечногособытия будутx,tи x',t'соответственно,причем «координатой»будем называтьне только координатуx,а координатуи время - x,t.

Так какэти числа относятсяк одному и томуже событию(существующемув природе внезависимостиот наличия илиотсутствиясистем отсчетаКи К'),то очевиднодолжны существоватьоднозначныематематическиезависимостивида x'= j(x,t), t'= y(x,t).

Формулыуказанныхзависимостейбудем называтьформуламипреобразованиякоординатмгновенноготочечногособытия (любого)от системыотсчета K системеотсчета К'.

Нашаконечная цель- найти вид функций jи yвприведенныхформулахпреобразования.Чтобы это сделать,обратимся ктак называемымосновным,исходным длянас, соотношениям,которые мысейчас сформулируем.

Рассмотримтриследующихмгновенныхточечных события.Опишем их сначалав системе отсчетаК.Пусть в точкеx₁осиxв момент t₁мгновенно былиспущен короткийсветовой импульсв положительномнаправленииоси x.Пусть в моментвремени t₂этотимпульс оказалсяв точке x₂осиx,в которой онзеркальноотразился истал двигатьсяв отрицательномнаправленииоси x.Пусть, наконец,в момент времениt₃этот световойимпульс сноваоказался висходной точке,так что x₃= x₁.

Посмотримтеперь на триуказанныхмгновенныхточечных событияс точки зрениясистемы отсчетаK'.Мы увидим, чтов точке x₁'вмомент времениt'был испущенв положительномнаправленииоси x'короткий световойимпульс, которыйв момент времениt₂'достиг точкиx₂',отразился вней и в моментвремени t₃'оказался вточке x₃',причем теперьx₃'№x₁'.

Согласноописанным вышепроцедурампостроенияполей временив системахотсчета KиK'имеем следующиеочевидныесоотношенияв системе отсчетаK:

x₃= x₁

и в системеотсчета K':

Точкаx₁= x₃на оси xсистемыотсчета Kдвижется соскоростью uв отрицательномнаправленииоси x',если ее наблюдатьв системе отсчетаK'.

Мы сформулировалишестьосновныхсоотношений,исходя из которыхмы теперь найдемвид функцийjи y.

Нахождениефункции j.Составимфункциональноеуравнение дляопределенияфункции j.Представимтри соотношениядля системыотсчета Kв следующемвиде:

Вычитаяпервое соотношениеиз третьего,получаем

Используявторое соотношение,отсюда приходимк равенству

Следовательно,

или

Такимобразом, видим,что функцияjудовлетворяетследующемуфункциональномууравнению:

В этомуравнениивеличины x₁,t₁,x₂,t₂,x₃,t₃,однако,не независимы,а связаны нашимиосновнымисоотношениямидля системыотсчета K.Учтем наличиеэтих соотношенийи оставимнезависимымитолько следующиетри величины:x₁,x₂и t₁.Величины x₃,t₂и t₃можно выразитьчерез указанныенезависимыевеличины.Действительно,из первогосоотношенияполучаем

следовательно,

Далее,из второгосоотношенияимеем

а следовательно,

мы воспользовалисьвыражениемдля t₂и условием x₃= x₁.

Такимобразом, получаемследующееокончательноефункциональноеуравнениедля определенияфункции j:

котороедолжно выполнятьсядля произвольныхзначений x₁,x₂и t₁.

Приступимк решению полученногофункциональногоуравнения.Начнем с того,что продифференцируемэто уравнениепо x₂.Получим тогдасоотношение,которое будемназыватьпродифференцированным функциональнымуравнением

наобщую двойкуможно сократитьвсе три слагаемые(производнаяот последнего,третьего слагаемогов исходномфункциональномуравнении равнанулю, так каконо не зависитот

). В полученномдифференциальномуравненииположим теперь и . Тогда придемк следующемудифференциальномууравнению:

Общеерешение полученногоочень простогодифференциальногоуравнения легконайти, еслиперейти к переменным

и и показать,что в новыхпеременныхэто уравнениеимеет вид

Такполучаем, чтообщее решениерассматриваемогодифференциальногоуравнения имеетвид

гдеF — пока произвольнаяфункция.

Найдемвид этой функции.Для этого подставимполученнуюформулу для

в наше дифференциальноефункциональноеуравнение.Получим тогдаследующеефункциональноеуравнение:

Послеэлементарныхалгебраическихпреобразований,отсюда получаем,что

или

.

Таккак при произвольных

аргументыфункций в правойи левой частяхравенстваразличны имогут приниматьсовершеннопроизвольныезначения, топриходим кзаключению,что

а следовательно,

F

где

— некоторыепостоянные,которые намеще предстоитнайти.

Итак,мы показали,что исходнаяфункция

имеет следующий вид:

где

— некоторые пока не определенныепостоянные.

Нахождениефункции

. Найдем теперьаналогичнымобразом функцию

. Три основныхсоотношениядля системыотсчета представимв виде:

Вычитываяпервое соотношениеиз третьегои сравниваярезультат совторым соотношением,получаем уравнение

т.е.уравнение

Видим, что функция

удовлетворяетследующемуфункциональномууравнению:

в котором величины

не независимые,а связаны нашимиосновнымисоотношениямидля системыотсчета К.Используя этисоотношения,оставим независимымитолько следующиетри величины и . Величины и выразим черезуказанныевеличины:

Такимобразом, приходимк следующемуосновномуфункциональномууравнениюдля искомойфункции:

которое выполняетсяпри произвольныхзначениях

и .

Приступимк решению полученногофункциональногоуравнения.Начнем с того,что продифференцируемего по

:

производнаяпоследнего,третьего слагаемогов исходномфункциональномуравнении равнанулю, так каконо не зависитот

. Положим теперьв выведенномуравнении ,

итогда придемк дифференциальномууравнению

или уравнение

Легко найтиобщее решениепоследнегодифференциальногоуравнения. Дляэтого надоперейти толькок новым независимымпеременным

и показать, чтов новых переменныхуравнение имеетвид

Таким образомполучаем общеерешение нашегодифференциальногоуравнения:

в котором

— пока произвольнаяфункция.

Найдемвид этой функции.Подставимполученноевыражение дляфункции

в продифференцированноефункциональноеуравнение.Получим тогдасоотношение

илисоотношение

Таккак аргументыу фукций вправой и левойчастях равенствапри произвольныхзначениях

и совершеннопроизвольны,то получаем, что

а следовательно,

где

— пока неопределенныепостоянные.

Определениеконстант

. Мы получили,что формулыпреобразованийкоординат ивремен произвольногомгновенноготочечногособытияв инерциальныхсистемах отсчета и имеют вид

Для нахожденияконстант

привлечемдополнительноетребование.

Требование1. Предположим,что общие началаотсчета координати времени всистемах отсчета K и

согласованытаким образом,что мгновенноеточечное событиес координатами0,0 в системе отсчета K имеет в системеотсчета координаты 0,0 ( тоже нулевыекоординаты),

инаоборот.

Применяявышеприведенныеформулы преобразованияк событию 0,0получаем, что

и поэтому формулыпреобразованиякоординатмгновенноточечногособытия приобретаютследующий вид:

Теперьнеопределеннымиостались толькоконстанты

и .

Учтемтеперь тообстоятельство,что формулыпреобразованиямы получиликак следствиянаших шестиосновных соотношений.Подставимпоэтому полученныепростые формулыобратно в этиисходные основныесоотношенияи установимограниченияна значенияконстант

и . Имеем:

Такимобразом, приходимк заключению,что константы

и равны другдругу:

=

ипоэтому формулыпреобразованиякоординатмгновенноготочечногособытия имеютследующий вид:

где

— пока чтонеопределеннаяпостоянная.

Разрешимтеперь этиформулы преобразованияотносительно

и . Имеем уравнения

Следовательно,

ипоэтому

Полученныеформулы сопоставимс формуламипреобразования:

которые получаютсяс помощьюрассуждений,совершенноаналогичныхприведеннымвыше, но с заменойсистем отсчета K и

друг на друга.Следует приэтом толькоучесть, чтосистема отсчета K движетсяотносительносистемы отсчета не в положительном,а в отрицательномнаправленииоси с некоторойположительной скоростью (положительной),определеннойв системе отсчета K . Здесь — некотороепока неизвестноенам число.

Сравнивая другс другом приведённыепары формулпреобразований,приходим кзаключению,что имеют местоследующиечетыре равенства:

из которыхнепосредственнозаключаем, что

’ = 

и что величины и ’ удовлетворяютсоотношению

Таким образом,мы показали,что имеютсяследующиеформулы преобразованийкоординат x,tиx’,t‘ мгновенноготочечногособытия в системахотсчета K и K’:

и

где величины ’ и связаны вышеуказаннымсоотношением.

Чтобы найтичисла ’ ивыставимещё одно требование. Обратим внимание,что пока мы доконца не условилисьо выборе основныхединиц измерениядлинны и временив системахотсчета K и K ’. Разумеется,отчасти этотвыбор уже былвыше ограничентребованием,чтобы скоростьсвета в обеихсистемах отсчётадавалась одними тем же числомc, которое мыучли, т.е. мы ужесогласовалиотчасти единицыизмеренияскоростейв системах K и K’. Но единицаскорости естьтолько отношениеединиц длиныи времени. Поэтомуостаётся произволв выборе единицыизмерения либодлины, либовремени. Фиксируемтеперь окончательноэтот произволс помощью следующеготребования.

Требование2. Длины l и l’ двух покоящихсяв системахотсчёта K и K’ стержнейодинаковойсобственнойдлинны l0 (измеренной в этих системахотсчёта, в которыхкаждый из этихстержней покоится),измеренные,соответственно,в системахотсчёта K и K’ , относительнокоторых этистержни движутсяодинаковы.

Возьмём стерженьдлинны l0, покоящийсяв “движущейся”системе отсчёта K’. Пусть онлежит на осиx’ и его левыйконец пустьимеет координату x’A , а правый - координатуx’B

x’A - x’B = l0.

Из мерим длинуэтого стержняв “покоящейся”системе отсчёта K. Пусть в одинаковыемоменты времени tA и tB ( tA = tB) левый и правыйконцы стержня,движущегосяв системе отсчётаK, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составитьразность xA - xB = l , чтобы найтидлину движущегосясо скоростью  стержня,длина которогоравна l0 в покоящейсясистеме координат.

Согласно ужевыведеннымформулампреобразованийкоординат ивремён мгновенныхточечных событий,имеем соотношения:

x’B =  (x’B - tB),

x’A =  (x’A - tA).

Вычтем x’A из x’B и учтём условие tA = tB. Тогда получим

l0 = x’Bx’A=  (xB - xA)= l.

Таким образом,имеем соотношение

l = l0 / .

Если теперь,наоборот, взятьстержень длины l0, расположенныйв “неподвижной”системе отсчётаK , и измеритьего длину l’ в “движущейся”системе отсчёта K’ , то для этойдлины, рассуждаяаналогично,получаем соотношение

l’= l0 / ’.

Потребуемтеперь, чтобы l’ = l. Тогда мы придёмк равенству ’= , а следовательно,с учётом выведенногосоотношения

к равенствам

Знак минусперед корнемне подходит,так как неудовлетворяеточевидномутребованию,что = 1 при =0 , когда мы имеемформулы тождественныхпреобразований.

Длина движущегосястержня, каквидим, меньшеего собственнойдлины l0. Движущийсястержень какбы сокращаетсявдоль направлениясвоего движения. Однако это неистинное, акажущеесясокращение,более точно,это исключительнокинематическийэффект, целикомобязанныйпринятомуопределениюлокальногополя временив движущейсясистеме отсчёта.

Итак, мы вывелис помощьюисключительнокинематическихрассужденийследующиеформулы преобразований:

которые называютформуламипреобразованийЛоренца.

В заключениезаметим, чтокроме кажущегося,чисто кинематическогосокращениядлинны движущегосястержня врассматриваемойкинематике,основаннойна описаныхвыше процедурахпостроенияполей временив системахотсчёта K и K’ , имеетсяещё и эффекткажущегосязамедленияхода движущихсячасов.

Пусть мы имеемчасы, неподвижныев “движущейся”системе K’ , находящиесяв точке x’A = x’B. Пусть в нихпроизошел одинпериод колебаний,начавшийсяв момент времениt’A (событие A) иокончившийсяв момент времениt’B (событие B), такчто t’B- t’A=, где - период колебанийчасов в “собственной”системе отсчёта

(где они покоятся).Обозначив через xA, xB, tA и tB координатысобытий A и B всистеме отсчёта K , получаем

Вычитая второеравенство изпервого длякажущегосяпериода колебаний часов,определённогов “движущейся”системе K’ имеем следующуюформулу

так как x’A = x’B. Следовательно,окончательнополучаем формулу

для кажущегося, т.е. кинематического,замедленияхода движущихсячасов.

4.12 Кинематическийвывод преобразованийГалилея.

Введём теперь,рассуждаясовершенноаналогичнотому, как мыэто делали привыводе формулпреобразованийЛоренца, формулыпреобразованийГалилея, изменивпроцедурыпостроенияполей временив инерциальныхсистемах отсчета K и K ’.

Построениеполей временив системахотсчета K и K ’. Будемтеперь считать,что в системеотсчёта K среда,возбуждениямикоторой являетсясвет, покоится. Тогда относительносистемы отсчётаK’ эта Средабудет двигатьсясо скоростью  в отрицательномнаправленииоси x’.

Процедурупостроениялокальныхвремён и синхронизациичасов в системеотсчёта K оставимпрежней. Нопроцедурупостроениялокальныхвремён в системеотсчёта K’ изменим.При синхронизациичасов, помещённыхв точке M но осиx’ с координатойx’M>0, с помощью короткогоимпульсногосветовогосигнала, выпущенногоиз начала координат x’ = 0 вначальныймомент времени t’ = 0, вмомент приходасигнала в точкуM , на часах в точкеM теперь поставимне время r/c , где r - расстояниемежду O и M , а время

r .

c + 

Аналогичнопоступим сточкой M на осиx’ с координатойx’M

r .

c - 

Основныесоотношения.Рассмотримснова тримгновенныхточечных события.В системе отсчётаK они выглядятследующимобразом. В точке x1 на оси x в момент t’1пусть испускаетсякороткий световойимпульс вположительномнаправленииоси x. В момент t’2пусть он приходитв точку x2 на оси x, отражаетсяв ней и в моментt’3возвращаетсяв точку x1, так что x1= x3.

Согласнопринятым процедурампостроенияполей временив системахотсчета K и K ’ , имеем теперьследующие шестьосновных соотношений:

Нахождениефункций и . Составим сначалафункциональноеуравнение дляфункции .Имеем

Вычтем первоесоотношениеиз третьегои результатсравним совторым соотношением.Получим тогдауравнение

или

то есть

С учётом соотношений

отсюда приходимк следующемуокончательномуфункциональномууравнениюдля определениявида функции:

которое удовлетворяетсяпри любых значенияхнезависимыхпеременныхи x1, x2 и t1 . Чтобыразрешить этофункциональноеуравнение,продифференцируемего по x2и получим изнего продифференцированноефункциональноеуравнение:

Положимв этом уравнении. x1 = x2 = x & t1 = t . Придемк уравнению

такчто имеем оченьпростое дифференциальноеуравнение

или

дляопределениявида функции

.

Общеерешениепоследнегоуравнения имеетвид

гдеF-произвольнаяфункция . Подставимэту формулув приведенное

вышепродифференцированноефункциональноеуравнение. Учтем ,

что

ипоэтому получимсоотношение

Таккак

топриходим кследующемууравнению

справедливомупри любых значенияхx1,x2,t1.Аргументыфункций

в правойи левой частяхпринимаютпроизвольныезначения припроизвольных

x1,x2,t1.Следовательно,

а потому, игнорируяполучаем

где -некоторые покане определенныепостоянные.

Составимтеперь функциональноеуравнение дляфункции . Имеем

где G- произвольнаяфункция . Вычитаяпервое уравнениеиз третьего

уравненияи сравниваяполученныйрезультат совторым уравнением,

получаемсоотношение

Следовательно,

или

Отсюданепосредственноприходим кследующемуосновномуфункциональному

уравнениюдляфункции

:

Разрешимэто уравнение, для чего сначалапродифференцируемего

по x2. Тогдаполучим уравнение

Полагаяв этом последнемуравнении и ,приходим к

дифференциальномууравнению

или совсемпростому уравнению

Следовательно,

Подставивэту формулудля в приведенноевыше продифференцированное

функциональноеуравнение .Получим

Следовательно,

Так каквеличины

совершеннопроизвольны, то аргументы

функцийG вправой и левойчастях могутприниматьсовершеннопроизвольныезначения . Поэтому

а следовательно,

где

- пока произвольныепостоянные.

Определениеконстант

Мыполучили следующиеформулы

преобразованиякоординат ивремен мгновенноготочечногособытия :

Найдемконстанты

начнемс того , что выставимтребованиео согласованииначалотчетов

координати времени вобеих системахотсчета

и

.

Требование1. Событие, имеющее координаты0 , 0 в системеотсчета

,

имееткоординаты0 , 0 в системеотсчета

, и наоборот .

Следовательно, в приведенныхформулах

, и формулы

преобразованияприобретаютследующий вид:

Приведенныеформулы преобразованиямы получиликак следствия

нашихшести основныхсоотношений. В них входятпока не определенные

намивеличины

и .

Подставивэти формулыпреобразованияобратно в исходныешесть

соотношений, мы можем найтиограниченияна константы

и .Так

собственноговоря и получается. Действительно, имеем равенства

Как видим, чтобы эти равенствавыполнялись, необходимопотребовать,

чтобыконстанты

и были равны другдругу :

Такимобразом , искомыеформулы преобразованиякоординатмгновенного

точечногособытия имеютвид

где

- пока не определеннаяконстанта .

Как ив случае преобразованийЛоренца , воспользуемсятем , что

у насимеется произволв выборе единицизмерениялибо длинны, либо

временив обеихсистемах отсчета

и

.Чтобы фиксироватьуказанныйпроизвол , выставимдополнительноетребование.

Требование2. Длинаl движущегосяв системе

стержня, покоящегося

в системе

, ориентированноговдоль оси

иимеющего в этойсистеме длину

,т.е. .

Рассмотримдвижущийсястержень , всевремя покоящийсяв системе отсчета

междуточками от с координатами и .

Пусть в одинаковыелокальныемоменты времени

всистеме отсчета

Kлевыйконец стержнясовпал с точкойоси x, скоординатой

(событиеA), (событиеB).Тогда

Вычитаявторое равенствоиз первого , сучетом условия

получаем

и таккак

согласнотребованию2 , то приходимк заключению,

что

Итак, мы вывели спомощью исключительнокинематическихрассуждений,

аналогичныхиспользованнымЭйнштейномпри выводеформул преобразованийЛоренца , формулыпреобразованийГалилея :

13. Гипотезаэфира и гипотезачетырехмерногомира .

Подведемитог нашимрассуждениям. Исходя из условныхв принципепроцедур построенияполей временив «неподвижной»и «движущейся»системах отсчета, используяочевидныедополнительныетребованияо согласованииединиц измерениядлинны и временив обеих рассматриваемыхсистемах отсчета, мы вывели какпреобразованияЛоренца ,так и преобразованияГалилея .

При этоммы следовалиосновным идеямкинематическогорассужденияиз работы Эйнштейна1905 г. ( усилив ихтолько рассмотрениемфункциональныхуравнений).

Такимобразом , выводЭйнштейна ,сделанный имв работе 1905 г., оложностиньютоновскойконцепцииабсолютноговремени Ньютонаследует считатьнеобоснованным. Также не обоснованои утверждение, что он якобыдоказал , чтосветоносногоэфиране существует, что электромагнитныеволны существуютсамипо себебез какой-либосреды (в отличиеот всех другихизвестных намфизическихволн).

Конечно, несмотря нина что , мы можемпринять утвержденияЭйнштейнапопросту занекую (пока ,правда , существующимиэкспериментамиеще не доказанную)научную гипотезу. Но одновременномы должны считатьсяи с другой гипотезойклассическойфизики - чтосветоноснаясреда (эфир)существует, что электромагнитныеволны являютсявозмущениямиэфира , чтомеханическаяабсолютнаясистема отсчета - это системаотсчета , в котороймировой эфирпокоится.

Выбортого или иноголокальногополя временив движущейсясистемеотсчета (ньютоноваили эйнштейнова) является ,по-видимому, вообще полностьючисто условными диктуетсяисключительносоображениямиудобства проведениятех или иныхфизическихрассуждений. В классическоймеханике удобно«ньютоново»,а в теорииэлементарныхчастиц - «эйнштейново» время.

Выбортой или инойконцепцииколичественноговремени, как утверждалПуанкаре ещев 1898 г. , т.е. за 7 летдо работы Эйнштейна1905г., подобенвыбору той илииной системыгеометрическихкоординат втрехмерномпространстве, скажем , прямоугольнойдекартовой или сферической. Только отконкретнойзадачи зависит, какая из этихсистем координатудобнее и полезнее.

Сформулируемтаким образом, альтернативныефундаментальныефизическиегипотезы .

Гипотезаэфира. Существуетособая физическаясреда - эфир,заполняющаяпространство, возмущеннымиколебаниямикоторого являютсяэлектромагнитныеволны (включаяоптические, радио , телевизионныеи т.д. волны).Система отсчета, в которой этасреда покоится, является физическойабсолютнойсистемойотсчета. Она, разумеется, единственнаи уникальнапо всем физическимсвойствам .Класс системотсчета , движущимсяотносительноабсолютнойравномернопрямолинейнос постояннымискоростями, образует классинерциальныхсистемотсчета . В этомклассе системотсчета механические, электродинамическиеи др. физическиеявления математическии физическиописываютсянаиболее просто.

Гипотезаэфира былапровозглашенав классическойфизическойоптике и разделяласьмногими физикамии математиками17,18,19 вв., в частностиФренелем впервой четверти19 в., а также иЛоренцем вконце 19 в. и доего смерти в1928г.

Гипотезачетырехмерногомира. Ньютоноваклассическаямеханика ошибочна.Представленияоб абсолютномпространствеи времени ложныпо существу.Пространствои время являютсягеометрическим, или точнее -физическимединым целым.Их нельзя разделять

сматриватьизолированноодно от другого,а надо объединятьв “че-

тырёхмерныймир”, или“пространство-время”,в рамках которого только и возможнодать правильноефизическоеописание явленийприроды. Инерциальныесистемы отсчёта- отражениесвойств сим-

метрии четырёхмерногомира, и ничегоболее. Другимисловами, в

вопросе об инерциальных системах отсчёта речь идёт о чисто геометрическихсвойствахсимметриичетырёхмерногопространства-времени.

Существуютпреоброзования- преоброзованиясимметриичетырёх

мерногопространства-времени,при которыхоно переходитсамо в себяподобно тому,какнаше трёхмерноепространствопереходит са-

мо в себя припроизвольныхпараллельныхпереносах ипроизвольных

поворотахвокруг любойоси на любойугол. Все декартовысистемы

координат втрёхмерномпространстве,полученныепараллельнымпереносом и(или)произвольнымповоротомотносительнопроизвольно

направленнойоси одна издругой,-равноправны.

Обсуждаемуюскорее геометрическую,чем физическуюгипотезу

наиболее наглядносформулировалМинковскийв работе 1909 г. Но

ранее него еёсовершенночётко сформулировалПуанкаре,хотяв ма-

тематическоми намного болеестрогом, но нестоль наглядномвиде,

как у Минковского.Этой гипотезыпо существупридерживалсяи Эин-

штейн в работе1905 г.

4.14. Геометрическаясимметриячетырёхмерногомира

Соображения,опирающиесяна симметрию,играют важнуюроль в

физических,и не толькофизическихисследованиях.Использованиеиме-

ющихся симметрийсущественноупрощает анализлюбой ситуации.

Пространство,в которомразыгрываютсяфизическиесобытия, -

наше обычноетрёхмерноепространствоили четырёхмерныймир, или

пространство-время,рассматриваемыев специальнойтеории относи-

тельности, -тоже обладаютопределённойсимметрией.

Объясним, - Чтоэто означает?Какой именносимметриейобладает

четырёхмерныймир?

Идея симметриипространствавозникла изидеи симметриигеометри-

ческой фигуры,например,равностороннеготреугольникаили идеально

правильногокуба. В частности,куб определённообладает оченьвысо-

кой симметрией,и под этим мыпонимаем толькото, что существуют

операции, отличныеот тождественной,которые переводяткуб сам в себя.

Если представитьсебе, что мыраспологаемдвумя идентичными

экземплярамикуба, то можнопредставитьсебе мысленнотакже и

“совмещение”этих двух кубовдруг с другомпри перемещенияхи по-

воротах их впространстветак, чтобы ивершины, и рёбра,и грани

кубов совместилисьдруг с другом.Легко видеть,что такое совмещение

можно осуществлятьпо-разному :повернувпредварительнокаким-либоопределённымобразом второйкуб перед совмещениемего с пер-

вым. В частности,второй кубможно совместитьс первым, вообще

не повёртываяего заранее.Такая операциясовмещенияназывается

тождественной.Кроме этойтождественнойоперации, существуют

и другие операции,позволяющиесовмещатьпо-разномуповёрнутый

предварительноодин экземпляркуба с другимего экземпляром.

Наличие такихопераций, которыеназывают “операциямисимметрии”

позволяющихсовмещатьгеометрическуюфигуру самус собой, свиде-

тельствуюто геометрическойсимметриирассматриваемойфигуры.

Множествоопераций симметриигеометрическойфигуры образуютто,

что в математикеназывают группойсимметрии этойфигуры.

Чем большечисло операцийсимметрии угеометрическойфигуры, темвыше её симметрия.У куба, с учётомтождественнойоперации,

которой обладаетлюбое даже исовсем несимметричноетело, их ока-

зывается 48. Утреугольникана плоскостиих 3.

Может случиться,что множествоопераций симметриив группе сим-

метрии фигурыбесконечно.Тогда имеемслучай чрезвычайновысокой

симметрии. Так,шар в трёхмерномпространствеможно совместитьс самим собой,повёртываяего на любойугол относительнолюбой оси,

проходящейчерез центршара, числотаких поворотовочевидно беско-

нечно.

Вернёмся ксимметриибесконечногонеограниченногопространства.

Здесь тожеследует рассматриватьгруппу преобразованийсимметрии,

переводящихпространствосамо в себя.Что касаетсяобычного трёх-

мерного пространства,то его группасимметриисостоит изпреобразо-

ваний параллельныхпереносовпространствавдоль любойпрямой на

любое расстояниеи из преобразованийпроизвольныхповоротовпрос-

транства налюбой уголвокруг любойоси, проходящейчерез любую

точку пространства.

С указаннойсимметриейтрёхмерногопространстваочевидно связан-

на инвариантностьвсех его свойствотносительновыбора любойпря-

моугольнойсистемы координатOXYZ , центр которойможно помес-

тить в любуюточку и осикоторой можноориентироватькак угодно.

Что касаетсячетырёхмерногомира, то егогруппа симметриитоже

состоит избесконечногочисла преоброзований,а имено-из преобро-

зований произволььныхпараллельныхпереносовпространствавдоль

любой “прямой”в этом пространстве,включая и осьвремени, и про-

извольных“поворотов”пространствана любой “угол”вокруг любой

“оси” в этомпространстве,включая и “повороты”,не затрагивающие

осей y и z. Такиеповороты какрази являютсярассматриваемыминами

здесь преобразованиямиЛоренца.

С указаннойсимметриейчетырёхмерногомира неразрывносвязана

инвариантностьего геометрическихсвойств относительновыбора од-

ной из системотсчёта в классесистем отсчёта,получаемыхдруг из дру-

га равномернымдвижением впроизвольномнаправлениис произволь-

ной постояннойскоростью. Этоткласс “системкоординат”в четырёх-

мерном миреили по-другому- систем отсчёта,отражающихвнутрен-

нюю симметриючетырёхмерногомира, и являетсязагадочнымклассом

инерциальныхсистем отсчётаклассическоймеханикиГалилея-Ньютона.

Величины, неизменяющиесяпри любых операцияхсимметриипрост-

ранства, являютсяего важнейшимихарактеристиками.Такие величины

называютинвариантнымивеличинами,или простоинвариантами.

В обычномтрёхмерномпространствеосновнымивеличинами,инва-

риантнымиотносительновыбора декартовыхосей координат,являются

длина произвольногоотрезка и уголмежду двумяпроизвольнымиотрез-

ками. Это самыеважные количественныегеометрическиевеличины в на-

шем трёхмерномпространстве.

Если имеемдве точки М₁и М₂ с координатамиx₁,y₁,z₁ и x₂,y₂,z₂,в де-

картовой системекоординат К, то квадратдлинны r отрезкамежду этими

точками даётсяизвестнымвыражением

r²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)².

Это выражениеинвариантноотносительновыбора системыдекартовыхкоординат впространстве.Если x1’ , y1’ , z1’ иx2’ , y2’ , x2’ обозначают

координатывзятых точекотносительнодругой декартовойсистемы К’ ,

то имеем равенство

r’²= (x₂’-x₁’)²+(y₂’-y₁’)²+(z₂’-z₁’)²=

= (x₂- x₁ )²+(y₂-y₁ )²+(z₂-z₁ )²=r²,

причём штрихованныевеличины выражаютсячерез нештрихованныес помощью формулпреоброзованиякоординат.

Так, если системаК’ получаетсяиз системы Кповоротомна угол Ф,про-

изводимым поправому винтувокруг оси z,тоуказанныеформулы преоб-

разования имеютвид:

x’ = x cos Ф - y sin Ф,

y’ = x cos Ф - y cos Ф,

z’ = z.

В четырёхмерноммире тоже имеетсягеометрическиестественнаявеличина, подобнаярасстояниюмежду двумяточками. Это- “расстоя-

ние” двух “точек”в четырёхмерноммире. Пусть унас имеетсядва мгно-

венных точечныхсобытия М₁и М₂ с координатамиx₁, y₁, z₁, t₁ иx₂, y₂,

z₂, t₂ отсчитаннымиотносительноинерциальнойсистемы отсчётаК и с

координатамиx₁’,y₁’,z₁’,t₁’и x₂’,y₂’,z₂’,t₂’ отсчитаннымиотносительно

другой инерциальнойсистемы отсчётаК’. Тогда относительнопреобразо-ванийЛоренца, т.е.выбора системыотсчёта К иК’,инвариантнавеличина

квадрата такназываемогочетырёхмерного,или релятивистскогоинтер-

вала:

s’²=(x₂’-x₁’)²+(y₂’-y₁’)²+(z₂’-z₁’)²-c²(t₂’-t₁’)²=

=(x₂ -x₁ )²+(y₂-y₁ )²+(z₂-z₁ )²-c²(t₂-t₁ )²=s²

В частности,легко убедитьсянепосредственно,что эта величинадействи-

тельно инвариантнаотносительнотех преобразованийЛоренца, которые

мы рассматриваливыше:

x - vt t - xv/c²

x’= , y’=y, z’=z, t’=

1-v²/c² 1-v²/c²

Действительно,

1

s’²=(x₂’-x₁’)²-c²(t₂’-t₁’)²= *

1- v²/c²

*{(x₂-vt₂-x₁-vt₁)²- c² (t₂-x²v/c²-t₁-x₁v/c)²}=

1

= {(x₂-x₁)²- 2v(x₂-x₁)(t₂-t₁)+v²(t₂-t₁)²}-

1-v²/c²

1

- {-c²(t₂-t₁)²+2v(x₂-x₁)(t₂-t₁)-v²/c²(x₂-x₁)²}=

1-v²/c²

=(x₂-x₁)²- c²(t₂-t₁)²=s²

Как мы уже сказали,релятивистскийинтервал, вернееего квадратs²

играет рольквадрата “расстояния”между двумя“точками” вчетырех-

мерном пространстве.

В отличие отквадрата расстояниямежду двумяточками в обычном

трехмерномпространстве,который всегдаположителенпри несовпа-

дающих точкахи равен нулюпри совпадающихточках, квадратреляти-

вистскогоинтервала можетбыть как положительным,так и отрицательным.В четырехмерноммире имеютсяпары несовпадаю-

щих точек,“расстояния”между которыми равно нулю.Например,

рассмотримгеометрическоеместо точек,лежащих наплоскости

xt, от началакоординат нанулевое “расстояние”.Для них имеемусло-

вие x²-c²t²=0,

или

(x-ct)(x+ct)=0.

Следовательно,искомымгеометрическимместом несколькихточек бу-

дут две прямые,симметричнорасположенныеотносительнооси вре-мени. t

x=-ct x=ct

x

0

В четырехмерноммире, или впрстранстве- времени множествоточек,

удаленных отначала координатна нулевое“расстояние”,образуют конус,осью которогоявляется осьвремен. Конусназываетсясветовым.

Точки, расположенныевнутри световогоконуса, имеютотрицательные

квадратырелятивистскогоинтервала доначала координат.

Точки, расположенныевне световогоконуса,имеютположительные

квадратырелятивистскогоинтервала доначала координат.

Множествоточек, для которыхквадрат интервалаs² от началакоорди-

нат 0 положителени постоянен,образуетоднополостныйгиперболоид,

окружающийсветовой конус.

t

x x

y z

z y

Рассматриваемоенами преобразованиеЛоренца- простейшее;оно

затрагиваеттолько двекоординаты,а именно x и tв четырехмерном

мире. Это преобразованиеможно рассматриватькак некоторый“по-

ворот”, которыйназывается“гиперболическим”,в плоскостиxt.

Поясним, чтомы имеем в виду.Вместо временнойкоординатыt

в четырехмерноммире введеммнимую временнуюкоординатуx₄=ict.

Тогда преобразованияЛоренца можнозаписать спомощью следующих

формул:

1 v/c

x₁’= x₁ + i x₄ ,

1- v²/c² 1-v²/c²

v/c 1

x₁’ = i x₁ + x₄

1-v²/c² 1-v²/c²

x₂’ =x₂, x₃’=x₃

Здесь x₁єx, x₂єy,x₃єz. Эти формулыможно сравнитьс формуламиобычного поворотав влоскостиx₀ , x₁ наугол j ,которые имеют

вид

При таком,сравненииполучим, что

Очевидноне существуетдействительногоугла

,которыйудовлетворялбы этим соотношениям.Однако, каклегко видеть,существуетчисто мнимыйугол ,для которогоприведенныесоотношениябудут выполняться.Действительно,

Поэтому,как следствиевышеприведенныхсоотношений,получаем формулы

Данныесоотношенияразрешимы, таккак, согласноим,

Как видим,значение мнимогоугла

,определяетсязначениемотношенияскоростей .Введем теперьдействительнуювременнуюкоординату ,длякоторой , или

Тогдаформулы преобразованияЛоренца примутвид

Это формулытак называемогогиперболическогоповорота- Пояснимгеометриютакого поворота.Рассмотримплоскость

, где

Тогдаимеем формулыпреобразования

4.1.5. Релятивистскаямеханика материальнойточки

Принявгипотезу оедином четырехмерномпространстве-времени,или четырехмерноммире, мы должныпересмотретьклассическуюмеханику Ньютона,исправить ее,сделав инвариантнойне относительнопреобразованийГалилея, аотносительнопреобразованийЛоренца. Такуюпрограммупересмотрадинамики материальнойточки в классическоймеханике выполнилМинковский,создавшийрелятивистскуюдинамику материальнойточки.

Чтобыперейти в обычномтрехмерномпространствек геометрическиестественнымвеличинам (независящим отвыбора системыдекартовыхкоординат, каккоординатыточки или компонентывектора), вводятпонятия трехмерныхвекторов а,bи т.д. и операциинад этимивекторами,в частностидлина векторааравна

икосинус угла междувекторами аи bравен ,где -скалярноепроизведениевекторов ав b.В частности,квадрат длинырадиус-векторагточки Мс координатамиx,y,z, внекоторойдекартовойсистеме координат,который имеетдекартовыкомпонентыг(x,у, z), равен

В четырехмерноммире для мгновенноготочечногособытия Мс координатамиx,y,z,tвнекоторойинерциальнойсистеме отсчетаможно ввести"4-радиус-вектор"cкомпонентами

причем квадратдлины этоговектора равен

Мгновеннойскорость материальнойточки

неявляетсялоренц-инвариантнойвеличиной,поэтому Минковскийвместо нее в

четырехмерноммире ввелрелятивистскиинвариантную"4-скорость",которая имееткомпоненты

-интервал такназываемогособственноговремени материальнойточки, связанныйс ds- релятивистскиминтерваломмежду двумяблизкими мгновеннымиточечнымисобытиями,характеризующимидва бесконечноблизких состояниядвижения движущейсяточки

и соотношением , т.е.

где v- обычная мгновеннаяскорость материальнойточки. Так что

Аналогичнымобразом релятивистскиинвариантное"4-ускорение" Минковскийопределилследующимобразом:

Основныеуравнениярелятивистскойдинамики материальнойточки в релятивистскоймеханике Минковскийзаписал следующимобразом:

где

-так называемая"масса покоя"материальнойточки -компонентытак называемой"4-силы " Минковского.

Покажемтеперь, какуравненияМинковскогорелятивистскойдинамики материальнойточки связаныс обычнымиуравнениямиНьютона дляматериальнойточки. Преждевсего очевидно,что

так что

т.е. 4-скоростьвсегда имеетпостояннуювеличину, чистомнимую, по модулюравную с.

Используянайденныеформулы длякомпонент4-скорости иформулу длядифференциаласобственноговремени, имеемследующие

уравнениядвижения:

Три уравнения,в которые входят

легко сопоставитьс уравнениямиНьютона. Нужнотолько предположить,что теперьмасса mматериальнойточки зависитот скоростипо закону

а импульсдвижущейсяматериальнойточки определяетсяформулой

где v- вектор мгновеннойскорости материальнойточки.

Четвертоеуравнение, вкоторое входит

,оказывается,выражает уравнениебаланса кинетическойэнергии материальнойточки. Чтобыв этом убедиться,умножим уравненияМинковскогона и на- ,соответственнои сложим. Получимтогда уравнение

Отсюдаможно найти

.Имеем

где

-мгновеннаямощность, развиваемаясилой, действующейна рассматриваемуюматериальнуюточку. Такимобразом,

и потомурассматриваемоечетвертоеуравнениепримет вид :

Такимобразом, величину

следуетсчитать энергиейдвижущейсяматериальнойточки. Если

,то приближеннополучаем

Второеслагаемое естьклассическаякинетическаяэнергия материальнойточки

а первоеслагаемое - такназываемая"энергия покоя".Кинетическойэнергией материальнойточки в релятивистскоймеханике называютвеличину

Приведемеще одно важноесоотношение,связывающееимпульс и энергиюрелятивистскойматериальнойточки. Имеем

так чтоимеем формулу

В заключениезаметим, чтоописываемоерелятивистскоеобобщениеклассическоймеханики материальнойточки сказалосьполезным приприменениик электронами другим элементарнымчастицам, и,как показалиэксперименты,очень хорошоописываютмеханическиедвижения.

Вместес тем, здесьследует отметить,что попыткирелятивистскогообобщенияуравненийклассическоймеханики Ньютонадля системыдаже двухматериальныхточек в релятивистскоймеханике неувенчалисьуспехом, здесьона столкнулисьс серьезнымипротиворечиямии непреодолимымитрудностями.

которыйневозмущённыйсветовой эфирпокоится.

Естественнобыло предполагать,чтоэфир заполняетвсё пространствомежду Солнцеми планетами,атак как с этимпространствомуже была связанаабсолютнаясистема отсчёта Ньютона,относительнокоторой Ньютонотсчитывалабсолютноедвижение,топредставлялосьвполне естественнымпредположение,чтоэфир покоитсяв этой системеотсчёта.

Представлениеоб эфире какоб особой тонкой гипотетическойсреде,заполняющейвсю нашу Солнечнуюсистему и всёмежпланетноепространствов ней,существеннообогащало нью-

тоновучисто механическуюнебеснуюмеханику,изложеннуюв его “Принципах”,вкоторой интереспроявилсятолько к механическим,аточнее-геометрическимхарактеристикамдвижения

планети их спутников,поддействием силвсемирноготяготения,вньютоновойабсолютнойсистеме отсчёта.

Одновременнос представлениемо покоящемсяэфире в межпланетномпространствевозникал вопросо возможностиизмерениянемеханическимспособом скоростиЗемли,движущейся

равномернопрямолинейнос постояннойскоростью внеподвижномэфире,т.е. с помощьюне механических,аоптическихэкспериментов.СогласнопринципуотносительностиГалилея,ме-

ханическиеэкспериментыне позволяютэтого сделать.Возникла,однако,теперьнадежда,чтооптическиеэкспериментыкак раз и позволяткакие-нибудьэффекты,в которыхпроявляласьбы

указаннаяскорость.Всёдело тольков том,чтобыизобрестикакой-нибудьтакого родаэксперимент.

Вся этапроблема обизмерениискорости Землис помощью чистооптических,апозднее такжеи электродинамическихэкспериментов,производимыхна поверхностиЗемли,известнав ис-

ториинауки под названиемпроблемы измерения“эфирноговетра”.

В теорииэтого ветра,ссамого начала,приходилосьвыбирать однуиз двух гипотез,известныхпод именамигипотез Френеляи Стокса.

ГИПОТЕЗАФРЕНЕЛЯ (1818 г.)

Землядвижется сквозьнеподвижныйэфир,которыйвовсе не увлекаетсяею или увлекаетсяочень слабо,ипоэтому наблюдательна Земле долженощущать ирегистрироватьнатекание

эфирана Землю,т.е.“эфирныйветер”,измеряяскорость которогоможно определить“абсолютнуюскорость” Землив ньютоновомабсолютномпространстве.

ГИПОТЕЗАСТОКСА (1845 г.)

Земляпрактическиполностьюувлекает ссобой премыкающийк ней эфир,подобношару,движущемусяс постояннойскоростью ввязкой неподвижнойжидкости,которыйувлекает при-

мыкающуюк его поверхностичасть жидкости,иникакого “эфирноговетра”,по крайнеймере на самойповерхностиЗемли,а скажем,невысоко в горах,наблюдатьсяне должно.

Обегипотезы-Стоксаи Френеля-овзаимодействииэфира с движущимсяв нём телом-оказалисьв состоянииколичественнообъяснитьявление астрономическойаберрации звёзди отри-

цательныерезультатыоптическихэкспериментов,произведённыхна Земле с цельюизмеренияскорости Землив межпланетномпространстве.Оптическиеже явления,наблюдаемыев движу-

щихсяпрозрачныхтелах на Земле,смоглаобъяснитьтолько гипотезаФренеля.

Первуюпопытку измеритьскорость эфирноговетра предпринялАраго в 1810 г. Онрешил обнаружитьвлияние движенияЗемли на преломлениесвета,идущегоот звезды.Сэтой целью

он измерялразности зенитныхуглов однойи той же звезды.наблюдаемойв телескопнепосредственнои через призму,т.е.попыталсянаблюдатьизменение углапреломлениялуча света от

звездык призме,когдаЗемля (а значит,ипризма) двигаласьк звезде и (черезполгода) -отзвезды.Арагоожидал измеритьугол отклонения,равный,поего оценке,2’.Ноопыты далиотрица-

тельныйрезультат.Итогда Арагообратился кФренелю с просьбойобъяснить этотнеожиданныйдля него факт.В1818 г. было опубликованописьмо Френеляк Араго,в которомФренель

с единыхпозиций нашёлобъяснениеи отрицательногорезультатаопыта Араго,иобъяснениеастрономическойаберрации.

ХотяФренель понимал,чтодопущениеполного увлеченияэфира движущейсяЗемлёй легкообъясняетотрицательныйрезультат опытаАраго,он егоне принял,таккак должен былобъяс-

нитьтакже и результатопыта Брэдлипо наблюдениюаберрациизвёзд.ПоэтомуФренель,следуяпредложениюЮнга 1804 г., в основусвоей теориивзял допущениео неподвижном,прак-

тическине увлекаемомдвижущейсяЗемлёй эфире(так как показательпреломленияn воздуха оченьблизок к единице).Стекляннаяпризма Араго (показательпреломлениястекла n»1,3),

однако,попредположениюФренеля частичноувлекала эфир.Френельтеоретическивывел значениекоэффициентаувлечения,равное 1-1/n²,где n-показательпреломлениястекла призмы.

При такомзначении коэффициентаувлеченияФренель смогоьъяснить иотрицательныйрезультат опытаАраго,и опытаБрэдли по аберрации.

Физо в1856 г. удалосьизмерить вземных условияхне только скоростьсвета в воздухе(практическисовпадающую со скоростьюв пустоте),нои скоростьсвета в воде,движущейсяс не-

которойзаданной скоростьюV.Экспериментсостоял в изменениисмещенияинтерференционныхполос в интерферометре,вплечи которогобыли помещеныдве трубы спрозрачнымиторцами и стекущей по нимв противоположныхнаправленияхсо скоростьюV водой.

ЭкспериментФизо показал,чтонаблюдаемыйсдвиг интерференционныхполос соответствовалскорости светав движущейсяводе относительнонеподвижныхстенок труб,равной

Ccp.=c/n±v(1-1/n²),

где знакплюс соответствуетдвижению световоголуча и воды водинаковомнаправлении,минус-впротивоположных,n-показательпреломленияводы.

Попыткамиизмерить скоростьэфирного ветрана движущейсяЗемле занималисьмногие крупныефизики в последнейчетверти XIXв.,проводившиедля этого различныеоптическиеи

электродинамическиеэксперименты.

Скоростьсвета в пустотеравнв 300 000 км/c.Скорость движенияЗемли по своейорбите равна30 км/с.Следовательно,v/c=0,0001, v²/c²=0,00000001; речь идёт обочень малыхэффектах.

В 1871 г.Майкельсон,ав 1878 г. Майкельсони Морли произвелипервый,ставшийвпоследствиизнаменитымэкспериментвторого порядкамалости по v/c- экспериментМайкельсона,которыйпотом неоднократнобыл повторендругими исследоватлями.

Оптическийприбор-знаменитыйинтерферометрМайкельсона- размещалсяна тяжёлойкаменнойплите,котораяплавала нартути в бассейнев подвалездания.Ориентируяэтот приборлибо плечомL1 либо плечомL2 вдоль направлениядвижения Земли,неудалось наблюдатькакого-либоразличия в егопоказаниях(это различиедолжно быловыразитьсяв смещении

интерференционныхполос,наблюдаемыхв зрительнуютрубу),.т.е. неудалось измеритьскорость V движенияЗемли в межпланетномпространстве.

C. ПРОБЛЕМАПРАВИЛЬНОЙФИЗИЧЕСКОЙИНТЕРПРЕТАЦИИПРЕОБРАЗОВНИЙЛОРЕНЦА.

Проблемаизмеренияскорости эфирноговетра в оптическихэкспериментахполучила новоесвоё развитиев последнейчетверти XIX в.,когдабыло открыто,чтосвет имеетэлектромаг-

нитнуюфизическуюприроду,чтооптика являетсятолько частьюдругой болеефундаментальнойи более глубокойфизическойнауки-электродинамики.

ОсновыэлектродинамикисформулировалМаксвелл всвоём знаменитом“Трактате”в 1873 г., играющемтакую же основополагающуюроль в электродинамике,как“Принципы”Ньютона в механике.Вэтом труде былисформулированызнаменитыеуравненияМаксвелла ибыла высказанагипотеза обэлектромагнитнойприроде света-чтосвет являетсяэлектромаг-

нитнымиволнами,-котораяв 1888 г. была подтвержденаГ.Герцем,экспериментальнооткрывшимэлектромагнитныеволны радио-и СВЧ- диапазона.

В теорииМаксвеллавпервые в историинауки связывалисьмежду собойэлектрическиеи магнитныеявления с оптическимиявлениями.Упругийэфир Френеляпревратился,такимобра-

зом, вносителяэлектромагнитныхвозмущенийи электромагнитныхволн,т.е. сталэлектромагнитнымэфиром,а элекрическиеи магнитныеполя напряжённостии индукциистали рассмат-

риватьсякак показателинапряженийи деформацийэтого эфира.

Максвеллпредставлялсебе электрическиеи магнитныеполя и электромагнитныеволны механически-каквозмущениягипотетической,хотяи очень своеобразной,новсё же чистомехани-

ческойсплошнойсреды,наделённойособыми механическимисв-вами;приэтом он считал,чтоэфир в пустотеи эфир в веществеимеют различныемех. св-ва.

Сам Максвеллсчитал,что егоуравнениясправедливытолько дляпокоящегосяэфира,возмущениямикоторого являлись,поего представлениям,рассматриваемыеим электромагнитные

поля иволны.Системуотсчёта,в которойэфир покоитсяМаксвелл связывалс абсолютнойсистемой отсчётаНьютона.

Ур-ияМаксвелласоставленыдля четырёхвекторных ф-ий:E(x,y,z,t), D(x,y,z,t) - напряжённостии индукцииэлектрическогополя, H(x,y,z,t), B(x,y,z,t) - напряжённостии индукции маг-

нитногополя.Эти ф-иихарактеризуютвозмущениенеподвижногоэлектромагнитногоэфира.Изменяющиесясо временемэлектрическоеи магнитноеполя не могутсуществоватьпо

отдельности- они образуютединое электромагнитноеполе,представляющеесобой электромагнитные,вчастностиоптическиеволны.

УравненияМаксвелла имеютследующий вид:

rot E = -дB/ дt , rot H = j + дD / дt , div D = р , div B = 0,

гдеj=j(x,y,z,t) - объёмнаяплотностьэлекрическогозаряда.

Каквидим,уравненияМаксвеллапредполагают,чтокоординатыx,y,z и время t описываютсяв некоторойсистеме отсчёта,которая,попредположениюМаксвеллаявляется системойотсчёта, в которойневозмущённыйэлектромагнитыйэфир покоится.

ПопыткамираспространитьуравненияМаксвелла напроизвольнодвижущиесяматериальныепрозрачнныесреды,которыекак предполагалосьв соответствиис гипотезойФренеля

каким-тообразом увлекалис собой эфир,занималисьмногие крупныефизики последнейчетверти XIXв.,но,пожалуй,большевсех Г.А. Лоренц.

Исследуявыведенныеим на основеего электроннойтеории уравненияМаксвелла длядвижущейсясреды,Лоренцв 1895 г. пришёл кудивительномурезультату,-чтос точностьюдо членов первогопорядка малостипо v/c,где v-скоростьдвижения системыотсчёта,c-скоростьдвиженияэлектромагнитныхволн,эти уравненияМаксвелла можнострого математически

преобразоватьк виду уравненийМаксвелла длянеподвижнойсреды,т.е. онстрого доказал,чтоуравненияМаксвелла “нечувствуют” поступательногодвижения системыотсчёта,если

толькоона движетсяс постояннойскоростью.

Лоренцполучил темсамым объяснениеотрицательныхрезультатовпроведённыхк тому времениэкспериментов,показывающих,чтос помощью оптическихи электродинамических

эффектовпервого порядкапо v/c,производимыхс земными источникамисвета,невозможноопределитьскорость движенияЗемли относительномежпланетногопространстваНьютона.

Чтобыобъяснитьостающийся,однако,необъяснённымотрицательныйрезультатэкспериментаМайкельсона-Морливторого порядкамалости по v/cЛоренц и независимоФицдже-

ральдвыдвинулизнаменитуюгипотезу осокращениивсех тел,движущихсяв абсолютномпространствевдоль направлениядвижения вотношении,зависящемот скоростидвижения .

Если Lо-длина покоящегосятела,L-дли-

на движущегосятело вдольнаправлениядвижения ,то,согласноэтой “гипотезесокращения”,

где ,v/cv -скоростьдвижения тела.

Чтобы объяснить невозможность определенияскорости vтела,равномернои прямолинейнодвижущегосяотносительноабсолютногопространствавоптических

и электродинамическихэкспериментах,не только первого,нои второго, иболее высокихпорядков поv/c,Лоренц доказалв своей работепо электродинамикедвижущихсясред (1904 г.) строгуюматематическуютеорему,чтоуравненияМакселла впокоящейсяи движущейсяинерциальныхсистемах отсчетаимеют математическисовершенноодинаковыйвид ,с точностьюдочленов ипервого ,и второго,иболее высокихпорядков поv/c включительно.Он установил,что они инвариантны.Приэтом Лоренцпри преобразованииуравненийМаксвелла отодной инерциальнойсистемы отсчетак другой преобразовывалтакже и времяt,

вводяматематическисовершенноформально такназываемое“локальноевремя”: tў=t-

x, гдеx,t -координатаи время в покоящейсясистеме отсчета.

В результатетеоретическихисследованийЛоренца и проведённогМайкельсономи Морли экспериментаестественновозникалэлектродинамическийпринциптносительности,сформулированныйГаллилемещёв XVII в.

Правдасам Лоренц этотпринцип непровозгласил.Этосделали наоснове егоработ и в особенностиегоработы 1904г. сначала Пуанкаре,а немного позжеи независимоЭйнштейн в 1905г.

Согласномеханическомупринципуотносительности,проводя различныемеханическиеэкспериментыв лаборатории,движущейсяс постояннойскоростьюотьносительнопокоящейсяабсолютнойлаборатории,невозможноизмерить еескорость движения.(Все механическиеявления в обеихлабораторияхпроисходятсовершенноодинаково).

Согласноэлектродинамическомупринцинуотносительности,нельзя опрелитьскорость движенияуказаннойдвижущейсялаборатории,производя вней также ивсевозможжныеэлектродинамические,в том числеоптическиеэксперименты.(Все электродинамическиеявления в обеихлабораторияхпроисходятсовершенноодинаково).

Как мыуже сказали,очень четкообобщенныйобщефизическийпринцип относильтельности,об инерциальныхсистемах отсчета,впервые сформулировалПуакаре в 1904 г.за год до формулировкиэтого принципаЭйнштейномв 1905 г. и появленияосновополагающейв специальнойтеории относительностиего знаменитойработы 1905 г. Пуанкареещё с начала90-х годов XIX в.интересовалсятеорией Лоренцаи работал надеё развитием.

Основныепреобразованияинвариантности-такназываемыепреобразованияЛоренца:

былиопубликованыЛоренцем в 1904г. в упомянутойработе.

Пуанкарепонял, чтопреобразования,найденныеЛоренцем, составляютгруппу преобразованийинвариантностичетырехмерногопространства-времени,координатнымиосями которогоявляются являютсяпространственныеоси x,y,z и ось времениt. Он женазвал преобразования, найденныеЛоренцем,”преобразованиямиЛоренца”.

В знаменитойработе 1905 г. Эйнштейнсформулировалнезависимоот Пуанкареобщефизическийпринцип относительностидля инерциальныхсистем отсчётаи, как он самутверждал икак это частоутверждаютдругие, далфизическиединственноправильнуюинтерпретациюформулампреобразованияЛоренца.

Эйнштейнзаявил. чтопреставлениео времени. котороесуществовалов физике совремён Галилеяи Ньютона,ошибочно,что его надоисправить, т.е.строгим фомальнымобразом определить,что такое “время”.Это его утверждениеосновывалосьна предложенномим в работе1905 г. кинематическом,т.е. в отличиеот работ Лоренцаникак не связаныс электродинамикой, выводе формулпреобразованийЛоренца, выведенных,как Эйнштейнсчитал, толькоиз правильного,предложенногоим в этой работепониманияпонятия времени.

Родившаясяс появлением работы Эйнштейна1905 г. так называемая специальнаятеория относительностиоказаласьисключительнополезной вфизике микромираи стала широкоиспользоватьсяв бурно развивавшихсяв XX в. атомнойфизике, ядернойфизике и физикеэлементарныхчастиц, т.е. вмикрофизике.

Вообщесчитается, чтов физике XX в.имеется толькодва главныхфундаментальныхтеоретическихдостижения:теория относительностии квантоваямеханика.

15 4.2 Понятия абсолютногои относительногомеханического движения уНьютона

В настоящеевремя в классическоймеханике и вовсех техническихнауках безкакаих либоособых оговорокшироко используетсявведённоеНьютоном в“Принципах”в 1687 г. представлениеоб абсолютномдвижение,т.е.о движение телаили системытел в абсолютнопустом пространстве,т.е.относительноэтого пространствапри теченииабсолютноговремени.Считется,что природасостоит изтел,движущихсяили покоящихсяв пустом пространстве.Самопространствонеподвижно.оего движенииговорить простобессмысленно.Этисовершенночёткие представленияоб абсолютном времени требуют,однако ,серьёзныхфизическихразъяснеий.

Необходимохорошо понимать,чтопри непосредственноэкспериментальномисследованиимеханическогодвижения илисостояния покоятела мы всегдаподразумеваем(неявно,неосознано)достаточномассивныетвёрдыетела,относительнокоторых отсчитываемположениечастей тела,системытел ,малоготела в различныемоменты времени,мы подразуемые и некоторый

определённыйконкретныйизмерительвремени ,

т.ею часыю

Другимисловами .приэкспериментальномизучениимеханическогодвижения

мы всегдаимеем некоторуювполне определённую“систему отсчета“,под которой

понимаютсякак все массивныетела ,относительнокоторых мыотсчитываем положениенашего движущегосяили покоящегосятела,так и иконкретныйиспользуемыйв экспериментахизмерительвремени.

Эту мысльчаасто выражаютсловами:движениеотносительно,или движениепо природесвоей относительно.

Пример:1)Космонавтыв космическомкорабле в качествеестественнойдля себя системыотсчета используютсистему ,жёсткосвязанную состенками космическогокорабля,иобычные,механическиеили электронныечасы,имеющиесяна борту.

2)Для нас,людейна Земле,имеетсяестественнаясис.отсчета,-жёстко связанная

с неподвижнымителами на поверхностиЗемли,или,чтотоже самое,жёстко связанныесо стенамилабораториию.Этотак называемаялабораторнаясистема отсчета.Вкчестве измерителявремени используютлабораторныечасы.

Отмечаяотносительныйхарактермеханическогодвижения инеобходимостьфиксации определённойсистемы отсчёта,обязательнонадо даватьсебе отсчетв том,что различныесис.отсчётафизически имеханическивовсе не равноправны.

Другимисловами,механическиедвижения телв различныхсис.отсчётапроисходятпо-разному,поразным математическими физическимзаконам.

16 Эксперименты,однако,показывают,чтосреди всехвозможныхсис.отсчетав природе существуютвсё-таки такиесис.отсчёта,относительнокоторых движениеили системытел или малыхчастей телаявляются наиболеепростым иестественным.

Эти системыопределяютсякак сис.отсчета,вкоторых выполняютсяабсолютнострого тризакона Ньютона(вчастностипервый закон,соглано которомупоступательнодвижущеесятело,не подверженноеникаким внешнимвоздействиям,движется равномернои прямолинейно).Такиесис.отсчётаназываютинерциальнами.Ихбесконечномного.Всеонидвижутся друготносительнодруга

прямолинейнои равномерно.Однуиз этих системмы можем назватьабсолютнойи считать,чтоэто кака разта система,которую используетклассическаямеханика Ньютона.

С другойстороны,можетбыть и на самомделе в природесуществуетодна .действительноабсолютнаяфиз. сис.отсчета,скажем,связанная скосмическимпросранством,простирающимямежду Солнцеми Землёй и другими планетами.

Инерциальнаясис.отсчётаявляется идеализацией,абстракцией,таккак любая конкретнаясис.отсчётавсегда,строгоговоря,неинерциальна.Вмесес тем эо оченьполезная абстракция,так как всегдаможно указать(и использоватьв экспериментах)сис.отсчёта,сколь угодноблизкую кинерциальной.Например,длябольшинствамеханческихэкспериментов,проводимыхв лабораториитакой приближённоинерциальнойсистемой являетсясама лабораторнаясис.отсчёта,хотяона и участвуетво вращательномдвижении Земли(вчастности чтобыубедиться веё неинерциальности,в ней можнопроизвестиизвестный опытФуко с маятнком,плоскостькачания которогоедленно поворачивается).

Намногболее инерциальнане так называемая“геоцентрическая”,арассматриваемаяв небесноймеханике“гелиоцентрическая”система,центркоторой помещёнв центр массСолнечнойсистемы и осикоторой направленына три неподвижныезвезды.Этагелиоцентрическаясистема ,однако,тоже,строгоговоря,

не инерциальна,так как Солнцес планетамисовершаетвращательноедвижение относительноядра нашейгалактики-”Млечногпути”.

Эксперименты,вообще ,не могутуказать ниодной по-настоящемуинерциальнойсис.отсчёта.

Однакоэто не важно,таккак ма всегдаможем найтидостаточноинерциальнуюсистему длянаших конкретныхцелей и представитьсебе абстрактно дажецелый классинерциальныхсис.отсчёта,движущихсяотносительнодруг другапоступательнос постояннымискоростями.

17 Это-полезнаяабстракция.Изтого что в природенет идеальныхгеометрическихпрямых линийили идеальныхгеометрическихплоскостей,вовсе не следует,чо абстракциибесконечнойпрямой линиии бесконечнойплоскости неявляютсяполезными;онидаже оченьполезны длянас.

Такимобразом ,говоряоб относительномхарактреддвижения,нельзявстать на наивнуюточку зрения-считать,чтовсе сис.отсчётаравноправны,что”всёна свете относительно”.

И темне менее натакую точкузрения ,к сожалениючасто встают.

Так ,споявлениемтеории относительностив XX в. некоторыееё не оченьобразованныеадепты сталиутверждать,чтобессмысленбыл спор Коперника

с Галилеяс католическойцерковью (афактическис Аристотелеми Птолемеем)

о том,вращаетсяли Земля вокругСолнца илиСолнце вокругЗемли.

Чтобыобъяснить идеюабсолютногохарактерадвижения ,Ньютонв “Принципах”

(1687 г.) приводитописание знаменитогоэкспериментас подвешеннымведром (“ведёркоНьютона”).Возьмёмведро,или бадью,иподвесим егона верёвке кпотолку ,закрутимверёвку и ведро,чтобыверёвка сталасовсем тугой,а потом отпустимведро.Ведропридёт тогдачерез некотороевремя в равномерноевращение ,приэтом свободнаяповерхностьводы приметформу параболоидавращения(“параболическиймениск”).

18 Водаотносительнонас будетвращаться,т.е.будет происходитьдвижение водыотносительнолабораторнойсистемы отсчёта.Представимтеперь себе,чтомы встали набоьшую вращающуюсяплатформу,расположимсяточно на её осии будем рассматрииватьсвободно подвешенноеведро на незакрученнойверёвке ,идущейточно вдольоси платформы.Водав ведре относительнонас вращается.Тепрь,однако,свободнаяповерхностьводы будетгоризонтальной.

Дверассмотренныесистемы отсчёта,такимобразом,неравномерны,хотяотносительноедвижение наси ведра одинаковов обеих системах.

4.3.Неирциальныесистемы отсчётаи силы инерции

МеханикаНьютона справедливав инерциальныхсистемах отсчёта.

В качестветакой системыс достаточнымприближеиемможно взятьстены лаборатории-лабораторнуюсистему отсчёта.

В некоторыхслучаях ,однако,удобно,идаже оченьудобно,изучатьдвижение тела,системытел,малых частейтела в неинерциальной сис.отсчёта.Иногда этодаже обязательнонужно сделать,так как используемаяинерциальнаясис.отсчётавсегда в какой-томере неирциальнаи это пороюнеобходимоучитывать.

Можнопривеси примерымеханическихдвижений впадающем,оторвавшимсялифте,на вращающейсяплатформе накарусели,в купежелезнодорожноговагона,движущегосяс ускорениемили замедлением,в кабине космическогокорабля привыводе его наорбиту иликувыркающегосяв пространствеи т.д. Все такиедвижения приходитьсярассматриватьв существеннонеинерциальныхсис.отсчёта.

В этихсущественнонеинерциальныхсистемах уравнениямеханики неверны,т.е.неправильнои уравненевторого законаНьютона:

гдеF-сумма реальныхфизическихсил,действующихна тело со стороныдругих физическихтел.

В случаях,когдавсё-таки удобноили необходиморассматриватьмеханическуюсистему внеинерциальнойсис.отсчёта,нужно поэтомуиметь какое-тоисходное

основноемеханическоеуравнениевместо уравненявторого законаНьютона.

Такоеуравнениеможно,разумеется,получитьспециальнымматематическимперсчётом изуравнениявторого законаНьютона,составленногодля какой-нибудьинерциальнойсистемыотсчёта,в даннуюудобную неинерциальнуюсистему.

Результатыпересчетапредставляют,однако, сновав форме уравнениявторого законаНьютона, которыйтеперь записывается следующимобразом:

,где F_ин.обозначаютвозникающиепри пересчетедополнительныематематическиечлены , которыеназывают силамиинерции.Это название,однако, не должновводить насв заблуждение:силы инерцииникоим образомне являютсянастоящимифизическимисилами, таккак нельзяуказать никакогореального тела,или тел, действиямикоторых обусловленыуказанные"мифические"силы. Они целикомопределяютсямеханическимисвойствамирассматриваемой конкретной неинерциальной системы отсчета,характеромее движения.

Следуетхорошо усвоить, что силы инерциидействительномифические,так как они несвязаны ни скакими физическимивзаимодействиямиреальных физическихтел.

К силаминерции относятся, в частности, так называемыецентробежныесилы и силыКориолиса.

Пример1. Определимсилу F, стремящуюсярастянуть, апотом и разорватькруговой обручрадиуса Rмассы M, равномерновращающийсявокруг своейоси с угловойскоростью .

Рассмотрениепроведем внеинерциальнойсистеме отсчета, вращающейсявместе с обручемс угловой скоростью, в которой обручпокоится. Вэтой системелюбая малаячасть обручатоже покоится.Рассмотримбесконечномалый элементобруча, стягиваемыйцентральнымуглом d. Кроме реальныхфизическихсил, действующихна этот элементобруча (к которымотносятся силыF , действующиесо

стороныпримыкающихк обоим концамэлемента остальныхчастей обручаи стремящиеся растянуть этотэлемент обруча), надо рассмотретьтеперь такжеи мифическуюцентробежнуюсилу F_цб., действующуюна элементнашего обруча. При этом, согласнозакону центробежнойсилы, на бесконечномалый элементобруча, стягиваемыйцентральнымуглом d, действуетсила

,

гдеk- массав расчете на единицу длины обруча, или линейнаяплотностьмассы, т.е. k=M/2R.

Сумма трехвекторов сил, действующихна рассматриваемый бесконечномалый элемент,должна равнятьсянулю, так какэтот элементобруча в рассматриваемойнеинерциальнойсистеме отсчетапокоится.Другими словами,

или

и окончательнополучаем

Пример 2.Найти уголнаклона к горизонталисвободнойповерхностижидкости, налитойв сосуд прямоугольнойформы, скатывающийсяс наклоннойплоскости,имеющей уголнаклона к горизонту.

Рассмотрениеснова удобновести в неинерциальнойсистеме отсчета,жестко связаннойс сосудом сжидкостью, вкоторой жидкостьпокоится. Этанеинерциальнаясистема равномерноускореннодвижется внизвдоль наклонной плоскости сускорениемa=gsin .

Такимобразом, накаждую малуюжидкуючастицу массыmв этой инерциальной системе действует нетолько силатяжести F=mg, направленнаявертикальновниз, но и силаинерции F_ин.=ma, направленнаяв противоположнуюсторону движения, т.е. вверх вдольнаклоннойплоскости.

Жидкостьв прямоугольном сосуде как бынаходится воднородномполе новыхсил тяжести, имеющих ускорениеg’, которое составляетнекоторый угол  с вертикалью. Следовательно, свободнаяповерхностьжидкости вскатывающемсясосуде, перпендикулярнаянаправлениюнового ускорения g’ ,будет составлятьтакой же уголс горизонтальнойплоскостью.Найдем угол. Имеем косоугольныйтреугольник

Применимк нему теоремусинусов

, ,

sin (1-sin²)=cossin cos sincoscossintgtg

Следовательно,искомый угол равен углу , т.е. свободнаяпо верхностьжидкости вскатывающемсяпо наклоннойплоскостисосуде будетпараллельнанаклоннойплоскости.

4.4. Астрономическиеи земные измеренияскорости света

Впервыескорость светабыла измеренав конце XVII в. в1675 г. датскимастрономомО.Ремером(1644-1710), который смогнайти ее значениеиз наблюденийза спутникамиЮпитера - четырьмя "медичейскимизвездами",открытымиГалилеем в 1610г. В настоящеевремя открыто11 спутниковЮпитера.

Периодыобращений этих спутниковпорядка несколькихдней; они малыпо сравнениюс периодомобращенияЮпитера (12 лет)и Земли (1 год)вокруг Солнца.Ремер наблюдалза первым спутниковЮпитера с периодомобращения 42час 28 мин. Онзаметил, чтокогда Землядвигалась посвоей орбите,удаляясь отЮпитера, периодобращенияспутника становилсядлиннее.Когда Земля,наоборот,приближаласьк Юпитеру, периодобращенияспутника становилсякороче. Ремер из этихнаблюденийсделал правильныйвывод, - что разностьмаксимальногои минимальногопериодов обращенийспутника равнавремени, необходимогосвету для прохождениярасстоянияравного диаметруземной орбиты.

ОрбитаЮпитера, каки других планет, лежит приблизительно в плоскостиорбиты Земли- в плоскостиэклиптики;все планетывращаются водну сторону.

На рисункеLобозначаетрасстояниемежду Землей и спутникомЮпитера в тотмомент, когдаон входит втень Юпитера.Момент затмениянаблюдаетсяна Земле сзапаздыванием, равным t=L/c, где c- скоростьраспространениясвета в межзвезднойсреде - эфире.Очевидно времязапаздыванияминимальноили максимально, когда расстояниемежду Юпитероми Землей, соответственно,минимальноили максимально.

Рассмотримсначала наблюдаемыйс Земли интервалвремени Tмежду двумяпоследовательнымизатмениямиспутника, т.е.период обращенияспутника вокругЮпитера. Обозначимчерез T₀истинный интервалвремени междудвумя последовательнымизатмениями,или истинныйпериод обращенияспутника вокругЮпитера.

Рассмотрим,например, для определенности случай, когдаЗемля движетсяпо направлениюк Юпитеру соскоростью v. Тогда первоезатмение спутника мы зафиксируемна Земле сзапаздыванием, равным l/c, где l- расстояниеот Земли доЮпитера в моментпервого затмения,c- скорость света.Второезатмение спутникамы зафиксируемна Земле немногос другим запаздыванием,равным (l-l)/c, где l- расстояние,пройденноеЗемлей к Юпитеруза время T₀, прошедшеемежду двумяпоследовательнымизатмениями.Таким образом,отличие наблюдаемого периода Tмежду двумязатмениямии истинногопериода T-0между нимиравно

; но очевидно ,а потому ,т.е. наблюдаемыйс Земли периодобращения Tоказываетсяменьшеистинногопериода T₀.

Еслитеперь Земляудаляется отЮпитера соскоростью v, то отличиенаблюдаемогопериода Tобращениеспутника отистинногопериода T₀будет равно

, т.е. наблюдаемыйс Земли период обращения спутника Tокажется большеистинногопериода T₀.

Предположимтеперь, что мыбудем наблюдать затмения спутникаЮпитера в течениеполугода, когдаЗемля перемещаетсяиз точки Aв точку C.

Еслинаблюдать двапоследовательныхзатмения сЗемли, находящейсяв некоторойпромежуточнойточке Mна своей орбите,то очевидно

где - угол ASM, который равен=2t/T₃, где t-время, протекающеес момента, когдаЗемля находилась в точке Aсвоей орбиты,T₃- период обращенияЗемли вокругсвоей орбиты.В течение полугода, когда Земляперемещаетсявдоль пути ABC,изменениепериода варьируетсяот T=0 в точке Aдо максимальногозначения T=T₀v/cв точке B и вновь до значения T=0 в точке C.

Возьмемсумму измененийпериода Tза полгода:

гдеk-номер наблюдаемого периода.

Очевидносумму можнорассматриватькак интегральнуюсумму для следующегоинтеграла
таккак t_k=kT₀,t_k=T₀.Вычисляя приведенныйинтеграл , находим Следовательноприходим кформуле
т.е.сумма измененийнаблюдаемыхс Земли периодовобращенияспутника заполгода равнавремени ,котороетребуется светудля прохождениядиаметра земнойорбиты. Еслив первую половинугода , когдаЗемля двигаласьпо пути ABC , т.е.удаляясь отЮпитера , наблюдаемыес Земли периодыT_k обращенияспутника были больше истинногопериода T₀, то во вторуюполовину года, когда Землябудет двигатьсяпо пути CDA , т.е.приближаяськ Юпитеру ,наблюдаемыепериоды T_k обращенияспутника будутменьше истинногопериода T₀ причем длявторой половиныгода

Такимобразом,истинное значениепериода T₀обращенияспутника вокругЮпитера можноопределить,составив суммунаблюдаемыхпериодов T_Кобращенияспутника загод и разделивеё на полноечисло Nнаблюдаемыхза год периодов:

СамРемер получилзаниженноезначение скоростисвета, равноеприблизительнос=214000км/с, при этомего ошибка восновном объясняласьнеточным знаниемзначения диаметраземной орбиты.ФактическиРемер привелне значениедля скоростисвета, а значениедля временитребующемусядля свету напрохождениерасстоянияот Солнца доЗемли, котороеон считал равным11 мин=660 сек (насамом деле этовремя равнопримерно 8 мин20 сек=500 сек).Позднее,уже в 18 и 19 векахДеламбр (1790 г.)дал значениевремени 493,2сек.и Глазенап(1874 г.)- значение 500,8сек.Сэмпсон в 1909 г.приводит значение498,79 0,02сек. НеровностиповерхностиЮпитера ведутк неизбежнымошибкам временинаблюденийзатмений спутника.

Следующее,тоже астрономическоеизмерениескорости светабыло произведеноанглийскимастрономомДж.Д.Брэдли(1692-1762). В 1728 г. он нашелправильноеобъяснениеувиденногоим необычногоявления в движениизвезд, котороебыло названовскоре аберацией.

Однойиз важнейшихзадач наблюдательнойастрономиипоследнихдесятилетийXVIIв. и первыхдесятилетийXVIII в.было обнаружениепараллаксовзвёзд, необходимостьнаблюденийкоторых непосредственновытекала изкоперниковойсистемы мироздания,а их отсутствиеслужило существеннымдоводом противэтой системы;здесь речьидет, конечно,не о суточных,а о так называемыхгодичных параллаксах(“суточный”- это угол, подкоторым виденрадиус Землис небесноготела;“годичный”- это угол, подкоторым виденс небесноготела радиусорбиты Земливокруг Солнца).Брэдли как рази стремилсяобнаружитьэти так называемые“годичныепараллаксы”,то есть углырастворовконусов, отбрасываемыхна небеснуюсферу линиямивизирования,направленнымина звезду сразличных точекземной орбиты.Однако вместопараллаксов(которые вследствиеих чрезвычайноймалости из-заогромной удаленностизвезд от Земливпервые былиизмерены тольков конце XIXв. Бесселем, тоесть через 100лет после Брэдли), Брэдли открылне параллакс,а аберрацию.

На рисункепоказано, какобразуютсязвездой круговыетраекториина небеснойсфере для звезды,расположеннойточно в полюсеэклиптики. Налевом рисункепроиллюстрированоявление годичногопараллакса,на правом - явлениеаберрации.Видим, что положениязвезды на кругепри параллаксеи при аберрациидля фиксированногоположения Землина орбите разные;они различаютсяповоротом на90⁰.

Брэдлинаблюдал заежесуточнымипроходами черезмеридиан звездыв голове созвездияДракона, находящейсявблизи полюсаэклиптик. Начавнаблюденияв декабре 1725 г.,Брэдли заметил,что эта звездавсё более отклоняласьк югу. Её смещениедостигло 20``к началумарта. Затемзвезда на несколькодней остановилась,а затем сталаснова двигаться,но теперь вобратную сторону- к северу. К июнюзвезда заняласвое прежнееположение,какое у неёбыло в декабре,прошла его ив течение второгополугодияпроделала точнотакой же путьна север и обратно.Это движениезвезды нельзябыло объяснитькак результатпараллакса(если бы этобыло годовоепараллактическоедвижение, тодвижение звездык югу должноначаться нев декабре, а вмарте, а движениееё к северу нев июне, - а в сентябре)и Брэдли догадался,что наблюдаемыйим эффект обязанконечностискоростираспространениясвета и годичномудвижению Землипо своей орбите.

Брэдлипишет :“Наконеця догадался,что если светраспространяетсяво времени, токажущеесяположениенеподвижногопредмета, когдаглаз находитсяв покое, будетиное, чем когдаглаз движетсяв направлении,уклоняющемсяот линии, соединяющейпредмет с глазом,и что когдаглаз движетсяв различныхнаправлениях,то и кажущеесяположениеобъекта будетразличным”.

ОбъяснениеБрэдли эффектааберрации былоследующее.

Пустьпрямая CA- путь луча света,идущего отисточника C,по которомудвижется световаякорпускула.Пусть глазнаблюдателядвижется вдольпрямой BAсо скоростьюv,которая относитсяк скоростисвета c,как BAотносится кCA.Корпускуласвета, котораяобеспечиваетвидение глазомисточника Cв точкеA, должнабыла быть испущенаисточникомCв тот момент,когда глазнаходился вточке B.

Трубутелескопа,которую Брэдлимысленно представилсебе движущейсяпараллельносамой себевдоль прямойBAнадо направитьвдоль прямойBC,чтобы получитьсвет от источникаC.Трубу телескопа,Брэдли взялтакого диаметра,чтобы она пропускалатолько однусветовую корпускулу.Угол BCA= характеризуетугол наклоналинии визированияна источникк линии, вдолькоторой движетсяглаз. Очевидноsin(v/c)sin,при= 90⁰,то есть длязвезды в полюсеэклиптики,имеем sinv/c ;при= 0⁰,то есть длязвезды на эклиптике,имеем sin= 0.

Скоростьv- это скоростьдвижения Землина орбите. ОнаБрэдли былаизвестна, таккак радиусземной орбитыбыл уже к томувремени давноточно измерен.Зная длинупути, пройденногоЗемлей за год,можно быловычислить, чтоv= 30 км/с.Знаяэту скоростьи угол аберрации,по приведеннойформуле можнобыло легкорассчитатьскорость светаc.Создавтеорию для Дракона, Брэдлиперешел к еёподтверждениюпутем наблюденийза другимизвездами. В1726-28 гг. он наблюдалаберрацию ещёдля 7 звёзд вблизиполюса эклиптикии для всех нихполная амплитудауглового смещенияна небе составилавеличину 40``-41``(среднее40``,4).Таким образом,угол аберрацииоказалсяравным 20``,2.Этот угол даётзначение скоростисвета 301000 км/с,но Брэдли насамом делеприводит неэто значение,а значение длявремени распространениясвета от Солнцадо Земли, котороеон считал равным8 мин 12 сек.

Брэдлиобъяснил открытуюим в 1728 г. аберрациюнеподвижныхзвёзд на основекорпускулярнойтеории света.В 1804 г. Юнг показал,однако чтоаберрацию можнообъяснить ина основе волновойтеории света.При этом Юнгсделал следующеепредположение.Земля и всетела на Землепронизаны,пропитаныэфиром, но придвижении Землии тел на еёповерхностиони не могутэтот эфир увлечьза собой илисколь-либосущественнымобразом еговозмутить.Поэтому возникает“эфирныйветер”,пронизывающийвсе тела надвижущейсяЗемле. Тела неспособны задерживатьэфир, как “неспособныудерживатьветер кроныдеревьев”,как писал Юнг.

Такимобразом, световыеволны, идущиеот звезды, небудут приниматьучастия в движениителескопа, иесли считатьчто телескопнаправлен наистинное положениезвезды, а Земля,для простоты,пусть движетсяперпендикулярнонаправлениюна звезду, тоизображениезвезды будетсмещено отцентральногоперекрестьяв фокусе нарасстояние,равное тому,которое пройдетЗемля за время,пока свет будетидти черезтрубу телескопа.

На рисункеMN= cKN = v,где время, требующеесясвету, чтобыпройти черезтрубу телескопа.Таким образом,угол аберрации

Здесьрассматриваетсядля простотыслучай, когданаправлениедвижения Землисоставляетточно прямойугол с направлениемна звезду.

В земныхусловиях скоростьсвета сумелиизмерить тольков середине XIXв. Это сделалиФизо (1849 г.) и Фуко(1865 г.) двумя различнымиметодами (сиспользованиембыстро вращающегосязубчатогоколеса и сиспользованиембыстро вращающегосямногогранногозеркала), приэтом былоподтвержденозначение скоростисвета c= 300000км/с,полученноеастрономическимметодом.

5. ТеорияФренеля частичногоувлеченияэфира движущимсятелом и еготеория аберрации.Опыты Арагои Физо.

   Аберрационнойконстантойназываетсяотношение v/c,скорости vЗемли на орбите(v=30км/с) к скоростиcсвета в пустоте(c=300000км/с).Онаочень мала :

   

Вопросо том, преломляютсяли по-разномустекляннойпризмой лучи,идущие от звездыи от земногоисточника, былпоставлен впервой четвертиXIXв. Араго. Рассужденияего были следующие.Так как Землядвижется внеподвижномэфире со скоростьюv,то скоростьсвета, идущегоот звезды, встекле призмыпри приближениик звезде будетc- v, апри удаленииот звезды (черезполгода) будетc+ v.Такимобразом, показательпреломленияnпризмы,через которуюнаблюдаетсязвезда, длясвета звездыдолжен в течениегода периодическиизменятьсяот значенияn(c- v )до значенияn(c+v ),а потому лучот звезды долженпериодическиотклонятьсяот своего начальногоположения ипо прошествиигода долженвозвращатьсяв свое начальноеположение.

Арагов 1810 г. произвёлтакой экспериментсо стекляннойпризмой, направленнойна определеннуюзвезду. Он наблюдалпреломлениелуча светазвезды в призме,когда Землядвигалась кзвезде (черезполгода), когдаЗемля удаляласьот звезды. Арагоожидал получитьугловое смещение2`.Но получилотрицательныйрезультат -никакого смещенияне было. Так онпришёл к заключению,что преломлениев движущейсяпризме идентичнопреломлениюв покоящейсяпризме.

Получивтакой результат,Араго обратилсяк Френелю спросьбой объяснитьего. В письмек Араго от 1818 г.,опубликованномво французскомнаучном журналев том же 1818 г., Френельне только нашелобъяснениеотрицательногорезультатаопыта Араго,но и сделалпринципиальноновый шаг втеории аберрации.Фактическис этого письмаФренеля начинаетсявся оптикадвижущихсясред. Френельпоставил болееширокий вопрос- как влияетдвижение Землина оптическиеявления наЗемле? Аберрация,таким образом,у Френеля пересталабыть изолированнымастрономическимоптическимявлением, требующимдля своегообъясненияособых рассуждений.

Френельсразу отказалсяот объясненияопыта Араготем, что эфирполностьюувлекаетсяЗемлёй, так кактогда, как пишетФренель, невозможнообъяснитьявление аберрации,ибо её объяснениеон видел, следуяЮнгу, в том, чтоэфир не увлекаетсядвижущейсяЗемлёй.

В отличиеот Юнга Френель,однако, предположил,что Земля сообщаетпропитывающемуи окружающемуеё эфиру оченьмалую частьсвоей скорости(очень “пористая”Земля “частично”увлекает эфир).С помощью этогопредположенияФренель объяснилудовлетворительнымобразом нетолько аберрациюзвёзд, но такжеи опыт Арагои все другиеоптическиеявления, связанныес движениемЗемли.

Френельпринял фактическидве следующиегипотезы:

1) Различиескоростей светав стекле призмыи в окружающемеё неподвижномэфире происходитисключительноиз-за различияплотности эфира

, пронизывающеготело призмы,и плотностиэфира ,находящегосявне призмы, такчто где -показательпреломлениястекла призмы.Упругость эфиравне призмы ивнутри неёФренель посчиталодинаковой.Таким образом,он пришёл ксоотношению

2) ДалееФренель посчитал,что движущаясяв неподвижномэфире призмаувлекает ссобой не весьэфир, её пропитывающий,а только егочасть, котораяявляется избыткомплотности эфиранад плотностьюэфира в пустомпространстве,т.е. плотностьэфира, переносимогопризмой равна

Френельпредположил,что когда движетсятолько частьтакой комбинированнойсреды, а другаяеё часть покоится,скорость

волны в среде,распространяющейсяв направлениидвижениясреды, увеличиваетсяна скоростьдвижения центрамасскомбинированнойсистемы, составленнойиз покоящейсяи движущейсячастей среды,т.е. в нашем случаеувеличиваетсяна величину такимобразом, имеемформулуувеличения: Коэффициент вэтой формуленазывается“коэффициентомувеличения”.

Здесь

-этоскорость движенияэфира, заключённогов объёме движущегосясо скоростью тела;скорость эфирав теле ,как было бы,если бы эфирсовсем не увлекалсядвижущимся,и скоростьэфира в теле ,как было бы,еслибыэфир полностьюувлекалсядвижущимсятелом.

Френельубедился всправедливостисвоей формулыв частных предельныхслучаях. Этаформула очевидноверна, когдаплотностьувлекаемойчасти эфираравна нулю,-тогда

,так как по формуле

Формулаочевидно такжеверна и тогда,когда весь эфирувлекается;тогда

,так как по формуле

Фактически,как мы видим,Френель попростуугадал своюформулу увлечения,предположивпростую экстраполяционнуюлинейнуюзависимостьдля увеличенияскорости

волныв среде от степениувлечениясреды.

Стоксв 1846 г. вывел формулуувлеченияФренеля изследующейфизическиразумной модели.Он предположил,что при движениипрозрачноготела черезнеподвижныйэфир, входящийв тело эфир,при проходечерез переднююграницу движущегосятела, скачкомувеличиваетсвою плотностьот плотности

впустом пространстведо плотности внутритела, причёмв системе отсчёта,в которой телопокоится,на переднююграницу тела,которая считаетсядля простотыплоской, в единицувремени наединицу площадинатекает массаэфира , авытекает изнеё масса эфира ,где -относительнаяскорость движенияэфира относительнотела (если -абсолютнаяскорость движениятела , -абсолютнаяскорость движенияэфира, заключённогов теле, то

Так какэфир на рассматриваемойгранице телане накапливаетсяи не исчезаетс течениемвремени, то

аследовательно,

Возвратимсяк рассуждениюФренеля. СледуяФренелю, рассмотримтеперь стекляннуюпризму

наповерхностиЗемли с прямымуглом при вершине иуглом привершине .Пусть эта призмадвижется вместес Землёй внеподвижномэфире с постояннойскоростью внаправлениислева направо.Пусть на еёгрань нормальнопадает плоскаясветовая волнас фронтом ,идущая от далёкойзвезды, расположеннойна горизонте.На переднейграни призмы,входя в стекло,волна не преломляется,так как падаетна эту граньнормально. Онапреломляетсяпри выходе изстекла на заднейграни призмы.

На рисункеизображенодва положенияпризмы

и в дваразных моментавремени, скажем,в нулевой моментвремени и вмомент времени закоторое фронтволны как разпродвинулсяиз положения вположение ,изображенноена рисунке.

Обозначимчерез

- скоростьсветовой волныв неподвижномэфире и через - скоростьсветовой волныв неподвижнойпризме. Тогда,согласно волновойтеории света,показательпреломлениястекла призмыравен

Согласногипотезе Френеляо частичномувлеченииэфира, скоростьсвета в движущейсяпризме равна

Найдемзначение угла

,на которыйотклоняетсяфронт (или луч)света от звезды,проходя черездвижущуюсяпризму .

Рассматриваяпрямоугольные

и собщей гипотенузой ,для отрезков и получаемочевидныесоотношения: Такимобразом,

Вычислимтеперь отрезки

и по-другому.Очевидно изрисунка, чтоимеем следующиепростые соотношения: Изприведённогочертежа имеем,кроме того,также следующиесоотношения: где - уголповорота фронтаволны послепрохожденияего через призму.Таким образом, Учтёмтеперь, что ичто при малых имеемприближённоеравенство приэтом, считаяотношение малым,мы заменилиугол ,на угол ,его значениепри .Учтём, крометого, что прималой разности имеемприближённоеравенство Приходим,таким образом,к следующемуприближённомууравнению дляопределенияугла : При и очевидноотсюда имеемсоотношение справедливоедля неподвижнойпризмы, котороепозволяетсократить ввышеприведённомуравнении членынулевого порядкав обеих частяхприведённогоравенства.Тогда окончательнопридём куравнению Преобразуемвыражение,стоящее в правойчасти. Очевидно,что Такимобразом, приходимк уравнению котороепозволяетвычислить уголотклонения лучаот звезды, движущейсясо скоростью ,призмой, еслиизвестенугол отклонения дляэтого лучапокоящейсяпризмой.

В качествелуча, отклонениекоторого мырассмотрим,возьмём луч

,изображённыйна рисунке. Каквидим, уголпреломления вдвижущейсяпризме всегданесколькоменьше углапреломления впокоящейсяпризме.

Проследимтеперь за дальнейшейсудьбой луча послевыхода его изпризмы. Этотлуч света, вышедшийиз призмы, движущейсявместе с Землёй,из-за движенияЗемли, попадётна экране, тожедвижущемся,как и призма,со скоростью ,не в точку ,а в точку ,которая определяетсяиз условия, чтоза время, покасвет распространитсяот точки до точки ,двигаясь соскоростью ,точка попадётв точку ,двигаясь соскоростью .Такимобразом, если -времяраспространениясвета от точки до точки ,то

Рассмотримтеперь косоугольный

C₁KNи применим кнему теоремусинусов. Получимсоотношение:

следовательно:

Учитывая,что

,получаем:

.

Как видим,для определенияугла

получили вточности такоеже уравнение,как и уравнениедля определения .Сл-но мы должнызаключить, что .

Итак, мырассчиталиположение точкиKна экране,в которую падаетлуч света отзвезды, учитываяи эффектчастичногоувлечения эфирадвижущейсяпризмой и эффектаберрации.Оба эти эффектав точностискомпенсировалидруг друга,т.к., как этонепосредственновидно из чертежа,в точку Kнаш луч от звездыпопадет и в томслучае, когдапризма и экранпокоятся.Действительно,отрезок C₁Kперпендикулярен“мнимому”фронту волны,отклоняющемусяв призме наугол

.

Видим,что движениеЗемли в первомпорядке поконстантеаберрации

неоказываетникакого влиянияна преломлениесвета от звезды.

Френельиз своей формулычастичногоувлечения эфиравывел еще одноинтересноеследствие. Еслитрубу телескопанаполнитьводой, то наличиеводы в телескопеникак не будетвлиять на величину аберрации.

Произвестиизмерение угла аберрации спомощью телескопа,труба которогонаполненаводой, предложилБошкович (1711-1787),горячий сторонникидей Ньютонаи их неустанныйпроповедникв Италии. Такойопыт был произведен,однако, тольков 1871 г. Эйри(1801-1892). Опытподтвердил,в согласии стеорией Френеля,что угол аберрациидля наполненнойтрубы остаетсятаким же, каки для пустой.

КаксвидетельствуетМайкельсон,“вниманиефизиков впервыебыло обращенона влияниедействия средына скоростьсвета в связис опытом Эйри”.

Изложимтеперь, следуяЛоренцу, рассуждениеФренеля, объясняющее,почему заполнениетрубы телескопаводой не изменяетзначения углааберрации.

Телескопдля простотызаменим примитивнымоптическимприбором безлинз, позволяющим,тем не менее,определитьнаправлениена звезду. Этотприбор пустьсостоит изэкрана abсотверстиемABи расположенногоза ним параллельноэкрана ef.По взаимномурасположениюсветлого пятнаEFнаэкране ef и отверстияABможносудить о направлениина звезду.

Обаэтих экрана,разумеется,неподвижныотносительнодруг друга.Пусть приборнаходится наЗемле, движущейсяс постояннойскоростью ,скажем, в направлениислева направо.

Френельпредполагает,что эфир неподвиженв межпланетномпространствеи что Земля иприбор никакне увлекаютего своим движением.Это значит, чтов системе отсчета,жестко связаннойс Землей и прибором,эфир натекаетна прибор однороднымсплошным потокомс постояннойскоростью

справа налевои сносит своимдвижением любоеимеющееся внем световоевозмущение.

Ограничимсярассмотрениемзвезды, расположеннойточно в полюсеэклиптики.Светот такой звездыпредставляетсобой у поверхностиЗемли практическинеограниченнуюплоскую волну,которая падаетперпендикулярнонаотверстие AB,вырезающееограниченномалую частьволновогофронта.

Втечение времени

,пока образованныйотверстиемABфронт ограниченныхразмеров(изображаемыйна рисункеотрезком AB)распространитсяв эфире повертикальномунаправлениювниз и достигнетэкрана ef,он будет постоянносносится движениемэфира в горизонтальномнаправлении,справа налево,так что в концеинтервалавремени фронт ABпопадетна место EFэкрана.При этом вырезанныйэкраном пучоксвета ABEFокажетсянаклоненнымк вертикальномунаправлениюна некоторыйугол ,который и являетсяуглом аберрации.При этом ,где — скоростьсвета в неподвижномэфире, ,где — скоростьдвижения Земли,такчто

Отношение

очень мало,примерно 10^-4.

Обратимвнимание, чтокажущеесянаправлениена звезду (котороетолькои наблюдаетсяс помощью телескопаили описанногопримитивногоприбора) определяетсяне направлениемволновойнормали,которая перпендикулярнафронту волныи направленаперпендикулярновниз по прямой

,а направлениемлуча,т.е. направлениемпрямой и характеризуетнаклон образованногоотверстиемсветового пучка ,по отношениюк вертикальномунаправлению.

Лоренцопределяетлучи,как прямые,которые показывают,каким образомсветовые пучкиограничены сбоку (дифракциейполностьюпренебрегается).

Изменимтеперь немногоконструкциюнашего примитивногооптическогоприбора, используемогодля определениянаправленияна звезду. Возьмемснова двапараллельныхэкрана и ,верхний сновас отверстием ,но теперь заполнимнижнюю частьприбора — междуплоскостями и — плоско-параллельнымслоем некоторойпрозрачнойсреды, например,водой, с покзателемпреломления , где — скоростьсвета в еподвижномэфире, —скорость светав неподвижномстекле. Сновавозьмем свет,приходящийна Землю отзвезды, расположеннойточно в полюсеэклиптики, иснова всерассмотрениебудем в системеотсчета, жасткосвязанной сЗемлей и прибором,в которой эфироднорооднымсплошным потокомнатекает наприбор справаналево со скоростью .

Изпрактическибесконечногофронта плоскойсветовой волны,приходящейна Землю отрассматриваемойзвезды, отверстие

вырежет малуючасть .Ограниченноев первый моментвремени краямиотверстиясветовое возмущение дальше,— между экраном и поверхностьюсреды ,— распространяетсяв эфире, движущемсясправа налевооднороднымсплошным потокомсо скоростью .Поэтому образуетсясветовой пучок ,наклоненныйк вертикалипод очень малымуглом аберрации

какмы это объясниливыше.

Определимтеперь наклон световогопучка

в прозрачнойсреде, которыйобразуетсяиз световогопучка .Если бы движениеэфира черезпрозрачнуюсреду отчутствовало,то мы имели быпучок ,имеющий угол наклона к вертикали,определяемыйиз закона Снеллиуса:

;

считая,что угол

,а следовательнои угол очень малы.Таким образом,для длины отрезка имеем выражение

еслипредположить,что

— толщина слояпрозрачнойсреды в приборе.Движение эфирачерез прозрачнуюсреду, однако,происходит.Согласно гипотезечастичногоувлечения эфирапрозрачнымтелом, эфирпротекает черезплоскопараллельныйслой прозрачнойсреды справаналево горизонтальнымнепрерывнымсплошным потоком,движущемсясо скоростью

;

онаменьше скорости

движения Земли,которую эфиримел бы, еслибы он не увлекалсяпрозрачнойсредой. Вследствиепереносногодвижения,фронт волны ,распространяющийсяв прозрачнойсреде вертикальновниз до экрана со скоростью — скоростьюсвета в среде— за время

,

припопадании наэкран

будет снесенв горизонтальномнаправлениивлево на расстояние

Получилидля отрезка

тотже результат,что и выше, когдаделали предположение,что движениеэфира отсутствует.

Такимобразом мыдолжны сделатьвывод, что движениерассматриваемого оптическогоприбора вместес Землей соскоростью

сквозь неподвижныйэфир никак несказываетсяна ходе лучейв нем; законпреломленияостается такимже. Луч, приходящийот звезды, ведетсебя в точноститак же, как илуч такого женаправления,идущий от земногоисточника.

6. Геометрическаяоптика неоднороднойпрозрачнойсреды, пронизываемойдвижущимсячерез нее эфиром.Теорема Лоренца.

Своюоптико-геометрическуютеорию движущихсявместе с Землейоптическихприборов Лоренцразвил в 1886 г. сцелью объясненияследующих трехк тому времениуже твердоустановленныхопытных фактов:

1. существуетяалениеастрономическойаберрацииположенийзвезд, заключающеесяв том, что звездыв течение годаописывают нанебе маленькиеэллипсы (переходящиев окружностидля звезд,находящихсявблизи полюсаэклиптики, идважды покрытыеотрезки длязвезд, находящихсявблизи экватораэклиптики);

2. светот любой звезды,фиксируемыйна Земле каксвет, приходящийпо определенномунаправлениюи определеннойчастоты, будучииспользованнымв любых оптическихэкспериментах— по отражению,по преломлению,по интерференциии т.д., ведет себяв точности также, как и светот земногоисточника,распространяющийсяпо тому женаправлениюи обладающийтой же частотой;

3. нив одном оптическомэксперименте,который можнопроизвестис земным источникомсвета, нельзянеблюдатьникакого эффекта,связанногосо скоростью

   движения Землина ее орбитевокруг Солнца,если ограничитьсячленами первогопорядка малостипо
   ,где
   — скоростьсвета в пустоте.

Любойкак угодносложный оптическийприбор, содержащийлинзы, призмы,щели, диафрагмыи т.д., можно считатькусочно однороднойсредой (т.е. средой,состоящей изпространственныхобластей сразными показателямипреломления).Будем, однако,следуя Гамильтону,полагать, чтоимеем дело нес такой специфическойкусочно-однородной,а с произвольнойоптическинеоднородной средой, оптическиесвойства которойхарактеризуютсязаданной функциейлокальногопоказателяпреломления

,где — показательпреломленияв точке средыс координатами .

Средубудем считатьтвердой, прозрачной,неподвижнойи жестко связаннойс Землей, движущейсясквозь эфир,покоящийсяв мировомпространстве.

Лоренцпроводит рассуждениев декартовойпрямоугольнойсистеме координат

,жестко связаннойсо средой и сЗемлей. Приэтом он предполягает,что Землю ипрозрачнуюсреду пронизывает“эфирный ветер”,характеризующийсястационарным(не зависящимот времени)полем скоростей .

Такимобразом Лоренцберет развитуюим самим обобщеннуюформулировкупринципа Гюйгенса,учитывающую,что эфир движетсяотносительнопрозрачнойсреды, в котороймы исследуемраспространениесветовых волн,т.е. что в средеимеется эфирныйветер.

Какпри формулировкеобычного принципаГюйгенса, длянепо-

движногоэфира, возьмемдва бесконечноблизких положенияволновогофронта, илифронта волны,распространяюшейсяв покоящейсяотносительноЗемли, но движущейсяотносительномирового пространствасреде, увлекающейс собой частичноэфир, в двабесконечноблизких моментавремени tи t+dt.Пусть эти положенияхарактеризуютсядвумя геометрическимиповерхностямиS иS¹,см. рис.

Чтобыисходя из поверхностиволновогофронта Sпостроитьповерхностьволновогофронта S¹,надо взятькаждую точкуPна поверхностиSи мысленноиспустить изэтой точки вмомент времениtт.е. взять бесконечномалую поверхностьоколо точкиP,до которой кмоменту времениt+dtэто возмущениедошло. Такуюповерхностьназовем фронтомэлементарнойволны. На приведенномрисунке криваяabизображаетчасть поверхностифронта элементарнойволны, испущеннойиз точки P,рассматриваемойв момент времениt+dt.

Согласнопринципу Гюйгенса,поверхностьS¹,будет геометрическойогибающейповерхностьюфронтов всехэлементарныхволн, построенныхдля всех точекPповерхностиS.

Одновременнос построениемположенияпоследующегофронта волнымы узнаем идальнейшийход всех лучей.Прямой отрезок,проведенныйиз точки Pна поверхностиP,являющестяцентромиспусканияэлементарнойволны, в точкуP¹,расположеннуюна поверхностиS¹и являющуюсяточкойкасания этойэлементарнойволной огибающейповерхностиS,является элементомлуча.Один из элементовлуча изображенотрезком PP¹на рисунке.

ТочкиPи P¹,принажлежащиесоответственноповерхностямS иS¹и являющиесяначалом и концомодного и тогоже элементалуча, называютсясопряженнымиточками.

При помощигеометрическогопостроенияГюйгенса можнонайти послетовательныеположения S,S¹,S¹¹,...фронтараспространяющейсяволны и последовательныеэлементыPP¹,P¹P¹¹,P¹¹P¹¹¹,...любоголуча. Каждыйтакой луч проходитчерез ряд сопряженныхточек, следующиходна за другойчерез бесконечномалые расстояния.

В случаеотсутствияв среде эфирноговетра кажнаяиз рассмотренныхбесконечномалых элементарныхволн представляетсобой бесконечномалую сферурадиуса c₁t,с центром,расположеннымв соответствующейточке P,где c₁- локальнаяскорость светав точке Pсреды. Длянеоднороднойсреды скоростьсвета являетсязаданной функциейс₁=с₁(x,y,z)точки средыи поэтому различныеэлементарныеволны будутиметь разныерадиусы, см.рис.

В случаеналичия в средеэфирноговетраэлементарныеволны тожеявляются бесконечномалыми сферическимиповерхностями,но эти поверхноститеперь непрерывносносятся движениемэфира, и поэтомуцентры их вмомент времениt+dtрасполагаютсяне в точках Pиспусканияволн, а в бесконечномало сдвинутыхточках Q,которые находятсяна бесконечномалых, прямолинейныхотрезках PR,вдоль точкиPэфира перемещаютсяпри его движенииза интервалвремени t,t+dt. ОтрезокPRимеет длинуv·dt,где v- скорость эфирав точке Pи он направленвдоль вектораскорости vэфирного ветрав этой точкеP.Радиусысфер элементарныхволн, однако,все равно равныc₁·dt,как в неподвижнойсреде, см. рис.

ТочкаQможет находитьсяи в начале (Q=P),и в конце (Q=R)отрезка PQ,а также можетлежать и внутриэтого отрезка.СоответственноЛоренц пользуетсяодной из следующихгипотез.

а) ЕслиQ=P,то эфир неувлекаетсядвижущейсясредой.

б) ЕслиQ=P,то эфир полностьюувлекаетсядвижущейсясредой.

в) ЕслиPQ=(1/n²)PR,то эфир частичноувлекаетсядвижущейсясредой; здесьn - локальныйпоказательпреломлениядля неподвижнойсреды в точкеP.

Рассмотримтеперь важныйчастный случайдвижения Землии прозрачнойСреды, когдаони движутсяв мировомпространствепоступательноравномернопрямолинейновдоль некоторогонаправленияснекоторойпостояннойскоростью v.

Длинаотрезка PQтеперь равна

причемнаправленияотрезков PRи скорости vво всех точкахPбудут одинаковы.

Для частногослучая поступательногоравномерногопрямолинейногодвижения Землии прибора сквозьмировой эфирЛоренц доказалследующуюзамечательнуютеорему.

ТеоремаЛоренца.С точностьюдо членов первогопорядка включительнопо отношениюскоростей v/c,где v - поступательноравномерногопрямолинейногодвижения оптическогоприбора черезнеподвижныйэфир, с - скоростьсвета в пустоте,геометрическийход лучей воптическомприборе независит отдвижения среды.

Приступимк доказательствусформулированнойтеоремы. Рассмотримход лучей вприборе относительнодекартовыхпрямоугольныхосей координатOxyz, жестко связанныхс ним. Прибордвижется равномернопрямолинейнопоступательнос постояннойскоростью vчерез неподвижныйэфир.

Обратмсяеще раз к рассмотренномувыше рисунку.Обозначим P¹PQмежду направлениесветового луча,исходящегоиз точки P,и направлениемдвижения среды- через ,см. рис.

На рисункеполупрямаяQPнаправленавдель направленияэфирного ветра.Согласно теоремекосинусов,примененнойк P¹PQ,имеем следующеесоотношение

.Отрезок P¹Q,согласно лоренцевупринципу Гюйгенса,равен c₁·dt,где c₁- локальнаяскорость светав точке P.Отрезок PQ,согласно томуже принципу,равен k·v·dt,где k=1/n²,n- локальныйпоказательпреломленияв точке P,v- скорость эфирноговетра. ОтрезокPP¹равен с₁^дв·dt,где с₁^дв- локальнаяскорость светав точке Pдля Среды сэфирным ветром.Таким образом,приведенноесоотношениеможно представитьв седующемвиде:

илив виде квадратногоуравнения изкоторого можноопределитьскорость с₁^дв.Решая это квадратноеуравнениеполучим очевидноперед корнемнадо взять знакплюс, иначеполучили быотрицательноезначение дляскорости с₁^дв.Считая скоростьv движения средычерез неподвижныйэфир или, чтото же самое,скорость эфирноговетра малойпо сравнениюсо скоростьюсвета си разлагаякорень в рядпо малости v²,имеем Следовательно,с точностьюдо членов третьегопорядка малостипо v/c получаемприближеннуюформулу .Из этой формулысразу выведемеще одну приближеннуюформулу, котораянам понадобитсяв дальнейшем: или справедливос точностьюло членов порядкамалости v³/c³₁.

Определив,с помощью лоренцеваобобщенногопринципа Гюйгенса,скорость с₁^двраспространениясвета по лучудля поступательноравномернопрямолинейнодвижущейсяпрозрачнойсреды, воспользуемсятеперь принципомФермадля определенияхода лучей воптическомприборе, жесткосвязанном сдвижущейсяЗемлей и перемещающимсявместе с ней.Согласно принципуФерма, для истинногопути Lсветового луча,выходящегоиз какой-тофиксированнойточки А и приходящегов другую фиксированнуюточку В, криволинейныйинтеграл

представляющийсобой времяраспространениясвета по лучу,долженпринять минимальноезначение.Здесь ds- длина элементадуги кривойALB.

Пренебрегаячленами второгопорядка малостиv²/c²₁в выше вриведеннойформуле для1/ с₁^дв,получаем следующуюпростую формулудля временидля любогомысленновоображаемого пути ALB:

Множительv мы вынеслииз-под знакаинтеграла, таккак скоростьдвижения среды- постоянна.Учтем далее,что показательпреломленияСреды определяетсяформулой

изкоторой сразуполучаем с₁n=c,где с - скоростьсвета в пустоте,- некотораяуниверсальнаяконстанта. Таким образом, множитель имеетпостоянноезначение, и еготоже можновынести из-подзнака интеграла.Так приходимк формуле длявремени распространениясвета по лучуALB

Легковидеть, чтовторой интегралне зависитот формыпути ALB,так как он равемдлине проекциипрямолинейногоотрезка АВ нанаправлениеэфирного ветрав нашей прозрачнойсреде. Первыйинтеграл независит отскорости движениясреды, таккак с₁- это линейнаяскорость светав неподвижнойсреде.

При отысканииминимумавремени для различныхпутей ALB,соединяющихфиксированныеточки А и В, второйинтеграл, независящий отформы пути ALB,можно поэтомуигнорировать.А так как первыйинтергал независит отскорости движениянашей среды,т.е. оптическогоприбора, то мывидим, что формапути истинноголуча междуточками А и Вв движущемсяоптическомприборе будетв точноститокой же, каки в покоящемсяприборе.

Тем самымтеорема Лоренцадоказана.

4.7. ТеорияабберацииСтокса.

В 1845 г. Стоксопубликовалзнаменитуюработу “Обабберациисвета”, в которойизложил своютеорию абберации.В момент написанияэтой работыСтокс не зналеще работыФренеля 1818 г. потеории абберации,о чем свидетельствуетотсутствиессылок на работуФренеля в егоработе 1845 г. и егостатья, появившаясячерез несколькомесяцев, ужев 1846 г., в которойСтокс подробноизлагает по-своемутеорию Френеля,называет ее“замечательной”и дает ей инетерсноедальнейшееразвитие. Однакоздесь же, в этойстатье 1846г. Стоксотмечает, чтотеперь “мыстолкнулисьс любопытнымслучаем существованиядвух совершенноразличныхтеорий, одинаковохорошо объясняющихявление”. Издесь же говорито том, что неможет проверить“без хорошегодоказательства”,что эфир можетсвободно проходитьчерез твердуюмассу Земли.

В работе1845 г. Стокс пишетупоминаеттолько об известномэлементарномобъясненииабберации спомощью корпускулярнойтеории

света,говорили обольших успехахволновой теориисвета, которая“просто и красивообъясниламногие сложныеявления”, оботсутствииобъяснения аберрации врамках волновойтеории.

Приступимк изложениюсодержанияработы Стокса1845 г. Однако несколькоформализуемрассужденияСтокса, длялучшего пониманияих сути.

Стокспредполагает,что Земля, двигаясьс постояннойскоростью вмежпланетномпространствепереноситкакую-то частьэфира с собой,вследствиетого, что эфирвблизи её поверхностипокоится относительноеё поверхности,как бы “прилипает”к ней, причёмскорость эфиранарастает приудалении отповерхностиЗемли, пока нане очень большомрасстоянии,она не станетравной скоростиэфира, покоящегосяв межпланетномпространстве,относительноЗемли. Такимобразом, можнопредположить,что в системеотсчёта, жёсткосвязанной сЗемлёй, эфирнатекает наЗемлю стационарнымсплошнымпотоком, обтекаяеё со всех сторон,с некоторымполем скоростей

, не зависящимот времени t.

Предположим,что положениефронта световойволны, распространяющейсяв стационарнодвижущемсяэфире, в моментвремени t,даётся уравнениемвида

составимдифференциальноеуравнение, которое позволилобы определитьпоследовательныеположенияфронта световойволны в различныемоменты времени,т.е. определитьэволюцию волновогофронта. Дляэтого надонайти функцию.

Возмущениеэфира, каковымявляется световаяволна, в случаепокоящегосяэфира перемещаетсяза интервалвремени t,t+dt източки x,y,z в точкус координатами

гдес — скоростьсвета в покоящемсяэфире и где считаем, чтовозмущениераспространяетсяпо нормали кповерхностивзятой в точкеx,y,z. Возмущениев движущемсяэфире,с заданнымполем скоростей,по определению Стокса, за интервалвремени t,t+dt източки x,y,zперемещаетсяв точку с координатами т.е. Стокс считает,что распространяющеесяв эфире возмущениепросто сноситсядвижениемэфира. Такимобразом, положениефронта в движущемсяэфире в моментвремени t+dtдаётсяуравнением .Разлагая последнееуравнение помалости dt, получаемискомое уравнение,описывающееэволюцию волновогофронта оптическойволны, распространяющейсяв движущемсяэфире: или ;

Хотяэтого рассужденияСтокс и не приводит,но оно неявносодержитсяв его рассуждениях. Знак соответствуетнеопределённостинаправлениянормали, задаваемойвектором скомпонентами

Будемтеперь считать,что скоростьэфира, т.е. величиныu,  малы по сравнениюсо скоростьюсвета с и построимчастное приближённоерешение дифференциальногоуравнения,которое Стоксфактическии рассматриваетв своей работе1845 г. по теорииаберрации.

Нулевоеприближение.Положим uв приведённомуравнении длят.е. рассмотримпокоящийсяэфир. Тогдалегко убедиться,что уравнениенулевого приближенияимеет следующеечастное решение:

,это решениеописываетоптическуюплоскую волну,распространяющуюсяв отрицательномнаправленииоси z.Действительно,уравнениенулевого приближенияимеет вид здесь мы взялизнак минусперед корнем,причём дляприведеннойнулевой функциисправедливысоотношения: перед корнеммы берём знак “”.

Первоеприближение.Считаятеперь скоростиu,  малыми величинами,первого порядкамалости, найдёмприближённоерешение приведённогополного уравнения,со знаком “”перед корнем, переходящеепри пренебрежениивеличинамиu,  в решение _в виде функции

где является малойвеличинойпервого порядкамалости по u,.Следуя Стоксу,считаем, чтопоправочнаяфункция зависит толькоот координатx, y ине зависит откоординатыz.Это предположение,разумеется,несколькоограничивает произволотыскиваемогорешения. Ноесли нам удастся его построить,то всё в порядке.Из полногоуравнения,которомуудовлетворяетфункция со знаком “”перед корнем,имеем следующееприближённоеуравнение дляопределениефункции : из которогонепосредственнополучаем приближённоеуравнение для определенияфункции .Интегрируяполученноеуравнение поt,приходим ксоотношению

Такимобразом, окончательноприходим кследующемуприближённомууравнению дляопределенияположенияфронта рассматриваемойволны в моментвремени t:

Составимвыражения длякомпонентненормированнойнормали к этойповерхностиволновогофронта в точкеx,y,z = - ct вмомент времениt.Имеем

Обозначимчерез

направляющиекосинусы длянормали, взятойк найденнойприближённоволновой поверхности.Так как величина/c мала, то углы так что приближённоможно положить .

В этомместе своихрассужденийСтокс прибегаетк гипотезе опотенциальностиполяскоростейэфира.

ГипотезаСтокса. Полескоростей эфирапотенциально,т.е. существуеттакая функция(x,y,z),что

Согласногипотезе Стоксаимеем следующиеочевидныепростые соотношениядля компонентполя скоростей:

используякоторые, выведенныеприближённыеформулы дляуглов и можнозаписать в виде

Следовательнодля измененияуглов иотмомента времениt=t₁ до моментавремени t=t₂имеем следующиеочень простыеформулы:

Из этихформул нетруднополучитьобщеизвестныйзаконаберрации.Пусть свет отзвезды идёт по направлению,строго перпендикулярномунаправлениюдвижения Земли.Первый моментвремени t=t₁возьмём таким,чтобы фронтсветовой волнынаходился настоль большомудалении отЗемли, чтобыдля скоростиэфира в точкахэтого фронтаможно былосчитать, что

предполагаем,что Земля движетсяв положительномнаправленииоси xс постояннойскоростью . Второй моментвремени t=t₂возьмём в тотсамый момент,когда волновойфронт дошёлдо Земли, тогда

Следовательно,фронт, идущийот звезды плоскойволны, поворачиваетсяпо приближениюк Земле такимобразом, чтоугол, составленнойего нормальюс осью х,станет равным

где — скоростьдвижения Земли,с— скоростьсвета в покоящемсяэфире. См. рис.

Наблюдателюна Земле будетказаться, чтозвезда сместиласьна небе в сторонунаправлениядвижения Землина угол аберрацииравный .

В 1880 г. Стоксопубликовалважное дополнениек изложеннойнами сейчасработе 1845 г. Онобратил вниманиена то, что в работе1845 г. он проследиллишь за измененияминаправлениянормалик фронту волны,по мере распространенияволны от звездыдо Земли. Когдаэфир покоится,траекторииволновых нормалейсовпадают страекториямилучей.Когда эфирдвижется,с заданнымполем скоростей,траекторииволновых нормалейи траекториилучей перестаютсовпадать.

Обозначимчерез n— единичныйвектор нормалив некоторойточке фронтаволны в моментвремени tи через s— единичныйвектор направлениялуча в этойточке волновогофронта, рассматриваемогов момент времениt. Пусть— углы векторанормали nс осямиx, y, причём всеэти углы малоотличаютсяот прямых

Стокссчитает, что

где v(u,— поле скоростейэфира в рассматриваемойточке волновогофронта в моментвремени t.Следовательно: или окончательно Приращениеэтих углов заинтервал времениt, t+dt, когдаdz= - cdt,таким образомравно

Вышемы показали,что

такчто окончательно

Принимаягипотезу Стоксао потенциальностиполя скоростейэфира, такимобразом, заключаем,что правыечасти приведенныхравенств равнынулю.

Итак,изменениенаправлениялучапомере распространенияравно нулю;лучисвета в увлекаемомЗемлей эфире- приближеннопрямолинейные.

4.8.Механическийпринцип относительности.ИнвариантностьотносительнопреобразованийГалилея.

Галилейеще в XVII в. сформулировалпринцип относительностив механике, илимеханическийпринцип относительности.

Механическийпринцип относительности.Механическиеявления во всехинерциальныхсистемах отсчетапроисходятсовершенноодинаково.Нельзя с помощьюмеханическихэкспериментов,производимыхв движущейсяинерциальнойсистеме отсчета,определитьскорость еедвижения (еслине производитьнаблюденийтел из системыотсчета, относительнокоторой мыхотим определитьскорость движения).

Покажем,что уравнениямеханикиматематическизаписываютсясовершенноодинаково вовсех инерциальныхсистемах отсчета.Для простотырассмотримдвижение материальнойточки,т.е. тела, размерамикоторого можнопренебречьв рассматриваемойситуации. Пустьэто движениеописываетсяв двух каких-нибудьинерциальныхсистемах - в“покоящейся”системе Kи в “движущейся”системе K'.Пусть в начальныймомент временидекартовы осиэтих системсовпадали ипусть системаKдвижется вдольоси xс постояннойскоростью v.

Координатыточки M,отсчитываемыеотносительнодвижущейсяи относительнопокоящейсясистем отсчетаKи K'связаны следующимиформуламипреобразования:

которыеназывают формуламипреобразованияГалилея.Время припреобразованияхГалилея никакне преобразуем,так что следуетположить, что .

Этуформулу тожебудем относитьк формулампреобразованияГалилея.

Рассмотримдвижение материальнойточки Mмассы mотносительнотой и другойсистем, происходящее,к примеру, вдольоси x,под действиемнекоторойзаданной силыF(действующейтолько вдольоси x).Тогда в системахKи K'имеем следующиеуравнениядвижения:

которыематематическисовершенноодинаковы(инвариантны).При этом одноуравнениеполучаетсяиз другого спомощью преобразованийГалилея. Действительно,согласно этимпреобразованиям:

таккак очевидноdv/dt = 0 (скоростьv постоянна).

Самымифундаментальнымиобъектами вфизике являютсяточки и волны.Поэтому интереснопосмотреть,а будет лиинвариантноотносительнопреобразованийГалилея волновоеуравнение,скажем, дляпростоты, одномерноеволновое уравнение(уравнениеДаламбера) дляплоских волн,распространяющихсявдоль оси x.Пусть u= u(x,t) -волновая функцияи c- скорость волны.Тогда имеемуравнение

Совершимв нем преобразованиеГалилея, другимисловами - перейдемот независимыхпеременныхx,tк переменнымx',t',считая, чтонеизвестнаяволновая функцияuтеперь выраженав переменныхx',t',т.е.

где

Такимобразом,

Следовательно,

Далее,

Следовательно,

Подставимполученныевыражения длявторых производныхв исходноеволновое уравнение.Тогда получим,что

или

Каквидим, получилисовсем не Даламбера,а другое уравнение(в которое входитv).

Такимобразом, мыдоказали, чтоодномерноеволновое уравнениенеинвариантноотносительнопреобразованийГалилея.

Остановимсяна выяснениифизическогосмысла полученногорезультата.Для определенностипредставимсебе обычныезвуковые волныв воздухе. Ониявляются малымивозмущениямиплотности идавления малыхчастиц воздуха,и в так называемомакустическомприближении(когда амплитудыэтих возмущениймалы) описываютсяволновым уравнениемДаламбера

когдаречь идет оплоских волнах,распространяющихсявдоль оси x.

Этоуравнение,однако, математическиописываетзвуковую волнутолько в покоящемсявоздухе.Если мы хотимописать звуковуюволну в движущемсявоздухе(движущемсяравномернопрямолинейносо скоростьюvвдоль оси xв отрицательномнаправленииоси xв лабораторнойсистеме отсчета),то мы должныиспользоватьне приведенноеволновое уравнение,а только чтовыведенноеболее сложноеуравнение

Такимобразом, волновоеуравнение длязвука в движущейсясредеотличаетсяпо виду от волновогоуравнения длязвука в покоящейсясреде. И нетничего удивительногов том, что волновоеуравнение неинвариантноотносительнопреобразованийГалилея. Мынеявно предположили,что исходнаясистема K- это системаотсчета, в которойсреда (воздух)покоится.

Пояснимсказанноеподробнее.Пусть у насимеется тело,движущеесясо скоростьюvвдоль оси xи пусть в этомтеле распространяетсяволна в положительномили отрицательномнаправленииоси x.

Рассмотримволну, распространяющуюсяв положительномнаправленииоси x.Относительновзятой системыотсчета онаимеет скоростьc_дв= c + v.Таким образом,если формаволны в нулевоймомент временидается функциейf(x),которая можетбыть взятапроизвольной,то в моментвремени tона будет описыватьсяфункцией

Найдемвид уравнения,которомуудовлетворяетэта функция.Очевидно

Поэтомуфункция uудовлетворяетследующемууравнению

котороеможно представитьв виде

Подействуемна это уравнениесправа и слевадифференциальнымоператором

иполучим уравнение

Следовательно,раскрываяскобки, имеемуравнение

членысо смешаннойпроизводной,пропорциональныеc,взаимно сокращаются.Разделив наc²,окончательноприходим куравнению

котороев точностисовпадет суравнением,полученнымвыше.

Рассмотримтеперь волну,распространяющуюсяв отрицательномнаправленииоси x.Относительнонашей системыотсчета волнабудет двигатьсясо скоростьюc_дв= c - v.

Еслиформа волныв нулевой моментвремени t= 0дается функциейg(x),которая можетбыть совершеннопроизвольной,то в моментвремени tона будет описыватьсяфункцией

Найдемвид уравнения,которомуудовлетворяетэта функция.Очевидно

Поэтомуимеем уравнение

котороеможно записатьв следующемвиде

Подействуемна это уравнениесправа и слевадифференциальнымоператором

иполучим уравнение

Следовательно,раскрываяскобки, имеемуравнение

членысо смешаннойпроизводной,пропорциональныеc,взаимно сокращаются.Разделив наc²,окончательноприходим куравнению

т.е.в точности ктакому уравнению,которое мыполучили дляволны, распространяющейсяв положительномнаправленииоси x.

4.9.Электродинамическийпринцип относительности.

ИнвариантностьотносительнопреобразованийЛоренца.

Оказывается,одномерноеволновое уравнениевсе же остаетсяинвариантнымпри переходеот системыотсчета К ксистеме отсчётаК’, ноесли воспользоваться не преобразованиями Галилея,атак называемымипреобразованиямиЛоренца , которыеимеют вид:

Теперьнетолько координатаХ , но и времяТ преобразуются.Докажем инвариантность. Снова рассмотримфункцию

гдеb=V/C.Тогда , дифференцируяеё по t,получим

Следовательно,

Далее, дифференцируяпоt ,получаем

Следовательно,

Подставимполученныевыражения длявторых производныхв исходноеволновое уравнениеДаламбера

Получимтогда уравнение

Такимобразом , приходимк уравнению

слагаемыесо смешаннымвторым производнымв обеих частяхравенствасокращаются. Окончательнополучаем уравнение

Следовательно, приходим куравнению

т.е.в точности кисходномуодномерномуволновомууравнениюДаламбера.

Итак, приходим кзаключению, что волновоеуравнениеДаламбераинвариантноотносительнопреобразованийЛоренца. Этоважное математическоеоткрытие в своёвремя сделалЛоренц, который,однако, рассматривалне просто одноиерноеволновое уравнение,а уравненияМаксвелла,которые можносчитать усложненнымтрехмерным“волновымуравнением”-для поперечныхэлектромагнитныхволн. Именноэто математическоеоткрытие позволилоЛоренцу в 1904 г.Объяснитьотрицательныйрезультатэкспериментовпервого и второгопорядков поV/Cпо обнаружениюскорости Vпоступательногодвижения относительноэфира.

Отметимздесь ещё однуинтереснуювозможнуюфизическуюинтерпретациюполученногоматематическогорезультата- с инвариантостьюволновогоуравненияотносительнопреобразованийЛоренца.

Длябольшей определённостиснова рассмотримзвуковые волныв воздухе вакустическомприближении. Эти волны можнорассматриватькак самостоятельныефизическиеобъекты , никане связанныесо средой - воздухом, колебаниямикоторого онина самом делеявляются . Средатеперь - совершеннодругой физическийобъект , дажеиной физическойприроды . Звуковыеволны существуютсами по себе,безо всякойсреды. И этотновый физическийобъект -“волны“- поэтому совершенноестественнодолжен одинаковоописыватьсяво всех инерциальныхсистемах отсчета, так как инерциальныесистемы отсчетане только механически, но и физическидолжныбыть полностьюравноправными.

Вотношениизвуковых волнв воздухе такаяфизическаяинтерпретациявполне возможна, но только орамках акустическогоприближения, т.е. для волночень малой(даже бесконечномалой) амплитуды. В случае звуковыхволн конечнойи большой амплитудытакая , казалосьбы , самая простаяи естественнаяинтерпретация, разумеется, неправильна.

Вспециальнойтеории относительностиобсуждаютсяне звуковые, а электромагнитныеволны. Средой, подобной воздуху, для звуковыхволн здесьявляется , правда, пока ещё экспериментальноне открытаяособая гипотетическаясреда , называемаяэфиром. Но эфирэкспериментальноне обнаружен, и вообще внастоящее времяв современнойфундаментальнойфизике электромагнитногополя ещё многоеостаётся неясным.Поэтому можносчитать , какэто делают внастоящеевремя, описаннуюфизическуюинтерпретациюединственноприемлемой, как это провозгласилЭйнштейн в 1905г., что эфира вприроде несуществует.

Каквыше отмечалось, оптическиеи электродинамическиеэксперименты, проведённыена Земле с цельюобнаруженияи измеренияпоступательнойскоростиVЗемли первогои второго порядковмалости повеличине V/C=10^-4, дали отрицательныйрезультат . Вчастности ,отрицательныйрезультат дали экспериментМайкельсона-Морлис двухплечевыминтерферометром. Никаких эффектоввлияния поступательнойскорости движенияЗемли все этиэкспериментыне выявили.Скорость Землив указанныхэксперпиментахизмерить неудалось.

Такимобразом , к концуХ|Хвека в результатевсех этихэкспериментальныхнеудач удалосьобобщитьмеханическийпринцип относительностиГалилея наэлектромагнитные( в том числе иоптические) явления ипровозгласитьобщефизическийпринцип относительности,который иногданазывают принципомотносительностиЭйнштейна.

Электродинамическийпринцип относительности.

Всефизическиеявления во всехинерциальныхсистемах отсчетапротекаютодинаково.Нельзяс помощью каких-либофизическихэкспериментовв движущейсяинерциальнойсистеме тосчетаопределитьскорость еедвижения , еслине производитьнаблюденийтел из системыотсчета , относительнокоторой мыхотим определитьскорость движения.

МатематическоесвойствоинвариантностиотносительнопреобразованийЛоренца основныхуравненийэлектродинамики- уравненийМаксвеллаиспользовалосьЛоренцем в 1895г. И в 1904 г. Дляобъяснения, почему с помощьюэлектродинамическихэкспериментовнельзя определитьскоростьпоступательного движенияЗемли в эффектахпервого и второгопорядков малости( 1895 г.) и вообщево всех эффектах(1904 г. ).

4.10.Обсуждениепонятия скороститела и

построенияполей временив покоящейсяи движущейсясистемах отсчета.

Казалосьбы , понятиескорости тела, как пройденногопути за определенныйпромежутоквремени :

настолькоясно , что нетребует вообщеникаких пояснений. Конечно , еслитело движетсянеравномерно, то надо вводитьв рассмотрениемгновеннуюскорость

ноне об этом сейчасречь . Вместес тем в связис данным определениемскорости необходимо, однако , обсудитьвесьма существенныйфизическийвопрос.

Чтобылучше представиьсебе ситуацию, рассмотримконкретныйэксперимент, проводимыйдля измеренияскорости тела. Пусть имеетсядвижущеесятело и пустьоно в какой-томомент временипроходит илипролетает черезто местоN ,где мы самисейчас находимся. Засечём этотмомент t1 на имеющемсяу нас измерителевремени - часам.

Предположим, что мы находимсяв месте N инаблюдаем изэтого местаза нашим движущимсятелом . Черезнекоторое время, скажем в моментвремени t2 , зарегистрованнымпо нашим часам, тело проходитчерез другоеместо M , расстояниедо которогоS2-S1 отнашего места N , мы можем измеритьзаранее. Тогдаскоростью теламы назовемотношение

Вродебы всё совершенноясно . Но этоне так . Мы должныучесть , что когда мы увидели, что тело проходитчерез местоM ,мына самом делепросто зарегистрировалисветовой сигнал, приходящийк нам из места M ,свидетельствующийо совпадениитела и местаM.Так как сигналраспространяетсяс некоторойконечной скоростьюС , то мы должныэто учесть иввести поправкуна время распространениясигнала отместа Mдоместа N,т.е. поправку навремя запаздывания.

Такимобразом , мы должны в формуледля скорости V взятьне момент t2 ,непосредственноэкспериментальнонаблюдаемыйи зафиксированныйпо нашим часам, а момент

искоростью теладолжны на самомделе назватьвеличину

котораялишь незначительнобольше величиныV ,если тело движетсяне слишкомбыстро .

Таккак скоростьсвета Cоченьбольшая ( С=300000 км/c) , то рассматриваемаяпоправка , конечно, будет для реальнонаблюдаемыхдвижениий телна Земле чрезвычайномалой .

Однакоона становитсятем больше ,чем дальшеудалено местоМ от места Nи чем скореедвижется тело. Если скоростьV телабудет близкак скоростисвета , то поправкабудет оченьбольшой .

Именноэта поправкав определениискорости телаи учитываетсяв специальнойтеории относительности.

Здесьследует сказать, что наше субъективноеощущение обокружающемнас мире в некоторыйданный моментвремени , действительносубъективнои неправильно. Дело в том , чтоудаленныепредметы мывидим такими, какими онибыли в болееранние моментывремени , чемвидимые намиблизкие от наспредметы .

Скажем, мы видим наулице “одновременно”идущихлюдей , здания , Солнце .Но ведь, на самом деле, Солнце мы видимне в тот момент, в который мына него смотрим, а в момент примернона 8,5 минут раньше(так как времяраспространениясвета от Солнцадо Земли составляетпримерно 8 мин.20 сек. ). А если мы“одновременно”взглянемв телескоп наудаленные отнас звезды игалактики , тогалактики насаммом делесейчас мы видимв такие моменты, когда мы ещёи сами не родились, и даже ещё непоявилась нашаЗемля и нашаСолнечнаясистема .

Такимобразом , обсуждаяпонятие скорости движущегосятела , нам надообязательноразобраться, что мы понимаем под временемв различныхместах пространства. Чтобы экспериментальноисследоватьперемещениетела в пространствес течениемвремени , лучшевсего иметьлокальныесогласованныедруг с другомизмерителивремени - часы, расставленныево всех точкахпространства. Тогда совсемне нужно будетдумать о поправкахв отсчётахвремени , скоростяхсветовых сигналови т.д. Множестволокальныхвремен в различныхточках системыотсчета образуетто , что мы будемназывать полемвремени .

Построимсначала полевремени в “ покоящейся“системе отсчетаК . Для этого вначале отсчетаО организуем “производство” совершенноодинаковых, идентичных, измерителейвремени - часов, ход которых, по возможности, одинаков . Затемэти измерителивремени достаточноосторожноразнесём поразличнымточкам пространстваM , N ,….

Еслибы все эти часымы сначалисинхронизовали( выставили бына них одинаковыепоказаниявремени ) , а затемразнесли поразличнымточкам пространства, то показаниячасов , помещенныхв различных