Упругий и неупругий удар двух однородных шаров (стр. 2 из 4)

В общем случае центрального и абсолютно упругого столкновения объектов с разными массами, один из которых до столкновения покоился (v_2i =0), можно записать следующие выражения для скоростей после удара:

v₁ = v_1i (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂)

v₂ = v_1i (2 m₁) / (m₁ + m₂)

Если масса налетающего шара m₁ больше массы покоящегося шара m₂ , то v₁ и v₂ будут положительными и оба шара после столкновения будут двигаться в одном направлении, совпадающем с направлением начального движения налетающего шара.

Если же масса налетающего шара m₁ меньше массы покоящегося шара m₂ , то v₁ будет отрицательной, а v₂ - положительной, и шары после столкновения будут разлетаться в противоположных направлениях. При этом, т.к. 2 m₁ > m₁ - m₂ , то маленький шарик отразиться с большей скоростью.

Такова картина удара двух любых тел, если начальная скорость направлена вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел, и если силы взаимодействия направлены вдоль этой же линии центров. В противном случае удар будет представлять сложное явление.

При нецентральном ударе шаров картина соударения будет иная.

3.2. Нецентральное упругое столкновение тел

Здесь во время удара имеет место как приближение центров шаров друг к другу вследствие их деформации, так и скольжение поверхности одного шара по поверхности другого. Очевидно, что вследствие скольжения поверхностей возникнут силы трения, которые вместе с упругими силами взаимодействия определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров относительно их центров масс.

Для того чтобы представить механизм удара, разложим векторы скоростей обоих шаров до удара на направление линии центров шаров и на направление перпендикулярное к этой линии.

V_1ц

V_1i F'_Т

V_1п

F'_y F_y

V_2i v_2п

F_T

V_2ц

В следствии "скольжения" поверхности шаров возникнут силы трения F'_T и F_T , которые вместе с упругими силами взаимодействия F'_y и F_y определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров вокруг центра. Только в том случае, когда силы трения F_T очень малы по сравнению с упругими силами F_y, т.е. F_T << F_y, можно пренебречь действием сил трения.

В этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединяя центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложив скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенциальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.

Запишем уравнения:

m₁ v_1ц + m₂ v_2ц = m_1ц v' _1ц + m₂ v'_2ц

m₁ ( v²_1п + v²_1ц ) + m₂ (v²_2п + v²_2ц) = m₁ ( v'²_1п + v²_1ц ) + m₂ (v'²_2п + v²_2ц

здесь неизвестны только две величины: v'_1ц и v'_2ц.

Общие закономерности нецентрального удара шаров в этом случае можно найти следующим путем. Предположим, что до удара шар 2 покоится, а шар 1 движется. Сила взаимодействия в момент удара проходит через центры шаров (нет трения), и ее направление зависит от "прицельного" расстояния δ, равного расстоянию центра покоящегося шара от линии полета центра другого шара (до удара). Плоскость чертежа совпадает с плоскостью, проходящей через центры шаров и вектор скорости шара 1.

F

2

r2

δ

r1

Р

1

F'

Удар произойдет при условии δ < r1 + r2, где r1 и r2 – радиусы шаров. Угол θ зависит от δ и r1 + r2. Составляющая количества движения шара 1 (ударяющего), нормальная к F (сила взаимодействия), остается неизменной. Составляющие количеств движения шаров по направлению силы F изменяются в соответствии с законами центрального удара.

По закону постоянства количества движения:

P = P₁ + P₂

где P – количество движения шара 1 до удара, P₁и P₂ – количества движения шаров 1 и 2 после удара соответственно.

P₂

P₁

θ

P

Закон сохранения энергии можно записать так:

P²/m₁ = P²₁/m₁ + P²₂/m₂

Так как P = m v и mv² = P² / m для любого тела.

Вектор P₂ составляет угол θ с вектором P , покоившийся шар отскочит под углом θ к начальной скорости первого шара, тогда из треугольника векторов следует:

P²₁ = P²₂ + P² - 2 P P₂ cos θ

Учитывая постоянство энергии, исключаем P₁ и получаем

P₂ = 2 m₂ P cos θ / (m₁ + m₂) = β P cos θ

β = 2 m₂ / (m₁ + m₂)

Отсюда видно, что общее соотношение между Р₂и Р зависит от угла θ и соотношения масс m₁/m₂.

Следует различать два случая: m₁ > m₂ и m₁ < m₂. В первом случае β < 1, тяжелый шар ударяет легкий. Конец вектора Р₂ описывает окружность диаметром βР. Оба шара после удара летят в сторону начального движения первого шара. Величина угла θ изменяется от 0 до π/2. Угол отклонения первого шара может изменяться от 0 до некоторого φ_макс.. Одному значению φ соответствуют два значения θ.

β < 1

Р₂

Р₁

А

В Р

φ