Лекція1
Існуютьлокаційніпристрої, якіповинні працюватина ~мм,~100ГГц.Оскільки~1м маютьмалу роздільнуздатність, аоптичний діапазоншвидко поглинаютьсяпостає необхідністьвивчення НВЧдіапазону.

Перші НВЧприлади виниклипід час 2-ї світовоївійни при створенніРЛС. ЗастосуванняНВЧ електроніки:
Малопотужнаелектроніка:НВЧ телебачення– супутникове,мобільні телефони,комп’ютери.
Потужнаелектроніка:НВЧ - піч, РЛ –електроніка.
Фізичніпричини виділеннядіапазону НВЧ
D –розмір об’єкта.При

-закон Кірхгофа,Ома,

-використовуютьсязакони променевоїоптики,

- НВЧ діапазон,диференційнаінтерференція.Отже в НВЧ неможемо користуватисьзаконами Кірхгофаі геометричноїоптики. ЗакониКірхгофа маютьмісце до якихосьчастот та швидкостірозповсюдженняінформації– швидкостісвітла.
Р

озглянемомалюнок. Данийланцюг можнарозрахуватиза допомогоюзакону Ома,поки генератор– постійногоструму. Розглянемозмінну напругу:електрон почнерух тоді, колисигнал пропотенціал дійдедо нього:

.Якщо частотагенераторатака, що

,то в той час,як електронрухається водну сторону,генератор вжесформувавзворотнійпотенціал,тобто існуютьструми в різнихнапрямках. Отжене можна використовуватизвичайні закони.
Описанийефект – ефектзапізнення.
-
на частоті
при таких
працюютьРЛС. На частоті10ГГцпри
ніякихзаконів Кірхгофа,Ома вже застосовуватине можна. -
Виникненнявипромінювання.При змінномуструмі можливевипромінювання,на його характеристикивпливає відстаньміж дротамипо відношеннюдо
.50Гц: ~100км.Тому зі збільшеннямчастоти основнаенергія знаходитьсяпоза провідникому вигляді поля. При високійчастоті – густинаструму розподіленанерівномірно,електронирухаються вскін шарі товщиною~1мкм.Тому опір потрібнорахувати іншимизаконами.
Найбільшрозвинутийоптичнийдіапазон НВЧ.
РівнянняМаксвела 2-огопорядку описуютьвсі електромагнітніявища:

де

-густина струму,

-напруженістьЕП,

-напруженістьМП,

-індукція МП,

-індукція ЕП,

-густина заряду,

-поверхневийструм.
Поки що монопольДірака не виявлено.
Знакирозставленовідповіднодо положеннявекторів

,

та напрямкурозповсюдженняхвилі

-утворюють правутрійку. Це – невсі рівнянняМаксвела, утакій форміїх іноді називаютьрівняннямиГерца.
Рівняннязаписано вСГСЕ. В системіСІ не буде

,

-це зручно, алев СІ опір вільногопростору скінчений,що немає фізичногозмісту.
Ці диференційнірівняння вчастиннихпохідних другогопорядку неоднорідні.Хоча з точкизору математикирівняння Максвелалінійні. Алелінійні рівнянняніколи не описуютьпідсилення,генерації іт.д. Електромагнітніпроцеси нелінійні.Нелінійністьобумовлюєтьсяречовиною, якуописують рівняння:

.Народженняелектрону -позитивноїпари в вакуумі– нелінійнийпроцес. Крімцього можнагенеруватигармоніки, 1 з10
50фотонів зливаютьсяі дають новийфотон.

,

(А/см
2),поверхневийструм -

,

(А/см).
Матеріальнерівняння –рівняннянеперервності.

.Ніякого струмуне може бутиякщо заряд невиноситься.

-що виноситься

-що залишаєтьсяв середині.

-це рівнянняв частиннихпохідних, томудуже важливіграничні тапочатковіумови. Всі фізичніполя неперервніз точки зоруфізики.
Граничніумови:

,

.
Магнітнеполе всерединіметалу(маєуявні розриви):

.
Не буваєнульової товщинитому всерединіметалу будеплавний перехід,тому що полянеперервні.
В векторномувигляді:

(1)
(2)
Якщо змінимограничні умови,то все повністюзмінюється.

-права трійка.Тому знак “-“в

.
У рівнянняхв комплекснійформі цьогонемає. Мінустам може бутив 1-му і 2-му рівняннів системі (*).
Граничніумови в металі:

.
Граничнаумова в ідеальномуметалі:

(для нетензорногосередовища).

-для

металу.
Якщо присутнє

,то за рахуноксили Лоренцавиникає струм.Для напівпровідника:
У застосуванніграничних умовголовне те, щоми не розв’язуєморівняння всередині матеріалу,а розв’язуєморівняння лишена поверхні.
Лекція10
Реальнийсмушковийнесиметричнийхвильовід.
У попереднійзадачі ми нехтуваливсіма розмірами– розглядалиідеальнийвипадок. Теперрозглянемореальний:скористаємосятими самимимоделями: нехайрозповсюджуєтьсяТ – хвиля, а мирозглядаємоодну половину(симетрія).

Використаємоконформнівідображення:

.Тут

,

,

,

,

,

.

Точка

визначаєтьсяобраним масштабом;ми знайдемоїї потім з граничнихумов. Такимчином ми маємо:

.Проінтегрувавши,маємо:

.
Лініяз втратами

Нехайіснують лишевтрати в металі.Для їх розрахункупотрібно знайтиструм

.Для цього можнавикористативектор Умова-Пойтінга.Треба розрахуватипотік енергіїз лінії в метал.Знайдемо частину

:

.Оскільки мирозглядаємоТ – хвилю, то

;тому втратенергії немає(це для ідеальноїхвилі). Щоб наблизитизадачу до реальної,потрібно використатиграничні умовиЛеонтовича:

.Тоді все рівно

але друга складовазберігається:

.Підставивши,одержимо:

,тут

-середовищекуди іде хвиля.

Теперзнайдемо повнупотужність,що входить уметал: це

,але можна розрахуватина одиницюдовжини хвильовода.Для цього розрахуємо

по контуру

,і це буде потужністьна 1 см.

.Тоді втратихарактеризуються

-потужність,що розповсюджуєтьсяв лінії. Воназменшуєтьсяз відстанню:

.
Сталазатухання:

.
М

изнаємо

,знайдемо

.Для цього запишемовектор Умова-Пойтінгадля хвилі, щорозповсюджуєтьсяв хвилеводі:

.Ця хвиля розповсюджуєтьсяпо всій площині

,тому

.Ми одержалив (*) знак “-“. Однакми не будемоставити його(оскільки призміні напрямкузнак змінюється,то вважатимемопросто

завдяки симетріїзадачі). Такимчином:

.Оцінимо цювеличину:
Введемонаближення:будемо враховуватиполе лише узаштрихованійділянці, оскількитут більшачастина (тому,що ця потужністьзумовленаємністю, а вонасконцентрованав цій ділянці).

- характеризуєякість лінії,але частішевикористовуютьдобротністьлінії:

,де

(по аналогіїз добротністюКК:

).
Для
-
Хвильоводів-
; -
Коаксіальнихкабелів -
; -
Мікросмушковихліній -
.
Оцінимодовжину хвильовода,в якому хвилязатухає в

разів при

:

.Крім втрат уметалі, існуютьі інші механізми– для них тежможна обчислити

,яке додаєтьсядо нашого. Наприклад,це витрати навипромінювання(радіаційні):

.Де

-опір лінії.Існують такождіелектричнівтрати (розглянемонижче); найкращийдіелектрик– тефлон.
Розглянемохвильовий опірлінії:

;або

,де С – ємністьлінії. Обчислившиїї, одержимо:

[Ом].
Лекція11
С
иметричнасмушкова хвильовід. Скористаємосятими самиминаближеннями:
-
Т– хвиля;
рівняння Лапласа
конформнівідображення. Розглянемополовину (симетрія).
ЗастосуємоперетворенняКристофеля-Шварца.Далі – аналогічнопопереднімзадачам. Розв’язавши,одержимо картинкуполів:

Її параметри:

.Тут

менше, аніж упопереднійлінії, оскількиємність тутбільша. Однак,тут

менше не в 2 рази,оскільки упопередньомухвильоводіємність враховуваласьі до верхньоїсторони верхньоїсмужки, і донижньої (див.Мал.), тому тамємність більша,аніж у звичайномуконденсаторі.

Довжинахвилі для симетричносмушкової лінії

,якщо всі трисмушки знаходятьсяв середовищі

.
В
ідкритілінії. Тут смужкана шарі діелектрику.Тоді:
-
Зверху-
. -
Знизу-
.
Томувикористовуютьдеяке ефективне

:

,треба знайтичастину енергії,яка йде подіелектрику.Нехай ця частина

в

.Тоді:

.Часто використовуютьтаку наближенуформулу:

.
Лекція12
Повільніхвилі.
Для багатьохелектричнихприладів необхідноотримати хвилю,що рухаєтьсязі швидкістю

.Це зокремастосуєтьсяприладів, уяких відбуваєтьсяпередача енергіїта інформаціївід хвилі іншимносіям. Однак,згідно Ейнштейну,хвилі у вакуумірухаються зішвидкістюсвітла, а будь-якийінший носій(наприклад

)не може рухатисязі швидкістю

.
-
Д
лястворенняуповільнениххвиль використовуютьсярізні спеціальніхвильоводи:
Передачаенергії віделектричногопотоку до ЕМ– поля називаєтьсяефектом Вавілова-Черенкова.Він виникає,коли швидкостіелектричногопотоку та ЕМ– хвилі рівні.
-
.Метод передачіенергії: вдіелектрику– вузький канал,куди запускаютьпотік електронів.
Метод уповільнення:використовуютьсядифракційніефекти.

Розглянемопрямокутнийхвильовід здіелектрику:

Розповсюдженняхвилі в брускуз діелектриком– за рахунокповного відбиття.Це – відкритідіелектричніхвильоводи(бо немає металевихстінок) абосвітловоди.На практицівикористовуютьсякруглі волокна(див. мал.) – fiber-glass.

Досягненняполягає в тому,що немає металу,яким обумовленабільшістьвтрат. Ця лініятакож є уповільнюючою,бо:
-
-
непрямолінійнерозповсюдженняхвилі,
.
Хвиля існуєне лише в хвильоводі,але й в металі,бо хвильовід– відкритий.

ВисновкиЕйнштейна проте, що фотон увакуумі рухаєтьсязі швидкістю

,стосуєтьсявільногонескінченногопростору, томуза межами хвильоводанеподалік віднього поле є,і воно рухаєтьсязі швидкістю

;проте на

поля бути неможе черезекспоненційнеспадання поля.
З іншихміркувань:хвиля не виходитьз діелектрику,тому, що всерединішвидкість

тобто імпульс

;і згідно з закономзбереженняімпульсу хвиляне може вийтиз хвильоводу,бо за його межамиімпульс маєбути

.Єдина умовавиходу хвиліз хвильоводу– тоді, колишвидкість хвилів хвильоводістане рівною
с (імпульсивсередині ізовні – однакові).
Розрахуємополе у fiber-glass:шукаємо хвилюЕ або ТМ.

Розв’язкиобох рівнянь(для зовнішньогота внутрішньогосередовища)необхідноприрівнятипри

(на границі):

;

.
В циліндричнійСК:

.Запишемо рівняннядля скалярноїфункції:

.Розглянемосиметричнірозв’язки:

.

.

.
Якщо областьмістить точку

;то розв’язокзручно братиу вигляді функційХанкеля, босаме в базисі

є функція, щоекспоненційнопрямує до нуляпри

.

- йде в

з хвильовода,

-йде з

в хвильовід.
Отже,розв’язок требабрати у вигляді:

,

,тобто

.
Граничніумови для похідних

.Врахуємо

для

або

;

циліндричнафункція. Тоді

.Таким чиномз граничнихумов одержали:

.Це – лінійнаодноріднасистема відносноА та В. Вона маєрозв’язок заумови

:

.

.
Розв’язокпозначається

(перший індексв

-нуль, бо брали

).
Знайдемосталу розповсюдження:

,тоді одержуємо:

.
Тут такожіснує критичнадовжина хвилі,яка відповідає

:

.Однак існуєбільш жорсткаумова – умоватого, щоб хвиляне пішла зхвильоводу:

:

.Умовою визначеннякритичної хвиліу відкритихсистемах є нерівність сталоїрозповсюдження

,а більш жорсткаумова

.Це – умованевитіканняхвилі з хвильоводу.Фізично вонає законом збереженняімпульсу (колиімпульси зовніі всерединіспівпадають,з’являєтьсяможливістьдля витіканняхвилі.
П

риблизнакартина розподілу

та

у хвильоводіта зовні показанана малюнку:

Ця картина- для

(

,1 – номер кореня).
Лекція13
Гібридніхвилі.
Раніше мирозглядаливсі види хвиль(Е, Н чи Т) окремо.Однак у загальномувипадку хвиляє суперпозицієюЕ, Н, Т – повнийрозв’язокрівняння Максвела.
Гібриднахвиля– це хвиля, якамає всі компоненти;це суперпозиціяЕ, Н, Т.
У випадкурозглянутомувище, хвильовода(стержня), мимаємо три граничніумови і двіконстанти врівняннях, атому рівнянняв загальномувипадку не будемати розв’язків.Однак, тут нампотрібно розглядатине тільки

,

,

,а і хвилю

:

.Тепер полеописуєтьсячотирма константамиі відповідночотирма граничнимиумовами.
Методузгодженняпоперечногоімпедансу.Гофра.

Покажемо,що ця система– уповільнююча.Розглянемомодель:

Уявимо,що в цій системідійсно існуєхвиля, близькадо хвилі білякруглого хвильоводу.Нехай це будеЕ – хвиля, щорозповсюджуєтьсяв напрямку

.По аналогіїзі стержнем

.Виходячи зцього, можназнайти іншікомпоненти:

.
Це – компонентизовні. Що будевсередині?Всерединібудуть стоячіхвилі:

.Це – дві Т - хвилі(пряма і відбита).
Можнарозглянутитаке рішеннядля

всередині:

.Тоді

Пом’якшимоумову (це методузгодженняпоперечногоімпедансу) так,щоб неперервнібули відношенняполів.

Тоді

.
Поперечнастала розповсюдженняхвилі

.
Т

оді

.

.В точках

отримаємо

.
Іноді будуютьфотонну криву:

Маємоділянку, де

,тобто маємоуповільнення. Це – звичайнийрезонатор дляЕМ – хвилі. Прирозрахункаху нас

переходилов

,а це можливопри

.Це – ще однаумова.
Спіраль.

Тут

,

.Така системапо своїй конструкціїуповільнююча,з коефіцієнтомуповільнення

.Але тут теж єрезонансніефекти, що призводятьдо уповільнення,якщо

.
Лекція14
Об’ємнірезонатори.
У них хвиля“б’ється” міжстінками (див.Мал.):

,тоді хвиля, щозаходить урезонатор, івідбита, будутьу фазі; тобтоце – умова резонансу.
Розв’яжеморівняння Максвеладля даної системи– знайдемоколивання, щоіснують у ційкоробці.

.З урахуваннямграничних умовна боковихстінках (стінкаххвильовода):

.Накладемо щедві граничніумови:

звідки одержимо

- неправильно.Це тому, що неврахуваливідбиття відторців; правильнобуде записати:

.Тоді при накладанніумови

одержимо

.

.
Розглянемо

,одержимо

.Тоді

.
Типи коливань:(останній індекс– кількістьпівхвиль)

В кругломурезонаторі:

Існує дужебагато типіврезонаторів.Наприклад,резонаторхвилі, що біжить,такий резонаторще називаютькільцевим.Резонанс:

.
Добротністьрезонаторів
. Для будь-якогорезонаторазвичайно існуєАЧХ, яка маєширину.

Напівширина

вимірюєтьсядля

на 0.5; а для вихідноїамплітуди –на 0.7 висотиконтуру.

.Хвиля затухаєіз декрементом

:

,

.Доведемо, що

.Це випливаєз розв’язкурівняння:

.Втрати

- тут добротність

.Втрати можутьбути в металі,на випромінюванняв діелектрику:

Підрахуємодобротність,пов’язану звтратами удіелектрику:

Таким чином,

(

- коливаннярезонатораз діелектриком,

- порожнього).

,де

,отже

.Таким чиномми одержали

,

.Для розрахунку

в металі требазнайти потікенергії (як усмушковомурезонаторі).
Лекція15
Відкритірезонатори.
Це резонаторина основі відкритихліній передач.Вони маютьелектромагнітнийконтакт з відкритимпростором.Звичайновикористовуютьсяв лазерах сферичнідіелектричнірезонатори.Нас цікавлятьшари діелектрикадля лінії

.Тут не можнавикористовуватигеометричнінаближення,потрібно розв’язуватирівняння Максвела.
Розв’яжеморівняння Максвеладля сферичногодіелектричногорезонатора.Тут потрібновикористатиССК:

,

.
В сферичнійСК не можнаперейти доскалярнихрівнянь звичайнимчином. Використовуютьзаміну:

,

,

,

,

,

.
Це – ТМ чи Е – заміна,оскільки

.Аналогічноможна зробитиН – заміну:

Ми будемовикористовуватиЕ – заміну,перейшовшидо потенціалу

,в результатіодержимо:

.
Щоб отриматисаме хвильоверівняння, дебула б ще й похідна

,необхіднозробити заміну:

.Потенціали

та

називаютьпотенціаламиДебаю. Вонимають методичнезначення. Розв’яжемопростіше рівняннядля

та

- методом відокремленихзмінних:

тоді

.
Рівняннядля

- це рівнянняЛежандра. Йогорозв’язки –поліноми Лежандра.Рівняння для

можна звестидо рівнянняБесселя заміною

.Це рівняннядля сферичнихфункцій Бесселя(або функційБесселя напівцілоговигляду). Стандартнийвигляд рівняння:

,його розв’язки

:

.
Таким чиномрозв’язки:

.
Щоб використатиграничні умови,необхідновиразити

,

через

.

,

о

тримаємодва рівняннядля А та В, причомуА і В будутьвідмінні віднуля лише тоді,коли

системи рівнанулю. Користуючисьвиразами для

та

,отримаємо:

з цього рівнянняотримаємо

.Для

:

.Поле має вигляд:

Таким чином,поля тут ідутьтаким же чином,як і в кільці,по якому біжитьструм.
Це була строга,точна теоріярезонаторівсферичноїформи. Проте,їх важко виготовляти,вони незручніу використанні.Використовують:

Розрахуватитаку системунеможливо, бонемає регулярнихграничних умов(наприклад при

).
Можна вважати,що резонансначастота є проміжнимзначенням міжрезонансноючастотою увписаній таописаній кулі.

Відмінністьформуванняграничних умов:

- регулярнагранична умова

- нерегулярнагранична умова

Коли єметалева поверхня,можна записати

.Це так званіелектричністінки.
Лекція16
Методмагнітноїстінки.
Він застосовуєтьсяпри аналізідіелектричнихрезонаторів.

Оберненаситуація –хвиля виходитьз металу (абодіелектрика)в вакуум.

Зліва – стоячахвиля, справа– біжуча, звичайна,зі сталою амплітудою.
Тількитаким чиномможна досягтивиконання умов:

,

;якщо на границіЕП має максимум,а МП – мінімум(вузол).
В серединіз великим

ЕП сильнопоглинається,а МП залишаєтьсясталим.
Магнітнастінка виникаєпри виходіхвилі з діелектриказ

.Це означає, щона межі

(на відміну віделектричноїстінки, якаутворюєтьсяпри виходіхвилі, де

).
Метал:

.
Діелектрик

:

.
Самостійно:Знайти умовиіснуванняхвилі, частотиза аналогієюз задачею дляметалу.
Вимушеніколивання.
Лема Лоренцаі теорема взаємності.
В лінійнихполях немаєвзаємодії міжполями. Однак,існують випадки,коли лінійніполя впливаютьодне на одне.Уявимо, що єдва незалежнихЕМ – процеси:

- диференціальнийвигляд лемиЛоренца.

- лемаЛоренца. (поляне незалежні,а залежать одневід одного).
Р

озглянемоситуацію, коли

:

,бо на

всі фотонизатухають.

,

.
Р

озглянемодва диполі:

- енергіяпершого диполяу полі

.

- теоремавзаємності.

Приймач нетільки приймає,але й випромінює.Для того, щобдесь збудитиполе, потрібно,щоб це полезбуджувалострум в нашійантені тобтопотрібно розміститиантену в центрі,де поле найбільше.
Збудженняхвиль у хвильоводі.
У хвильоводіможуть існуватилише Е та Н –хвилі.
Лекція17
Ортогональністьвласних хвильу хвильоводі.
Запишемолему Лоренцадля цього випадку.(

- стала розповсюдження.)

У виглядіхвилі візьмемовластивістьхвилі у хвильоводі:

;

-позначення.

бо розглядаємовласні хвиліі зовнішніхструмів немає.Таким чином:

.
Незалежновід поверхні

.
Для того,щоб це булаконстанта,необхідно

.Сталість небуде залежативід

,коли хвиля йде

,і також хвиляйде

;для всіх іншиххвиль =0.

.
Підрахуємонорму хвилі(співвідношенняортогональне)для хвилі

.

,

.

-це

.Доведемоортонормованість.Уявимо, що єдеякий хвильовіді струми (див.Мал.)

.Звернемосядо леми Лоренца.Будемо вважати,що:

,

- зворотна власнахвиля.

- формуладля визначеннякоефіцієнтівчерез струми.

Нехай,наприклад, упрямокутномухвильоводічерез отвіру точці

введений стержень,по якому відгенератора
Гйде струм

.Необхіднорозрахуватиамплітуду хвилі

.

,де

,

.Отже :

,бачимо, що амплітудахвиль максимальна,якщо

,і дорівнюєнулю, коли стерженьколо стінки:

.
Лекція18
Збудженняоб’ємних резонаторів.
- Доведемоортонормованістьвласних функційрезонатора.

,

,бо задача провласні коливаннярозв’язуєтьсябез струмів.Для другогоколивання:

.

,

.
Проінтегрувавшиобидві рівностіпо всьому об’ємута врахувавшивластивості

векторногодобутку, отримаємо:

,

.
Враховуючи,що

та позначивши

маємо лінійнуодноріднусистему відносно

з коефіцієнтами

та

:

.Система маєнетрівіальнірозв’язки якщо

;

.Тоді

,тобто

.Таким чиноммаємо ортонормованістьвласних функційрезонатораз нормою

,яку легко знайти.
Знайдемополя
та
всерединірезонаторапри наявностіструмів.

- рівнянняМаксвела.
Псевдовекторв математиці– вектор, щозмінює свійнапрямок приінверсії системикоординат(напрямок, векторнийдобуток). У фізиціпсевдовекторзмінює напрямокпри інверсіїчасу

.Наприклад, приінверсії часуелектрон починаєобертатисяв протилежномунапрямку, авідповіднозмінює і напрямокМП.
Такимчином, МП –псевдовектор,ЕП – вектор.Звідси можназробити висновок,що гамільтоніанне може містити

(щоб він бувінваріантнийдо інверсіїчасу). Ще одинвисновок – щонемає
магнітногоп’єзоефекту.
І

снуєіще одна класифікація:
соленоїдальніта потенціальні.
Потенціальний(поздовжній):

- немаєвихорів.
С

оленоїдальний(поперечний):

- немаєвузлів.
Записавши

ми зробилипомилку, бо неврахувалипотенційніполя, пов’язаніз електростатичнимиполями зарядів,що збуджуютьструми.
Отже,

,

,де

,

.Взагалі то,

,бо магнітнихзарядів неіснує. Проте,є припущенняпро існуваннямагнітнихзарядів –
монопольДірака;тоді

.

,

.
Підставимов рівнянняМаксвела:

.Прирівнявшивідповіднікоефіцієнтипри базиснихфункціях

та

,одержимо

- з рівнянняа). Оскільки

,то

.

.

;

.
Такимчином, длягармонічнихполів:

.Тоді

.Використаємо

,

.

,

бо

.Таким чином,довели строгерівняння Пуансонадля електростатичноїчастини полів.
Проінтегруємо

по

,попередньопомножившина

:

.
В результатіотримаємо:

,маємо системудвох рівняньз двома невідомими.Амплітуда

.
Ми отрималиформулу длярезонансногозбудження. Тутне врахованодисипацію,тому можливо

.Якщо дисипаціюврахуватинаступнимчином:

,то отримаємоЛоренцівськурезонанснукриву:

.
Лекція19
Неоднорідностіу хвильоводі.
Неоднорідностіє в будь-якомухвильоводі,вони маютьрізний характер.Для цих системполя можнарозбити на:
Дальню зону(де не відчуваєтьсянеоднорідність).
Ближню зону(неоднорідністьвідчуваєтьсясуттєво).
Наприклад,якщо буде заклепкана стінці хвильовода,то:

По хвильоводубуде розповсюджуватисялише одна хвиля

за рахуноквибору розмірів.Отже, білянеоднорідностібуде зона зенергією, якане розповсюджується.Тому це деякийеквівалентіндуктивностіабо ємності.
Нам необхідно:
-
Розв’язатирівняння Максвелаі знайти Г(коефіцієнтвідбиття) і Т(коефіцієнтпрозорості),далі в позначеннях
та
. -
,де
- лінія,
-перешкода,тобто отримуємо
знаючи
.
.
Розглянемонеоднорідністьяка називаєтьсяДіафрагма.Вона може бутиіндуктивначи ємнісна узалежностівід опору.

Діафрагма.
Ми розглянемолише індуктивнудіафрагму, дляіншої – аналогічно.

Припущення:
-
діафрагманескінченнотонка і розташованау площині
. Симетріязадачі така,що крім хвиліН інших хвильне існує.
Тоді можназаписати, щопри

:

,тобто хвиляє сумою прямої,відбитої (р –коефіцієнтвідбиття) хвиліта вищих хвиль,що виникаютьна діафрагмі.Всі інші компонентирозраховуютьсяза допомогоюсистеми рівняньМаксвела:

Такимчином, ми маємовсі компонентиполя зліва віддіафрагми.Тепер запишемохвилю справа

:

,де

- коефіцієнтпропускання(діафрагмагенерує в обохнапрямках).

Такимчином ми розв’язалирівняння Максвела,не розв’язуючиїх. (Зауваження:ми не враховувалиелектростатичнихполів).Тепер зашиєморозв’язкисправа та зліва,наклавши граничніумови при

(всі поля повиннібути неперервні):

.
Розглянемо:
-
Граничніумови для
:
,помножимо церівняння на
і проінтегруємовід 0 до
,в результатіодержимо:
,
.Роблячи тесаме для полясправа віддіафрагми
,одержимо:
,
. -
Підставляючи
,
,
в рівняння для
і провівшианалогічнірозрахунки, отримаємонаступне рівняння:
.Таким чином,маємо системуінтегральнихрівняннь (*) та(**), можемо знайти
та
.
;
;де
;
.
.
Фізичніміркування:

повинна бути

чи

в межах діафрагми.

З

найдемо

:оскільки

;то буде

;

.
Таким чином,це дійсно індуктивнадіафрагма.
Лекція2
Класифікаціяелектромагнітнихявищ
Існуютьзагальні підходидля спрощення:
-
Рівняннястаціонарногоелектромагнітногополя. Інколиможна розглядатипостійні струми.При цьому врівнянні (*)зникають похідні:
Прикладвикористання:розрахунокнаводок. -
Розглянемосистему рівняньу вакуумі,де
.Рівняннямагнітостатики:
,рівнянняелектростатики:
.Рівняннямагнітостатикимає місце ітам, де
.РівнянняМаксвела нехвильове.Хвильовим воностає в однорідномуізотропномусередовищі.Звідси
тобто
звідки одержуєморівняння Лапласа:
(зурахуваннямзаряду), Пуасона:
(без). -
Квазістатичненаближення:
,
-розмір об’єкту.Тоді рівнянняМаксвеласпрощуються.Розглянемометал: тампросторовіпереходи дужешвидко зростають(швидке затухання)тобто частиннимипохіднимиможна знехтувати. -
Длямонохроматичноголінійного поляможна використатиметодкомплекснихамплітуд:позбавляємосячастиннихпохідних тобтоспрощуєморівняння Максвела.Рівняння ЕМПв комплекснійформі будеморозглядатилише для лінійнихрівнянь, хочаіснує методі для нелінійних.Розглянеморівняння:
.Зробимо наступнузаміну:
,та аналогічно
.Підставившиотримаємо:
,прирівнявшикоефіцієнтиотримуємо:
-ми спростилирівняння. Длятого, щоб записатилінійне ДР укомплекснихамплітудах,потрібно: а)замість дійснихзмінних записатикомплекснізмінні; б) замістьпохідних почасу требазаписати
.Для того щобзнайти розв’язокрівняння, потрібнорозв’язатиспрощене рівняння,а потім знайтиреальну частинувід одного звиразів:
або
.Часто рівняннязаписують зурахуваннямтого, що хвильовийвектор
,де
.Надалі ми будемопрацювати вкомплекснихамплітудах.
Було б зручнозвести рівнянняМаксвела дохвильових, алеце можна зробитилише у деякихвипадках, якіі розглянемо.
Плоскіхвилі
Розглядатимемоплоскі хвилів однорідномуізотропномусередовищі.
Задача:знайти характеристикиплоскої хвилів такому середовищі.

Розв’язок:
Обираємодекартовусистему координат;
-
РівнянняМаксвела:
;де
.У плоскої хвиліна хвильовомуфронті амплітудаі фаза однакова.Нехай хвилярозповсюджуєтьсяв напрямку
,то
.Отримаємо
(з
).Розв’язокотриманогрівняннняосцилятора:
.
Перейдемодо справжньоїкомпонентиполя:

де

-рівняння хвильовогофронту (фаза

).Цей фронтрозповсюджуєтьсязліва направо.Якби ми взялизамість

компоненту

,то одержалиб

-фронт, що рухаєтьсясправа наліво.
Розглянемо

.

.

;

,тобто маємодійсно правутрійку

.Оскільки

,то

.
Такимчином у плоскійхвилі

і

залежнівеличини: якщоодне з них задане,то друге визначаєтьсялише серидовищем(див. *). Це в СГСЕ,в інших системахпо іншому. Наприклад,в СІ у вакуумі

377(Ом) – опір вільногопростору (хвильовийопір простору).
Затуханняелектромагнітниххвиль (ЕМХ).
Нехайвздовж осі

розповсюджуєтьсяЕМХ:

;тут

.Розглянемов середовищі,де

,(найрозповсюдженішийвипадок);

.Тоді

.З’явиласядійсна величина

векспоненті.Тобто кожнахвиля затухає.
Лекція3
Затуханняу металі, скін– шар.
У попередньомупункті ми записалиЕМХ як

,для металу

,тоді маємо

.Оскільки

,то

.В металі хвилязатухає як

.Глибина, наякій хвиляспадає в

разназиваєтьсяскін – шаром.

.Для постійногополя

.
Перехідхвилі з одногосередовищав інше.
Р

озглянемотакий випадок:(див. Мал.)
Це – граничназадача електродинаміки.
Для її розв’язкунеобхідно:
Розв’язатирівняння Максвелау кожномусередовищі.
Прирівнятирозв’язки награниці.
З отриманихалгебраїчнихрівнянь одержативсі характеристикиЕМП.
Спочаткуобираємо повнусистему рівняньМаксвела, однакоскільки обидвасередовища– однорідніізотропні,можна використативекторне рівнянняМаксвела:

.
Межа – пряма,тому обираємодекартову СК:

.У даних середовищахбуде:

Нехай

,тоді

.
З

апишемограничні умови:
Підставившиодержимо:

-система несумісна.Ми не врахувалите, що існуєтакож відбитахвиля у середовищі(1):

.При відбиттітрійка векторівзалишаєтьсяправою, томунапрямок вектора

змінюється,тому у виразідля

- мінус:

.
Підставившиодержимо:

Таким чином,найбільша(повна) передачаенергії в другесередовищепри

-коефіцієнтвідбиття

.По аналогіїз електротехнікоювеличини

називаютьопорами.
Лекція4
Узагальненаплоска хвиля.
Для рівняння

загальнийрозв’язок

(можнаперевіритипідстановкою).Таким чиномхвиля розповсюджуєтьсяв багатьохнапрямках:

-хвиля в напрямку

.

-хвиля в напрямку

.
Задача:Нехай хвиляпадає під кутом

до поверхнісередовища,знайти характеристикивідбитої хвиліта заломленої.

Розв’язок:Вважаємо, що

.Раніше ми показали,що розв’язкомрівнянь Максвелає узагальненерівняння хвилі.Тоді для даниххвиль:

( ми розглянулиплоску задачув

).
Граничнаумова:

.Тоді

,де

;

;

;коефіцієнти

не повиннізалежати від

.В цьому випадку

(*).Тоді

(**).
Виходячиз (*), маємо

.(очевидно якщовідкластивідрізки намалюнку). Аналогічно

.

-перший законСмеліуса.

- другий законСмеліуса.
Наближеніграничні умовиЛеонтовича.
Р

озглянемоідеальну металевуповерхню. Длянеї граничніумови:

;

.Однак, тут

- не враховувалисявтрати в металі.Їх врахувавЛеонтович:

-
Нехай хвиляпадає під кутомдо поверхні.Леонтовичвважав, що якбихвиля не падала,вона йде нормальнодо поверхні.Це можна пояснититим, що в металі
,тому кут заломленнядуже малий:
.Це наближенаумова. -
Леонтовичвважав, що вметалі розповсюджуєтьсязвичайнаелектромагнітнахвиля, в якій
,де
.Ця рівністьзберігаєтьсяі на межі металу.У вакуумі
,при цьому
;
.Це і є наближенагранична умова.
В
ідбиваннявід ідеальнопровідноїграниці (метал)ТЕ, ТМ хвилі. 
- падаючахвиля (індекс“п”). Обираємознак “+” для

.Тоді

.Сумарне поленад металом

Таким чином,сумарна хвилярозповсюджуєтьсяв напрямку

.Отже в результатірозв’язкурівняння Максвелами маємо хвилю,що падає, і хвилю,що відбита.Сума цих полівдає нову хвилю,що розповсюджуєтьсявздовж

і є сумою цихдвох хвиль.Падаюча і відбитахвиля називаються
парціальними;Сумарна зветься
неоднорідноюплоскою хвилею.Неодноріднаплоска хвилятеж є розв’язкомрівняння Максвела.
Властивостінеоднорідноїплоскої хвилі:
-
Ця хвиля маєпоздовжнікомпонентиполів: якщоз’являється а)
-
-хвиля(ТЕ); б)
-
-хвиля(ТМ). -
Її амплітудавздовж хвильовогофронту змінюється:
- через це їїназиваютьнеоднорідною.Плоскою називаютьтому, що фронтдо напрямкурозповсюдження
. -
довжинасумарної хвилі
вихідних. Фазовашвидкість цієїхвилі
,оскільки в тойчас, коли вихіднахвиля апроходить,сумарна хвиляпроходить
.За цей же часенергія переноситьсяна відстань
-групова швидкість
.

а

Висновок:Існують неоднорідніплоскі хвилі:

;

;

;

.Існують компоненти

,

.
Лекція5
РівнянняМаксвела дляТ, ТЕ, ТМ хвиль.
Для однорідногоізотропногосередовищав декартовійСК:

.
Т - хвилярозповсюджуєтьсязі швидкістюсвітла,

.Для неї

.Підставимов рівнянняМаксвела:

;
оскільки

,таким чиномдля Т – хвилі:

- рівняння Лапласа.Для ТЕ та ТМ:

,

(хвиля розповсюджуєтьсяв напрямку

).

.
Маємо

- для ТЕ, ТМ.
Ми отрималисистему рівняньМаксвела:

.
Т – хвиляіснує там, деє розв’язокрівняння Лапласа(електрика). Мизнаємо, що рівняннямЛапласа описуєтьсяелектростатичнеполе, наприкладу конденсаторі.Тому якщо існуєелектростатичнеполе, то можеіснувати і Т– хвиля. Такимчином вона можеіснувати уконденсаторі,коаксіальномукабелі.
Оскількиодне рівнянняі однаковіграничні умовидля електростатичногополя і Т – хвиля,то їх силовілінії співпадають.
Для того, щоброзв’язатизадачу прохвилю, требазнайти:
Картину полів;
Сталу розповсюдження(швидкість);
З

найдемоЕМ – поля між║ пластинами:
Тут можеіснувати Т –хвиля, бо існуєрозв’язокрівняння Лапласадля конденсатора.Картина полівзображена намалюнку, такимчином ми розв’язализадачу безвикладок. А чиможе у цій системірозповсюджуватисяЕ чи Н хвиля?Для того щобвідповістина це запитання,необхіднорозв’язатизадачу (розрахуватикартину поліві знайти

):

,будемо вважати,що

.Ми отримализадачу Коші:

.Її розв’язок

.

;

.

.

.Де

-довжина хвиліу хвилі у хвилеводі.
Очевидно,що

при

;тобто існуєдеяка критичнадовжина хвилі

-така, що при

хвиляне буде розповсюджуватисяу хвилеводі:при

:

-уявне, тобтоприсутнє затухання.

;нижня

.
Таким чиному хвилевідзайде Т – хвиляз будь-яким

і Е – хвиля лишез

.Можна отримати,що

.Якщо зменшувати

,то

збільшується.Також змінюється

при зміні

.Існує критичначастота, коли

,тоді хвиля нерозповсюджується.

-довжина Т –хвилі у вільномупросторі

,

;
Таким чином,в результатірозв’язкурівняння Максвелами знайшли лишеодну компонентухвилі

.Однак для побудовикартини необхіднознайти всі іншікомпоненти (у ТЕ та ТМ хвильможе бути небільше п’ятикомпонент).СкористаємосярівняннямиМаксвела: будемовиходити з

.

А

налогічнодля

,таким чином,для неоднорідноїхвилі ми отрималиповний розв’язок:

.Розглянемопари:

.В нашій Е – хвиліобов’язково

,тоді з системилегко отриматиінші компоненти:

.Таким чиноммаємо картинуполів ТМ (Е –хвилі). Для ТЕ– хвилі – аналогічно.
Лекція6
П
рямокутнийхвильовід. В серединіметалевогопроводу не можебути електростатичнихполів. Можутьбути лише Е, Н.

.Граничні умови:

Нехай

;тоді

;

;

;

;

.

такимчином

.

.
Тут

;звідси

.Аналогічно

.

за симетрією

.

отже

.

.
Розв’язок:

;де

,можна такожзнайти

,але

.
Ця задачав частиннихпохідних маєбезліч розв’язків

.Загальна хвилябуде

.Розглянемоодин з розв’язків:

-цехвиля

.
Отримаємо

.Інші компоненти:

,тут

.
У хвилеводібудуть розповсюджуватисяхвилі з

.

Визначимофізичний змістіндексів: розглянемо

.

- по

одна півхвиля.Таким чином,перший індекс

означає скількиваріацій маєполе в напрямку

.Другий індекс

-вздовж

.
Розглянемотипову картинуполів у хвильоводідля

:

Оскількихвиля рухаєтьсяз певною швидкістю,

зсунутев часі на

(в формулі це

),тому маємокартину не а)а б).

Для хвилі

:

Для хвилі

завдяки граничнимумовам на стінках

,а по певнійкоординаті(там, де індекс= 0 ) це поле однорідне,тоді

будевсюди, тобтоцієї хвилі небуде.
Лекція7
Хвильовийопір хвильовода.
Для Т –хвилі:

(для вакууму).Для ТЕ, ТМ хвильвведення хвильовогоопору не єоднозначноюзадачею, боіснує кількакомпонент.Домовилисьвідносити опірдо поперечноїкомпоненти:

.

Електродинамічніпотенціали
Векторнийі скалярнийпотенціаливводятьсянаступнимчином:

;

.У першому рівнянні,очевидно,

можна задаватиз точністю до

.При цьому рівнянняМаксвела:

Тоді отримаєморівняння дляЕД потенціалів:

Рівняннядля Т, ТЕ, ТМ хвильрізні. Щоб звестиїх до одноговиду, використовуючипотенціали

,

,де

-електричнаскалярна функція,

-магнітна скалярнафункція. Якщодля Т – хвилі

завжди, то

,а

перетворюєтьсяв нуль завдяки

.Рівняння для

:

.
При цьомукомпоненти

.
Іншікомпонентиможна отриматиметодом, якийрозглядавсяраніше. ДляциліндричноїСК:

.
Круглийхвильовід.
Очевидно,будемо користуватисяциліндричноюСК

:

Шукатимемохвилю

.Можна розв’язати

,однак ми розв’яжеморівняння дляскалярнихпотенціалів:

.З урахуваннямвигляду оператораЛапласа уциліндричнійсистемі координатодержимо:

.
Використаємометод відокремленнязмінних:

;

.Звідки очевидно,що:
а)

,тут

- будь-який кутповороту, залежитьлише від виборукоординат(з’явився черезсиметрію задачі).Оберемо

.
б)

-ЛДР зі зміннимикоефіцієнтами,тому звичайнимшляхом йогорозв’язуватинеможливо;потрібно застосуватиспеціальніфункції. Приведеморівняння достандартноговигляду: заміною

воно зводитьсядо рівнянняБесселя:

.
Його розв’язкамиє циліндричніфункції (функціїБесселя):
(*)ФункціїНеймана

,а тому очевидно,що

,тому що полепри

повинно бутискінченим.Таким чином,якщо в задачііснує точка

,то розв’язокзавжди беретьсяу вигляді (*), де

,тобто у виглядіфункції Бесселя:

.
Таким чином,

,

.
Скористаємосяграничнимиумовами. Оскільки

;а

;то можна записати:

.Отже,

-це є умова длявизначення

.Корені цьогорівняння аналітичноне отримуються,але їх можназнайти чисельно:

,де

-номер хвилі,

-номер рядку.
-
Отже,

.Таким чином,для хвилі

.Критична довжинахвилі у хвилеводівизначаєтьсяз умови

.Аналогічно

.
Тепер знайдемокартину хвиль.Для цьогоскористаємосятопологічнимиперетвореннями:

Перетворюючи

в декартовуСК, одержали

в циліндричнійСК.

Першийіндекс – зміннапо

,другий – зміннапо

.Таким чиному кругломухвильоводі“головною”,“найкращою”є хвиля

(в той час як уквадратному-

.
Лекція8
К
оаксіальналінія. Тут можутьрозповсюджуватисьхвилі Т (бо тутможна утворитиконденсатор),ТЕ, ТМ.

,

,

.

.
Розглянемохвилю Т. Намнеобхіднорозв’язатирівняння

.Зробимо цеметодом конформнихвідображень.Його можназастосуватидля аналітичнихфункцій (тих,що задовольняютьрівнянню Лапласа),яким і є полеТ-хвиль.
Для того, щобскористатисьметодом КВ,необхідно:
Знайтивідображення,яке переводитьнашу область,де існує ЕМ –поле, у плоскийконденсатор;
Розв’язатирівняння Лапласау плоскомуконденсаторі;
Зворотнімконформнимперетвореннямзнов перейтив нашу область– це і будерозв’язокзадачі:

Метод конформнихвідображеньможна застосуватидля Т – хвилі,бо вона є розв’язкомрівняння Лапласа:

,

.Доведемо, щовідображення

перетворюєциліндричнийконденсаторв плоский:

,

,тобто

,

.Таким чином,якщо

.

,

.
Т

акимчином, можнаперетворитимежу циліндричноїобласті в межуплоскої. Томуй область

перетворюєтьсяв область

.Розв’язокзадачі в плоскомуконденсаторі:

маєвигляд:

.Поклавши

(скориставшисьтим, що потенціалвизначаєтьсяз точністю доконстанти),маємо:

.Скориставшисьзворотнімперетворенням,одержимо:

.
Знайдемополе:

,

.Хвильовий опір:

.Проте такийопір не вимірюється.Більш практичнеозначенняхвильовогоопору:

- відношеннянапруг лініїдо струмів уцій лінії. Знайдемо

для Т – лінії,використавшиінтегральнірівняння Максвела:

,тут

-заряд,

-ємність наодиницю довжини.З урахуванням

можна записати:

.

.Окрім Т – хвилі,в коаксіальномукабелі можеіснувати щей ТЕ чи ТМ хвиля:

.
Картина хвиль:

.Наприклад, дляR
1=1мм,R
2=6мм:

.
Лекція9
Лініїпередач дляінтегральнихсхем.
В інтегральнійелектроніцівикористовуютьсяв основномуплоскі лінії.
Симетрично– смушковалінія (ССЛ): вонавідкрита, томумає втрати.

Не симетрично– смушковалінія (НСЛ):

-
Мікросмушковалінія (microstripline) – МСЛ. Тутємність дужевелика, енергіясконцентрована.Підкладка здіелектрика
.Лінія двоповерхова– це не дужезручно.

Щілинна лінія(slot line).Вона є одноповерховою:

Компланарнийхвильовід –все в однійплощині.

Поляв несиметрично– смушковійлінії.
Складністьрозв’язанняцієї задачіполягає в тому,що граничніумови тут –нерегулярні;не можна покласти,що на поверхні

.Використовуютьнаближеніметоди; зокремаконформнихвідображень.

Наближення:Існує Т – хвиля(нехтуємовипромінюванням).Використаємосиметрію задачі.Цікавимосявипромінюваннямна краю.

Т

ребарозв’язатизадачу: знайтирозв’язокрівняння Лапласау верхній площиніз напівнескінченнимрозрізом.Використаємометод конформнихвідображень:тут застосовуєтьсяінтегральнеконформнеперетворенняКристофеля– Шварца.

Розглянемоламану лінію,що в точці азмінює напрямокна кут

:

.Якщо є два зломи,то

,де

,

,

.В нашій конкретнійзадачі ламануможна податиу вигляді:

К

утвідраховуєтьсяпроти годинниковоїстрілки віднаступногонапрямку допопереднього.

,

,перенесемоточки:

.
Проінтегрувавшиотримаємошукане перетворення:

.Константи

та

визначаютьсяз умов:

,отже

.Умовою

ми не можемоскористатися,бо одержимо

.Використаємофізичні міркування:

Загальнийвид відображення

;бо областьінваріантавідносно зсувувздовж ОХ(трансляційнасиметрія).
Зрозуміло,у нашій задачіобласть при

.При

перетвореннянабуває вигляду:

.Порівнюючиз

,

.Отже шуканеперетворення:

.
Для того, щобзнайти розв’язоку верхній півплощині,необхідноперетворитиїї в конденсатор,використовуючиперетвореннязворотне до

:

.Тоді відображення,що перетворитьвихідну область(

)(край конденсатора)у конденсатор(

),має вигляд:

.
Тепер необхіднорозв’язатирівняння уплоскому конденсаторіта скористатисьзворотнімперетворенням:

,

.

.

Таким чином:

.
Запишеморівнянняеквіпотенційнихповерхонь:

.
ЕПП

переходитьв

.
ЕПП

переходитьв

.
Таким чином,отримаємо такукартину еквіпотенціальнихповерхонь:

Тепер знайдемоелектричнісилові лінії.Ці лінії перпендикулярніЕПП, однак мизнайдемо їхв аналітичнийспосіб. Очевидно,в (

)такі силовілінії, як намалюнку. Знайдемообраз цих лінійу просторі (

).Наприклад,

,

.Отримаємокартину ЕП в(

):

Часто важливознайти напруженістьполя в певнійточці:

.