Нелинейная оптика (стр. 2 из 5)

(12)

и подставив во второе, получим

(11a)

Очевидно, решение для поляризации имеет вид

(13)

Выводы:

1. Поляризация меняется с той же частотой w, что и внешнее поле.

2. Амплитуда поляризации существенно зависит от соотношения частот w и w₀.

a. Если w=w₀ (резонанс), амплитуда максимальна;

b. Вдали от резонанса |w-w₀| >> g_з

В этом случае фаза поляризации близка к нулю (см. (12)). Тогда поляризация

(13a)

т.е. восприимчивость зависит от частоты.

c. В предельном случае постоянного поля для восприимчивости получаем вновь формулу аналогичную (7а) (w=0 ® (13a)):

До сих пор предполагалось, что на электрон действует поле малой напряженности. Мы брали F_У = - k r (линейное приближение, пригодное для случая малого смещения электрона). Теперь будем считать, что напряженность светового поля и смещение электрона могут быть достаточно большими, и для упругой силы возьмем F_У = - k r - q r³:

	(14)
	(15)

Будем, как и раньше считать, что поле E(t) меняется по гармоническому закону, рассматривая нерезонансный случай (|w-w₀| >> g_з). Членами при g_з и P' ³ пренебрегаем. Решение опять ищем в виде P'=P'₀+P'₁ (два порядка малости), подставляем его в (15) и собирая отдельно члены нулевого и первого порядков малости, получаем:

	(16)
	(17)

Первое уравнение мы уже решали, это решение вдали от резонанса - (13a). Подставляем его в (17):

(18)

Т.к. напряженность поля меняется по гармоническому закону, то

E3(t) = 1/4 E03 (3 cos wt + cos 3wt)

(19)

Уравнение (18) - это уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила (правая часть уравнения), состоящая из двух компонент, одна из которых меняется с частотой w, а другая - с частотой 3w. Поэтому решение будем искать в виде P'₁=P'_1,w cos wt + P'_1,3w cos 3wt. Подставляя его в (18) и получаем:

	(20)
	(21)

Объединяем (20-21) и получаем общее решение:

P'= P'0 + P'1 = c(w,E0) E0 cos wt + c(3w,E0) E0 cos 3wt

(22)

где

(23)

Выводы:

Поляризация в сильном световом поле является функцией не только частоты падающего излучения, но и его третьей гармоники. Известно, что заряд, совершающий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой w, другая - с частотой 3w.

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие гармоники.

Нелинейное взаимодействие электромагнитных волн

Тензор нелинейной восприимчивости

Рассмотрим нелинейное взаимодействие двух электромагнитных полей. Одно из них, поляризованное вдоль j, описывается выражением:

Ejw1(t) = Re(Ejw1 exp iw1t) = 1/2(Ejw1 exp iw1t + к.с.),

(1)

а второе, поляризованное в направлении k, - выражением

E_k^w2(t) = Re(E_k^w2 exp iw₂t)

Если среда нелинейная, наличие этих двух полей может привести к появлению поляризации на частотах nw₁+mw₂, где n и m - целые числа. Записав i-компоненту поляризации на частоте w₃=w₁+w₂ в виде

P_i^w3=w1+w2(t) = Re(P_i^w3 exp iw₃t),

определим тензор нелинейной восприимчивости (раньше мы использовали c_ijk - тензор линейной восприимчивости) d_ijk^w3=w1+w2 с помощью следующего соотношения для комплексных амплитуд

(2)

Подобным же образом вводим тензор восприимчивости на разностной частоте d_ijk^w3=w1-w2

(3)

где согласно (1) E_k^-w2=(E_k^w2)*

Рассмотрение взаимодействия электромагнитных полей начнем с записи уравнения Максвелла, выделив в явном виде поляризацию P:

(4)

Примечание:
rot rot E = grad div E - С²E

Представив поляризацию в виде суммы линейного и нелинейного членов, перепишем первое уравнение.

(5)

Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения (4) и подставим rot H из (5) (см. тж. примечание), учитывая, что div E=0:

(6)

Дальнейший анализ проведем для одномерного случая (¶/¶x=¶/¶y=0). За направление распространения берем ось Z. Ограничимся рассмотрением взаимодействия колебаний трех частот и соответствующие поля возьмем в виде бегущих плоских волн:

Eiw1(z,t) = 1/2[E1i(z) exp i(w1t-k1z) + к.с.], Ekw2(z,t) = 1/2[E2k(z) exp i(w2t-k2z) + к.с.], Ejw3(z,t) = 1/2[E3j(z) exp i(w3t-k3z) + к.с.],

(7)

где ijk - декартовы координаты. Заметим, что при P_нел=0 решение уравнения (6) дается выражениями (7) с амплитудами, не зависящими от z. В качестве примера запишем i-компоненту нелинейной поляризации на частоте w₁=w₃-w₂. Согласно (3) и (7) она имеет вид

(7a)

Вернемся к уравнению (6). В одномерном случае

(8)

Дифференцируем и полагаем, что изменение комплексных амплитуд полей достаточно медленное, т.е.

(9)

Аналогичные выражения можно вывести для С²E_j^w3(z,t) и С²E_k^w2(z,t). Подставляя (9) в (6) и используя соотношение ¶/¶t=iw₁ получим волновое уравнение для E_i^w1(z,t):

(10)

Предполагаем, что при взаимодействии конечного числа полей уравнение (6) должно удовлетворяться по отдельности для компонент с различными частотами. Поставив (7а) и заметив, что w₁²m₀e=k₁², получим