Некоторые парадоксы теории относительности

Происхождениеназвания “теорияотносительности”

Название“теория относительности”возникло изнаименованияосновногопринципа (постулата),положенногоПуанкаре иЭйнштейномв основу извсех теоретическихпостроенийновой теориипространстваи времени.

Содержаниемтеории относительностиявляется физическаятеория пространстваи времени,учитывающаясуществующуюмежду нимивзаимосвязьгеометрическогохарактера.

Названиеже “принципотносительности”или “постулатотносительности”,возникло какотрицаниепредставленияоб абсолютнойнеподвижнойсистеме отсчета,связанной снеподвижнымэфиром, вводившимсядля объясненияоптическихи электродинамическихявлений.

Дело в том,что к началудвадцатоговека у физиков,строившихтеорию оптическихи электромагнитныхявлений поаналогии стеорией упругости,сложилосьложное представлениео необходимостисуществованияабсолютнойнеподвижнойсистемы отсчета,связанной сэлектромагнитнымэфиром. Зародилось,таким образом,представлениеоб абсолютномдвижении относительносистемы, связаннойс эфиром, представление,противоречащееболее раннимвоззрениямклассическоймеханики (принципотносительностиГалилея). ОпытыМайкельсонаи других физиковопроверглиэту теорию“неподвижногоэфира” и далиоснование дляформулировкипротивоположногоутверждения,которое и получилоназвание “принципаотносительности”.Так это названиевводится иобосновываетсяв первых работахПуанкаре иЭйнштейна.

Эйнштейнпишет: “.. неудавшиесяпопытки обнаружитьдвижение Землиотносительно“светоноснойсреды” ведутк предположению,что не тольков механике, нои в электродинамикеникакие свойстваявлений несоответствуютпонятию абсолютногопокоя, и дажеболее того,- кпредположению,что для всехкоординатныхсистем, длякоторых справедливыуравнениямеханики, имеютместо те жесамые электродинамическиеи оптическиезаконы, как этоуже доказанодля величинпервого порядка.Мы намереныэто положение(содержаниекоторого вдальнейшембудет называться“принципомотносительности”)превратитьв предпосылку...“¹А вот что пишетПуанкаре: “Этаневозможностьпоказать опытнымпутем абсолютноедвижение Землипредставляетзакон природы;мы приходимк тому, чтобыпринять этотзакон, которыймы назовемпостулатомотносительности,и примем егобез оговорок.”²

Но крупнейшийсоветскийтеоретик Л. И.Мандельштамв своих лекцияхпо теорииотносительности³разъяснял:“Название“принципотносительности”- одно из самыхнеудачных.Утверждаетсянезависимостьявлений отнеускоренногодвижения замкнутойсистемы. Этовводит в заблуждениемногие умы”На неудачностьназвания указывали один из творцовтеории относительности,раскрывшийее содержаниев четырехмернойгеометрическойформе, - ГерманМинковский.В 1908 г. он утверждал:“... термин “постулатотносительности”для требованияинвариантностипо отношениюк группе

,кажется мнеслишком бедным.Так как смыслпостулатасводится ктому, что в явленияхнам даетсятолько четырехмерныйв пространствеи времени мир,но что проекцииэтого мира напространствои на время могутбыть взяты снекоторымпроизволом,мне хотелосьбы этому утверждениюдать название:постулатабсолютногомира”⁴

Таким образом,мы видим, чтоназвания “принципотносительности”и “теорияотносительности”не отражаютистинногосодержаниятеории.

Теорияотносительности,как современнаятеория пространства-времени.

Содержаниетеории относительности,как четырехмернойфизическойтеории пространстваи времени, впервыеотчетливо быловскрыто ГерманомМинковскимв 1908 г. Лишь опираясьна эти представления,Эйнштейн сумелв 1916 г. построитьобщую теориюпространства-времени,включающуюявление гравитации(общая теорияотносительности).

Основнымотличиемпредставленийо пространствеи времени теорииотносительностиот представленийньютоновскойфизики являетсяограниченнаявзаимосвязьпространстваи времени.Эта взаимосвязьраскрываетсяв формулахпреобразованиякоординат ивремени припереходе отодной системеотсчета к другой(преобразованияЛоренца)

Вообще каждоефизическоеявление протекаетв пространствеи времени и неможет бытьизображенов нашем сознаниииначе, как впространствеи во времени.Пространствои время сутьформы существованияматерии. Никакойматерии несуществуетвне пространстваи времени. Конкретнымизображениемпространстваи времени являетсясистемаотсчета,т.е. координатно-временноемногообразиечисел

составляющиевоображаемуюсетку и временнуюпоследовательностьвсех возможныхпространственныхи временныхточек. Одно ито же пространствои время могутизображатьсяразличнымикоординатно-временнымисетками (системамиотсчета).

Вместочисел

пространство-времяможет изображатьсячислами причемэти числа непроизвольны,а связаны спредыдущимисовершенноопределенноговида формуламипреобразования,которые и выражаютсвойствапространства-времени.

Итак, каждоевозможноеизображениепространстваи времени можносвязать сопределеннойсистемой отсчета,систему отсчета- с реальнымтелом, координаты- с конкретнымиточками тела,моменты времени

с показаниямиконкретныхчасов, расставленныхв различныхсистемах отсчета.Тело отсчетанеобходимодля проведенияконкретныхизмеренийпространственно-временныхотношений.

Не следуетоднако отожествлятьсистему отсчетас телом отсчета,как это предполагаютфизики. Физикипри изображенииявлений пользуютсялюбымисистемамиотсчета, в томчисле и такимис которыминевозможносвязать какое-либореальное тело.Основаниемдля такоговыбора служитпредставлениео полном равноправиивсех мыслимыхсистем отсчета.Следовательно,выбор системыотсчета являетсялишь выборомспособа изображенияпространстваи времени дляотображенияисследуемогоявления.

Если выбраныдве системыотсчета

и ,каждая из которыхподобным образомизображаетодно и то жепространство-время,то, как этоустановленов теории относительности,координатыв системах и связанытак, что интервал

,определяемыйдля двух разобщенныхсобытий как

(a)

остаетсяодинаковымпри переходеот Е к Е’, т.е.

(b)

Иначе говоря,

являетсяинвариантомпреобразованийЛоренца, связывающихкоординатыи время в

и : , (c)

Из(c), так же какиз (a) и (b),следует относительностьодновременностипространственноразобщенныхсобытий, т.е.для двух событий,

в системе движущейсясо скоростью ,будем иметь (d)

В этих свойствахпространственно-временныхкоординат иотражаетсясущество новыхпредставленийо пространствеи времени, связанныхв единое геометрическоготипа многообразие,многообразиес особой, определяемой(а) и (b) четырехмернойпсевдоевклидовойгеометрией,геометрией,в которой времятесно связанос пространствоми не можетрассматриватьсянезависимоот последнего,как это видноиз (d).

Из этих жепредставленийвытекают важнейшиеследствия длязаконов природы,выражаемыев требованииковариантности(т.е. неизменяемостиформы) любыхфизическихпроцессов поотношению кпреобразованиямчетырехмерныхпространственно-временныхкоординат. Втребованиитакже отражаетсяпредставлениео пространстве-временикак о единомчетырехмерноммногообразии.Так представляютсебе физики,конкретноприменяющиетеорию относительности,ее реальноесодержание.При этом понятиеотносительностиприобретаетлишь смыслвозможноймножественностипространственно-временныхизображенийявлений приабсолютностисодержания,т.е. законовприроды.

ПостулатыЭйнштейна.

ПреобразованияЛоренца, отражающиесвойствапространства-времени,были выведеныЭйнштейном,исходя из 2постулатов: принципаотносительностии принципапостоянстваскорости света.

1. Законы, покоторым изменяютсясостоянияфизическихсистем, не зависятот того, к которойиз двух координатныхсистем, находящихсяотносительнодруг друга вравномерномпоступательномдвижении, этиизменениясостоянияотносятся.

2. Каждый лучсвета движетсяв “покоящейся”системе координатс определеннойскоростью

,независимоот того, испускаетсяли этот лучсвета покоящимсяили движущимсятелом.

Значениеэтих постулатовдля дальнейшегоразвития теориипространства-временисостояло в том,что их принятиепрежде всегоозначало отказот старыхпредставленийо пространствеи времени, како многообразиях,не связанныхорганическидруг с другом.

Принципотносительностисам по себе непредставлялчего-либо абсолютнонового, т.к. онсодержалсяи в Ньютоновскойфизике, построеннойна базе классическоймеханики. Принциппостоянстваскорости светатакже не былчем-то абсолютнонеприемлемымс точки зренияньютоновскихпредставленийо пространствеи времени.

Однако этидва принципа,взятые вместепривели кпротиворечиюс конкретнымипредставлениямио пространствеи времени, связанныес механикойНьютона. Этопротиворечиеможно проиллюстрироватьследующимпарадоксом.

Пусть в системеотсчета

в начальныймомент в точке, совпадающейс началом координатпроизошлавспышка света.В последующиймомент времени фронтсветовой волны,в силу законапостоянстваскорости света,распространилсядо сферы радиуса с центром вначале координатсистемы .Однако в соответствиис постулатамиЭйнштейна, этоже явление мыможем рассмотретьи точки зрениясистемы отсчета , движущейсяравномернои прямолинейновдоль оси ,так, что ее началокоординат инаправлениявсех осей совпадалив момент времени с началом координати направлениямиосей первоначальнойсистемы .В этой движущейсясистеме, соответственнопостулатамЭйнштейна, завремя свет такжераспространитсядо сферы радиуса

радиуса

,однако,в отличие опредыдущейсферы долженлежать в началекоординатсистемы

,а не

.Несовпадениеэтих сфер, т.е.одного и тогоже физическогоявления, представляетсячем-то совершеннопарадоксальными неприемлемымс точки зрениясуществующихпредставлений.Кажется, чтодля разрешенияпарадокса надоотказатьсяот принципаотносительности,либо от принципапостоянстваскорости света.Теория относительностипредлагает,однако, совершенноиное разрешениепарадокса,состоящее втом, что события,одновременныев одной системеотсчета

,неодновременныв другой, движущейсясистеме

,и наоборот.Тогда одновременныесобытия, состоящиев достижениисветовым фронтомсферы, определяемойуравнением

,не являютсяодновременнымис точки зрениясистемы

,где одновременныдругие события,состоящие вдостижениитем же световымфронтом точексферы, определяемойуравнением

Таким образом,одновременностьпространственноразобщенныхсобытий перестаетбыть чем-тоабсолютным,как это принятосчитать вповседневноммакроскопическомопыте, а становитсязависящей отвыбора системыотсчета и расстояниямежду точками,в которых происходитсобытия. Этаотносительностьодновременностипространственноразобщенныхсобытий свидетельствуето том, что пространствои время тесносвязаны другс другом, т.к.при переходео одной системеотсчета к другой,физическиэквивалентной,промежуткивремени междусобытиямистановятсязависящимиот расстояний(нулевой промежутокстановитсяконечным инаоборот).

Итак, постулатыЭйнштейнапомогли намприйти к новомуфундаментальномуположению вфизическойтеории пространстваи времени, положениюо тесной взаимосвязипространстваи времени и обих нераздельности,в этом и состоитглавное значениепостулатовЭйнштейна.

Основноесодержаниетеории относительностииграет постулато постоянствескорости света.Основным аргументовв пользу этогоявляется тароль, которуюотводил Эйнштейнсветовым сигналам,с помощью которыхустанавливаетсяодновременностьпространственноразобщенныхсобытий. Световойсигнал, распространяющийсявсегда толькосо скоростьюсвета, приравнивается, таким образом,к некоторомуинструменту,устанавливающемусвязь междувременнымиотношениямив различныхсистемах отсчета,без которогоякобы понятияодновременностиразобщенныхсобытий и временитеряют смысл.Необходимостьтакого истолкованиясодержаниятеории относительностилегко доказывается,если обратитьсяк одному извозможныхвыводов преобразованийЛоренца, опирающемусяна постулатотносительностии вместо постулатао постоянствескорости светаиспользующемулишь допущениео зависимостимассы тела отскорости.

Вывод преобразованийЛоренца безпостулата опостоянствескорости света.

Для выводапреобразованийЛоренца будемопираться лишьна “естественные”допущения освойствахпространстваи времени,содержавшиесяеще в классическойфизике, опиравшейсяна общие представления,связанные склассическоймеханикой:

1. Изотропностьпространства,т.е. все пространственныенаправленияравноправны.

2. Однородностьпространстваи времени,т.е. независимостьсвойств пространстваи времени отвыбора начальныхточек отсчета(начала координати начала отсчетавремени).

3. Принципотносительности,т.е. полнаяравноправностьвсех инерциальныхсистем отсчета.

Различныесистемы отсчетапо-разномуизображаютодно и то жепространствои время каквсеобщие формысуществованияматерии. Каждоеиз этих изображенийобладает одинаковымисвойствами.Следовательно,формулы преобразования,выражающиесвязь междукоординатамии временем водной - “неподвижной”системе

с координатамии временем вдругой - “движущейся”системе ,не могут бытьпроизвольными.Установим теограничения,которые накладывают“естественные”требованияна вид функцийпреобразования:

1. Вследствиеоднородностипространстваи временипреобразованиядолжны бытьлинейными.

Действительно,если бы производныефункций

по небыли бы константами,а зависели от то и разности ,выражающиепроекции расстояниймежду точками1 и 2 в “движущейся”системе, зависелибы не толькоот соответствующихпроекций ,в “неподвижной”системе, но иот значенийсамих координат чтопротиворечилобы требованиюнезависимостисвойств пространстваот выбора начальныхточек отсчета.Если положить,что проекциирасстоянийвида x‘= = зависят толькоот проекцийрасстоянийв неподвижнойсистеме, т.е.от x= ,но не зависитот ,то

при т.е. или .

Аналогичноможно доказать,что производные

по всем другимкоординатам также равныконстантам,а следовательно,и вообще всепроизводные по суть константы.

2. Выберем"движущуюся"систему

такимобразом, чтобыв начальныймомент точка, изображающаяее начало координат,т.е. совпадала сточкой, изображающейначало координат"неподвижной"системы, т.е. ,а скоростьдвижения системы былабы направленатолько по

Еслимы также учтемтребованиеизотропностипространства,то линейныепреобразованиядля системыотсчета ,выбраннойуказаннымобразом, запишутсяв виде Здесь отсутствуютчлены, содержащие и ввыражениях и ,в силу изотропностипространстваи наличияединственноговыделенногонаправлениявдоль оси ,соответственнопостановкезадачи. На этомже основаниив выраженияхдля и отсутствуютчлены, пропорциональные,соответственно, и ,а коэффициенты при и одинаковы.Члены, содержащие и ,отсутствуютв выраженияхдля и в силу того,что ось все время совпадаетс осью .Последнее былобы невозможно,если бы и зависели от и .

3.Изотропностьпредполагаеттакже симметричностьпространства.В силу же симметрииничто не должноизменитьсяв формулахпреобразования,если изменитьзнаки

и ,т.е. одновременноизменить направлениеоси и направлениедвижения системы .Следовательно, (d) Сравниваяэти уравненияс предыдущими( )получаем:

.Вместо удобноввести другуюфункцию ,так, чтобы выражалосьчерез и посредствомсоотношения Согласно этомусоотношению, -симметричнаяфункция. Используяэто соотношение,преобразования(d) можно записатьв виде (e), причем всевходящие в этиформулы коэффициенты суть симметриифункции .

4.В силу принципаотносительностиобе системы,"движущаяся"и "неподвижная",абсолютноэквивалентны,и поэтому обратныепреобразованияот системы

к должныбыть тождественнопрямым от к .Обратныепреобразованиядолжны отличатьсялишь знакомскорости ,т.к. система движетсяотносительносистемы вправосо скоростью ,а система движетсяотносительносистемы (если последнююсчитать неподвижной),влево со скоростью .Следовательно,обратныепреобразованиядолжны иметьвид .(f) Сравниваяэти преобразованияс (e), получаем .Но в силу симметрииполучаем, что ,т.е. .Очевидно, имеетсмысл лишь знак(+), т.к. знак (-) давалбы при перевернутуюпо и систему.Следовательно .Замечая, чтокоэффициенты -тоже симметричныефункции ,первое и последнееуравнение из(e) и (f) можно записатьв виде: А) ,а) ,В) ,в) .Умножая А) на ,В) на искладывая,получим .Сравнивая этовыражение са), получаем .Откуда имеем

Следовательно,извлекая квадратныйкорень и замечая,что знак (-) также, как и для

,не имеет смысла,получаем .Итак преобразованияприобретаютвид: (g)или ,подробнее: ,(h)где -неизвестнаяпока функция .

5.Для определениявида

обратимся вновьк принципуотносительности.Очевидно, чтопреобразования(g) должны бытьуниверсальнымии применимымипри любых переходахот одних системк другим. Такимобразом, еслимы дважды перейдемот системы к иот к ,то полученныеформулы, связывающиекоординатыи время в системе с координатамии временем в ,должны такжеиметь видпреобразований(g). Это вытекающееиз принципаотносительноститребование,в совокупностис предыдущимитребованиямиобратимости,симметрии ит.д. означает,что преобразованиядолжны составлятьгруппу.

Воспользуемсяэтим требованиемгрупповостипреобразований.Пусть

-скорость системы относительно и -скорость системы относительносистемы

Тогдасогласно (g)

Выражая

и через и ,получаем

Согласносформулированномувыше требованиюэти же преобразованиядолжны записыватьсяв виде (g), т.е.

(k)Коэффициенты,стоящие при в первой изэтих формули при вовторой, одинаковы.Следовательно,в силу тождественностипредыдущихформул и этих,должны бытьодинаковы икоэффициенты,стоящие при в первой изпредыдущихформул и при вовторой из формул(h) т.е. .Последнееравенство можетбыть удовлетворенотолько при

6.Итак, в преобразованиях(h) hявляется константой,имеющей размерностьквадрата скорости.Величина и дажезнак этой константыне могут бытьопределеныбез привлечениякаких-либоновых допущений,опирающихсяна опытныефакты.

Еслиположить

,то преобразования(h) превращаютсяв известныепреобразованияГалилея Эти преобразования,справедливыев механикемалых скоростей( ),не могут бытьприняты какточные преобразования,справедливыепри любых скоростяхтел, когда становитсязаметным изменениемассы тел соскоростью.Действительно,учет изменениямассы со скоростьюприводит кнеобходимостипринять положениеоб относительностиодновременностиразобщенныхсобытий. Последнееже несовместимос преобразованиямиГалилея. Такимобразом, константаhдолжна бытьвыбрана конечной.

Изопыта известно,что при большихскоростях,сравнимых соскоростьюсвета, уравнениямеханики имеютвид

(i),где - собственнаямасса, совпадающаяс массой частицыпри малых скоростях( ),с - константа,имеющая размерностьскорости ичислено равная см/сек, т.е. совпадающаясо скоростьюсвета в пустоте.Этот опытныйфакт трактуетсякак зависимостьмассы от скорости,если массуопределитькак отношениеимпульса телак его скорости.

Константа

имеет такуюже размерность,какую имеетh,входящая вформулы преобразованиякоординат ивремени (h). Естественнопоэтому положить (j),поскольку вэкспериментальнополученнуюзависимостьмассы от скоростине входит никакаяиная константа,имеющая квадратаскорости. Принимаяэто равенство,преобразования(h) записываютсяв виде (l).

Пуанкареназвал этипреобразованиякоординат ивремени преобразованиямиЛоренца.

Всилу обратимостиобратныепреобразованияЛоренца, очевидно,должны бытьзаписаны в виде

Примененныенами соображенияразмерностидля выбораконстанты hне вполне, однако,однозначны,т.к. вместосоотношения(j) с таким же правомможно было бывыбрать

(k)

Оказывается,однако, чтосовпадающиес опытом уравнениямеханики (i) могутбыть полученылишь как следствияпреобразованийЛоренца и немогут бытьсовмещены спреобразованиями,получающимисяиз допущения(k). Действительно,известно, чтоуравнениямеханики,опирающимисяна преобразованияЛоренца, являютсяуравненияМинковского,согласно которыммасса увеличиваетсясо скоростьюпо формуле

.Если же в качествепреобразованийкоординатвыбрать ,то соответствующиеуравненияМинковскогодадут убывающуюсо скоростьюмассу m, чтопротиворечитопыту.

Итак,не обращаяськ постулатуо постоянствескорости светав пустоте, нессылаясь наэлектродинамикуи не используясвойств световыхсигналов дляопределенияодновременности,мы вывелипреобразованияЛоренца, используялишь представлениеоб однородностии изотропностипространстваи времени, принципотносительностии формулу зависимостимассы от скорости.

Обычно,следуя пути,намеченномуеще в первойработе Эйнштейна,вместо формулызависимостимассы от скоростииспользуютпостулат опостоянствескорости светав пустоте. Согласноэтому постулатупри переходеот системы

ксистеме должнооставатьсяинвариантнымуравнение ,описывающеефронт световойволны, распространяющейсяиз началакоординатнойсистемы .Легко убедитьсяв том, что уравнение после подстановкиформул преобразования(k) не изменяетсвоего вида,т.е. это уравнениепереходит впредыдущее,лишь в том случае,если .

Мыприменили инойвывод, не использующийпостулат опостоянствескорости света,с тем, чтобыпоказать, чтопреобразованияЛоренца могутбыть полученынезависимоот способасигнализации,избранногодля синхронизациичасов, измеряющихвремя. Физикимогли бы вообщеничего не знатьо скоростисвета и о законахэлектродинамики,однако моглибы получитьпреобразованияЛоренца, анализируюфакт зависимостимассы от скоростии исходя измеханическогопринципаотносительности.

Такимобразом, преобразованияЛоренца выражаютобщие свойствапространстваи времени длялюбых физическихпроцессов. Этипреобразования,как это выяснилосьв процесседоказательства,составляютнепрерывнуюгруппу, называемуюгруппойЛоренца.В этом факте,в наиболееобщем видеотображаютсясвойства пространстваи времени, раскрытыетеорией относительности.

ИзображениепреобразованийЛоренца наплоскостиМинковского.

Первыминаиболее поражающимиследствиямипреобразованийЛоренца являются:сокращениедвижущихсямасштабов внаправлениидвижения изамедлениехода движущихсячасов. С точкизрения повседневныхпредставленийо пространствеи времени этиследствиякажутся парадоксальными.

Исчерпывающее,но всегда кажущеесянесколькоформальным,разъяснениеэтих кинематическихявлений даетсяна плоскостиx, ct, если в соответствиис правиламичетырехмернойгеометрииМинковскогоизобразитьна ней сеткукоординат"неподвижной"и сетку координат"движущейся"системы.

ПреобразованияЛоренца оставляютинвариантным(неизменным)интервал

междулюбыми двумясобытиями,определяемыйсогласно (a), какв этом легкоубедитьсяподстановкойв (l) в (b).

Совмещаяпервое событиес моментом t=0и началом отсчетасистемы

ивводя симметричныеобозначениякоординат ивремени интервал междувторым и первымсобытием можнонаписать в виде (o)Четырехмернаягеометрия,определяемаяинвариантностьюинтервала этогоуравнения,качественноотличаетсяот обычнойевклидовойгеометрии,определяемойинвариантностьюрасстояния,т.е. (m)или от простогочетырехмерногообобщениягеометрии, гдеинвариантомсчитается (n)В евклидовыхгеометриях,определяемых(m) или (n), квадрат"расстояния"всегда положителен,и, следовательно,"расстояние"являетсядействительнойвеличиной. Нов четырехмернойгеометрии,определяемойинтервалом(о), являющимсяаналогом"расстояния",квадрат интерваламожет бытьположителен,отрицателенили равнымнулю. Соответственно,в этой псевдоевклидовойгеометрииинтервал можетбыть действительнойили мнимойвеличиной.В частном случаеон может бытьравен нулюдля несовпадающихсобытий.

Иногдакажется, чтокачественноеразличие междучетырехмернойевклидовойгеометриейи четырехмернойпсевдоевклидовойгеометриейстирается,если, воспользовавшисьпредложениемМинковского,считать времяпропорциональнымнекотороймнимой четвертойкоординате,т.е. положить

Вэтом случаеквадрат интервалазапишется как

т.е. с точностьюдо знака совпадаетс (n). Однако в силумнимости этовыражение, также как и (o), можетиметь различныезнаки и, такимобразом, качественноотличаетсяот (n).

Всилу инвариантностиинтервалакачественноеразличие связимежду событиямине зависит отвыбора системыотсчета, идействительный,или времениподобный,интервал (

)остаетсядействительнымво всех системахотсчета, мнимыйже, или пространственноподобный,интервал ( )также остаетсямнимым во всехсистемах отсчета.

Всеэти особенностипсевдоевклидовойгеометрии могутнагляднопроиллюстрированына плоскостиМинковского

.

Отрезками0a и 0b на этой плоскостиизображенысоответственноединичныемасштабы временнойоси

и пространственнойоси .Кривая, выходящаявправо из точкиa, являетсягиперболой,описываемойуравнением а кривая, выходящаявверх из точкиb, являетсягиперболой,описываемойуравнением

Такимобразом, точканачала координати все точки,лежащие нагиперболе,выходящей източки a, разделеныединичнымвремениподобныминтервалом.Точки же, лежащиена гиперболе,выходящей източки b, отделеныот начала координатпространственноподобныминтервалом.

Пунктирнаялиния, выходящаяпараллельнооси

източки a, изображаетточки с координатами ,а линия, выходящаяиз точки b параллельнооси ,изображаетточки с координатами .

Наэтой же плоскостинанесены линии

и ,изображающиесоответственноточки с координатами и ,а также линии,проходящиечерез и

исоответственноизображающиеточки с координатами

.Эти линии изображаюткоординатнуюсетку системы .

Изрисунка видно,что переходот системы Sк системе

соответствуетпереходу отпрямоугольныхкоординат ккосоугольнымна плоскостиМинковского.Последнееследует такженепосредственноиз преобразованийЛоренца, которыеможно записатьтакже в виде где илив виде (p)где иочевидно,

Нопреобразования(p) тождественныпреобразованиямперехода отдекартовыхкоординат ккосоугольным.При этих преобразованияхвремениподобныевекторы, т.е.векторы, направленныеиз начала отсчетав точки, лежащиевыше линии OO',в любой системекоординат такжеостанутсявремениподобными,т.к. концы векторовлежат на гиперболах.Следовательно,и пространственноподобныевекторы во всехсистемах координатостанутсяпространственноподобными.

НаплоскостиМинковскоговидно, что"пространственная"проекция единичноговектора

наось равна1, а на ось равна ,т.е. меньше 1. Следовательно,масштаб, покоящийсяв системе ,при измерениииз системы Sоказался укороченным.Но это утверждениеобратимо, ибо"пространственная"проекция вектораOb на ось равнаOb, т.е. в системе меньше, чем ,являющийсяединичнымвектором.

Аналогичнодело обстоити с "временными" проекциямина оси

и Отрезок ,изображающийв системе процесс,длящийся единицувремени, в системеSбудет проектироватьсякак ,т.е. как процесс,длящийся меньшеевремя, чем Oa=1.Следовательно,ход часов, покоящихсяв системе ,при измерениииз системы Sокажется замедленным.Легко проверить,что это явлениетакже обратимо,т.е. ход часов,покоящихсяв системеS,оказываетсязамедленнымв системе .

Сокращениедвижущихсямасштабов.

Еслидлина неподвижногомасштаба можетбыть измеренапутем прикладыванияк нему эталонныхмасштабов, безиспользованиякаких-либочасов, то длинудвижущегосямасштаба невозможноизмерить изнеподвижнойсистемы отсчетабез использованиячасов или сигналов,отмечающиходновременностьпрохожденияконцов измеряемогомасштаба относительноточек эталона.Таким образом,под длинойдвижущегосямасштаба надопонимать расстояниемежду его концами,измеренноепри помощинеподвижногоэталона в одини тот же моментвремени длякаждого конца.Одновременностьизмеренияположенийконцов являетсясущественнонеобходимымусловием опыта.Легко видеть,что нарушениеэтого условияможет привестик тому, чтоизмереннаядлина можетоказатьсялюбой, в томчисле отрицательнойили равнойнулю.

Пусть длинадвижущегосямасштаба,предварительноизмереннаяпутем непосредственногоприложенияк эталону,помещавшемусяв любой системекоординат.Тогда еслимоменты и прохожденияконцов масштабымимо точек и неподвижногоэталона одинаковы(т.е. t1=t2), то является,по определению,длиной движущегосямасштаба. СогласнопреобразованиямЛоренца имеем ,откуда в силуt1=t2 получаем .(r)

Парадоксальностьэтого выводасостоит в том,что в силу принципаотносительноститочно такаяже формуладолжна получитьсядля длины масштаба,находящегосяв системе Sи измеряемогоиз системы

.Иначе говоря,представляетсянеобходимымудовлетворениеобратногосоотношения ,которое находитсяв явном противоречиис (r), если под и пониматьтак же измеряемыевеличины.

Противоречие,однако, снимается,если учесть,что относительностьпредполагаетсовершенносимметричноеизмерение всейсистемы измерения,т.е. переход отпредыдущегорисунка к следующемурисунку:

В этой схемеуже ,но ,т.е. концы нижнегомасштаба засекаютсяне в один и тотже момент временипо часам, помещеннымв системеS,но в один и тотже момент почасам, находящимсяв системе .Тогда, применяяформулы обратныхпреобразованийЛоренца, получаем ,откуда в силу ,имеем .Эта формуладействительноозначает, чтоуменьшаетсядлина масштаба ,измеренногоиз системы .Но эта формулауже не находитсяв противоречиис формулой (r),ибо входящиев нее и измеряютсяиначе, чем и ,входящие в (r).

Следовательно,укорочениеили удлинениеизмеряемыхмасштабовзависит лишьот того, в какойсистеме отсчетапроизводятсяодновременныеизмеренияположенийконцов масштабов,ибо события,одновременныев одной системеотсчета, неодновременныв другой.

Замедлениедвижущихсячасов.

Замедлениедвижущихсячасов можетбыть обнаруженов следующемопыте:

Движущиесясо скоростьюnчасы, измеряющиевремя ,проходятпоследовательномимо точки вмомент имимо точки вмомент .В эти моментыпроизводитсясравниваниеположенийстрелок движущихсячасов и соответствующихнеподвижных,находящихсяс ними.

Путьза время движенияот точки

доточки стрелки движущихсячасов отмеряютпромежутоквремени ,а стрелкипредварительносинхронизированныхв неподвижнойсистеме Sчасов 1 и 2 отмеряютпромежутоквремени t.Таким образом, (s).Но согласнообратнымпреобразованиямЛоренца имеем .Подставляя(s) в это уравнениеи замечая, чтодвижущиесячасы все времянаходятся водной и той жеточки движущейсясистемы отсчета,т.е. что ,получаем .(u)

Этаформула означает,что промежутоквремени, отмеченныйнеподвижнымичасами, оказываетсябольшим, чемпромежутоквремени, отмеренныйдвижущимисячасами. Но этоозначает, чтодвижущиесячасы отстаютот неподвижных,т.е. их ход замедляется.Эта формулатакже обратима,как и соответствующаяформула длямасштабов.Однако написавобратную формулув виде

(t)мы должныподразумевать,что измеряютсяуже не в предыдущемопыте, а в следующем:(в этом случаедействительносогласнопреобразованиямЛоренца )

приусловии получаемформулу (t). Полученноезамедлениеявляется вполнереальным, однакооно имеет, таксказать, чистокинематическуюприроду. Например,в схеме предыдущегоопыта, тот результат,что часы 2 оказалисьвпереди движущихсячасов, с точкизрения движущейсясистемы объясняетсятем, что часы2 с самого началашли несинхроннос часами 1 иопережали их(в силу неодновременностиразобщенныхсобытий, одновременныхв другой, движущейсясистеме отсчета).Таким образом,как замедлениедвижущихсячасов, так исокращениедвижущихсямасштабов неявляютсяпарадоксальными,если освоитьсяс представлениемоб относительностиодновременностипространственноразобщенныхсобытий.

Парадоксчасов.

Болеепоразительными вызывающимбольшое числоспоров и недоразуменийявляется такназываемый"парадоксчасов". Путьчасы А находятсяв точке 1 в неподвижнойинерциальнойсистеме отсчетаS, а одинаковыес ними часы В,находившиесяв начальныймомент такжев точке 1, движутсяк точке 2 соскоростью n.Затем, пройдяпуть

доточки 2, часы Ввозвращаютсяи, приобретаяпротивоположнуюскорость -n,возвращаютсяв точку 1

Если время,требуемое наизменениескорости часовВ на обратную,достаточномало по сравнениюс временемпрямолинейногои равномерногодвижения отточки 1 до точки2, то время t,отмеренноечасами А, и время ,отмеренноечасами В, можновычислитьсогласно (u) поформулам (v)где d- возможнаямалая поправкана время ускоренногодвижения часовВ. Следовательно,часы В, вернувшисьв точку 1, реальноотстанут отчасов А на время Посколькурасстояние можетбыть сколькоугодно большим,постолькупоправка dможет не приниматьсяво вниманиевообще.

Особенностьэтого кинетическогоследствияпреобразованийЛоренца состоитв том, что здесьотставаниехода движущихсячасов являетсявполне реальнымэффектом,а не результатомизбраннойпроцедурыизмерения, какэто имело местовыше. Реальнодолжны отставатьвсе процессы,связанные ссистемой

,от процессов,идущих в системеS.В том числедолжны отставатьи биологическиепроцессы организмов,находящихсявместе с часамиВ. Должны замедлятьсяфизиологическиепроцессы ворганизмечеловека,путешествующегов системе ,в результатечего организм,находившийсяв системе в момент еевозврата вточку 1, окажетсяменее постаревшим,чем организм,оставшийсяв системеS.

Парадоксальнымпредставляетсяздесь то, чтоодин из часовреальноотстают отдругих. Ведьэто кажетсяпротиворечащимсамому принципуотносительности,т.к. согласнопоследнемулюбую из системSи

можносчитать неподвижной.Но тогда представляется,что лишь взависимостиот нашего выборареально отстающимимогут статьлюбые из часовА и В. Но последнееявно абсурдно,т.к. реальноотстают часыВ от часов А.

Ошибочностьпоследнегорассуждениясостоит в том,что системыSи

физическине равноправны,т.к. система Sвсе времяинерциальна,система же некоторыйпромежутоквремени, когдапроизводитсяизменение еескорости наобратную,неинерциальна.Следовательно,вторая из формул(v) для системы неправильна,т.к. во времяускорения ходудаленных часовможет сильноизменитьсяза счет инерциальногогравитационногополя.

Однакои это совершенноправильноеобъяснениепредставляетсявесьма поразительным.Ведь в течениибольшого промежуткавремени обесистемы движутсядруг относительнодруга прямолинейнои равномерно.Поэтому, с точкизрения системы

,часы А, находящиесявS,отстают (но неуходят вперед)в полном соответствиис формулой (v).И лишь за малыйпромежутоквремени, когдав системе действуютинерциальныесилы, часы Абыстро уходятвперед на промежутоквремени, вдвоебольший, чем .При этом, чембольшее ускорениеиспытываетсистема ,тем быстреебежит времяна часах А. Наглядносуть полученныхвыводов можетбыть разъясненана плоскостиМинковского. Отрезок0b на этом рисункеизображаетпокоящиесячасы А, ломанаялиния 0ab - движущиесячасы В. В точкеa действуютсилы, ускоряющиесистему часовВ и изменяющиеее скоростьна обратную.Точки, расставленныена оси 0b, разделяютединичныепромежуткивремени в неподвижнойсистемеS,связанной счасами А.

Точкина ломаной 0abотмечают равныеединичныепромежуткивремени, измеряемыечасами В, находящимисяв системе

.Из рисункавидно, что числоединичныхотрезков,укладывающихсяна линии 0b, большечем число такихже, но относящихсяк системе ,отрезков,укладывающихсяна ломаной 0ab.Следовательно,часы В отстаютот часов А. Согласнорисунку "неподвижные"часы А такжеотстают отчасов В вплотьдо того момента,изображаемоготочкой a. Одновременнос этим моментомявляется моментa1, однако до техпор, пока часыВ еще движутсясо скоростьюn.Но через малыйпромежутоквремени, требуемыйдля замедлениячасов В и сообщенияим скорости-nна часах Впрактическиостанется тотже момент a, ноодновременнымс ним моментомв системеSстанет моментa2. То есть, почтимгновенно времясистемы Sкак бы перескочитна конечныйинтервал a1a2.

Этотперескок временине является,однако, реальнонаблюдаемымэффектом.Действительно,если из системыSрегулярно,через единичныеинтервалыпосылать всистему

световыесигналы, то онисовершеннорегулярно будутприниматьсясистемой S,сперва болеередко, а затем,после измененияскорости наобратную, болеечасто. Никакогоразрыва в показанияхчасов А всистеме наблюдатьсяне будет.Такимобразом, "парадоксчасов" такжеявляется лишьнепривычнымдля обычныхпредставленийо пространствеи времени следствиемпсевдоевклидовойгеометриичетырехмерногопространственно-временногомногообразия.

Списокиспользуемойлитературы.

1. "Принципотносительности";Лоренц, Пуанкаре,Эйнштейн, Минковский;ОНТИ., 1935 г.

2. Полное собраниетрудов; Л. И.Мандельштам.

3. "Парадоксытеории относительности"; Я. П. Терлецкий;Москва., 1965 г.

4. "Физикапространства-времени";Э. Ф. Тейлор;Москва., 1963 г.

5. "Общая теорияотносительности";Н. В. Мицкевич;Москва., 1927 г.

1“Принципотносительности”Лоренц, Пуанкаре,Эйнштейн иМинковский;ОНТИ ; 1935 г., стр.134

2“Принципотносительности”Лоренц, Пуанкаре,Эйнштейн иМинковский;ОНТИ ; 1935 г., стр.51

3Полное собраниетрудов, Л. И.Мандельштам;Том 5, стр. 172

4“Принципотносительности”Лоренц, Пуанкаре,Эйнштейн иМинковский;ОНТИ ; 1935 г., стр.192

20

План:

1. Происхождениеназвания “теорияотносительности”............................................ стр.1-2

2.Теория относительности,как современнаятеория пространства-времени......... стр. 2-3

3. ПостулатыЭйнштейна...............................................................................................стр. 3-5

4. Вывод преобразрванийЛоренца безпостулата опостоянствескорости света... стр. 5-9

5. ИзображениепреобразованийЛоренца наплоскостиМинковского............... стр. 10-12

6. Некоторые"парадоксы"теории относительности:

6.а. Сокращениедвижущихсямасштабов............................................................ стр.12-13

6.б. Замедление движущихсячасов......................................................................стр.13-14

6.в. Парадоксчасов.................................................................................................стр. 14-16

7. Списокиспользуемойлитературы.............................................................................стр. 16