Лекции по механике (стр. 2 из 9)

поскольку из рис.1 следует, что D l = D r. Другими словами можно сказать, что скорость является первой производной радиуса-вектора по времени. Важно отметить, что S = , и первая производная пути по времени дает лишь абсолютное значение скорости: = .

Как и любой вектор, вектор скорости можно представить в виде суммы составляющих по координатным осям:

v = , ( 1-3 )

где i , j , k являются единичными векторами, направленными соответственно вдоль осей X,Y и Z. С другой стороны радиус вектор r также можно представить в
виде суммы:

r = x i + y j + z k, ( 1-4 )

где x,y и z представляют собой проекции радиуса-вектора на направление соответствующих координатных осей . Дифференцируя формулу ( 1-4 ) и сравнивая результат дифференцирования с выражением (1- 3 ), получим:

v_x = = x ; v_y = = y и v_z = = z , (1- 5 )

которые означают, что скорости движения проекции точки вдоль координатных осей равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси. Из выражения (1-5) следует, что по известной зависимости координат точки от времени ( известному закону движения ) x(t), y(t) и z (t) простым дифференцированием можно найти проекции v_x , v_y , v_z вектора скорости на координатные оси, а следовательно и сам вектор скорости в любой момент времени. Величина вектора скорости (его модуль) как и величина любого вектора находится как корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций:

. ( 1- 6 )

Несколько сложнее решается обратная задача - нахождение закона движения по заданной зависимости вектора скорости от времени. Например, если известна зависимость от времени проекции скорости v_x (t) , то зависимость координаты х от времени x(t) находится путем интегрирования x(t) =

+ х₀ , где х₀ - координата точки в начальный момент времени ( при t = 0 ). Зависимость от времени других координат находится аналогичным способом.

Кроме того, из формулы (1-3) вытекает, что скорость любого движения можно представить как результат сложения трех прямолинейных движений вдоль координатных осей X,Y и Z ,т.е. любое сложное движение можно представить как сумму прямолинейных движений ( принцип суперпозиции движений ). Примером применения этого принципа может служить вычисление так называемой первой космической скорости, т.е. такой скорости, которою надо сообщить любому телу параллельно земной поверхности, чтобы оно никогда не упало на Землю. В прене-

А vI D t С RЗ B RЗ O Рис.3. К выводу первой космической скорости.

брежении сопротивлением воздуха задача может быть решена следующим образом. Движение тела, брошенного вдоль земной поверхности можно представить как сумму двух движений: равномерного горизонтального движения со скоростью бросания vI и свободного падения тела к поверхности Земли с ускорением g (ус-корением свободного падения). За достаточно малый промежуток времени Dt тело пройдет, двигаясь перпендикулярно земному радиусу, расстояние АС = vI Dt. (см.рис.3) Если же за это

время, находясь в свободном падении, тело опустится на расстояние ВС так, что ОВ = АО =R_з, то очевидно, что тело сохранит неизменной свою высоту над поверхностью Земли. Из D АОС по теореме Пифагора следует:АО² + АС² = ОС².В то же время АС = v_I Dt, АО » R_З (R_З - радиус Земли), ОС = ОВ + ВС =

+ (1/2)g(Dt)²

( предполагается, что время Dt достаточно мало и проекцией скорости v_I на направление АО можно пренебречь). Заменяя стороны D АОС на основании приведенных равенств, имеем:

. (1- 7 )

После приведения подобных членов и сокращения обеих частей этого уравнения на получим: . При Dt 0 выражение для первой космической скорости приобретает такой вид:

. (1- 8 )

Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое тело, двигаясь вокруг Земли, находится в свободном падении, но уменьшение высоты полета при свободном падении на Землю в точности компенсируется за счет приращения расстояния до Земли при движении по касательной.

Однако случаи, когда тело сохраняет свою скорость неизменной, крайне редки. Наоборот, в общем случае скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие ускорения. Ускорением в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к интервалу времени, за который произошло это приращение:

= v = . (1- 9 )

Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:

а = а _x i + a _y j + a _z k . ( 1-10 )

Модуль вектора ускорения равен:

. ( 1- 11 )

Прямым дифференцированием аналогично компонентам вектора скорости
можно найти, что компоненты вектора ускорения равны:

a _x = v _x = x ; a _y = v _y = y ; a _z = v _z = z . ( 1-12 )

Если известны зависимость от времени вектора ускорения и начальное значение вектора скорости, то вектор скорости в любой последующий момент времени путем интегрирования. Например, для проекции v _x :

и , ( 1-13 )