Лекции по гидравлике (стр. 10 из 27)

Построение поля скоростей осуществляется следующим образом:

На некоторый момент времени (например, to) произвольным образом выберем необходимое число точек, в которых находятся частицы жидкости. Приписав их скорости

точкам неподвижного пространства (1, 2, 3, 4, 5 и 6) мы сделаем «моментальную фотографию» поля скоростей на выбранный момент времени. В следующий момент времени в тех же выбранных точках

неподвижного пространства будут находиться другие частицы жидкости, имеющие другие скорости

. Выполнив уже

известную процедуру второй раз, получим но

вую «моментальную фотографию» поля скоростей на момент времени . Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости

будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:

Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Это определение не противоречит физической стороне процесса движения жидкости. Анализируя состояние гидродинамического поля на разные моменты времени

, можно отметить, что с течением времени поле изменилось, несмотря на то, что в отдельных точках 5 и 6 скорости остались постоянными Такое поле называют нестационарным гидродинамическим полем. В частном случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоростями, то поле скоростей во времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называют стационарным. В соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: установившееся, когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при нестационарном гидродинамическом поле.

3.2.Кинематические элементы движущейся жидкости

Основной кинематической характеристикой гидродинамического поля является линия тока - кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к кривой. И ходя из данного определения можно записать дифференциальное уравнение линии

тока:

Если через некоторую неподвижную в пространстве кривую провести линии тока, то полученная поверхность называется поверхностью тока, а образованное этой поверхностью тело будет называться трубкой тока. Жидкость, наполняющая трубку тока, называется элементарной струйкой. Поскольку линии тока никогда не пересекаются, то поверхность трубки тока является непроницаемой

внешней границей для элементарной струйки жидкости. Сечение трубки тока, нормальное к линиям тока называется живым сечением элементарной струйки dS. При установившемся движении жидкости понятия линии тока и траектории движения частицы жидкости совпадают. Объём жидкости протекающий через живое

сечение элементарной струйки в единицу времени называется расходом элементарной струйки.

?

где:

объём жидкости, протекающий через живое сечение трубки тока за

время

расход жидкости в живом сечении трубки тока. Размерность расхода жидкости в системе СИ -м/с.

Гидродинамическое поле считается потенциальным (безвихревым), если в этом поле отсутствует вихревое движение жидкости. В потенциальном поле может существовать лишь поступательное или криволинейное движение жидкости. 3.3 Уравнение неразрывности жидкости

Если в гидродинамическом поле отсутствуют вихри, то; для такого поля можно записать уравнение, связывающее параметры движущейся жидкости (плотность жидкости) с

параметрами, характеризующими условия движения жидкости. Вывод такого уравнения основан на представлении жидкости как сплошной непрерывной среды, в силу чего такое уравнение получило название уравнения неразрывности.

Для этой цели выделим в пространстве малый элемент жидкой среды в виде па

раллелепипеда, стороны которого будут равны соответственно. . Грани

параллелепипеда пусть будут параллельны координатным плоскостям. В центре элемента в данный момент времени будет находиться частица жидкости, плотность которой равна р, а вектор скорости движения и направлен таким образом, что жидкость втекает внутрь элемента через левую, нижнюю и переднюю грани элемента и вытекает через противоположные грани. Будем считать также, что размер элемента достаточно мал, и можно допустить, что в пределах этого элемента изменение плотности жидкости и скорости её движения будет прямо пропорционально расстоянию от центра элемента. Одновременно размеры граней будут достаточно велики по сравнению с точкой, что позволит утверждать, что плотность жидкости и скорость во всех точках граней будут одинаковыми, как и плотность жидкости в пределах соответствующих граней. Тогда произведение плотности жидкости на вектор скорости (импульс) в специальной литературе часто называют вектором

массовой скорости ри.

В таком случае проекция вектора массовой скорости в центре левой грани элемента на ось ОХ будет равна:

а проекция вектора массовой скорости в центре правой грани элемента на ось ОХ:

&

Масса жидкости, поступившая через левую грань элемента за малый интервал времени dt\

масса жидкости, вытекшая через правую грань элемента за малый интервал времени dt:

Изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси ОХ:

Аналогично, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости вдоль оси OY: 1,

и вдоль оси OZ:

Окончательно, изменение массы жидкости внутри элемента при движении жидкости в произвольном направлении:

? или

Величина плотности жидкости в начальный момент (до начала движения жидкости t = Q) - р, а по истечении бесконечно малого интервала времени (т.е.

Масса жидкости в объёме выделенного элемента в начальный момент времени:

для времени

:

Изменение массы жидкости за бесконечно малый интервал времени dt:

•> или:

i

откуда для наиболее общего случая нестационарного поля

дифференциальное

уравнение неразрывности запишется в следующем виде:

и для частного случая - стационарного поля

:

«

В векторной форме уравнения неразрывности жидкости запишутся в следующем виде:

?

3.4 Уравнение неразрывности для элементарной струйки жидкости

Выделим в элементарной струйке жидкости двумя сечениями 1 - Г и 2 - 2' малый отсек жидкости длиной dl. Объём жидкости внутри выделенного отсека

Масса жидкости, вошедшая в элементарную трубку тока за временной интервал dt, будет равна: