Лекции по ТОЭ
Введение
Элементыэлектрическихцепей.
Топологияэлектрическихцепей.
Переменныйток. Изображениесинусоидальныхпеременных.
Элементыцепи синусоидальноготока, векторныедиаграммы икомплексныесоотношениядля них.
Основысимволическогометода расчета.Методы контурныхтоков и узловыхпотенциалов.
Основыматричныхметодов расчетаэлектрическихцепей.
Мощностьв электрическихцепях.
Резонансныеявления в цепяхсинусоидальноготока.
Векторныеи топографическиедиаграммы.Преобразованиелинейныхэлектрическихцепей.
Анализцепей с индуктивносвязаннымиэлементами.
Особенностисоставленияматричныхуравнений приналичии индуктивныхсвязей и ветвейс идеальнымиисточниками.
Методырасчета, основанныена свойствахлинейных цепей.
Методэквивалентногогенератора.Теорема вариаций.
Пассивныечетырехполюсники.
Электрическиефильтры.
Трехфазныеэлектрическиецепи: основныепонятия и схемысоединения.
Расчеттрехфазныхцепей.
Применениевекторныхдиаграмм дляанализа несимметричныхрежимов. Мощностьв трехфазныхцепях.
Методсимметричныхсоставляющих.
Теоремаоб активномдвухполюсникедля симметричныхсоставляющих.
Вращающеесямагнитноеполе. Принципдействияасинхронногои синхронногодвигателей.
Линейныеэлектрическиецепи при несинусоидальныхпериодическихтоках.
Резонансныеявления в цепяхнесинусоидальноготока. Высшиегармоники втрехфазныхцепях.
Переходныепроцессы влинейныхэлектрическихцепях. Классическийметод расчетапереходныхпроцессов.
Методикаи примеры расчетапереходныхпроцессовклассическимметодом.
Определениепостояннойвремени. Переходныепроцессы вR-L-C-цепи.
Операторныйметод расчетапереходныхпроцессов.
Последовательностьрасчета переходныхпроцессовоператорнымметодом. Формулывключения.Переходныепроводимостьи функция понапряжению.
ИнтегралДюамеля. Методпеременныхсостояния.
Нелинейныецепи постоянноготока. Графическиеметоды расчета.
Расчетнелинейныхцепей методомэквивалентногогенератора.Аналитическиеи итерационныеметоды расчетацепей постоянноготока.
Нелинейныемагнитные цепипри постоянныхпотоках.
Общаяхарактеристиказадач и методоврасчета магнитныхцепей.
Особенностинелинейныхцепей переменноготока. Графическийметод расчетас использованиемхарактеристикдля мгновенныхзначений.
Графическиеметоды расчетас использованиемхарактеристикпо первым гармониками действующимзначениям.Феррорезонанс.Аналитическиеметоды расчета.
Методкусочно-линейнойаппроксимации.Метод гармоническогобаланса.
Понятиеоб эквивалентномэллипсе, заменяющемпетлю гистерезиса.Потери в стали.Катушка итрансформаторс ферромагнитнымисердечниками.
Переходныепроцессы внелинейныхцепях. Аналитическиеметоды расчета.
Понятиео графическихметодах анализапереходныхпроцессов внелинейныхцепях. Методыпеременныхсостояния идискретныхмоделей.
Цепис распределеннымипараметрамив стационарныхрежимах: основныепонятия иопределения.
Линиябез искажений.Уравнениялинии конечнойдлины. Определениепараметровдлинной линии.Линия без потерь.Стоячие волны.
Входноесопротивлениедлинной линии.Переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрами.
Сведениерасчета переходныхпроцессов вцепях с распределеннымипараметрамик нулевым начальнымусловиям. Правилоудвоения волны.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Ивановскийгосударственныйэнергетическийуниверситет
Кафедратеоретическихоснов электротехникии электротехнологии
Доктортехн. наук, профессорА.Н. Голубев
Введение
Теоретическиеосновы электротехники(ТОЭ) являютсябазовым общетехническимкурсом дляэлектротехническихи электроэнергетическихспециальностейвузов. Курс ТОЭрассчитан наизучение втечение трехсеместров исостоит из двухосновных частей:теории цепей(два семестра)и теории электромагнитногополя (один семестр).Данный лекционныйкурс посвященпервой из указанныхчастей ТОЭ-теории линейныхи нелинейныхэлектрическихи магнитныхцепей. Содержаниекурса и последовательностьизложенияматериала внем в целомсоответствуютпрограммедисциплиныТОЭ для электротехническихи электроэнергетическихспециальностейвузов.
Цельданного курсасостоит в том,чтобы датьстудентамдостаточнополное представлениеоб электрическихи магнитныхцепях и их составныхэлементах, ихматематическихописаниях,основных методаханализа и расчетаэтих цепей встатическихи динамическихрежимах работы,т.е. в созданиинаучной базыдля последующегоизучения различныхспециальныхэлектротехническихдисциплин.
Задачикурса заключаютсяв освоениитеории физическихявлений, положенныхв основу созданияи функционированияразличныхэлектротехническихустройств, атакже в привитиипрактическихнавыков использованияметодов анализаи расчетаэлектрическихи магнитныхцепей для решенияширокого кругазадач.
Врезультатеизучения курсастудент должензнать основныеметоды анализаи расчетаустановившихсяпроцессов влинейных инелинейныхцепях с сосредоточеннымипараметрами,в линейныхцепях несинусоидальноготока, в линейныхцепях с распределеннымипараметрами,основные методыанализа и расчетапереходныхпроцессов вуказанных цепяхи уметь применятьих на практике.
Знанияи навыки, полученныепри изученииданного курса,являются базойдля освоениятаких дисциплин,как: математическиеосновы теорииавтоматическогоуправления,теория автоматическогоуправления,электропривод,промышленнаяэлектроника,электроснабжениепромышленныхпредприятий,переходныепроцессы вэлектрическихсистемах,электрическиеизмерения ит. д.
Приизучении дисциплиныпредполагается,что студентимеет соответствующуюматематическуюподготовкув областидифференциальногои интегральногоисчислений,линейной инелинейнойалгебры, комплексныхчисел и тригонометрическихфункций, а такжезнаком с основнымипонятиями изаконамиэлектричестваи магнетизма,рассматриваемымив курсе физики.
Курсрассчитан на86 лекционныхчасов и включаетв себя следующиеосновные разделы:
-теориялинейных цепейсинусоидальногои, как частныйслучай, постоянноготока;
-основытеории пассивныхчетырехполюсникови фильтров;
-трехфазныеэлектрическиецепи;
-линейныецепи при периодическихнесинусоидальныхтоках;
-переходныепроцессы влинейныхэлектрическихцепях;
-нелинейныеэлектрическиеи магнитныецепи при постоянныхи переменныхтоках и магнитныхпотоках встационарныхрежимах;
-переходныепроцессы внелинейныхцепях;
-установившиесяи переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрами.
Приподготовкелекционногокурса былииспользованыизвестныеучебники, сборникии пособия [1…12],а также методическиеразработкикафедры ТОЭЭИГЭУ.
Рекомендуемаяучебно-методическаялитературапо дисциплине:
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Теоретическиеосновыэлектротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.М.:Энергия, 1972.–240с.
Теоретическиеосновыэлектротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.: Энергия-1972. –200с.
МатхановП.Н.Основы анализаэлектрическихцепей. Линейныецепи: Учеб. дляэлектротехн.и радиотехн.спец. вузов.–3-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1990. –400 с.
МатхановП.Н.Основы анализаэлектрическихцепей. Нелинейныецепи: Учеб. дляэлектротехн.спец. вузов.–2-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1986. –352 с.
КаплянскийА.Е. идр. Теоретическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. –М.: Высш.шк., 1972. -448 с.
Теоретическиеосновыэлектротехники.Т. 1. Основы теориилинейных цепей.Под ред. П.А.Ионкина. Учебникдля электротехн.вузов. Изд. 2-е,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1976. –544 с.
Теоретическиеосновыэлектротехники.Т. 2. Нелинейныецепи и основытеории электромагнитногополя. Под ред.П.А. Ионкина.Учебник дляэлектротехн.вузов. Изд. 2-е,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1976. –383 с.
Сборникзадачи упражненийпо теоретическимосновам электротехники:Учеб. пособиедля вузов/ Под.ред. проф. П.А.Ионкина.–М.: Энергоиздат,1982. –768 с.
Сборникзадачи упражненийпо теоретическимосновам электротехники:Учеб. пособиедля вузов/ Под.ред. проф. П.А.Ионкина.–М.: Энергоиздат,1982. –768 с.
Сборникзадачи упражненийпо теоретическимосновам электротехники:Учеб. пособие/Бессонов Л.А.,Демидова И.Г.,Заруди М.Е. идр.; Под ред.Бессонова Л.А.. –2-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1980. –472 с.
Основыанализаи расчета линейныхэлектрическихцепей: Учеб.пособие/ Н.А.Кромова.–2-е изд., перераб.и доп.; Иван. гос.энерг. ун-т.–Иваново, 1999. -360с.
ГолубевА.Н.Методы расчетанелинейныхцепей: Учеб.пособие/ Иван.гос. энерг. ун-т.–Иваново, 2002. -212с.
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 1.Элементыэлектрическихцепей. |
| Электромагнитныепроцессы,протекающиев электротехническихустройствах,как правило,достаточносложны. Однаково многихслучаях, ихосновныехарактеристикиможно описатьс помощью такихинтегральныхпонятий, как:напряжение,ток, электродвижущаясила (ЭДС). Притаком подходесовокупностьэлектротехническихустройств,состоящуюиз соответствующимобразом соединенныхисточникови приемниковэлектрическойэнергии,предназначенныхдля генерации,передачи,распределенияи преобразованияэлектрическойэнергии и (или)информации,рассматриваюткак электрическуюцепь.Электрическаяцепь состоитиз отдельныхчастей (объектов),выполняющихопределенныефункции иназываемыхэлементамицепи.Основнымиэлементамицепи являютсяисточники иприемникиэлектрическойэнергии (сигналов).Электротехническиеустройства,производящиеэлектрическуюэнергию, называютсягенераторамиили источникамиэлектрическойэнергии,а устройства,потребляющиеее – приемниками(потребителями)электрическойэнергии. Укаждого элементацепи можновыделитьопределенноечисло зажимов(полюсов),с помощью которыхон соединяетсяс другимиэлементами.Различаютдвух–и многополюсныеэлементы.Двухполюсникиимеют два зажима.К ним относятсяисточникиэнергии (заисключениемуправляемыхи многофазных),резисторы,катушки индуктивности,конденсаторы.Многополюсныеэлементы –это, например,триоды, трансформаторы,усилители ит.д. Всеэлементыэлектрическойцепи условноможно разделитьна активныеи пассивные.Активнымназываетсяэлемент, содержащийв своей структуреисточникэлектрическойэнергии. Кпассивнымотносятсяэлементы, вкоторых рассеивается(резисторы)или накапливается(катушка индуктивностии конденсаторы)энергия. Косновнымхарактеристикамэлементовцепи относятсяих вольт-амперные,вебер-амперныеи кулон-вольтныехарактеристики,описываемыедифференциальнымиили (и) алгебраическимиуравнениями.Если элементыописываютсялинейнымидифференциальнымиили алгебраическимиуравнениями,то они называютсялинейными,в противномслучае ониотносятся кклассу нелинейных.Строго говоря,все элементыявляютсянелинейными.Возможностьрассмотренияих как линейных,что существенноупрощаетматематическоеописание ианализ процессов,определяетсяграницамиизмененияхарактеризующихих переменныхи их частот.Коэффициенты,связывающиепеременные,их производныеи интегралыв этих уравнениях,называютсяпараметрамиэлемента. Еслипараметрыэлемента неявляютсяфункциямипространственныхкоординат,определяющихего геометрическиеразмеры, тоон называетсяэлементом ссосредоточеннымипараметрами.Если элементописываетсяуравнениями,в которые входятпространственныепеременные,то он относитсяк классу элементовс распределеннымипараметрами.Классическимпримеромпоследнихявляется линияпередачиэлектроэнергии(длинная линия). Цепи,содержащиетолько линейныеэлементы,называютсялинейными.Наличие в схемехотя бы одногонелинейногоэлемента относитее к классунелинейных. Рассмотримпассивныеэлементы цепи,их основныехарактеристикии параметры. 1.Резистивныйэлемент (резистор) Условноеграфическоеизображениерезистораприведенона рис. 1,а. Резистор– это пассивныйэлемент,характеризующийсярезистивнымсопротивлением.Последнееопределяетсягеометрическимиразмерамитела и свойствамиматериала:удельнымсопротивлением(Омм) или обратнойвеличиной –удельнойпроводимостью  (См/м).Впростейшемслучае проводникадлиной  исечением S егосопротивлениеопределяетсявыражением  .В  общем случаеопределениесопротивлениясвязано срасчетом поляв проводящейсреде, разделяющейдва электрода.Основнойхарактеристикойрезистивногоэлемента являетсязависимость  (или  ),называемаявольт-ампернойхарактеристикой(ВАХ). Если зависимость представляетсобой прямуюлинию, проходящуючерез началокоординат(см.рис. 1,б), торезисторназываетсялинейным иописываетсясоотношением  или  ,где  -проводимость.При этом R=const.Нелинейныйрезистивныйэлемент, ВАХкоторогонелинейна(рис. 1,б), как будетпоказано вблоке лекций,посвященныхнелинейнымцепям, характеризуетсянесколькимипараметрами.В частностибезынерционномурезисторуставятся всоответствиестатическое  идифференциальное  сопротивления.2.Индуктивныйэлемент (катушкаиндуктивности) Условноеграфическоеизображениекатушки индуктивностиприведенона рис. 2,а. Катушка– это пассивныйэлемент,характеризующийсяиндуктивностью.Для расчетаиндуктивностикатушки необходиморассчитатьсозданноеею магнитноеполе.  Индуктивностьопределяетсяотношениемпотокосцепленияк току, протекающемупо виткамкатушки,  .Всвою очередьпотокосцеплениеравно суммепроизведенийпотока, пронизывающеговитки, на числоэтих витков  ,где  .Основнойхарактеристикойкатушки индуктивностиявляетсязависимость  ,называемаявебер-ампернойхарактеристикой.Для линейныхкатушек индуктивностизависимость представляетсобой прямуюлинию, проходящуючерез началокоординат(см. рис. 2,б); приэтом  .Нелинейныесвойства катушкииндуктивности(см. кривую нарис. 2,б) определяетналичие у неесердечникаиз ферромагнитногоматериала,для которогозависимость  магнитнойиндукции отнапряженностиполя нелинейна.Без учета явлениямагнитногогистерезисанелинейнаякатушка характеризуетсястатической  идифференциальной  индуктивностями.3.Емкостныйэлемент (конденсатор) Условноеграфическоеизображениеконденсатораприведенона рис. 3,а.  Конденсатор– это пассивныйэлемент,характеризующийсяемкостью. Длярасчета последнейнеобходиморассчитатьэлектрическоеполе в конденсаторе.Емкость определяетсяотношениемзаряда q наобкладкахконденсаторак напряжениюu между ними  изависит отгеометрииобкладок исвойств диэлектрика,находящегосямежду ними.Большинстводиэлектриков,используемыхна практике,линейны, т.е.у них относительнаядиэлектрическаяпроницаемость  =const. В этом случаезависимость  представляетсобой прямуюлинию, проходящуючерез началокоординат,(см. рис. 3,б) и  .Унелинейныхдиэлектриков(сегнетоэлектриков)диэлектрическаяпроницаемостьявляется функциейнапряженностиполя, что обусловливаетнелинейностьзависимости (рис.3,б). В этом случаебез учета явленияэлектрическогогистерезисанелинейныйконденсаторхарактеризуетсястатической  идифференциальной  емкостями.Схемызамещенияисточниковэлектрическойэнергии Свойстваисточникаэлектрическойэнергии описываютсяВАХ  ,называемойвнешнейхарактеристикойисточника.Далее в этомразделе дляупрощенияанализа иматематическогоописания будутрассматриватьсяисточникипостоянногонапряжения(тока). Однаковсе полученныепри этомзакономерности,понятия иэквивалентныесхемы в полноймере распространяютсяна источникипеременноготока. ВАХ источникаможет бытьопределенаэкспериментальнона основе схемы,представленнойна рис. 4,а. Здесьвольтметр Vизмеряетнапряжениена зажимах1-2 источникаИ, а амперметрА – потребляемыйот него токI, величинакоторого можетизменятьсяс помощьюпеременногонагрузочногорезистора(реостата) RН.  Вобщем случаеВАХ источникаявляетсянелинейной(кривая 1 на рис.4,б). Она имеетдве характерныеточки, которыесоответствуют: а– режимухолостогохода  ;б–режиму короткогозамыкания  .Длябольшинстваисточниковрежим короткогозамыкания(иногда холостогохода) являетсянедопустимым.Токи и напряженияисточникаобычно могутизменятьсяв определенныхпределах,ограниченныхсверху значениями,соответствующиминоминальномурежиму(режиму, прикотором изготовительгарантируетнаилучшиеусловия егоэксплуатациив отношенииэкономичностии долговечностисрока службы).Это позволяетв ряде случаевдля упрощениярасчетоваппроксимироватьнелинейнуюВАХ на рабочемучастке m-n (см.рис. 4,б) прямой,положениекоторой определяетсярабочимиинтерваламиизменениянапряженияи тока. Следуетотметить, чтомногие источники(гальваническиеэлементы,аккумуляторы)имеют линейныеВАХ. Прямая2 на рис. 4,б описываетсялинейнымуравнением |
где
-напряжениена зажимахисточникапри отключеннойнагрузке(разомкнутомключе К в схемена рис. 4,а); 
-внутреннеесопротивлениеисточника.Уравнение(1) позволяетсоставитьпоследовательнуюсхему замещенияисточника(см. рис. 5,а). Наэтой схемесимволом Еобозначенэлемент, называемыйидеальнымисточникомЭДС.Напряжениена зажимахэтого элемента
независит оттока источника,следовательно,ему соответствуетВАХ на рис. 5,б.На основании(1) у такого источника 
.Отметим, чтонаправленияЭДС и напряженияна зажимахисточникапротивоположны. 
ЕслиВАХ источникалинейна, тодля определенияпараметровего схемызамещениянеобходимопровести замерынапряженияи тока для двухлюбых режимовего работы.
Существуеттакже параллельнаясхема замещенияисточника.Для ее описанияразделим левуюи правую частисоотношения(1) на
.В результатеполучим 
или
 , | (2) |
где
; 
-внутренняяпроводимостьисточника.Уравнению(2) соответствуетсхема замещенияисточникана рис. 6,а.
Наэтой схемесимволом Jобозначенэлемент, называемыйидеальнымисточникомтока.Ток в ветвис этим элементомравен
ине зависитот напряженияна зажимахисточника,следовательно,ему соответствуетВАХ на рис. 6,б.На этом основаниис учетом (2) утакого источника 
,т.е. его внутреннеесопротивление 
.Отметим,что в расчетномплане привыполненииусловия
последовательнаяи параллельнаясхемы замещенияисточникаявляютсяэквивалентными.Однако в энергетическомотношенииони различны,поскольку врежиме холостогохода дляпоследовательнойсхемы замещениямощность равнанулю, а дляпараллельной– нет.Кромеотмеченныхрежимовфункционированияисточника,на практикеважное значениеимеет согласованныйрежимработы, прикотором нагрузкойRН от источникапотребляетсямаксимальнаямощность
 , | (3) |
Условиетакого режима
 , | (4) |
Взаключениеотметим, чтов соответствиис ВАХ на рис.5,б и 6,б идеальныеисточникиЭДС и токаявляютсяисточникамибесконечнобольшой мощности.
Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия,1972. –240 с.
КаплянскийА.Е.и др. Теоретическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. –М.: Высш.шк., 1972. –448 с.
Контрольныевопросы и задачи
Можетли внешняяхарактеристикисточникапроходитьчерез началокоординат?
Какойрежим (холостойход или короткоезамыкание)являетсяаварийнымдля источникатока?
В чемзаключаютсяэквивалентностьи различиепоследовательнойи параллельнойсхем замещенияисточника?
ОпределитьиндуктивностьL и энергиюмагнитногополя WМкатушки,если при токев ней I=20А потокосцепление=2 Вб.
Ответ:L=0,1 Гн; WМ=40 Дж.
Определитьемкость С иэнергию электрическогополя WЭконденсатора,если при напряжениина его обкладкахU=400 В заряд конденсатораq=0,210-3 Кл.
Ответ:С=0,5 мкФ; WЭ=0,04 Дж.
Угенераторапостоянноготока при токев нагрузкеI1=50Анапряжениена зажимахU1=210 В,а притоке,равном I2=100А, оноснижаетсядо U2=190 В.
Определитьпараметрыпоследовательнойсхемы замещенияисточникаи ток короткогозамыкания.
Ответ:
Вывестисоотношения(3) и (4) и определитьмаксимальнуюмощность,отдаваемуюнагрузке, поусловиямпредыдущейзадачи.
Ответ:
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 2.Топологияэлектрическойцепи. |
| Электрическаяцепь характеризуетсясовокупностьюэлементов,из которыхона состоит,и способомих соединения.Соединениеэлементовэлектрическойцепи наглядноотображаетсяее схемой.Рассмотримдля примерадве электрическиесхемы (рис. 1,2), введя понятиеветви и узла.  |
Ветвьюназываетсяучасток цепи,обтекаемыйодним и темже током.
Узел– место соединениятрех и болееветвей.
Представленныесхемы различныи по форме, ипо назначению,но каждая изуказанныхцепей содержитпо 6 ветвей и4 узла, одинаковосоединенных.Таким образом,в смысле геометрии(топологии)соединенийветвей данныесхемы идентичны.
Т
опологические(геометрические)свойстваэлектрическойцепи не зависятот типа и свойствэлементов,из которыхсостоит ветвь.Поэтому целесообразнокаждую ветвьсхемы электрическойцепи изобразитьотрезком линии.Если каждуюветвь схемна рис. 1 и 2 заменитьотрезком линии,получаетсягеометрическаяфигура, показаннаяна рис. 3.Условноеизображениесхемы, в которомкаждая ветвьзаменяетсяотрезком линии,называетсяграфомэлектрическойцепи.При этом следуетпомнить, чтоветви могутсостоять изкаких-либоэлементов,в свою очередьсоединенныхразличнымобразом.
Отрезоклинии, соответствующийветви схемы,называетсяветвьюграфа.Граничныеточки ветвиграфа называютузламиграфа.Ветвям графаможет бытьдана определеннаяориентация,указаннаястрелкой. Граф,у котороговсе ветвиориентированы,называетсяориентированным.
Подграфомграфа называетсячасть графа,т.е. это можетбыть одна ветвьили один изолированныйузел графа,а также любоемножествоветвей и узлов,содержащихсяв графе.
Втеории электрическихцепей важноезначение имеютследующиеподграфы:
1.Путь– это упорядоченнаяпоследовательностьветвей, в которойкаждые двесоседние ветвиимеют общийузел, причемлюбая ветвьи любой узелвстречаютсяна этом путитолько одинраз. Например,в схеме на рис.3 ветви 2-6-5;4-5; 3-6-4; 1образуют путимежду однойи той же паройузлов 1и 3.Таким образом,путь – этосовокупностьветвей, проходимыхнепрерывно.
2.Контур– замкнутыйпуть, в которомодин из узловявляетсяначальным иконечным узломпути. Например,для графа порис. 3 можноопределитьконтуры, образованныеветвями 2-4-6;3-5-6; 2-3-5-4.Если междулюбой паройузлов графасуществуетсвязь, то графназывают связным.
3.Дерево– это связныйподграф, содержащийвсе узлы графа,но ни одногоконтура. Примерамидеревьев дляграфа на рис.3 могут служитьфигуры на рис.4.
Рис.4
4.Ветви связи(дополнениядерева)– это ветвиграфа, дополняющиедерево доисходногографа.
Еслиграф содержитmузлов и nветвей, то числоветвей любогодерева
,а числа ветвейсвязи графа 
.5.Сечение графа– множествоветвей, удалениекоторых делитграф на дваизолированныхподграфа, одиниз которых,в частности,может бытьотдельнымузлом.
Сечениеможно наглядноизобразитьв виде следанекоторойзамкнутойповерхности,рассекающейсоответствующиеветви. Примерамитаких поверхностейявляются длянашего графана рис. 3 S1иS2. При этом получаемсоответственносечения, образованныеветвями 6-4-5и6-2-1-5.
Спонятием деревасвязаны понятияглавных контурови сечений:
главныйконтур– контур, состоящийиз ветвей дереваи только однойветви связи;
главноесечение –сечение, состоящееиз ветвей связии только однойветви дерева.
Топологическиематрицы
Задатьвычислительноймашине топологиюцепи рисункомзатруднительно,так как несуществуетэффективныхпрограммраспознаванияобраза. Поэтомутопологиюцепи вводятв ЭВМ в видематриц, которыеназываюттопологическимиматрицами.Выделяют тритаких матрицы:узловую матрицу,контурнуюматрицу и матрицусечений.
1.Узловая матрица(матрица соединений)– это таблицакоэффициентовуравнений,составленныхпо первомузакону Кирхгофа.Строки этойматрицы соответствуютузлам, а столбцы– ветвям схемы.
Дляграфа на рис.3 имеем числоузлов m=4и число ветвейn=6.Тогдазапишем матрицуАН, принимая, чтоэлемент матрицы
(i–номерстроки; j–номерстолбца) равен1,если ветвьjсоединена сузлом iиориентированаот него, -1,если ориентированак нему, и 0,если ветвьjне соединенас узломi.Сориентировавветви графана рис. 3, получим|
 | ||
 |  |  |
.Даннаяматрица АНзаписана длявсех четырехузлов и называетсянеопределенной.Следует указать,что суммаэлементовстолбцов матрицыАНвсегда равнанулю, так каккаждый столбецсодержит одинэлемент +1и один элемент-1,остальныенули.
Обычнопри расчетаходин (любой)заземляют.Тогда приходимк узловой матрицеА(редуцированнойматрице), котораяможет бытьполучена изматрицы АНпутем вычеркиваниялюбой ее строки.Например, привычеркиваниистроки “4”получим
|
 | ||
 |  |  |
.Числострок матрицыАравно числунезависимыхуравненийдля узлов
,т.е. числу уравнений,записываемыхдля электрическойсхемы по первомузакону Кирхгофа.Итак, введяпонятие узловойматрицы А,перейдем кпервому законуКирхгофа.Первыйзакон Кирхгофа
Обычнопервый законКирхгофазаписываетсядля узлов схемы,но, строгоговоря, онсправедливне только дляузлов, но и длялюбой замкнутойповерхности,т.е. справедливосоотношение
 | (1) |
где
-вектор плотноститока; 
-нормаль к участкуdSзамкнутойповерхностиS.Первыйзакон Кирхгофасправедливи для любогосечения. Вчастности,для сеченияS2графана рис. 3, считая,что нумерацияи направлениятоков в ветвяхсоответствуютнумерации ивыбраннойориентацииветвей графа,можно записать
.Посколькув частном случаеветви сечениясходятся вузле, то первыйзакон Кирхгофасправедливи для него. Покабудем применятьпервый законКирхгофа дляузлов, чтоматематическиможно записать,как:
 | (2) |
т.е.алгебраическаясумма токовветвей, соединенныхв узел, равнанулю.
Приэтом при расчетахуравненияпо первомузакону Кирхгофазаписываютсядля (m-1)узлов,так как призаписи уравненийдля всех mузловодно (любое)из них будетлинейно зависимымот других, т.е.не дает дополнительнойинформации.
Введемстолбцовуюматрицу токовветвей
I= |  |
Тогдапервый законКирхгофа вматричнойформе записиимеет вид:
АI=O | (3) |
–гдеO-нулеваяматрица-столбец.Как видим, вкачестве узловойвзята матрицаА,ане АН,т.к. с учетомвышесказанногоуравненияпо первомузакону Кирхгофазаписываютсядля (m-1)узлов.
Вкачестве примеразапишем длясхемы на рис.3
| |  |
Отсюдадля первогоузла получаем
,чтои должно иметьместо.
2.Контурнаяматрица (матрицаконтуров)– это таблицакоэффициентовуравнений,составленныхпо второмузакону Кирхгофа.Строки контурнойматрицы Всоответствуютконтурам, астолбцы – ветвямсхемы.
ЭлементbijматрицыВравен 1,если ветвьjвходитв контур iиее ориентациясовпадает снаправлениемобхода контура,-1,если не совпадаетс направлениемобхода контура,и 0,если ветвьjневходит в контурi.
МатрицуВ,записаннуюдля главныхконтуров,называют матрицейглавных контуров.При этом занаправлениеобхода контурапринимаютнаправлениеветви связиэтого контура.Выделив в нашемпримере (см.рис. 5) дерево,образуемоеветвями 2-1-4,запишем коэффициентыдля матрицыВ.
|
 |  | |
 | |  |
.
Перейдемтеперь ко второмузакону Кирхгофа.
Поднапряжениемна некоторомучастке электрическойцепи понимаетсяразностьпотенциаловмежду крайнимиточками этогоучастка, т.е.
 | (4) |
Просуммируемнапряженияна ветвяхнекоторогоконтура:
Посколькупри обходеконтура потенциалкаждой i-ойточки встречаетсядва раза, причемодин раз с “+”,а второй – с“-”, то в целомсумма равнанулю.
Такимобразом, второйзакон Кирхгофаматематическизаписывается,как:
 | (5) |
-и имеет местоследующуюформулировку:алгебраическаясумма напряженийна зажимахветвей (элементов)контура равнанулю. При этомпри расчетецепей с использованиемзаконов Кирхгофазаписывается
независимыхуравненийпо второмузакону Кирхгофа,т.е. уравнений,записываемыхдля контуров,каждый из которыхотличаетсяот других хотябы одной ветвью.Значениетопологическогопонятия “дерева”:дерево позволяетобразоватьнезависимыеконтуры и сеченияи, следовательно,формироватьнезависимыеуравненияпо законамКирхгофа. Такимобразом, с учетом(m-1)уравнений,составленныхпо первомузакону Кирхгофа,получаем системуиз 
уравнений,что равно числуветвей схемыи, следовательно,токи в нихнаходятсяоднозначно.Введемстолбцовуюматрицу напряженийветвей
U= |  |
Тогдавторой законКирхгофа вматричнойформе записиимеет вид
BU= 0. | (6) |
Вкачестве примерадля схемы рис.5 имеем
,откуда,например, дляпервого контураполучаем
,чтои должно иметьместо.
Есливвести столбцовуюматрицу узловыхпотенциалов
| =  |  |
причемпотенциалпоследнегоузла
,то матрицанапряженийветвей и узловыхпотенциаловсвязаны соотношением U=AТ | (7) |
гдеAТ-транспонированнаяузловая матрица.
Дляопределенияматрицы Впо известнойматрице А=АДАС, гдеАД– подматрица,соответствующаяветвям некоторогодерева, АС-подматрица,соответствующаяветвям связи,может бытьиспользованосоотношениеВ=(-АТСА-1ТД1).
3.Матрица сечений– это таблицакоэффициентовуравнений,составленныхпо первомузакону Кирхгофадля сечений.Ее строкисоответствуютсечениям, астолбцы – ветвямграфа.
МатрицаQ,составленнаядля главныхсечений, называетсяматрицейглавных сечений.Число строкматрицы Qравночислу независимыхсечений.
ЭлементqijматрицыQравен 1,если ветвьвходитв i-есечение иориентированасогласнонаправлениюсечения (заположительноенаправлениесечения принимаютнаправлениеветви дерева,входящей внего), -1,если ориентированапротивоположнонаправлениюсечения, и 0,если ветвьjневходит в i-есечение.
Вкачестве примерасоставим матрицуQглавныхсечений дляграфа на рис.5. При указаннойна рис. 5 ориентацииветвей имеем
 | ||
 | |  |
Взаключениеотметим, чтодля топологическихматриц А,Ви Q,составленныхдля одногои того же графа,выполняютсясоотношения
АВТ=0; | (8) |
QВТ=0, | (9) |
которые,в частности,можно использоватьдля проверкиправильностисоставленияэтих матриц.Здесь 0– нулевая матрицапорядка
.Приведенныеуравненияпозволяютсделать важноезаключение:зная одну изтопологическихматриц, по ееструктуреможно восстановитьостальные.
Литература
1.Теоретическиеосновы электротехники.Т.1. Основы теориилинейныхцепей./Под ред.П.А.Ионкина.Учебник дляэлектротехн.вузов. Изд.2-е, перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1976.-544с.
2.МатхановХ.Н.Основы анализаэлектрическихцепей. Линейныецепи.: Учеб. дляэлектротехн.и радиотехн.спец. 3-е изд.переработ.и доп. –М.: Высш.шк., 1990. –400с.
3.Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
Сформулируйтеосновныетопологическиепонятия дляэлектрическихцепей.
Чтотакое узловаяматрица?
Чтотакое контурнаяматрица?
Чтотакое матрицасечений?
Токиветвей некоторойпланарнойцепи удовлетворяютследующейполной системенезависимыхуравнений:
.Восстановивграф цепи,составитьматрицы главныхконтуров исечений, приняв,что ветвямдерева присвоеныпервые номера.
Ответ:
-
B=
Q=
Составитьматрицу главныхконтуров дляграфа на рис.3, приняв, чтодерево образовановетвями 2, 1 и 5
Ответ:
-
B=
Решитьзадачу 5, используясоотношения(8) и (9).
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 3.Представлениесинусоидальныхвеличин с помощьювекторов икомплексныхчисел. |
| Переменныйток долгоевремя не находилпрактическогоприменения. Это было связанос тем, что первыегенераторыэлектрическойэнергии вырабатывалипостоянныйток, которыйвполне удовлетворялтехнологическимпроцессамэлектрохимии,а двигателипостоянноготока обладаютхорошимирегулировочнымихарактеристиками.Однако по мереразвитияпроизводствапостоянныйток все менеестал удовлетворятьвозрастающимтребованиямэкономичногоэлектроснабжения.Переменныйток дал возможностьэффективногодробленияэлектрическойэнергии иизменениявеличинынапряженияс помощьютрансформаторов.Появиласьвозможностьпроизводстваэлектроэнергиина крупныхэлектростанцияхс последующимэкономичнымее распределениемпотребителям,увеличилсярадиус электроснабжения. Внастоящеевремя центральноепроизводствои распределениеэлектрическойэнергии осуществляетсяв основномна переменномтоке. Цепи сизменяющимися– переменными– токами посравнению сцепями постоянноготока имеютряд особенностей.Переменныетоки и напряжениявызываютпеременныеэлектрическиеи магнитныеполя. В результатеизмененияэтих полейв цепях возникаютявления самоиндукциии взаимнойиндукции, которыеоказываютсамое существенноевлияние напроцессы,протекающиев цепях, усложняяих анализ. Переменнымтоком (напряжением,ЭДС и т.д.)называетсяток (напряжение,ЭДС и т.д.), изменяющийсяво времени.Токи, значениякоторых повторяютсячерез равныепромежуткивремени в однойи той же последовательности,называютсяпериодическими,анаименьшийпромежутоквремени, черезкоторый этиповторениянаблюдаются,- периодомТ.Для периодическоготока имеем |
Величина,обратная периоду,есть частота, измеряемаяв герцах (Гц):
| (2) |
,Диапазончастот, применяемыхв технике: отсверхнизкихчастот (0.01ё10 Гц– в системахавтоматическогорегулирования,в аналоговойвычислительнойтехнике) – досверхвысоких(3000 ё 300000 МГц – миллиметровыеволны: радиолокация,радиоастрономия).В РФ промышленнаячастота f= 50Гц.
Мгновенноезначениепеременнойвеличины естьфункция времени.Ее принятообозначатьстрочной буквой:
i - мгновенноезначение тока 
;
u–мгновенноезначениенапряжения 
;
е-мгновенноезначение ЭДС 
;
р-мгновенноезначение мощности 
.
Наибольшеемгновенноезначениепеременнойвеличины запериод называетсяамплитудой(ее принятообозначатьзаглавнойбуквой с индексомm).
-амплитудатока;
-амплитуданапряжения;
-амплитудаЭДС.
Действующеезначениепеременноготока
Значениепериодическоготока, равноетакому значениюпостоянноготока, которыйза время одногопериода произведеттот же самыйтепловой илиэлектродинамическийэффект, чтои периодическийток, называютдействующимзначениемпериодическоготока:
| (3) |
Аналогичноопределяютсядействующиезначения ЭДСи напряжения.
Синусоидальноизменяющийсяток
Извсех возможныхформ периодическихтоков наибольшеераспространениеполучил синусоидальныйток. По сравнениюс другими видамитока синусоидальныйток имеет топреимущество,что позволяетв общем случаенаиболееэкономичноосуществлятьпроизводство,передачу,распределениеи использованиеэлектрическойэнергии. Толькопри использованиисинусоидальноготока удаетсясохранитьнеизменнымиформы кривыхнапряженийи токов на всехучастках сложнойлинейной цепи.Теория синусоидальноготока являетсяключом к пониманиютеории другихцепей.
ИзображениесинусоидальныхЭДС, напряжений
итоков на плоскостидекартовыхкоординат
Синусоидальныетоки и напряженияможно изобразитьграфически,записать припомощи уравненийс тригонометрическимифункциями,представитьв виде векторовна декартовойплоскостиили комплекснымичислами.
Приведеннымна рис. 1, 2 графикамдвух синусоидальныхЭДС е1ие2соответствуютуравнения:
.
Значенияаргументовсинусоидальныхфункций
и 
называютсяфазамисинусоид,а значениефазы в начальныймомент времени(t=0): 
и 
-начальнойфазой ( 
).Величину 
,характеризующуюскоростьизмененияфазового угла,называют угловойчастотой. Таккак фазовыйугол синусоидыза время одногопериода Тизменяетсяна 
рад.,то угловаячастота есть 
,где f–частота.
Присовместномрассмотрениидвух синусоидальныхвеличин однойчастоты разностьих фазовыхуглов, равнуюразностиначальныхфаз, называютугломсдвига фаз.
ДлясинусоидальныхЭДС е1ие2уголсдвига фаз:
.
Векторноеизображениесинусоидально
изменяющихсявеличин
Надекартовойплоскостииз началакоординатпроводят векторы,равные по модулюамплитуднымзначениямсинусоидальныхвеличин, ивращают этивекторы противчасовой стрелки(вТОЭ данноенаправлениепринято заположительное)с угловойчастотой, равнойw.Фазовый уголпри вращенииотсчитываетсяот положительнойполуоси абсцисс.Проекциивращающихсявекторов наось ординатравны мгновеннымзначениямЭДС е1ие2(рис.3). Совокупностьвекторов,изображающихсинусоидальноизменяющиесяЭДС, напряженияи токи, называютвекторнымидиаграммами.Припостроениивекторныхдиаграмм векторыудобно располагатьдля начальногомомента времени(t=0),чтовытекает изравенстваугловых частотсинусоидальныхвеличин иэквивалентнотому, что системадекартовыхкоординатсама вращаетсяпротив часовойстрелки соскоростьюw.Таким образом,в этой системекоординатвекторы неподвижны(рис. 4). Векторныедиаграммынашли широкоеприменениепри анализецепей синусоидальноготока. Их применениеделает расчетцепи болеенаглядным ипростым. Этоупрощениезаключаетсяв том, что сложениеи вычитаниемгновенныхзначений величинможно заменитьсложением ивычитаниемсоответствующихвекторов.
 |
Пусть,например, вточке разветвленияцепи (рис. 5) общийток 
равенсумме токов 
и 
двухветвей:
.Каждыйиз этих токовсинусоидалени может бытьпредставленуравнением
и 
.Результирующийток также будетсинусоидален:
.Определениеамплитуды
и начальнойфазы 
этоготока путемсоответствующихтригонометрическихпреобразованийполучаетсядовольногромоздкими мало наглядным,особенно, еслисуммируетсябольшое числосинусоидальныхвеличин. Значительнопроще этоосуществляетсяс помощьювекторнойдиаграммы. 
Нарис. 6 изображеныначальныеположениявекторов токов,проекции которыхна ось ординатдают мгновенныезначения токовдля t=0.Привращении этихвекторов содинаковойугловой скоростьюwихвзаимноерасположениене меняется,и угол сдвигафаз между нимиостается равным 
.Таккак алгебраическаясумма проекцийвекторов наось ординатравна мгновенномузначению общеготока, векторобщего токаравен геометрическойсумме векторовтоков:
.
Построениевекторнойдиаграммы вмасштабепозволяетопределитьзначения и издиаграммы,после чегоможет бытьзаписано решениедля мгновенногозначения путемформальногоучета угловойчастоты: 
.
ПредставлениесинусоидальныхЭДС, напряжений
итоков комплекснымичислами
Геометрическиеоперации свекторамиможно заменитьалгебраическимиоперациямис комплекснымичислами, чтосущественноповышает точностьполучаемыхрезультатов.
К
аждомувектору накомплекснойплоскостисоответствуетопределенноекомплексноечисло, котороеможет бытьзаписано в:показательной 
тригонометрической 
или
алгебраической 
-формах.
Например,ЭДС 
,изображеннойна рис. 7 вращающимсявектором,соответствуеткомплексноечисло
.
Фазовыйугол 
определяетсяпо проекциямвектора наоси “+1” и “+j”системы координат,как
.
Всоответствиис тригонометрическойформой записимнимая составляющаякомплексногочисла определяетмгновенноезначениесинусоидальноизменяющейсяЭДС:
| (4) |
,Комплексноечисло 
удобнопредставитьв виде произведениядвух комплексныхчисел:
| (5) |
,Параметр 
,соответствующийположениювектора дляt=0(илина вращающейсясо скоростьюwкомплекснойплоскости),называюткомплекснойамплитудой: 
,а параметр 
-комплексоммгновенногозначения.
Параметр 
являетсяоператоромповоротавектора наугол wtотносительноначальногоположениявектора.
Вообщеговоря, умножениевектора наоператор поворота 
естьего поворототносительнопервоначальногоположенияна угол ±a.
Следовательно,мгновенноезначениесинусоидальнойвеличины равномнимой частибез знака “j”произведениякомплексаамплитуды иоператораповорота :
.
Переходот одной формызаписи синусоидальнойвеличины кдругой осуществляетсяс помощью формулыЭйлера:
| (6) |
,Если,например,комплекснаяамплитуданапряжениязадана в видекомплексногочисла в алгебраическойформе:
,
-то для записиее в показательнойформе, необходимонайти начальнуюфазу 
,т.е. угол, которыйобразует вектор 
сположительнойполуосью +1:
.
Тогдамгновенноезначениенапряжения:
,
где 
.
Призаписи выражениядля определенностибыло принято,что 
,т.е. что изображающийвектор находитсяв первом иличетвертомквадрантах.Если 
,то при 
(второйквадрант)
| (7) |
,апри 
(третийквадрант)
| (8) |
или
| (9) |
Еслизадано мгновенноезначение токав виде 
,то комплекснуюамплитудузаписываютсначала впоказательнойформе, а затем(при необходимости)по формулеЭйлера переходятк алгебраическойформе:
.
Следуетуказать, чтопри сложениии вычитаниикомплексовследует пользоватьсяалгебраическойформой их записи,а при умножениии делении удобнапоказательнаяформа.
Итак,применениекомплексныхчисел позволяетперейти отгеометрическихопераций надвекторами калгебраическимнад комплексами.Так при определениикомплекснойамплитудырезультирующеготока порис. 5 получим:
где 
;
.
ДействующеезначениесинусоидальныхЭДС, напряженийи токов
Всоответствиис выражением(3) для действующегозначениясинусоидальноготока запишем:
.
Аналогичныйрезультатможно получитьдля синусоидальныхЭДС и напряжений.Таким образом,действующиезначениясинусоидальныхтока, ЭДС инапряженияменьше своихамплитудныхзначений в 
раз:
| (10) |
.Поскольку,как будетпоказано далее,энергетическийрасчет цепейпеременноготока обычнопроводитсяс использованиемдействующихзначений величин,по аналогиис предыдущимвведем понятиекомплексадействующегозначения
.
Литература
1. Основытеориицепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-еизд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
2. БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
1. Какойпрактическийсмысл имеетизображениесинусоидальныхвеличин с помощьювекторов?
2. Какойпрактическийсмысл имеетпредставлениесинусоидальныхвеличин сиспользованиемкомплексныхчисел?
3. Вчем заключаютсяпреимуществаизображениясинусоидальныхвеличин с помощьюкомплексовпо сравнениюс их векторнымпредставлением?
4. Длязаданныхсинусоидальныхфункций ЭДСи тока 
записатьсоответствующиеим комплексыамплитуд идействующихзначений, атакже комплексымгновенныхзначений.
5. Нарис. 5 
,а 
.Определить .
Ответ: 
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 4.Элементы цеписинусоидальноготока. Векторныедиаграммы икомплексныесоотношениядля них. |
| 1.Резистор Идеальныйрезистивныйэлемент необладает нииндуктивностью,ни емкостью.Если к немуприложитьсинусоидальноенапряжение |
С
оотношение(1) показывает,что ток имеетту же начальнуюфазу, что инапряжение.Таким образом,если на входедвухлучевогоосциллографаподать сигналыuи i,то соответствующиеим синусоидына его экранебудут проходить(см. рис. 2) черезнуль одновременно,т.е. нарезисторенапряжениеи ток совпадаютпо фазе.Из(1) вытекает:
; 
.
Переходяот синусоидальныхфункций напряженияи тока к соответствующимим комплексам:
;
,
-разделим первыйиз них на второй:
или
| (2) |
.Полученныйрезультатпоказывает,что отношениедвух комплексовесть вещественнаяконстанта.Следовательно,соответствующиеим векторынапряженияи тока (см. рис.3) совпадаютпо направлению.
2.Конденсатор
Идеальныйемкостныйэлемент необладает ниактивнымсопротивлением(проводимостью),ни индуктивностью.Если к немуприложитьсинусоидальноенапряжение 
(см.рис. 4), то ток i черезнего будетравен
| (3) |
.П
олученныйрезультатпоказывает,что напряжениена конденсатореотстает пофазе от токана 
/2.Такимобразом, еслина входы двухлучевогоосциллографаподать сигналыu и i,то на его экранебудет иметьместо картинка,соответствующаярис. 5.Из(3) вытекает:
;
. 
Введенныйпараметр 
называютреактивнымемкостнымсопротивлениемконденсатора.Как и резистивноесопротивление, 
имеетразмерностьОм.Однако в отличиеот Rданныйпараметр являетсяфункцией частоты,что иллюстрируетрис. 6. Из рис. 6вытекает, чтопри 
конденсаторпредставляетразрыв длятока, а при 
.
Переходяот синусоидальныхфункций напряженияи тока к соответствующимим комплексам:
;
,
-разделим первыйиз них на второй:
или
| (4) |
. В
последнемсоотношении 
-комплексноесопротивлениеконденсатора.Умножениена 
соответствуетповороту векторана угол 
почасовой стрелке.Следовательно,уравнению(4) соответствуетвекторнаядиаграмма,представленнаяна рис. 7.3.Катушка индуктивности
Идеальныйиндуктивныйэлемент необладает ниактивнымсопротивлением,ни емкостью.Пусть протекающийчерез неготок (см. рис. 8)определяетсявыражением 
.Тогда длянапряженияна зажимахкатушки индуктивностиможно записать
| (5) |
. Полученныйрезультатпоказывает,что напряжениена катушкеиндуктивностиопережаетпо фазе токна /2.Таким образом,если на входыдвухлучевогоосциллографаподать сигналыuи i,то на его экране(идеальныйиндуктивныйэлемент) будетиметь местокартинка,соответствующаярис. 9.
Из(5) вытекает:
 |
.
Введенныйпараметр 
называютреактивныминдуктивнымсопротивлениемкатушки; егоразмерность– Ом. Как и уемкостногоэлемента этотпараметр являетсяфункцией частоты.Однако в данномслучае этазависимостьимеет линейныйхарактер, чтоиллюстрируетрис. 10. Из рис.10 вытекает, чтопри катушкаиндуктивностине оказываетсопротивленияпротекающемучерез неготоку, и при 
.
Переходяот синусоидальныхфункций напряженияи тока к соответствующимкомплексам:
;
,
разделимпервый из нихна второй:
или
| (6) |
. В
полученномсоотношении 
-комплексноесопротивлениекатушки индуктивности.Умножениена 
соответствуетповороту векторана угол противчасовой стрелки.Следовательно,уравнению(6) соответствуетвекторнаядиаграмма,представленнаяна рис. 11
.4.Последовательноесоединениерезистивногои индуктивногоэлементов
П
устьв ветви на рис.12 
.Тогда 
где
,причем пределыизменения 
.
Уравнению(7) можно поставитьв соответствиесоотношение
,
 |
которому,в свою очередь,соответствуетвекторнаядиаграммана рис. 13. Векторына рис. 13 образуютфигуру, называемуютреугольникомнапряжений.Аналогичновыражение
графическиможет бытьпредставленотреугольникомсопротивлений(см. рис. 14), которыйподобен треугольникунапряжений.
5.Последовательноесоединениерезистивногои емкостногоэлементов
О
пускаяпромежуточныевыкладки, сиспользованиемсоотношений (2) и (4) для ветвина рис. 15 можнозаписать . | (8) |
, где
, причем пределыизменения 
.
 |
Наоснованииуравнения(7) могут бытьпостроенытреугольникинапряжений(см. рис. 16) и сопротивлений(см. рис. 17), которыеявляютсяподобными.
6.Параллельноесоединениерезистивногои емкостногоэлементов
Дляцепи на рис.18 имеют местосоотношения:
;
,где 
[См]– активнаяпроводимость;
,где 
[См]– реактивнаяпроводимостьконденсатора.
 |
Векторнаядиаграмматоков для даннойцепи, называемаятреугольникомтоков,приведенана рис. 19. Ейсоответствуетуравнение вкомплекснойформе
,
где 
;
-комплекснаяпроводимость;
.
Треугольникпроводимостей,подобныйтреугольникутоков, приведенна рис. 20.
Длякомплексногосопротивленияцепи на рис.18 можно записать
.
Необходимоотметить, чтополученныйрезультатаналогиченизвестномуиз курса физикивыражениюдля эквивалентногосопротивлениядвух параллельносоединенныхрезисторов.
7.Параллельноесоединениерезистивногои индуктивногоэлементов
Дляцепи на рис.21 можно записать
;
,где [См]– активная проводимость;
,где 
[См]– реактивнаяпроводимостькатушки индуктивности.
Векторнойдиаграмметоков (рис. 22)для даннойцепи соответствуетуравнение вкомплекснойформе
,
где 
;
-комплекснаяпроводимость;
.
Треугольникпроводимостей,подобныйтреугольникутоков, приведенна рис. 23.
 |
Выражениекомплексногосопротивленияцепи на рис.21 имеет вид:
.
Литература
1. Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
2. БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
1. Вчем сущностьреактивныхсопротивлений?
2. Какойиз элементов:резистор, катушкуиндуктивностиили конденсатор– можно использоватьв качествешунта длянаблюденияза формой тока?
3. Почемукатушки индуктивностии конденсаторыне используютсяв цепях постоянноготока?
4. Вветви на рис.12
.Определитькомплексноесопротивлениеветви, есличастота тока 
.Ответ:
.5. Вветви на рис.15
.Определитькомплексноесопротивлениеветви, есличастота тока .Ответ:
.6. Вцепи на рис.18
.Определитькомплексныепроводимостьи сопротивлениецепи для .Ответ:
; 
.7. Протекающийчерез катушкуиндуктивности
токизменяетсяпо закону 
А.Определитькомплексдействующегозначениянапряженияна катушке.Ответ:
.Теория/ ТОЭ/ Лекция N 5.Закон Ома дляучастка цепис источникомЭДС. |
Возьмемдва участкацепи a-b иc-d(см.рис. 1) и составимдля них уравненияв комплекснойформе с учетомуказанныхна рис. 1 положительныхнаправленийнапряженийи токов.
Объединяяоба случая,получим
| (1) |
илидля постоянноготока
| (2) |
. Формулы(1) и (2) являютсяаналитическимвыражениемзакона Омадля участкацепи с источникомЭДС,согласно которомуток на участкецепи с источникомЭДС равеналгебраическойсумме напряженияна зажимахучастка цепии ЭДС, деленнойна сопротивлениеучастка. В случаепеременноготока все указанныевеличины сутькомплексы.При этом ЭДСи напряжениеберут со знаком“+”, если ихнаправлениесовпадает свыбраннымнаправлениемтока, и со знаком“-”, если ихнаправлениепротивоположнонаправлениютока.
Основысимволическогометода расчетацепей
синусоидальноготока
Расчетцепей переменногосинусоидальноготока можетпроизводитьсяне только путемпостроениявекторныхдиаграмм, нои аналитически– путем операцийс комплексами,символическиизображающимисинусоидальныеЭДС, напряженияи токи. Достоинствомвекторныхдиаграмм являетсяих наглядность,недостатком– малая точностьграфическихпостроений.Применениесимволическогометода позволяетпроизводитьрасчеты цепейс большойстепеньюточности.
Символическийметод расчетацепей синусоидальноготока основанна законахКирхгофа изаконе Омав комплекснойформе.
Уравнения,выражающиезаконы Кирхгофав комплекснойформе, имеютсовершеннотакой же вид,как и соответствующиеуравнениядля цепейпостоянноготока. Толькотоки, ЭДС, напряженияи сопротивлениявходят в уравнениев виде комплексныхвеличин.
1. Первыйзакон Кирхгофав комплекснойформе:
| (3) |
. 2. Второйзакон Кирхгофав комплекснойформе:
| (4) |
илиприменительнок схемам замещенияс источникамиЭДС
| (5) |
. 3. Соответственноматричнаязапись законовКирхгофа вкомплекснойформе имеетвид:
первыйзакон Кирхгофа:
. | (6) |
; второйзакон Кирхгофа
| (7) |
.Пример.
Дано:
 |    | ||
   | |||
Определить: | 1)полное комплексноесопротивлениецепи | ||
2)токи | |||
Рис.2 | |||
Решение:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. Принимаяначальнуюфазу напряженияза нуль, запишем:
.
Тогда
.
5. Посколькуток распределяетсяобратно пропорциональносопротивлениюветвей (этовытекает иззакона Ома),то
6. 
.
7. Аналогичныйрезультатможно получить,составив дляданной схемыуравненияпо законамКирхгофа вкомплекснойформе
 |
 |
илипосле подстановкичисленныхзначенийпараметровсхемы
Специальныеметоды расчета
Режимработы любойцепи полностьюхарактеризуетсяуравнениями,составленнымина основаниизаконов Кирхгофа.При этом необходимосоставить ирешить системус nнеизвестными,что можетоказатьсявесьма трудоемкойзадачей прибольшом числеnветвей схемы.Однако, числоуравнений,подлежащихрешению, можетбыть сокращено,если воспользоватьсяспециальнымиметодами расчета,к которымотносятсяметоды контурныхтоков и узловыхпотенциалов.
Методконтурныхтоков
Идеяметода контурныхтоков: уравнениясоставляютсятолько по второмузакону Кирхгофа,но не длядействительных,а для воображаемыхтоков, циркулирующихпо замкнутымконтурам, т.е.в случае выбораглавных контуровравных токамветвей связи.Число уравненийравно числунезависимыхконтуров, т.е.числу ветвейсвязи графа 
.Первый законКирхгофавыполняетсяавтоматически.Контуры можновыбиратьпроизвольно,лишь бы их числобыло равно 
ичтобы каждыйновый контурсодержал хотябы одну ветвь,не входящуюв предыдущие.Такие контурыназываютсянезависимыми.Их выбор облегчаетиспользованиетопологическихпонятий дереваи ветвей связи.
Направленияистинных иконтурныхтоков выбираютсяпроизвольно.Выбор положительныхнаправленийперед началомрасчета можетне определятьдействительныенаправлениятоков в цепи.Если в результатерасчета какой-либоиз токов, каки при использованииуравненийпо законамКирхгофа,получитсясо знаком “-”,это означает,что его истинноенаправлениепротивоположно.
П
устьимеем схемупо рис. 3.Выразим токи ветвейчерез контурныетоки:
;
; 
;
; 
.
Обойдяконтур aeda,повторому законуКирхгофа имеем
.
Поскольку 
,
то
.
Такимобразом, получилиуравнениедля первогоконтура относительноконтурныхтоков. Аналогичноможно составитьуравнениядля второго,третьего ичетвертогоконтуров:
совместнос первым решитьих относительноконтурныхтоков и затемпо уравнениям,связывающимконтурныетоки и токиветвей, найтипоследние.
Однакоданная системауравненийможет бытьсоставленаформальнымпутем:
Присоставленииуравненийнеобходимопомнить следующее:
-сумма сопротивлений,входящих вi-йконтур;
-сумма сопротивлений,общих для i-гои k-гоконтуров,причем 
;
членына главнойдиагоналивсегда пишутсясо знаком “+”;
знак“+” перед остальнымичленами ставитсяв случае, есличерез общеесопротивление i-йи k-й контурныетоки проходятв одном направлении,в противномслучае ставитсязнак “-”;
еслиi-йи k-й контуры неимеют общихсопротивлений,то 
;
вправой частиуравненийзаписываетсяалгебраическаясумма ЭДС,входящих вконтур: со знаком“+”, если направлениеЭДС совпадаетс выбраннымнаправлениемконтурноготока, и “-”, еслине совпадает.
Внашем случае,для первогоуравнениясистемы, имеем:
Следуетобратить вниманиена то, что, поскольку ,коэффициентыконтурныхуравненийвсегда симметричныотносительноглавной диагонали.
Еслив цепи содержатсяпомимо источниковЭДС источникитока, то ониучитываютсяв левых частяхуравненийкак известныеконтурныетоки: k-й контурныйток, проходящийчерез ветвьс k-м источникомтока равенэтому току 
.
Методузловых потенциалов
Данныйметод вытекаетиз первогозакона Кирхгофа.В качественеизвестныхпринимаютсяпотенциалыузлов, по найденнымзначениямкоторых с помощьюзакона Омадля участкацепи с источникомЭДС затем находяттоки в ветвях.Посколькупотенциал –величинаотносительная,потенциалодного из узлов(любого) принимаетсяравным нулю.Таким образом,число неизвестныхпотенциалов,а следовательно,и число уравненийравно 
,т.е. числу ветвейдерева 
.
Пустьимеем схемупо рис. 4, в которойпримем 
.
Д
опустим,что 
и 
известны.Тогда значениятоков на основаниизакона Омадля участкацепи с источникомЭДС 
Запишемуравнениепо первомузакону Кирхгофадля узла а:
иподставимзначения входящихв него токов,определенныхвыше:
.
Сгруппировавсоответствующиечлены, получим:
.
Аналогичноможно записатьдля узла b:
.
Каки по методуконтурныхтоков, системауравненийпо методу узловыхпотенциаловможет бытьсоставленаформальнымпутем. При этомнеобходиморуководствоватьсяследующимиправилами:
1. Влевой частиi-гоуравнениязаписываетсясо знаком“+”потенциал 
i-гоузла, для которогосоставляетсяданное i-еуравнение,умноженныйна сумму проводимостей 
ветвей,присоединенныхк данному i-муузлу, и со знаком“-”потенциал 
соседнихузлов, каждыйиз которыхумножен насумму проводимостей 
ветвей,присоединенныхк i-муиk-муузлам.
Изсказанногоследует, чтовсе члены 
,стоящие наглавной диагоналив левой частисистемы уравнений,записываютсясо знаком “+”,а все остальные– со знаком“-”, причем 
.Последнееравенствопо аналогиис методомконтурныхтоков обеспечиваетсимметриюкоэффициентовуравненийотносительноглавной диагонали.
2. Вправой частиi-гоуравнениязаписываетсятак называемыйузловой ток 
,равный суммепроизведенийЭДС ветвей,подходящихк i-муузлу, и проводимостейэтих ветвей.При этом членсуммы записываетсясо знаком “+”,если соответствующаяЭДС направленак i-муузлу, в противномслучае ставитсязнак “-”. Еслив подходящихк i-муузлу ветвяхсодержатсяисточникитока, то знакитоков источниковтоков, входящихв узловой токпростымислагаемыми,определяютсяаналогично.
Взаключениеотметим, чтовыбор тогоили иного израссмотренныхметодов определяетсятем, что следуетнайти, а такжетем, какой изних обеспечиваетменьший порядоксистемы уравнений.При расчететоков приодинаковомчисле уравненийпредпочтительнееиспользоватьметод контурныхтоков, так какон не требуетдополнительныхвычисленийс использованиемзакона Ома.Метод узловыхпотенциаловочень удобенпри расчетахмногофазныхцепей, но неудобен прирасчете цепейсо взаимнойиндуктивностью.
Литература
1. Основытеориицепей: Учеб.длявузов /Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
2. БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с
.
Контрольныевопросы и задачи
1. Вветви на рис.1 
.Определитьток 
.
Ответ: 
.
2. Вчем заключаетсясущностьсимволическогометода расчетацепей синусоидальноготока?
3. Вчем состоитсущность методаконтурныхтоков?
4. Вчем состоитсущность методаузловых потенциалов?
5. Вцепи на рис.5 
; 
; 
; 
.Методом контурныхтоков определитькомплексыдействующихзначений токовветвей.Ответ: 
; 
; 
.
6. Вцепи на рис.6 
.Рассчитатьтоки в ветвях,используяметод узловыхпотенциалов.
Ответ: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 6.Основы матричныхметодов расчетаэлектрическихцепей. |
| Рассмотренныеметоды расчетаэлектрическихцепей – непосредственнопо законамКирхгофа, методыконтурныхтоков и узловыхпотенциалов– позволяютпринципиальнорассчитатьлюбую схему.Однако ихприменениебез использованиявведенныхранее топологическихматриц рациональнодля относительнопростых схем.Использованиематричныхметодов расчетапозволяетформализоватьпроцесс составленияуравненийэлектромагнитногобаланса цепи,а также упорядочитьввод данныхв ЭВМ, что особенносущественнопри расчетесложных разветвленныхсхем. П  ереходяк матричнымметодам расчетацепей, запишемзакон Ома вматричнойформе.Пустьимеем схемупо рис. 1, где |
-источник тока.В соответствиис рассмотреннымнами ранеезаконом Омадля участкацепи с ЭДС дляданной схемыможно записать:Однако,для дальнейшихвыкладок будетудобнеепредставитьток 
каксумму токов k-йветви и источникатока, т.е.:
| (2) |
.Подставив(2) в (1), получим:
| (3) |
. Формула(3) представляетсобой аналитическоевыражениезакона Омадля участкацепи с источникамиЭДС и тока(обобщеннойветви).
Соотношение(3) запишем длявсех nветвей схемыв виде матричногоравенства
или
| (4) |
,гдеZ– диагональнаяквадратная(размерностьюn x n)матрица сопротивленийветвей, всеэлементы которой(взаимнуюиндуктивностьне учитываем),за исключениемэлементовглавной диагонали,равны нулю.
Соотношение(4) представляетсобой матричнуюзапись законаОма.
Если обе части равенства (4) умножить слева на контурнуюматрицу В и учесть второйзакон Кирхгофа,согласно которому
| (5) |
то
| (6) |
, то естьполучили новуюзапись в матричнойформе второгозакона Кирхгофа.
Методконтурныхтоков в матричнойформе
Всоответствиис введеннымранее понятиемматрицы главныхконтуровВ,записываемойдля главныхконтуров, вкачественезависимыхпеременныхпримем токиветвей связи,которые и будутравны искомымконтурнымтокам.
Уравненияс контурнымитоками получаютсяна основаниивторого законаКирхгофа; ихчисло равночислу независимыхуравнений,составляемыхдля контуров,т.е. числу ветвейсвязи c=n-m+1.Выражение(6) запишем следующимобразом:
| (7) |
. Всоответствиис методовконтурныхтоков токивсех ветвеймогут бытьвыражены каклинейныекомбинацииконтурныхтоков или врассматриваемомслучае токовветвей связи.Если элементыj–гостолбца матрицыВумножитьсоответствующимобразом наконтурныетоки, то сумматаких произведенийи будет выражениемтока j–йветви черезконтурныетоки (черезтоки ветвейсвязи). Сказанноеможет бытьзаписано ввиде матричногосоотношения
| (8) |
, где 
-столбцоваяматрица контурныхтоков; 
-транспонированнаяконтурнаяматрица.
С учетом(8) соотношение(7) можно записать,как:
| (9) |
Полученноеуравнениепредставляетсобойконтурныеуравнения вматричнойформе. Еслиобозначить
| (10) |
, | (11) |
. тополучим матричнуюформу записиуравнений,составленныхпо методуконтурныхтоков:
| (12) |
, где 
-матрица контурныхсопротивлений; 
-матрица контурныхЭДС.
В развернутойформе (12) можнозаписать, как:
| (13) |
,т
оесть получилиизвестныйиз методаконтурныхтоков результат.Рассмотримпример составленияконтурныхуравнений.
Пустьимеем схемупо рис. 2. Даннаясхема имеетчетыре узла(m=4)ишесть обобщенныхветвей (n=6).Числонезависимыхконтуров, равноечислу ветвейсвязи,
c=n-m+1=6-4+1=3.
Графсхемы с выбраннымдеревом (ветви1, 2, 3) имеет видпо рис. 3.
З
апишемматрицу контуров,которая будетявляться матрицейглавных контуров,посколькукаждая ветвьсвязи входиттолько в одинконтур. Принимаяза направлениеобхода контуровнаправленияветвей связи,получим:В | |
.Диагональнаяматрица сопротивленийветвей
Z | |
Матрицаконтурныхсопротивлений
Zk=BZBT | |
.
МатрицыЭДС и токовисточников
| |
| |
Тогдаматрица контурныхЭДС
| |
.
Матрицаконтурныхтоков
| |
.Такимобразом, окончательнополучаем:
,
где 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Анализрезультатовпоказывает,что полученныетри уравненияидентичнытем, которыеможно записатьнепосредственноиз рассмотрениясхемы по известнымправиламсоставленияуравненийпо методуконтурныхтоков.
Методузловых потенциаловв матричнойформе
Наоснованииполученноговыше соотношения(4), представляющегособой, как былоуказано, матричнуюзапись законаОма, запишемматричноевыражение:
| (14) |
,где 
-диагональнаяматрица проводимостейветвей, всечлены которой,за исключениемэлементовглавной диагонали,равны нулю.
МатрицыZ и Yвзаимно обратны.
Умноживобе частиравенства(14) на узловуюматрицуАиучитывая первыйзакон Кирхгофа,согласно которому
| (15) |
получим:
| (16) |
. .Выражение(16) перепишем,как:
| (17) |
.Принимаяпотенциалузла, для которогоотсутствуетстрока в матрицеА,равнымнулю, определимнапряженияна зажимахветвей:
| (18) |
. Тогдаполучаемматричноеуравнениевида:
| (19) |
. Данноеуравнениепредставляетсобой узловыеуравнения вматричнойформе. Еслиобозначить
| (20) |
| (21) |
, тополучим матричнуюформу записиуравнений,составленныхпо методу узловыхпотенциалов:
| (22) |
где 
-матрица узловыхпроводимостей; 
-матрица узловыхтоков.
В развернутомвиде соотношение(22) можно записать,как:
| (23) |
то естьполучилиизвестныйиз метода узловыхпотенциаловрезультат.
Рассмотримсоставлениеузловых уравненийна примересхемы по рис.4.
 |  |
Даннаясхема имеет3 узла (m=3)и 5 ветвей (n=5).Граф схемыс выбраннойориентациейветвей представленна рис. 5.
Узловаяматрица (примем 
)
А | |
Диагональнаяматрица проводимостейветвей:
Y | |
,где 
.
Матрицаузловых проводимостей
| |
.
Матрицытоков и ЭДСисточников
|  |
| |
..Следовательно,матрица узловыхтоков будетиметь вид:
| |
.Такимобразом, окончательнополучаем:
,
где 
; 
; 
; 
; 
.
Анализрезультатовпоказывает,что полученныеуравненияидентичнытем, которыеможно записатьнепосредственноиз рассмотрениясхемы по известнымправиламсоставленияуравненийпо методу узловыхпотенциалов.
Литература
Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
В чемзаключаютсяпреимуществаиспользованияматричныхметодоврасчетацепей?
Запишитевыраженияматрицы контурныхсопротивленийи матрицыконтурныхЭДС.
Запишитевыраженияматрицы узловыхпроводимостейи матрицыузловых токов.
Составитьузловые уравнениядля цепи нарис. 2.
Ответ:
.
Составитьконтурныеуравнениядля цепи рис.4, приняв, чтодерево образовановетвями 3и 4(см. рис. 5).
Ответ:
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 7.Преобразованиеэнергии вэлектрическойцепи. Мгновенная,активная,реактивнаяи полная мощностисинусоидальноготока. |
| Передачаэнергии w поэлектрическойцепи (например,по линииэлектропередачи),рассеяниеэнергии, тоесть переходэлектромагнитнойэнергии втепловую, атакже и другиевиды преобразованияэнергии характеризуютсяинтенсивностью,с которойпротекаетпроцесс, тоесть тем, сколькоэнергии передаетсяпо линии вединицу времени,сколько энергиирассеиваетсяв единицувремени. Интенсивностьпередачи илипреобразованияэнергии называетсямощностьюр. Сказанномусоответствуетматематическоеопределение: |
Выражениедля мгновенногозначения мощностив электрическихцепях имеетвид:
 . | (2) |
Принявначальнуюфазу напряженияза нуль, а сдвигфаз междунапряжениеми током за
,получим:  . | (3) |
Итак,мгновеннаямощность имеетпостояннуюсоставляющуюи гармоническуюсоставляющую,угловая частотакоторой в 2 разабольше угловойчастоты напряженияи тока.
Когдамгновеннаямощностьотрицательна,а это имеетместо (см. рис.1), когда u и i разныхзнаков, т.е.когда направлениянапряженияи тока в двухполюсникепротивоположны,энергия возвращаетсяиз двухполюсникаисточникупитания.
Такойвозврат энергииисточникупроисходитза счет того,что энергияпериодическизапасаетсяв магнитныхи электрическихполях соответственноиндуктивныхи емкостныхэлементов,входящих всостав двухполюсника.Энергия, отдаваемаяисточникомдвухполюсникув течение времениt равна
.Среднееза периодзначениемгновенноймощностиназываетсяактивноймощностью
.Принимаяво внимание,что
,из (3) получим:  . | (4) |
Активнаямощность,потребляемаяпассивнымдвухполюсником,не может бытьотрицательной(иначе двухполюсникбудет генерироватьэнергию), поэтому
,т.е. на входепассивногодвухполюсника 
.Случай Р=0, 
теоретическивозможен длядвухполюсника,не имеющегоактивныхсопротивлений,а содержащеготолько идеальныеиндуктивныеи емкостныеэлементы.1. Резистор(идеальноеактивноесопротивление).
Здесьнапряжениеи ток (см. рис.2) совпадаютпо фазе
,поэтому мощность всегдаположительна,т.е. резисторпотребляетактивную мощность 
2. Катушкаиндуктивности(идеальная индуктивность)
Приидеальнойиндуктивноститок отстаетот напряженияпо фазе на
.Поэтому всоответствиис (3) можно записать 
.Участок1-2: энергия
,запасаемаяв магнитномполе катушки,нарастает.Участок2-3: энергия магнитногополя убывает,возвращаясьв источник.
3. Конденсатор(идеальная емкость)
Аналогичныйхарактер имеютпроцессы идля идеальнойемкости. Здесь
.Поэтому из(3) вытекает, что 
.Таким образом,в катушкеиндуктивностии конденсатореактивная мощностьне потребляется(Р=0), так как вних не происходитнеобратимогопреобразованияэнергии в другиевиды энергии.Здесь происходиттолько циркуляцияэнергии: электрическаяэнергия запасаетсяв магнитномполе катушкиили электрическомполе конденсаторана протяжениичетверти периода,а на протяженииследующейчетверти периодаэнергия вновьвозвращаетсяв сеть. В силуэтого катушкуиндуктивностии конденсаторназываютреактивнымиэлементами,а их сопротивленияХL и ХС, в отличие отактивногосопротивленияR резистора,– реактивными.Интенсивностьобмена энергиипринято характеризоватьнаибольшимзначениемскоростипоступленияэнергии вмагнитноеполе катушкиили электрическоеполе конденсатора,которое называетсяреактивноймощностью.
В общемслучае выражениедля реактивноймощности имеетвид:
 | (5) |
Онаположительнапри отстающемтоке (индуктивнаянагрузка-
)и отрицательнапри опережающемтоке (емкостнаянагрузка- 
).Единицу мощностив применениик измерениюреактивноймощности называютвольт-амперреактивный(ВАр).В частностидля катушкииндуктивностиимеем:
,так как 
. 
.Изпоследнеговидно, чтореактивнаямощность дляидеальнойкатушки индуктивностипропорциональначастоте имаксимальномузапасу энергиив катушке.Аналогичноможно получитьдля идеальногоконденсатора:
.Полнаямощность
Помимопонятий активнойи реактивноймощностей вэлектротехникешироко используетсяпонятие полноймощности:
 . | (6) |
Активная,реактивнаяи полная мощностисвязаны следующимсоотношением:
 . | (7) |
Отношениеактивной мощностик полной называюткоэффициентоммощности.Из приведенныхвыше соотношенийвидно, чтокоэффициентмощности
равенкосинусу угласдвига междутоком и напряжением.Итак,  . | (8) |
Комплекснаямощность
Активную,реактивнуюи полную мощностиможно определить,пользуяськомплекснымиизображенияминапряженияи тока. Пусть
,а 
.Тогда комплексполной мощности:  , | (9) |
где
-комплекс,сопряженныйс комплексом . 
.К
омплексноймощности можнопоставить всоответствиетреугольникмощностей(см. рис. 4). Рис.4 соответствует 
(активно-индуктивнаянагрузка), длякоторого имеем:.
Применениестатическихконденсаторовдля повышенияcos 
Какуже указывалось,реактивнаямощность
циркулируетмежду источникоми потребителем.Реактивныйток, не совершаяполезной работы,приводит кдополнительнымпотерям в силовомоборудованиии, следовательно,к завышениюего установленноймощности. Вэтой связипонятно стремлениек увеличению всиловых электрическихцепях.Следуетуказать, чтоподавляющеебольшинствопотребителей(электродвигатели,электрическиепечи, другиеразличныеустройстваи приборы) какнагрузка носитактивно-индуктивныйхарактер.
Еслипараллельнотакой нагрузке
(см.рис. 5), включитьконденсаторС, то общий ток ,как видно извекторнойдиаграммы(рис. 6), приближаетсяпо фазе к напряжению,т.е. увеличивается,а общая величинатока (а следовательно,потери) уменьшаетсяпри постоянствеактивной мощности .На этом основаноприменениеконденсаторовдля повышения .Какуюемкость С нужновзять, чтобыповыситькоэффициентмощности отзначения
дозначения 
?Разложим
наактивную 
иреактивную 
составляющие.Ток черезконденсатор 
компенсируетчасть реактивнойсоставляющейтока нагрузки :  ; | (10) |
 ; | (11) |
 . | (12) |
Из (11)и (12) с учетом(10) имеем
,но
,откуда необходимаядля повышения емкость:  . | (13) |
Балансмощностей
Балансмощностейявляетсяследствиемзакона сохраненияэнергии и можетслужить критериемправильностирасчета электрическойцепи.
а) Постоянныйток
Длялюбой цепипостоянноготока выполняетсясоотношение:
 | (14) |
Этоуравнениепредставляетсобой математическуюформу записибаланса мощностей:суммарнаямощность,генерируемаяисточникамиэлектрическойэнергии, равнасуммарноймощности,потребляемойв цепи.
Следуетуказать, чтов левой части(14) слагаемыеимеют знак“+”, посколькуактивная мощностьрассеиваетсяна резисторах.В правой части(14) сумма слагаемыхбольше нуля,но отдельныечлены здесьмогут иметьзнак “-”, чтоговорит о том,что соответствующиеисточникиработают врежиме потребителейэнергии (например,заряд аккумулятора).
б) Переменныйток.
Иззакона сохраненияэнергии следует,что сумма всехотдаваемыхактивныхмощностейравна суммевсех потребляемыхактивныхмощностей,т.е.
 | (15) |
В ТОЭдоказывается(вследствиедостаточнойгромоздкостивывода этодоказательствоопустим), чтобаланс соблюдаетсяи для реактивныхмощностей:
 , | (16) |
гдезнак “+” относитсяк индуктивнымэлементам
,“-” – к емкостным 
.Умножив(16) на “j” и сложивполученныйрезультат с(15), придем каналитическомувыражениюбаланса мощностейв цепях синусоидальноготока (без учетавзаимнойиндуктивности):
или
.Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
Чтотакое активнаямощность?
Чтотакое реактивнаямощность, скакими элементамиона связана?
Чтотакое полнаямощность?
-
Почемунеобходимостремитьсяк повышениюкоэффициентамощности
? Критериемчего служитбаланс мощностей?
-
К источникус напряжением
подключенаактивно-индуктивнаянагрузка, токв которой 
.Определитьактивную,реактивнуюи полную мощности.
Ответ:Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500ВА.
В ветви,содержащейпоследовательносоединенныерезистор R икатушку индуктивностиL, ток I=2 A. Напряжениена зажимахветви U=100 B, апотребляемаямощность Р=120Вт. ОпределитьсопротивленияR и XL элементовветви.
Ответ:R=30 Ом; XL=40 Ом.
Мощность,потребляемаяцепью, состоящейиз параллельносоединенныхконденсатораи резистора,Р=90 Вт. Ток внеразветвленнойчасти цепиI1=5 A, а в ветви срезисторомI2=4 A. ОпределитьсопротивленияR и XL элементовцепи.
Ответ:R=10 Ом; XС=7,5 Ом.
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 8.Резонансы вцепях синусоидальноготока. |
| Резонансомназываетсятакой режимработы цепи,включающейв себя индуктивныеи емкостныеэлементы, прикотором еевходное сопротивление(входная проводимость)вещественно.Следствиемэтого являетсясовпадениепо фазе токана входе цепис входнымнапряжением. Резонансв цепи с последовательносоединеннымиэлементами  Дляцепи на рис.1имеет место  где |
 . | (2) |
Взависимостиот соотношениявеличин
и 
возможнытри различныхслучая.1.В цепи преобладаетиндуктивность,т.е.
,а следовательно, 
.Этому режимусоответствуетвекторнаядиаграммана рис. 2,а.
2. Вцепи преобладаетемкость, т.е.
,а значит, 
.Этот случайотражаетвекторнаядиаграммана рис. 2,б.3.
-случай резонансанапряжений(рис. 2,в).Условиерезонансанапряжений
 . | (3) |
Приэтом, как следуетиз (1) и (2),
.Прирезонансенапряженийили режимах,близких к нему,ток в цепи резковозрастает.В теоретическомслучае приR=0 его величинастремится кбесконечности.Соответственновозрастаниютока увеличиваютсянапряженияна индуктивноми емкостномэлементах,которые могутво много разпревыситьвеличинунапряженияисточникапитания.
Пусть,например, вцепи на рис.1
.Тогда 
,и, соответственно, 
.Явлениерезонансанаходит полезноеприменениена практике,в частностив радиотехнике.Однако, еслион возникаетстихийно, томожет привестик аварийнымрежимам вследствиепоявлениябольших перенапряженийи сверхтоков.
Физическаясущностьрезонансазаключаетсяв периодическомобмене энергиеймежду магнитнымполем катушкииндуктивностии электрическимполем конденсатора,причем суммаэнергий полейостаетсяпостоянной.
Сутьдела не меняется,если в цепиимеется несколькоиндуктивныхи емкостныхэлементов.Действительно,в этом случае
,и соотношение(3) выполняетсядля эквивалентныхзначений LЭи CЭ.Какпоказываетанализ уравнения(3), режима резонансаможно добитьсяпутем измененияпараметровL и C, а также частоты.На основании(3) для резонанснойчастоты можнозаписать
 . | (4) |
Резонанснымикривыминазываютсязависимоститока и напряженияот частоты.В качествеих примерана рис. 3 приведенытиповые кривыеI(f);
и 
дляцепи на рис.1 при U=const.Важнойхарактеристикойрезонансногоконтура являетсядобротностьQ, определяемаяотношениемнапряженияна индуктивном(емкостном)элементе квходномунапряжению:
 , | (5) |
-и характеризующая“избирательные”свойстварезонансногоконтура, вчастностиего полосупропускания
.Другимпараметромрезонансногоконтура являетсяхарактеристическоесопротивление,связанное сдобротностьюсоотношением
 , | (6) |
илис учетом (4) и(5) для
можнозаписать:  . | (7) |
Резонансв цепи с параллельносоединеннымиэлементами
(резонанстоков)
Дляцепи рис. 4 имеем 
,где
 ; | (8) |
 . | (9) |
Взависимостиот соотношениявеличин
и 
,как и в рассмотренномвыше случаепоследовательногосоединенияэлементов,возможны триразличныхслучая. 
Вцепи преобладаетиндуктивность,т.е.
,а следовательно, 
.Этому режимусоответствуетвекторнаядиаграммана рис. 5,а.Вцепи преобладаетемкость, т.е.
,а значит, 
.Этот случайиллюстрируетвекторнаядиаграммана рис. 5,б. 
-случай резонансатоков (рис. 5,в).Условиерезонансатоков
или  . | (10) |
Приэтом, как следуетиз (8) и (9),
.Таким образом,при резонансетоков входнаяпроводимостьцепи минимальна,а входноесопротивление,наоборот,максимально.В частностипри отсутствиив цепи на рис.4 резистораR ее входноесопротивлениев режиме резонансастремится кбесконечности,т.е. при резонансетоков ток навходе цепиминимален.Идентичностьсоотношений(3) и (5) указывает,что в обоихслучаях резонанснаячастота определяетсясоотношением(4). Однако неследует использоватьвыражение(4) для любойрезонанснойцепи. Оно справедливотолько дляпростейшихсхем с последовательнымили параллельнымсоединениеминдуктивногои емкостногоэлементов.
Приопределениирезонанснойчастоты в цепипроизвольнойконфигурацииили, в общемслучае, соотношенияпараметровсхемы в режимерезонансаследует исходитьиз условиявещественностивходногосопротивления(входной проводимости)цепи.
Например,для цепи нарис. 6 имеем 
Посколькув режиме резонансамнимая часть
должнабыть равнанулю, то условиерезонансаимеет вид 
,откуда,в частности,находитсярезонанснаячастота.
Резонансв сложной цепи
Условиерезонансадля сложнойцепи со смешаннымсоединениемнесколькихиндуктивныхи емкостныхэлементов,заключающеесяв равенственулю мнимойчасти входногосопротивления
иливходной проводимости 
,определяетналичие усоответствующихэтому условиюуравненийотносительно несколькихвещественныхкорней, т.е.таким цепямсоответствуетнесколькорезонансныхчастот.Приопределениирезонансныхчастот дляреактивногодвухполюсникааналитическоевыражениеего входногореактивногосопротивления
иливходной реактивнойпроводимости 
следуетпредставитьв виде отношениядвух полиномовпо степеням ,т.е. 
или 
.Тогда корниуравнения 
дадутзначения частот,которые соответствуютрезонансамнапряжений,а корни уравнения 
-значения частот,при которыхвозникаютрезонансытоков. Общеечисло резонансныхчастот в цепина единицуменьше количестваиндуктивныхи емкостныхэлементов всхеме, получаемойиз исходнойпутем ее сведенияк цепи (с помощьюэквивалентныхпреобразований)с минимальнымчислом этихэлементов.Характернымпри этом являетсятот факт, чторежимы резонансовнапряженийи токов чередуются.В качествепримера определимрезонансныечастоты дляцепи рис. 7. Выражениевходногосопротивленияданной цепиимеет вид
И
зрешения уравнения получаемчастоту 
,соответствующуюрезонансунапряжений,а из решенияуравнения -частоту 
,соответствующуюрезонансутоков.Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
Чтотакое резонанснапряжений,чем он характеризуется?
Чтотакое резонанстоков, чем онхарактеризуется?
Вчем физическаясущностьрезонансныхрежимов?
Наоснованиикаких условийв общем случаеопределяютсярезонансныечастоты?
В цепина рис. 1 R=1 Ом; L=10мГн; С=10 мкФ.Определитьрезонанснуючастоту идобротностьконтура.
Ответ:
.-
Какиеусловия необходимыи достаточны,чтобы в цепина рис. 1 выполнялосьсоотношение
? Определитьрезонанснуючастоту дляцепи на рис.7, если в нейконденсаторС3 замененна резисторR3.
Ответ:
.Теория/ ТОЭ/ Лекция N 9.Векторные итопографическиедиаграммы. |
| Совокупностьрадиус-векторов,изображающихсинусоидальноизменяющиесяЭДС, напряжения,токи и т. д.,называетсявекторнойдиаграммой.Векторныедиаграммынаглядноиллюстрируютход решениязадачи. Приточном построениивекторов можнонепосредственноиз диаграммыопределитьамплитуды ифазы искомыхвеличин. Приближенное(качественное)построениедиаграмм прианалитическомрешении служитнадежнымконтролемкорректностихода решенияи позволяетлегко определитьквадрант, вкотором находятсяопределяемыевекторы. Припостроениивекторныхдиаграмм дляцепей с последовательнымсоединениемэлементовза базовый(отправной)вектор следуетприниматьвектор тока(см. лекцию №8), а к нему подсоответствующимиуглами подстраиватьвекторы напряженийна отдельныхэлементах.Для цепей спараллельнымсоединениемэлементовза базовый(отправной)вектор следуетпринять векторнапряжения(см. лекцию №8), ориентируяотносительнонего векторытоков в параллельныхветвях. Длянаглядногоопределениявеличины ифазы напряжениямежду различнымиточками электрическойцепи удобноиспользоватьтопографическиедиаграммы.Они представляютсобой соединенныесоответственносхеме электрическойцепи точкина комплекснойплоскости,отображающиеих потенциалы.На топографическойдиаграмме,представляющейсобой в принципевекторнуюдиаграмму,порядок расположениявекторовнапряженийстрого соответствуетпорядку расположенияэлементов всхеме, а векторпадения напряженияна каждомпоследующемэлементепримыкает кконцу векторанапряженияна каждомпредыдущемэлементе. В качествепримера построимвекторнуюдиаграммутоков, а такжетопографическуюдиаграммупотенциаловдля схемы, расчеткоторой былприведен влекции № 5 (см.рис. 1). П  араметрысхемы:   Приданных параметрахи заданномнапряжениина входе схемы  найденныезначения токов(см. лекцию №5) равны:  ;  ;  .Припостроениивекторнойдиаграммызададимсямасштабамитоков и напряжений(см. рис. 2). Векторнуюдиаграммуможно строить,имея записькомплекса впоказательнойформе, т.е. позначенияммодуля и фазы. Однако напрактике удобнеепроводитьпостроения,используяалгебраическуюформу записи,посколькупри этом вещественнаяи мнимая составляющиекомплекснойвеличинынепосредственнооткладываютсяна соответствующихосях комплекснойплоскости,определяяположениеточки на ней. Построениевекторнойдиаграммытоков осуществляетсянепосредственнона основанииизвестныхзначений ихкомплексов.Для построениятопографическойдиаграммыпредварительноосуществимрасчет комплексныхпотенциалов(другой вариантпостроениятопографическойдиаграммыпредполагаетрасчет комплексовнапряженийна элементахцепи с последующимсуммированиемвекторовнапряженийвдоль контуранепосредственнона комплекснойплоскости). Припостроениитопографическойдиаграммыобход контуровможно производитьпо направлениютока или против.Чаще используютвторой вариант.  В этомслучае с учетом того, чтов электротехникепринято, чтоток течет отбольшегопотенциалак меньшему,потенциалискомой точкиравен потенциалупредыдущейплюс падениенапряженияна элементемежду этимиточками. Еслина пути обходавстречаетсяисточник ЭДС,то потенциалискомой точкибудет равенпотенциалупредыдущейплюс величинаэтой ЭДС, еслинаправлениеобхода совпадаетс направлениемЭДС, и минусвеличина ЭДС,если не совпадает.Это вытекаетиз того, чтонапряжениена источникеЭДС имеетнаправление,противоположноеЭДС. Обозначивна схеме порис. 1 точкимежду элементамицепи e и a и принявпотенциалточки а за нуль(  ),определимпотенциалыэтих точек:  или   Такимобразом, врезультатепроведенныхвычисленийполучено, что  .Но разностьпотенциаловточек еи аравно напряжениюU, приложенномук цепи, а оноравно 120 В. Такимобразом, второйзакон Кирхгофавыполняется,а следовательно,вычислениявыполненыверно. В соответствиис полученнымирезультатамистроитсятопографическаядиаграммана рис. 2. Следуетобратить вниманиена ориентациювекторов,составляющихтопографическуюдиаграмму,относительновекторов тока:для резистивныхэлементовсоответствующиевекторы параллельны,для индуктивногои емкостных– ортогональны.В заключениезаметим, чтовекторы напряженийориентированыотносительноточек топографическойдиаграммыпротивоположноположительнымнаправлениямнапряженийотносительносоответствующихточек электрическойцепи. В этойсвязи допускаетсяне указыватьна топографическойдиаграмменаправлениявекторовнапряжений. Потенциальнаядиаграмма Потенциальнаядиаграммаприменяетсяпри анализецепей постоянноготока. Она представляетсобой графикраспределенияпотенциалавдоль участкацепи или контура,при этом пооси абсциссоткладываютсясопротивлениярезистивныхэлементов,встречающихсяна пути обходаветви иликонтура, а пооси ординат– потенциалысоответствующихточек. Такимобразом, каждойточке рассматриваемогоучастка иликонтура соответствуетточка на потенциальнойдиаграмме. Рассмотримпостроениепотенциальнойдиаграммына примересхемы на рис.3. |
Припараметрахсхемы
; 
; 
; 
; 
и 
токив ветвях схемыравны: 
; 
; 
.Построимпотенциальнуюдиаграммудля контураabcda.
Длявыбора масштабапо оси абсцисспросуммируемсопротивлениярезистороввдоль рассматриваемогоконтура:
послечего определимпотенциалыточек контураотносительнопотенциалапроизвольновыбраннойточки a, потенциалкоторой принятза нуль: 
Такимобразом, координатыточек потенциальнойдиаграммы:а(0;0);b(4;-20);c(4;17); d(7;2).С учетом выбранныхмасштабовна рис. 4 построенапотенциальнаядиаграммадля выбранногоконтура.
Преобразованиелинейныхэлектрическихсхем
Дляупрощениярасчета иповышениянаглядностианализа сложныхэлектрическихцепей во многихслучаях рациональноподвергнутьих предварительномупреобразованию.Очевидно, чтопреобразованиедолжно приводитьк упрощениюисходной схемыза счет уменьшениячисла ее ветвейи (или) узлов.Такое преобразованиеназываетсяцелесообразным.При этом прилюбых способахпреобразованийдолжно выполнятьсяусловие неизменноститоков в ветвяхучастков схемы,не затронутыхэтими преобразованиями.Из последнеговытекает, что,если преобразованиюподвергаютсяучастки цепи,не содержащиеисточниковэнергии, томощности висходной иэквивалентнойсхемах одинаковы.Если в преобразуемыеучастки входятисточникиэнергии, тов общем случаемощности висходной ипреобразованнойцепях будутразличны.
Рассмотримнаиболее важныеслучаи преобразованияэлектрическихцепей.
1,Преобразованиепоследовательносоединенныхэлементов
Рассмотримучасток цепина рис. 5,а. Прирасчете внешнейпо отношениюк этому участкуцепи даннуюветвь можносвести к видуна рис. 5,б, где
 | (1) |
или
 . | (2) |
 |
Приэтом при вычисленииэквивалентнойЭДС
k-яЭДС беретсясо знаком “+”,если ее направлениесовпадает снаправлениемэквивалентнойЭДС, и “-”, еслине совпадает.2 Преобразованиепараллельносоединенныхветвей
Пустьимеем схемуна рис. 6,а.
 |
Согласнозакону Омадля участкацепи с источникомЭДС
,где
.Тогда
, где |  ; | (3) |
 , | (4) |
причемсо знаком “+”в (4) записываютсяЭДС
иток ,если они направленык тому же узлу,что и ЭДС 
;в противномслучае онизаписываютсясо знаком “-”.3. Взаимныепреобразования“треугольник-звезда”
В
ряде случаевмогут встретитьсясхемы, соединенияв которых нельзяотнести ник последовательному,ни к параллельномутипу (см. рис.7). В таких случаяхпреобразованияносят болеесложный характер:преобразованиетреугольникав звезду инаоборот.Преобразоватьтреугольникв звезду – значитзаменить трисопротивления,соединенныхв треугольникмежду какими-тотремя узлами,другими тремясопротивлениями,соединеннымив звезду междутеми же точками.При этом научастках схемы,не затронутыхэтими преобразованиями,токи должныостатьсянеизменными.
Безвывода запишемформулы эквивалентныхпреобразований
Треугольник |  | звезда | Звезда | | треугольник |
Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш.шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
Чтопредставляютсобой векторныедиаграммы?
Чтотакое топографическиедиаграммы,для чего онислужат?
Вчем сходствои различиетопографическойи потенциальнойдиаграмм?
Какойпрактическийсмысл преобразованийэлектрическихцепей?
Вчем заключаетсяпринципэквивалентностипреобразований?
-
Построитьпотенциальныедиаграммыдля левогои внешнегоконтуров цепирис.3.
-
Полагаяв цепи на рис.8 известнымиток
ипараметрывсех ее элементов,качественнопостроитьвекторнуюдиаграммутоков и топографическуюдиаграммупотенциаловдля нее. -
Определитьвходное сопротивлениецепи на рис.8, если
.
Ответ:
.Определитьсопротивленияветвей треугольника,эквивалентногозвезде междуузлами a,c и d вцепи на рис.8.
Ответ:
; 
; 
.-
Определитьсопротивленияветвей звезды,эквивалентнойтреугольникув цепи на рис.8, состоящемуиз элементов
, 
и 
.
Ответ:
; 
; 
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 10.Анализ цепейс индуктивносвязаннымиэлементами. |
| Электрическиецепи могутсодержатьэлементы,индуктивносвязанныедруг с другом.Такие элементымогут связыватьцепи, электрически(гальванически)разделенныедруг от друга. Втом случае,когда изменениетока в одномиз элементовцепи приводитк появлениюЭДС в другомэлементе цепи,говорят, чтоэти два элементаиндуктивносвязаны,а возникающуюЭДС называютЭДСвзаимнойиндукции.Степень индуктивнойсвязи элементовхарактеризуетсякоэффициентомсвязи |
гдеМ – взаимнаяиндуктивностьэлементовцепи (размерность– Гн);
и 
-собственныеиндуктивностиэтих элементов.С
леуетотметить, чтовсегда кПустьимеем две соосныекатушки в общемслучае с ферромагнитнымсердечником(см. рис. 1). На рис.1 схематичнопоказана картинамагнитногополя при наличиитока i1 в первойкатушке (направлениесиловых линиймагнитногопотока определяетсяпо правилуправого буравчика).Витки первойкатушки сцепленыс магнитнымпотоком самоиндукцииФ11, а витки второйкатушки – смагнитнымпотоком взаимнойиндукции Ф21,который отличаетсяот Ф11 (Ф21
Поопределению
 ; | (2) |
 . | (3) |
Еслитеперь наоборотпропуститьток i2по второйкатушке, тосоответственнополучим
 ; | (4) |
 . | (5) |
Приэтом
 . | (6) |
Следуетотметить, чтокоэффициентсвязи мог быбыть равным1, если бы
и 
,то есть когдавесь поток,создаваемыйодной катушкой,полностьюпронизывалбы витки другойкатушки. Практическидаже различныевитки однойи той же катушкипронизываютсяразными потоками.Поэтому с учетомрассеяния 
и 
.В этой связи
.Рассмотримцепь переменноготока на рис.2, в которуюпоследовательновключены двекатушки индуктивности
и ,индуктивносвязанныедруг с другом,и резисторR.П
риизменениитока i в цепив катушкахиндуцируютсяЭДС само- ивзаимоиндукции.При этом ЭДСвзаимной индукциидолжна по законуЛенца иметьтакое направление,чтобы препятствоватьизменениюпотока взаимнойиндукции.Тогда,если в цепипротекаетгармоническиизменяющийсяток
,то в первойкатушке индуцируетсяЭДС  , | (7) |
а вовторой –
 . | (8) |
Катушкиможно включитьтак, что ЭДСсамоиндукциибудет суммироватьсяс ЭДС взаимоиндукции;при переключенииодной из катушекЭДС взаимоиндукциибудет вычитатьсяиз ЭДС самоиндукции.Один из зажимовкаждой катушкина схеме помечают,например точкойили звездочкой.Этот знакозначает, чтопри увеличении,например, токав первой катушке,протекающегоот точки, вовторой катушкеиндуцируетсяЭДС взаимоиндукции,действующаяот другогоконца к точке.Различаютсогласноеивстречноевключениякатушек.При согласномвключениитоки в катушкаходинаковоориентированыпо отношениюк их одноименнымзажимам. Приэтом ЭДС само-и взаимоиндукциискладываются– случай, показанныйна рис. 2. Привстречномвключениикатушек токиориентированыотносительноодноименныхзажимов различно.В этом случаеЭДС само- ивзаимоиндукциивычитаются.Таким образом,тип включениякатушек (согласноеили встречное)определяютсясовместноспособом намоткикатушек инаправлениитоков в них.
Перейдяк комплекснойформе записи(7) и (8), получим
 ; | (9) |
 , | (10) |
где
-сопротивлениевзаимоиндукции(Ом).Дляопределениятока в цепина рис. 2 запишем
,откуда
.Воздушный(линейный)трансформатор
Однимиз важнейшихэлементовэлектрическихцепей являетсятрансформатор,служащий дляпреобразованиявеличин токови напряжений.В простейшемслучае трансформаторсостоит издвух гальваническинесвязанныхи неподвижныхкатушек безферромагнитногосердечника.Такой трансформаторназываетсявоздушным.Он являетсялинейным. Наличиеферромагнитногосердечникаобусловилобы нелинейныесвойстватрансформатора.
Н
арис. 3 представленасхема замещениятрансформатора,первичнаяобмотка котороговключена нанапряжениеU1, а от вторичнойобмотки получаетпитание приемникс сопротивлением 
.Втрансформатореэнергия изпервичнойцепи передаетсяво вторичнуюпосредствоммагнитногополя. Если впервичнойцепи под действиемнапряженияисточникавозникаетпеременныйток, то во вторичнойцепи за счетмагнитнойсвязи катушекиндуцируетсяЭДС, вызывающаяпротеканиетока в нагрузке.
Повторому законуКирхгофа дляпервичной ивторичнойцепей трансформатораможно записать
; 
.Такимобразом, уравнениявоздушноготрансформатораимеют вид:
 ; | (11) |
| (12) |
, .где
и -активныесопротивленияобмоток; 
.Еслиуравнения(11) и (12) решитьотносительно
,предварительноподставив в(12) 
иобозначив 
; 
,то получим  , | (13) |
где
; 
-вносимые активноеи реактивноесопротивления.Такимобразом, согласно(13) воздушныйтрансформаторсо стороныпервичнойобмотки можетрассматриватьсякак двухполюсникс сопротивлением
.Б 
алансмощностей вцепях с индуктивносвязаннымиэлементами
Пустьимеем схемупо рис. 4, где А– некоторыйактивныйчетырехполюсник.Для даннойцепи можнозаписать
; 
.Обозначимтоки
и 
как: 
; 
.Тогдадля комплексовполных мощностейпервой и второйветвей соответственноможно записать:
; 
.Рассмотримв этих уравненияхчлены со взаимнойиндуктивностью:
 | (14) |
| (15) |
.где
.Из (14)и (15) вытекает,что
 ; | (16) |
 . | (17) |
Соотношение(16) показывает,что активнаямощностьпередаетсяот первой катушкико второй. Приэтом суммарнаяреактивнаямощность,обусловленнаявзаимнойиндукцией,равна нулю,т.к.
.Это означает,что на общийбаланс активноймощности цепииндуктивносвязанныеэлементы невлияют.Суммарнаяреактивнаямощность,обусловленнаявзаимоиндукцией,равна
.Такимобразом, общееуравнениебаланса мощностейс учетом индуктивносвязанныхэлементовимеет вид
 , | (18) |
г
дезнак “+” ставитсяпри согласномвключениикатушек, а “-”– при встречном.Расчетразветвленныхцепей при наличиивзаимнойиндуктивностиможет бытьосуществленпутем составленияуравненийпо законамКирхгофа илиметодом контурныхтоков. Непосредственноеприменениеметода узловыхпотенциаловдля расчетатаких цепейнеприемлемо,поскольку вэтом случаеток в ветвизависит такжеот токов другихветвей, которыенаводят ЭДСвзаимнойиндукции.
В качествепримера расчетацепей с индуктивносвязаннымиэлементамисоставимконтурныеуравнениядля цепи нарис. 5:
Ч
тобыобойти указанноевыше ограничениев отношениипримененияметода узловыхпотенциаловдля расчетарассматриваемыхсхем можноиспользоватьэквивалентныепреобразования,которые иллюстрируютсхемы на рис.6, где цепь нарис. 6,б эквивалентнацепи на рис.6,а. При этомверхние знакиставятся присогласномвключениикатушек, а нижние– при встречном.Литература
Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А. Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-еизд.,перераб.–М.:Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
Какиеэлементыназываютсяиндуктивносвязанными?
Чтотакое коэффициентсвязи, и в какихпределах онизменяется?
Чтотакое воздушныйтрансформатор?Почему онназываетсялинейным?
Запишитеуравнениявоздушноготрансформатора,нарисуйтеего схемузамещения.
Каквлияют индуктивносвязанныеэлементы набаланс мощностей?
Какиеметоды расчетаможно использоватьдля анализацепей с индуктивносвязаннымиэлементами?
Записатьуравнениядля расчетацепи на рис.5, используязаконы Кирхгофа.
Записатьконтурныеуравнениядля цепи нарис. 5, используяэквивалентнуюзамену индуктивныхсвязей.
Сиспользованиемэквивалентнойзамены индуктивныхсвязей записатьузловые уравнениядля цепи нарис. 5.
-
Рассчитатьвходное сопротивлениена рис. 3, если
; 
; 
; 
; 
; 
.
Ответ:
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 11.Особенностисоставленияматричныхуравненийпри наличиииндуктивныхсвязей и ветвейс идеальнымиисточниками. |
| Матрицысопротивленийи проводимостейдля цепей совзаимнойиндукцией Какбыло показаноранее (см. лекциюN 6 ), для схем, несодержащихиндуктивносвязанныеэлементы, матрицысопротивленийи проводимостейветвей являютсядиагональными,т.е. все их элементы,за исключениемстоящих наглавной диагонали,равны нулю. В общемслучае разветвленнойцепи со взаимнойиндукциейматрица сопротивленийветвей имеетвид Z Здесьэлементы главнойдиагонали  ,  ,…  -комплексныесопротивленияветвей схемы;элементы внеглавной диагонали  -комплексныесопротивленияиндуктивнойсвязи i- й и k –й ветвей (знак“+” ставитсяпри одинаковойориентацииветвей относительноодноименныхзажимов, впротивномслучае ставитсязнак “-”).Матрицапроводимостейветвей в цепяхсо взаимнойиндукциейопределяетсясогласно Y= Z –1. Знаяматрицы и Y ,можно составитьконтурныеуравнения,а также узловые,т.е. в матричнойформе методузловых потенциаловраспространяетсяна анализ цепейс индуктивносвязаннымиэлементами. Следуетотметить, чтообычно не всеветви схемыиндуктивносвязаны междусобой. В этомслучае с помощьюсоответствующейнумерацииветвей графаматрице Zцелесообразнопридатьквазидиагональнуюформу Z  ,чтооблегчаетее обращение,поскольку Y  ,гдеподматрицы  могутбыть квадратнымидиагональнымиили недиагональными.Вкачестве примерасоставим матрицыZиY длясхемы на рис.1,а, граф которойприведен нарис. 1,б.  Дляпринятойнумерацииветвей матрицасопротивленийветвей Z  .В этойматрице можновыделить триподматрицы,обращая которые,получим |
.Z-122 |  ; |
Z-133 |  . |
Такимобразом, матрицапроводимостейветвей
Y
.Отметим,что при принятойориентацииветвей
и 
.  |
Вкачестве примераматричногорасчета цепейс индуктивнымисвязями запишемконтурныеуравнения вматричнойформе для цепирис. 2,а.
Решение
1. Длязаданной цеписоставим граф(см. рис. 2,б), выделивв нем дерево,образованноеветвью 3.
Тогдаматрица главныхконтуров имеетвид
В 
.
2. Запишемматрицу сопротивленийветвей с учетомих принятойориентации
Z
.3. Определимматрицу контурныхсопротивлений
Zk=BZBT
4. Запишемстолбцовуюматрицу контурныхЭДС
.5.Подставивнайденныевыражения в
,окончательнополучим 
.Составлениематричныхсоотношенийпри наличииветвей с идеальнымиисточниками
Вцепи могутиметь местоветви, содержащиетолько идеальныеисточникиЭДС или тока.При записиуравненийбез использованияматричныхсоотношенийтакие ветвине вносяткаких-либоособенностейв их составление.Однако, еслиуравнениязаписываютсяпо второмузакону Кирхгофав матричнойформе илииспользуетсяматричнаяформа контурныхуравнений,то в матрицесопротивленийветвей Zветвям, содержащимидеальныеисточникитока, будутсоответствоватьдиагональныеэлементы
.Поэтому приналичии такихветвей исходнаясхема передсоставлениемуравненийдолжна бытьподвергнутасоответствующемупреобразованию,иллюстрируемомурис. 3.
Здесьидеальныйисточник тока
(см.рис. 3,а) включенмежду узламиk и n. Подключениек узлам l и m подва одинаковыхпо величинеи противоположнонаправленныхисточникатока (см.рис. 3,б) не влияетна режим работыцепи, что указываетна эквивалентностьзамены исходнойцепи на рис.3,а схемой нарис. 3,б.Можетбыть другойслучай, когдауравнения вматричнойформе записываютсяпо первомузакону Кирхгофаили используетсяматричнаяформа узловыхуравнений,а в цепи имеютместо ветви,содержащиетолько идеальныеисточникиЭДС. Для такихветвей соответствующиеим диагональныеэлементы матрицыYбудут равны
.Поэтому приналичии такихветвей исходнуюсхему передсоставлениемуравненийнеобходимоподвергнутьпреобразованию,поясняемомурис. 4.Здесьучасток исходнойцепи (см. рис.4,а) содержитветвь с идеальнымисточникомЭДС
.Включение вкаждую ветвь,соединеннуюс узлом n, источникас ЭДС, равной ,и направлениемдействия,указаннымна рис. 4,б, позволяет(в силу того,что 
)трансформироватьисходную цепьв схему, представленнуюна рис. 4,в.  |
Литература
Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
В чемотличие матрицсопротивленийи проводимостей ветвейдля цепей сотсутствиеми наличиеминдуктивныхсвязей?
Вчем заключаетсяособенностьнумерацииветвей графапри наличиииндуктивныхсвязей?
Какиеособенностиимеют местопри составленииматричныхсоотношенийдля цепей,содержащихветви с идеальнымиисточниками?
-
Вцепи на рис.5
; 
; 
; 
; 
; 
.Приняв, чтодерево образовановетвью 1, составитьконтурныеуравненияв матричнойформе и определитьтоки ветвей. 
Ответ:
. Дляцепи на рис.5составитьузловые уравненияв матричнойформе, на основаниикоторых затемопределитьтоки ветвей.
Ответ:
;.
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 12.Методы расчета,основанныена свойствахлинейных цепей. |
| Выбортого или иногометода расчетаэлектрическойцепи в конечномитоге определяетсяцелью решаемойзадачи. Поэтомуанализ линейнойцепи не обязательнодолжен осуществлятьсяс помощью такихобщих методоврасчета, какметод контурныхтоков или узловыхпотенциалов.Ниже будутрассмотреныметоды, основанныена свойствахлинейныхэлектрическихцепей и позволяющиепри определенныхпостановкахзадач решитьих более экономично. Методналожения Данныйметод справедливтолько длялинейныхэлектрическихцепей и являетсяособенноэффективным,когда требуетсявычислитьтоки для различныхзначений ЭДСи токов источниковв то время, каксопротивлениясхемы остаютсянеизменными. Данныйметод основанна принципеналожения(суперпозиции),которыйформулируетсяследующимобразом: токв k – й ветвилинейнойэлектрическойцепи равеналгебраическойсумме токов,вызываемыхкаждым изисточниковв отдельности. Аналитическипринцип наложениядля цепи, содержащейn источниковЭДС и m источниковтока, выражаетсясоотношением |
Здесь
-комплексвходной проводимостиk– й ветви, численноравный отношениютока к ЭДС вэтой ветвипри равныхнулю ЭДС востальныхветвях; 
-комплексвзаимной проводимостиk– й и i– й ветвей,численно равныйотношениютока в k – й ветвии ЭДС в i– й ветвипри равныхнулю ЭДС востальныхветвях.Входныеи взаимныепроводимостиможно определитьэкспериментальноили аналитически,используяих указаннуюсмысловуютрактовку,при этом
,что непосредственновытекает изсвойствавзаимности(см. ниже).Аналогичноопределяютсякоэффициентыпередачи тока
,которые в отличиеот проводимостейявляютсявеличинамибезразмерными.Доказательствопринципаналоженияможно осуществитьна основе методаконтурныхтоков.
Еслирешить системууравнений,составленныхпо методуконтурныхтоков, относительнолюбого контурноготока, например
,то получим  , | (2) |
где
-определительсистемы уравнений,составленныйпо методуконтурныхтоков; 
-алгебраическоедополнениеопределителя 
.Каждаяиз ЭДС в (2) представляетсобой алгебраическуюсумму ЭДС вветвях i–гоконтура. Еслитеперь всеконтурныеЭДС в (2) заменитьалгебраическимисуммами ЭДСв соответствующихветвях, то послегруппировкислагаемыхполучитсявыражениедля контурноготока
ввиде алгебраическойсуммы составляющихтоков, вызванныхкаждой из ЭДСветвей в отдельности.Посколькусистему независимыхконтуров всегдаможно выбратьтак, что рассматриваемаяh-я ветвь войдеттолько в один 
-йконтур, т.е.контурныйток будетравен действительномутоку 
h-йветви, то принципналожениясправедливдля токов любыхветвей и,следовательно,справедливостьпринципаналожениядоказана.Такимобразом, приопределениитоков ветвейпри помощиметоданаложенияследуетпоочереднооставлять всхеме по одномуисточнику,заменяя остальныеих внутреннимисопротивлениями,и рассчитатьсоставляющиеискомых токовв этих схемах.После этогополученныерезультатыдля соответствующихветвей суммируются– это и будутискомые токив ветвях исходнойцепи.
В качествепримера использованияметода наложенияопределимток во второйветви схемына рис. 1,а.
Принимаяисточники вцепи на рис.1,а идеальнымии учитывая,что у идеальногоисточникаЭДС внутреннеесопротивлениеравно нулю,а у идеальногоисточникатока – бесконечности,в соответствиис методомналоженияприходим красчетнымсхемам на рис. 1,б…1,г.
В этихцепях
; 
; 
,где
; 
; 
.Такимобразом,
.В
качестве другогопримера использованияметода определимвзаимныепроводимости 
и 
вцепи на рис.2, если при переводеключа в положение1 токи в первойи второй ветвяхсоответственноравны 
и 
,а при переводев положение2 - 
и 
.Учитывая,что в структурепассивногочетырехполюсникане содержитсяисточниковэнергии, наоснованиипринципаналожениядля состоянияключа в положении“1” можно записать
 ; | (3) |
 . | (4) |
Припереводе ключав положение“2” имеем
 ; | (5) |
 .. | (6) |
Тогда,вычитая изуравнения(3) соотношение(5), а из (4)-(6), получим
; 
,откудаискомые проводимости
; 
.Принципвзаимности
Принципвзаимностиоснован натеоремевзаимности,которую сформулируембез доказательства:для линейнойцепи ток
вk – й ветви, вызваннойединственнойв схеме ЭДС 
,находящейсяв i – й ветви, 
будетравен току
вi – й ветви, вызванномуЭДС ,численно равнойЭДС ,находящейсяв k – й ветви, 
.Отсюдав частностивытекаетуказанноевыше соотношение
.Инымисловами, основанныйна теоремевзаимностипринципвзаимностигласит:если ЭДС
,действуя внекоторойветви схемы,не содержащейдругих источников,вызывает вдругой ветвиток (см.рис. 3,а), то принесеннаяв эту ветвьЭДС вызоветв первой ветвитакой же ток (см.рис. 3,б). 
Вкачестве примераиспользованияданного принципарассмотримцепь на рис.4,а, в которойтребуетсяопределитьток
,вызываемыйисточникомЭДС . 
ПеренесениеисточникаЭДС
вдиагональмоста, гдетребуетсянайти ток,трансформируетисходную схемув цепь споследовательно-параллельнымсоединениемна рис. 4,б. В этойцепи | (7) |
,где
.Всоответствиис принципомвзаимноститок
вцепи на рис.4,а равен току,определяемомусоотношением(7).
Линейныесоотношенияв линейныхэлектрическихцепях
Приизменении влинейнойэлектрическойцепи ЭДС (тока)одного изисточниковили сопротивленияв какой-то ветвитоки в любойпаре ветвейm и n будут связанымежду собойсоотношением
 , | (8) |
гдеАи В– некоторыев общем случаекомплексныеконстанты.
Действительно,в соответствиис (1) при измененииЭДС
в k – й ветви длятока в m – й ветвиможно записать  | (9) |
и длятока в n – й ветви–
| (10) |
.Здесь
и 
-составляющиетоков соответственнов m – й и n – й ветвях,обусловленныевсеми остальнымиисточниками,кроме .Умноживлевую и правуючасти (10) на
,вычтем полученноесоотношениемиз уравнения(9). В результатеполучим  . | (11) |
Обозначивв (11)
и 
,приходим ксоотношению(8).Отметим,что в соответствиис законом Омаиз уравнения(8) вытекаетаналогичноесоотношениедля напряженийв линейнойцепи.
В
качестве примеранайдем аналитическуюзависимостьмежду токами 
и 
всхеме с переменнымрезисторомна рис. 5, где 
; 
; 
.КоэффициентыА и В можнорассчитать,рассмотревлюбые два режимаработы цепи,соответствующиедвум произвольнымзначениям
.Выбравв качествеэтих значений
и 
,для первогослучая ( 
)запишем 
.Такимобразом,
.При
(режимкороткогозамыкания) 
,откуда
.Наосновании(8)
.Такимобразом,
.Принципкомпенсации
Принципкомпенсацииоснован натеореме окомпенсации,которая гласит:в любой электрическойцепи без изменениятоков в ее ветвяхсопротивлениев произвольнойветви можнозаменитьисточникомс ЭДС, численноравной падениюнапряженияна этом сопротивлениии действующейнавстречутоку в этойветви.
Длядоказательстватеоремы выделимиз схемы произвольнуюветвь с сопротивлением
,по которойпротекаетток ,а всю остальнуючасть схемыусловно обозначимнекоторымактивнымдвухполюсникомА (см. рис. 6,а). 
Привключении вветвь с
двуходинаковыхи действующихнавстречудруг другуисточниковЭДС с 
(рис.6,б) режим работыцепи не изменится.Для этой цепи  . | (12) |
Равенство(12) позволяетгальваническисоединитьточки а и c, тоесть перейтик цепи на рис.6,в. Таким образом,теорема доказана.
Взаключениеследует отметить,что аналогичнодля упрощениярасчетов любуюветвь с известнымтоком
можнозаменитьисточникомтока 
.Литература
Основытеориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
КаплянскийА.Е. идр. Теоретическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. –М.: Высш.шк., 1972. –448 с.
Контрольныевопросы и задачи
Длякаких цепейприменим принципсуперпозиции?
Вкаких случаяхэффективноприменениеметода наложения?
Какопределяютсявходные ивзаимныепроводимостиветвей?
Докажитетеорему взаимности.
Какимилинейнымисоотношениямисвязаны токии напряженияв ветвях линейнойцепи?
Можноли распространитьпринцип компенсациина нелинейнуюэлектрическуюцепь?
Определитьметодом наложенияток в первойветви цепина рис. 1,а.
Ответ:
,где 
; 
.-
В цепина рис. 2
.Определитьтоки в остальныхветвях схемы,воспользовавшисьлинейнымсоотношением,принципомкомпенсациии методомналожения.
Ответ:
; 
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 13.Метод эквивалентногогенератора. |
| Методэквивалентногогенератора,основанныйна теоремеоб активномдвухполюснике(называемойтакже теоремойГельмгольца-Тевенена),позволяетдостаточнопросто определитьток в одной(представляющейинтерес прианализе) ветвисложной линейнойсхемы, не находятоки в остальныхветвях. Применениеданного методаособенноэффективно,когда требуетсяопределитьзначения токав некоторойветви дляразличныхзначенийсопротивленияв этой ветвив то время, какв остальнойсхеме сопротивления,а также ЭДСи токи источниковпостоянны. Теоремаоб активномдвухполюсникеформулируетсяследующимобразом: еслиактивную цепь,к которойприсоединенанекотораяветвь, заменитьисточникомс ЭДС, равнойнапряжениюна зажимахразомкнутойветви, и сопротивлением,равным входномусопротивлениюактивной цепи,то ток в этойветви не изменится. Ходдоказательстватеоремы иллюстрируютсхемы на рис.1.  Пустьв схеме выделенанекотораяветвь с сопротивлениемZ, а вся оставшаясяцепь обозначенакак активныйдвухполюсникА(рис. 1,а). Разомкнемэту ветвь междуточками 1 и 2(рис. 1,б). На зажимахэтой ветвиимеет местонапряжение  .Если теперьмежду зажимами1 и 2 включитьисточник ЭДС  снаправлением,указаннымна рис. 1,в , то,как и в цепина рис.1,б токв ней будетравен нулю.Чтобы схемуна рис. 1,в сделатьэквивалентнойцепи на рис.1,а, в рассматриваемуюветвь нужновключить ещеодин источникЭДС ,компенсирующийдействие первого(рис. 1,г). Будемтеперь искатьток попринципуналожения,т.е. как суммудвух составляющих,одна из которыхвызываетсяисточниками,входящими вструктуруактивногодвухполюсника,и источникомЭДС ,расположенныммежду зажимами1 и 2 слева, а другая– источникомЭДС ,расположенныммежду зажимами1 и 2 справа. Нопервая из этихсоставляющихв соответствиис рис. 1,в равнанулю, а значит,ток определяетсявторой составляющей,т.е. по схемена рис. 1,д, в которойактивныйдвухполюсникАзаменен пассивнымдвухполюсникомП.Таким образом,теорема доказана.Указанныев теореме ЭДСи сопротивлениеможно интерпретироватькак соответствующиепараметрынекоторогоэквивалентногоисходномуактивномудвухполюсникугенератора,откуда и произошлоназвание этогометода. Т  акимобразом, всоответствиис данной теоремойсхему на рис.2,а, где относительноветви, ток вкоторой требуетсяопределить,выделен активныйдвухполюсникА со структуройлюбой степенисложности,можно трансформироватьв схему на рис. 2,б.Отсюдаток находится,как: |
где
-напряжениена разомкнутыхзажимах a-b.Уравнение(1) представляетсобой аналитическоевыражениеметода эквивалентногогенератора.
Параметрыэквивалентногогенератора(активногодвухполюсника)могут бытьопределеныэкспериментальнымили теоретическимпутями.
Впервом случае,в частностина постоянномтоке, в режимехолостогохода активногодвухполюсниказамеряютнапряжение
наего зажимахс помощьювольтметра,которое и равно 
.Затем закорачиваютзажимы a и b активногодвухполюсникас помощьюамперметра,который показываетток 
(см.рис. 2,б). Тогдана основаниирезультатовизмерений 
.Впринципеаналогичнонаходятсяпараметрыактивногодвухполюсникаи при синусоидальномтоке; тольков этом случаенеобходимоопределитькомплексныезначения
и 
.Притеоретическомопределениипараметровэквивалентногогенератораих расчетосуществляетсяв два этапа:
1. Любымиз известныхметодов расчеталинейныхэлектрическихцепей определяютнапряжениена зажимахa-b активногодвухполюсникапри разомкнутойисследуемойветви.
2.При разомкнутойисследуемойветви определяетсявходное сопротивлениеактивногодвухполюсника,заменяемогопри этом пассивным.Данная заменаосуществляетсяпутем устраненияиз структурыактивногодвухполюсникавсех источниковэнергии, нопри сохранениина их местеих собственных(внутренних)сопротивлений.В случае идеальныхисточниковэто соответствуетзакорачиваниювсех источниковЭДС и размыканиювсех ветвейс источникамитока.
Сказанноеиллюстрируютсхемы на рис.3, где для расчетавходного(эквивалентного)сопротивленияактивногодвухполюсникана рис. 3,а последнийпреобразованв пассивныйдвухполюсниксо структуройна рис. 3,б. Тогдасогласно схемена рис. 3,б
.Вкачестве примераиспользованияметода эквивалентногогенераторадля анализаопределимзависимостьпоказанийамперметрав схеме на рис.4 при изменениисопротивленияR переменногорезистора вдиагоналимоста в пределах
.Параметрыцепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом;R2=R3=60 Ом. 
Всоответствиис изложеннойвыше методикойопределенияпараметровактивногодвухполюсникадля нахождениязначения
перейдемк схеме на рис.5, где напряжение 
наразомкнутыхзажимах 1 и 2определяетискомую ЭДС .В данной цепи 
.Дляопределениявходногосопротивленияактивногодвухполюсникатрансформируемего в схемуна рис. 6.
Состороны зажимов1-2 данного пассивногодвухполюсникаего сопротивлениеравно:
.Такимобразом, дляпоказанияамперметрав схеме на рис.4 в соответствиис (1) можно записать
 . | (2) |
ЗадаваясьзначениямиR в пределахего изменения,на основании(2) получаемкривую на рис.7.
Вкачестве примераиспользованияметода эквивалентногогенераторадля анализацепи при синусоидальномпитании определим,при какомзначениинагрузочногосопротивления
вцепи на рис.8 в нем будетвыделятьсямаксимальнаямощность, ичему она будетравна.П
араметрыцепи: ; 
.Всоответствиис теоремойоб активномдвухполюсникеобведеннаяпунктиромна рис. 8 частьсхемы заменяетсяэквивалентнымгенераторомс параметрами
Всоответствиис (1) для тока
через можнозаписать 
откудадля модуляэтого токаимеем
. (3)Анализполученноговыражения(3) показывает,что ток I, аследовательно,и мощностьбудут максимальны,если
;откуда 
,причем знак“-” показывает,что нагрузка имеетемкостныйхарактер.Такимобразом,
и 
.Данныесоотношенияаналогичнысоответствующимвыражениямв цепи постоянноготока, для которой,как известно,максимальнаямощность нанагрузкевыделяетсяв режиме согласованнойнагрузки, условиекоторого
.Такимобразом, искомыезначения
имаксимальноймощности: 
.Теоремавариаций
Теоремавариацийприменяетсяв тех случаях,когда требуетсярассчитать,насколькоизменятсятоки или напряженияв ветвях схемы,если в однойиз ветвей этойсхемы изменилосьсопротивление.
Выделимна рис. 9,а некоторыеветви с токами
и 
,а остальнуючасть схемыобозначимактивнымчетырехполюсникомА. При этом,полагаем чтопроводимости 
и 
известны. 
Пустьсопротивлениеn-й ветви изменилосьна
.В результатеэтого токив ветвях схемыбудут соответственноравны 
и 
(рис.9,б). На основаниипринципакомпенсациизаменим источникомс ЭДС 
.Тогда в соответствиис принципомналоженияможно считать,что приращениятоков 
и 
вызваны 
всхеме на рис.9,в, в которойактивныйчетырехполюсникАзаменен напассивныйП.Дляэтой цепи можнозаписать
откуда
и 
.Полученныесоотношенияпозволяютопределитьизменениятоков в m-й и n-йветвях, вызванныеизменениемсопротивленияв n-й ветви.
Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
В какихслучаях эффективноприменениеметода эквивалентногогенератора?
Какможно экспериментальноопределитьпараметрыэквивалентногогенератора?
Какможно определитьпараметрыактивногодвухполюсникарасчетнымпутем?
Какнеобходимопреобразоватьисходную схемуактивногодвухполюсникадля расчетаего входногосопротивления?
Вкаких задачахиспользуетсятеорема вариаций?
В цепина рис. 4 источникЭДС Е заменена источниктока J=10 А. Определитьпоказаниеамперметра,если R=0.
Ответ:
.-
Дляполученногозначения
вцепи на рис.8 методомэквивалентногогенератораопределитьток в ветвис этим сопротивлением,если катушкаиндуктивностив структуреактивногодвухполюсниказаменена наконденсаторс сопротивлением 
.
Ответ:
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 14.Пассивныечетырехполюсники. |
| Прианализе электрическихцепей в задачахисследованиявзаимосвязимежду переменными(токами, напряжениями,мощностямии т.п.) двух каких-товетвей схемышироко используетсятеория четырехполюсников.Четырехполюсник– это частьсхемы произвольнойконфигурации,имеющая двепары зажимов(отсюда и произошлоего название),обычно называемыевходными ивыходными. Примерамичетырыхполюсникаявляютсятрансформатор,усилитель,потенциометр,линия электропередачии другиеэлектротехническиеустройства,у которых можновыделить двепары полюсов. Вобщем случаечетырехполюсникиможно разделитьна активные,вструктурукоторых входятисточникиэнергии, ипассивные,ветви которыхне содержатисточниковэнергии. Нижебудут рассмотреныэлементы теориипассивныхчетырехполюсников. Длязаписи уравненийчетырехполюсникавыделим впроизвольнойсхеме ветвьс единственнымисточникомэнергии и любуюдругую ветвьс некоторымсопротивлением (см.рис. 1,а).  Всоответствиис принципомкомпенсациизаменим исходноесопротивление источникомс напряжением  (см.рис. 1,б). Тогдана основанииметода наложениядля цепи нарис. 1,б можнозаписать |
 . | (2) |
Решаяполученныеуравнения(1) и (2) относительнонапряженияи тока на первичныхзажимах, получим
; 
или
 ; | (3) |
 , | (4) |
где
; 
; 
; 
-коэффициентычетырехполюсника.Учитывая,что в соответствиис принципомвзаимности
,видно, чтокоэффициентычетырехполюсникасвязаны междусобой соотношением  . | (5) |
У
равнения(3) и (4) представляютсобой основныеуравнениячетырехполюсника;их также называютуравнениямичетырехполюсникав А-форме (см.табл. 1). Вообщеговоря, существуетшесть формзаписи уравненийпассивногочетырехполюсника.Действительно,четырехполюсникхарактеризуетсядвумя напряжениями 
и 
идвумя токами и .Любые двевеличины можновыразить черезостальные.Так как числосочетанийиз четырехпо два равношести, то ивозможно шестьформ записиуравненийпассивногочетырехполюсника,которые приведеныв табл. 1. Положительныенаправлениятоков дляразличныхформ записиуравненийприведенына рис. 2. Отметим,что выбор тойили иной формыуравненийопределяетсяобластью итипом решаемойзадачи.Таблица1. Формы записиуравненийпассивногочетырехполюсника
Форма | Уравнения | Связьс коэффициентамиосновныхуравнений |
А-форма |  ;  ; | |
Y-форма |  ;  ; |  ;  ; ;  ; |
Z-форма |  ;  ; |  ;  ;  ;  ; |
Н-форма |  ;  ; |  ;  ;  ;  ; |
G-форма |  ;  ; |  ;  ;  ;  ; |
B-форма |  ;  . |  ;  ;  ;  . |
Еслипри переменеместами источникаи приемникаэнергии ихтоки не меняются,то такойчетырехполюсникназываетсясимметричным.Каквидно из сравненияА- и В- форм втабл. 1, этовыполняетсяпри
.Четырехполюсники,не удовлетворяющиеданному условию,называютсянесимметричными.
Припрактическомиспользованииуравненийчетырехполюсникадля анализацепей необходимознать значенияего коэффициентов.Коэффициентычетырехполюсникамогут бытьопределеныэкспериментальнымили расчетнымпутями. Приэтом в соответствиис соотношением(5) определениелюбых трехкоэффициентовдает возможностьопределитьи четвертый.
Одиниз наиболееудобныхэкспериментальныхметодов определениякоэффициентовчетырехполюсникаоснован наопытах холостогохода и короткогозамыканияпри питаниисо сторонывторичныхзажимов и опытехолостогохода при питаниисо стороныпервичныхзажимов. В этомслучае при
наоснованииуравнений(3) и (4)  . | (6) |
При
 | (7) |
ипри
 . | (8) |
Решениеуравнений(6)-(8) относительнокоэффициентовчетырехполюсникадает:
Приопределениикоэффициентовчетырехполюсникарасчетнымпутем должныбыть известнысхема соединенияи величинысопротивленийчетырехполюсника.Как было отмеченоранее, пассивныйчетырехполюсникхарактеризуетсятремя независимымипостояннымикоэффициентами.Следовательно,пассивныйчетырехполюсникможно представитьв виде трехэлементнойэквивалентнойТ-(рис. 3,а) илиП-образной(рис.3,б) схемызамещения.
Дляопределениякоэффициентовчетырехполюсникадля схемы нарис. 3,а с использованиемпервого и второгозаконов Кирхгофавыразим
и через и : 
 ; | (9) |
 . | (10) |
Сопоставлениеполученныхвыражений(9) и (10) с соотношениями(3) и (4) дает:
Даннаязадача можетбыть решенаи другим путем.При
(холостойход со сторонывторичныхзажимов) всоответствиис (3) и (4) 
и 
;но изсхемы на рис.3,а
, а 
;откудавытекает:
и 
.При
(короткоезамыканиена вторичныхзажимах) 
и 
.Изсхемы на рис.3,а
; 
.Следовательно,
.Такимобразом, полученыте же самыерезультаты,что и в первомслучае.
Коэффициентычетырехполюсникадля схемы нарис. 3,б могутбыть определеныаналогичноили на основанииполученныхдля цепи нарис. 3,а с использованиемрассмотренныхранее формулпреобразования“ звезда-треугольник”.
Извышесказанногоможно сделатьвывод, что знаякоэффициентычетырехполюсника,всегда можнонайти параметрыТ- и П-образныхсхем его замещения.
Напрактике частовозникаетпотребностьв переходеот одной формызаписи уравненийчетырехполюсникак другой. Длярешения этойзадачи, т.е.чтобы определитькоэффициентыодной формызаписи уравненийчерез коэффициентыдругой, следуетвыразитькакие-либодве одинаковыевеличины вэтих формулахчерез двеостальные исопоставитьих с учетомположительныхнаправленийтоков для каждойиз этих форм.Так при переходеот А- к Z-формена основании(4) имеем
 . | (11) |
Подстановкасоотношения(11) в (3) дает
 . | (12) |
Сопоставляявыражения(11) и (12) с уравнениямичетырехполюсникав Z-форме (см.табл. 1), получим
.Прианализе работычетырехполюсникана нагрузку
удобноиспользоватьпонятие входногосопротивленияс первичнойстороны 
икоэффициентапередачи 
.Учитывая,что и 
,для этих параметровможно записать: 
Зная
, и ,можно определитьостальныепеременныена входе и выходечетырехполюсника: 
; 
; 
.Характеристическоесопротивлениеи коэффициент
распространениясимметричногочетырехполюсника
Вэлектросвязишироко используетсярежим работысимметричногочетырехполюсника,при которомего входноесопротивлениеравно нагрузочному,т.е.
.Этосопротивлениеобозначаюткак
иназываютхарактеристическимсопротивлениемсимметричногочетырехполюсника,а режим работычетырехполюсника,для которогосправедливо 
,называетсярежимомсогласованнойнагрузки.
Вуказанномрежиме длясимметричногочетырехполюсника
наосновании(3) и (4) можно записать  ; | (13) |
 . | (14) |
Разделивсоотношение(13) на (14), получаемуравнение
,решениемкоторого является
 . | (15) |
С учетом(15) уравнения(13) и (14) приобретаютвид
; 
.Такимобразом,
,где
-коэффициентраспространения; 
-коэффициентзатухания(измеряетсяв неперах); 
-коэффициентфазы (измеряетсяв радианах).Одномунеперу соответствуетзатуханиепо напряжениюили току ве=2,718… раз, а помощности,посколькудля рассматриваемогослучая
ве2 раз.Запишемуравнениесимметричногочетырехполюсникас использованиемкоэффициентараспространения.
Поопределению
 . | (16) |
Тогда
 . | (17) |
Решая(17) и (18) относительно
и 
,получим 
и 
.Учитывая,что
и
,получаемуравнениячетырехполюсника,записанныечерез гиперболическиефункции:
Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
КаплянскийА. Е. идр. Электрическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. -М.: Высш.шк., 1972. -448с.
Контрольныевопросы и задачи
Длярешения какихзадач применяетсятеория четырехполюсников?
Сколькокоэффициентовчетырехполюсникаявляютсянезависимыми?
Какойчетырехполюсникназываетсясимметричным?
Какможно определитькоэффициентычетырехполюсника?
Какопределяютсякоэффициентыодной формызаписи уравненийчетырехполюсникачерез коэффициентыдругой?
Чтоопределяеткоэффициентраспространения?
Определитьсвязь коэффициентовY-, H- и G-форм скоэффициентамиА-формы.
ОпределитькоэффициентыА, В, С и D дляП-образнойсхемы замещениячетырехполюсникана рис. 3,б.
Ответ:
; 
; 
; 
.-
Коэффициентыуравненийпассивногочетырехполюсника
; 
; 
ОпределитьпараметрыТ-образнойсхемы замещения.
Ответ:
; 
; 
.-
ПараметрыТ-образнойсхемы замещениячетырехполюсника:
; .
Определить,при какомсопротивлениинагрузки входноесопротивлениечетырехполюсникабудет равнонагрузочномусопротивлению.
Ответ:
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 15.Электрическиефильтры. |
| Электрическимфильтромназываетсячетырехполюсник,устанавливаемыймежду источникомпитания инагрузкой ислужащий длябеспрепятственного(с малым затуханием)пропусканиятоков однихчастот и задержки(или пропусканияс большимзатуханием)токов другихчастот. Диапазончастот, пропускаемыхфильтром беззатухания(с малым затуханием),называетсяполосойпропусканияилиполосойпрозрачности;диапазончастот, пропускаемыхс большимзатуханием,называетсяполосойзатуханияилиполосойзадерживания.Качествофильтра считаетсятем выше, чемярче выраженыего фильтрующиесвойства, т.е.чем сильнеевозрастаетзатухание вполосе задерживания. В качествепассивныхфильтров обычноприменяютсячетырехполюсникина основе катушекиндуктивностии конденсаторов.Возможно такжеприменениепассивныхRC-фильтров,используемыхпри большихсопротивленияхнагрузки. Фильтрыприменяютсякак в радиотехникеи технике связи,где имеют местотоки достаточновысоких частот,так и в силовойэлектроникеи электротехнике. Дляупрощенияанализа будемсчитать, чтофильтры составленыиз идеальныхкатушек индуктивностии конденсаторов,т.е. элементовсоответственнос нулевымиактивнымисопротивлениеми проводимостью.Это допущениедостаточнокорректнопри высокихчастотах, когдаиндуктивныесопротивлениякатушек многобольше ихактивныхсопротивлений(  ),а емкостныепроводимостиконденсаторовмного большеих активныхпроводимостей(  ).Фильтрующиесвойствачетырехполюсниковобусловленывозникающимив них резонанснымирежимами –резонансамитоков и напряжений.Фильтры обычнособираютсяпо симметричнойТ- или П-образнойсхеме, т.е. при  или  (см.лекцию №14). Вэтой связипри изучениифильтров будемиспользоватьвведенные впредыдущейлекции понятиякоэффициентовзатухания ифазы.Классификацияфильтров взависимостиот диапазонапропускаемыхчастот приведенав табл. 1. Таблица1. Классификацияфильтров |
где
| .  . | (1) |
Видеальномслучае в полосепропускания(прозрачности)
,т.е. в соответствиис (1) 
, 
и 
.Следовательно,справедливои равенство 
,которое указываетна отсутствиепотерь в идеальномфильтре, азначит, идеальныйфильтр долженбыть реализованна основеидеальныхкатушек индуктивностии конденсаторов.Вне областипропускания(в полосе затухания)в идеальномслучае 
,т.е. 
и .Рассмотримсхему простейшегонизкочастотногофильтра, представленнуюна рис. 1,а.
Связькоэффициентовчетырехполюсникас параметрамиэлементовТ-образнойсхемы замещенияопределяетсясоотношениями(см. лекцию№ 14)
иликонкретнодля фильтрана рис. 1,а
 ; | (2) |
 ; | (3) |
 . | (4) |
Изуравненийчетырехполюсника,записанныхс использованиемгиперболическихфункций (см. лекцию № 14), вытекает,что
.Однаков соответствиис (2)
-вещественнаяпеременная,а следовательно,  . | (5) |
Посколькув полосе пропусканиячастот коэффициентзатухания
,то на основании (5) 
.Таккак пределыизменения
: 
,- то границыполосы пропусканияопределяютсянеравенством 
,которомуудовлетворяютчастоты, лежащиев диапазоне
 . | (6) |
Дляхарактеристическогосопротивленияфильтра наосновании(3) и (4) имеем
 . | (7) |
Анализсоотношения(7) показывает,что с ростомчастоты w впределах,определяемыхнеравенством(6), характеристическоесопротивлениефильтра уменьшаетсядо нуля, оставаясьактивным.Поскольку,при нагрузкефильтра сопротивлением,равным характеристическому,его входноесопротивлениетакже будетравно
,то, вследствиевещественности ,можно сделатьзаключение,что фильтрработает врежиме резонанса,что было отмеченоранее. Причастотах, больших 
,как это следуетиз (7), характеристическоесопротивлениеприобретаетиндуктивныйхарактер.Н
арис. 2 приведеныкачественныезависимости 
и 
.Следуетотметить, чтовне полосыпропускания
.Действительно,посколькукоэффициентА – вещественный,то всегда должноудовлетворяться равенство  . | (8) |
Таккак вне полосыпрозрачности
,то соотношение(8) может выполнятьсятолько при 
.Вполосе задерживаниякоэффициентзатухания
определяетсяиз уравнения(5) при .Существеннымпри этом являетсяфакт постепенногонарастания ,т.е. в полосезатуханияфильтр неявляетсяидеальным.Аналогичныйвывод о неидеальностиреальногофильтра можносделать и дляполосы прозрачности,посколькуобеспечитьпрактическисогласованныйрежим работыфильтра вовсей полосепрозрачностиневозможно,а следовательно,в полосе пропусканиякоэффициентзатухания будетотличен отнуля.Другимвариантомпростейшегонизкочастотногофильтра можетслужить четырехполюсникпо схеме нарис. 1,б.
Схемапростейшеговысокочастотногофильтра приведенана рис. 3,а.
Дляданного фильтракоэффициентычетырехполюсникаопределяютсявыражениями
 ; | (9) |
 ; | (10) |
 . | (11) |
Каки для рассмотренноговыше случая,А – вещественнаяпеременная.Поэтому наосновании(9)
.Данномунеравенствуудовлетворяетдиапазонизменениячастот
 . | (12) |
Характеристическоесопротивлениефильтра
 , | (13) |
и
зменяясьв пределахот нуля до 
сростом частоты,остаетсявещественным.Это соответствует,как уже отмечалось,работе фильтра,нагруженногохарактеристическимсопротивлением,в резонансномрежиме. Посколькутакое согласованиефильтра снагрузкойво всей полосепропусканияпрактическиневозможно,реально фильтрработает с вограниченномдиапазонечастот.Внеобласти пропусканиячастот
определяетсяиз уравнения  | (14) |
при
.Плавное изменениекоэффициентазатухания всоответствиис (14) показывает,что в полосезадерживанияфильтр неявляетсяидеальным.Качественныйвид зависимостей
и длянизкочастотногофильтра представленна рис. 4.Следуетотметить, чтодругим примеромпростейшеговысокочастотногофильтра можетслужить П-образныйчетырехполюсникна рис. 3,б.
Полосовойфильтр формальнополучаетсяпутем последовательногосоединениянизкочастотногофильтра с полосойпропускания
ивысокочастотногос полосойпропускания 
, причем 
. Схема простейшего полосового фильтра 
приведенана рис. 5,а, а нарис. 5,б представленыкачественныезависимости
длянего.Урежекторногофильтра полосапрозрачностиразделенана две частиполосой затухания.Схема простейшегорежекторногофильтра икачественныезависимости
длянего приведенына рис.6. 
Взаключениенеобходимоотметить, чтодля улучшенияхарактеристикфильтров всехтипов их целесообразновыполнять ввиде цепнойсхемы, представляющейсобой каскадновключенныечетырехполюсники.При обеспечениисогласованногорежима работывсех n звеньевсхемы коэффициентзатухания
такогофильтра возрастаетв соответствиис выражением 
,что приближаетфильтр к идеальному.Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
КаплянскийА. Е. идр. Электрическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. -М.: Высш.шк., 1972. -448с.
Контрольныевопросы и задачи
Длячего служатфильтры?
Чтотакое полосыпрозрачностии затухания?
Какклассифицируютсяфильтры взависимостиот диапазонапропускаемыхчастот?
Вкаком режимеработают фильтрыв полосе пропусканиячастот?
Почемурассмотренныефильтры нельзясчитать идеальными?
Какможно улучшитьхарактеристикифильтра?
Определитьграницы полосыпрозрачностифильтров нарис. 1,а и 3,а, если L=10 мГн, а С=10 мкФ.
Ответ:
, 
Теория/ ТОЭ/ Лекция N 16.Трехфазныеэлектрическиецепи. |
| Трехфазнаяцепь являетсячастным случаеммногофазныхэлектрическихсистем, представляющихсобой совокупностьэлектрическихцепей, в которыхдействуютЭДС одинаковойчастоты, сдвинутыепо фазе относительнодруг другана определенныйугол. Отметим,что обычноэти ЭДС, в первуюочередь в силовойэнергетике,синусоидальны.Однако, в современныхэлектромеханическихсистемах, гдедля управленияисполнительнымидвигателямииспользуютсяпреобразователичастоты, системанапряженийв общем случаеявляетсянесинусоидальной.Каждую из частеймногофазнойсистемы,характеризующуюсяодинаковымтоком, называютфазой,т.е.фаза – этоучасток цепи,относящийсяк соответствующейобмотке генератораили трансформатора,линии и нагрузке. Такимобразом, понятие«фаза» имеетв электротехникедва различныхзначения:
Разработкамногофазныхсистем былаобусловленаисторически.Исследованияв данной областибыли вызванытребованиямиразвивающегосяпроизводства,а успехам вразвитиимногофазныхсистем способствовалиоткрытия вфизике электрическихи магнитныхявлений. Важнейшейпредпосылкойразработкимногофазныхэлектрическихсистем явилосьоткрытие явлениявращающегосямагнитногополя (Г.Феррариси Н.Тесла, 1888 г.).Первые электрическиедвигателибыли двухфазными,но они имелиневысокиерабочие характеристики.Наиболеерациональнойи перспективнойоказаласьтрехфазнаясистема, основныепреимуществакоторой будутрассмотреныдалее. Большойвклад в разработкутрехфазныхсистем внесвыдающийсярусскийученый-электротехникМ.О.Доливо-Добровольский,создавшийтрехфазныеасинхронныедвигатели,трансформаторы,предложившийтрех- и четырехпроводныецепи, в связис чем по правусчитающийсяосновоположникомтрехфазныхсистем.  Источникомтрехфазногонапряженияявляетсятрехфазныйгенератор,на статорекоторого (см.рис. 1) размещенатрехфазнаяобмотка. Фазыэтой обмоткирасполагаютсятаким образом,чтобы их магнитныеоси были сдвинутыв пространстведруг относительнодруга на  эл.рад. На рис. 1каждая фазастатора условнопоказана ввиде одноговитка. Началаобмоток принятообозначатьзаглавнымибуквами А,В,С,а концы- соответственнопрописнымиx,y,z. ЭДС в неподвижныхобмотках статораиндуцируютсяв результатепересеченияих витковмагнитнымполем, создаваемымтоком обмоткивозбуждениявращающегосяротора (на рис.1 ротор условноизображен ввиде постоянногомагнита, чтоиспользуетсяна практикепри относительнонебольшихмощностях).При вращенииротора с равномернойскоростью вобмотках фазстатора индуцируютсяпериодическиизменяющиесясинусоидальныеЭДС одинаковойчастоты иамплитуды,но отличающиесявследствиепространственногосдвига другот друга пофазе на рад.(см. рис. 2).Трехфазныесистемы внастоящеевремя получилинаибольшеераспространение.На трехфазномтоке работаютвсе крупныеэлектростанциии потребители,что связанос рядом преимуществтрехфазныхцепей передоднофазными,важнейшимииз которыхявляются: -экономичностьпередачиэлектроэнергиина большиерасстояния; -самым надежными экономичным,удовлетворяющимтребованиямпромышленногоэлектроприводаявляетсяасинхронныйдвигатель скороткозамкнутымротором; -возможностьполучения спомощью неподвижныхобмоток вращающегосямагнитногополя, на чемоснована работасинхронногои асинхронногодвигателей,а также рядадругих электротехническихустройств; -уравновешенностьсимметричныхтрехфазныхсистем. Длярассмотренияважнейшегосвойствауравновешенноститрехфазнойсистемы, котороебудет доказанодалее, введемпонятие симметриимногофазнойсистемы. СистемаЭДС (напряжений,токов и т.д.)называетсясимметричной,еслиона состоитиз m одинаковыхпо модулювекторов ЭДС(напряжений,токов и т.д.),сдвинутыхпо фазе друготносительнодруга на одинаковыйугол  .В частностивекторнаядиаграммадля симметричнойсистемы ЭДС,соответствующейтрехфазнойсистеме синусоидна рис. 2, представленана рис. 3. |
Изнесимметричныхсистем наибольшийпрактическийинтерес представляетдвухфазнаясистема с90-градуснымсдвигом фаз(см. рис. 4).
Всесимметричныетрех- и m-фазные(m>3) системы, атакже двухфазнаясистема являютсяуравновешенными.Этоозначает, чтохотя в отдельныхфазах мгновеннаямощностьпульсирует(см. рис. 5,а), изменяяза время одногопериода нетолько величину,но в общем случаеи знак, суммарнаямгновеннаямощность всехфаз остаетсявеличинойпостояннойв течение всегопериода синусоидальнойЭДС (см. рис.5,б).
Уравновешенностьимеет важнейшеепрактическоезначение. Еслибы суммарнаямгновеннаямощностьпульсировала,то на валу междутурбиной игенераторомдействовалбы пульсирующиймомент. Такаяпеременнаямеханическаянагрузка вредноотражаласьбы на энергогенерирующейустановке,сокращая срокее службы. Этиже соображенияотносятся ик многофазнымэлектродвигателям.
Еслисимметриянарушается(двухфазнаясистема Теслав силу своейспецифики врасчет непринимается),то нарушаетсяи уравновешенность.Поэтому вэнергетикестрого следятза тем, чтобынагрузкагенератораоставаласьсимметричной.
Схемысоединениятрехфазныхсистем
Трехфазныйгенератор(трансформатор)имеет тривыходные обмотки,одинаковыепо числу витков,но развивающиеЭДС, сдвинутыепо фазе на 1200.Можно былобы использоватьсистему, вкоторой фазыобмотки генераторане были быгальваническисоединеныдруг с другом.Это так называемаянесвязнаясистема. Вэтом случаекаждую фазугенераторанеобходимосоединять сприемникомдвумя проводами,т.е. будет иметьместо шестипроводнаялиния, чтонеэкономично.В этой связиподобные системыне получилиширокогопримененияна практике.
Дляуменьшенияколичествапроводов влинии фазыгенераторагальваническисвязываютмежду собой.Различаютдва вида соединений:взвезду ивтреугольник.В свою очередьпри соединениив звезду системаможет бытьтрех-и четырехпроводной.
Соединениев звезду
Нарис. 6 приведенатрехфазнаясистема присоединениифаз генератораи нагрузкив звезду. Здесьпровода АА’, ВВ’ и СС’ –линейные провода.
Линейнымназываетсяпровод, соединяющийначала фазобмотки генератораи приемника.Точка, в которойконцы фазсоединяютсяв общий узел,называетсянейтральной(нарис. 6 N и N’ –соответственнонейтральныеточки генератораи нагрузки).
Провод,соединяющийнейтральныеточки генератораи приемника,называетсянейтральным(нарис. 6 показанпунктиром).Трехфазнаясистема присоединениив звезду безнейтральногопровода называетсятрехпроводной,снейтральнымпроводом –четырехпроводной.
Всевеличины,относящиесяк фазам, носятназвание фазныхпеременных,клинии - линейных.Каквидно из схемына рис. 6, присоединениив звезду линейныетоки
и равнысоответствующимфазным токам.При наличиинейтральногопровода токв нейтральномпроводе 
.Если системафазных токовсимметрична,то 
.Следовательно,если бы симметриятоков былагарантирована,то нейтральныйпровод былбы не нужен.Как будетпоказано далее,нейтральныйпровод обеспечиваетподдержаниесимметриинапряженийна нагрузкепри несимметриисамой нагрузки.Посколькунапряжениена источникепротивоположнонаправлениюего ЭДС, фазныенапряжениягенератора(см. рис. 6) действуютот точек А,Ви С к нейтральнойточке N;
-фазные напряжениянагрузки.Линейныенапряжениядействуютмежду линейнымипроводами.В соответствиисо вторым закономКирхгофа длялинейныхнапряженийможно записать
 ; | (1) |
 ; | (2) |
 . | (3) |
О
тметим,что всегда 
-как сумманапряженийпо замкнутомуконтуру.Нарис. 7 представленавекторнаядиаграммадля симметричнойсистемы напряжений.Как показываетее анализ (лучифазных напряженийобразуют стороныравнобедренныхтреугольниковс углами приосно. вании,равными 300), вэтом случае
 | (4) |
Обычнопри расчетахпринимается
.Тогда для случаяпрямогочередованияфаз 
, 
(приобратномчередованиифаз фазовыесдвиги у 
и 
меняютсяместами). Сучетом этогона основаниисоотношений(1) …(3) могут бытьопределеныкомплексылинейныхнапряжений.Однако присимметриинапряженийэти величинылегко определяютсянепосредственноиз векторнойдиаграммына рис. 7. Направляявещественнуюось системыкоординатпо вектору 
(егоначальнаяфаза равнанулю), отсчитываемфазовые сдвигилинейныхнапряженийпо отношениюк этой оси, аих модулиопределяемв соответствиис (4). Так для линейныхнапряжений 
и 
получаем: 
; 
.Соединениев треугольник
Всвязи с тем,что значительнаячасть приемников,включаемыхв трехфазныецепи, бываетнесимметричной,очень важнона практике,например, всхемах с осветительнымиприборами,обеспечиватьнезависимостьрежимов работыотдельныхфаз. Кромечетырехпроводной,подобнымисвойствамиобладают итрехпроводныецепи при соединениифаз приемникав треугольник.Но в треугольниктакже можносоединить ифазы генератора(см. рис. 8).
Длясимметричнойсистемы ЭДСимеем
.Такимобразом, приотсутствиинагрузки вфазах генераторав схеме на рис.8 токи будутравны нулю.Однако, еслипоменять местаминачало и конецлюбой из фаз,то
ив треугольникебудет протекатьток короткогозамыкания.Следовательно,для треугольниканужно строгособлюдатьпорядок соединенияфаз: началоодной фазысоединяетсяс концом другой.Схемасоединенияфаз генератораи приемникав треугольникпредставленана рис. 9.
Очевидно,что при соединениив треугольниклинейныенапряженияравны соответствующимфазным. Попервому законуКирхгофа связьмежду линейнымии фазными токамиприемникаопределяетсясоотношениями
А
налогичноможно выразитьлинейные токичерез фазныетоки генератора.Нарис. 10 представленавекторнаядиаграммасимметричнойсистемы линейныхи фазных токов.Ее анализпоказывает,что при симметриитоков
 . | (5) |
Взаключениеотметим, чтопомимо рассмотренныхсоединений«звезда - звезда»и «треугольник- треугольник»на практикетакже применяютсясхемы «звезда- треугольник»и «треугольник- звезда».
Литература
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
Какойпринцип действияу трехфазногогенератора?
Вчем заключаютсяосновныепреимуществатрехфазныхсистем?
Какиесистемы обладаютсвойствомуравновешенности,в чем оно выражается?
Какиесуществуютсхемы соединенияв трехфазныхцепях?
Какиесоотношениямежду фазнымии линейнымивеличинамиимеют местопри соединениив звезду и втреугольник?
Чтобудет, еслипоменять местаминачало и конецодной из фазгенераторапри соединениив треугольник,и почему?
Определитекомплексылинейныхнапряжений,если при соединениифаз генераторав звезду началои конец обмоткифазы С поменялиместами.
-
Надиаграммена рис. 10 (трехфазнаясистема токовсимметрична)
.Определитькомплексыостальныхфазных и линейныхтоков. Какиесхемы соединенияобеспечиваютавтономностьработы фазнагрузки?
.В противномслучае ониявляютсянесимметричными.Равенствомодулей указанныхсопротивленийне являетсядостаточнымусловием симметриицепи. Так, напримертрехфазныйприемник нарис. 1,а являетсясимметричным,а на рис. 1,б – нетдаже при условии: 
.Вследствиеуказанногорасчет такихцепей проводитсядля одной –базовой –фазы, в качествекоторой обычнопринимают фазуА. При этомсоответствующиевеличины вдругих фазахполучают формальнымдобавлениемк аргументупеременнойфазы А фазовогосдвига 
можнозаписать 
,
; 
.
.
необходимоопределитьлинейные токи 
, 
.
можнозаписать 
,
.
.Тогда при известныхкомплексахлинейных напряженийв соответствиис законом Ома 
; 
; 
.
.
,по заданныммодулям напряжений,строим треугольник(см. рис.5), из которого(путем замера)определяемзначения угловa и b.
огда 
ейв общем случаебудет соответствоватьвекторнаядиаграмманапряжений(см. рис. 6,б), накоторой нейтральныеточки источникаи приемниказанимают разныеположения, т.е. 
.
)или простонапряжениемсмещения нейтрали.Чем оно больше,тем сильнеенесимметрияфазных напряженийна нагрузке,что наглядноиллюстрируетвекторнаядиаграммана рис.6,б.
.
.  . | (1) |
Приналичии нейтральногопровода с нулевымсопротивлением
,и из (1) 
.В случае отсутствиянейтральногопровода 
.При симметричнойнагрузке 
сучетом того,что 
,из (1) вытекает .В
качестве примераанализа несимметричногорежима работыцепи с использованиемсоотношения(1) определим,какая из лампв схеме на рис.7 с прямым чередованиемфаз источникабудет горетьярче, если 
.Запишемвыражениякомплексныхсопротивленийфаз нагрузки:
Тогдадля напряжениясмещения нейтралибудем иметь
Напряженияна фазах нагрузки(здесь и далееиндекс N у фазныхнапряженийисточникаопускается)
Такимобразом, наиболееярко будетгореть лампочкав фазе С.
Взаключениеотметим, чтоесли при соединениив звезду задаютсялинейные напряжения(что обычноимеет местона практике),то с учетомтого, что суммапоследних равнанулю, их можнооднозначнозадать с помощьюдвух источниковЭДС, например,
и 
.Тогда, посколькупри этом 
,соотношение(1) трансформируетсяв формулу  . | (2) |
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
Какой многофазныйприемник являетсясимметричным?
Какойрежим работытрехфазнойцепи называетсясимметричным?
Вчем заключаетсяспецификарасчета симметричныхрежимов работытрехфазныхцепей?
Спомощью какихприемов трехфазнаясимметричнаясхема сводитсяк расчетнойоднофазной?
Чтотакое напряжениесмещения нейтрали,как оно определяется?
Какможно определитькомплексылинейных напряжений,если заданыих модули?
Чтообеспечиваетнейтральныйпровод с нулевымсопротивлением?
-
Вцепи на рис.6,а
; 
; 
; 
.Линейное напряжениеравно 380 В.
Определитьток в нейтральномпроводе.
Ответ:
.-
В схеме предыдущейзадачи
; 
.Остальныепараметры теже.
Определитьток в нейтральномпроводе.
Ответ:
.В задаче 8 нейтральныйпровод оборван.
Определитьфазные напряженияна нагрузке.
Ответ:
; 
; 
.В задаче 9 нейтральныйпровод оборван.
Определитьфазные напряженияна нагрузке.
Ответ:
; 
; 
.ЛекцияN 18
Применениевекторныхдиаграмм дляанализа
несимметричныхрежимов
Несимметричныережимы в простейшиххарактерныхслучаях (короткоезамыкание ихолостой ход)могут бытьпроанализированына основе построениявекторныхдиаграмм.
Рассмотримрежимы обрываи короткогозамыкания фазыпри соединениив звезду длятрех- и четырехпроводнойсистем. Приэтом будемпроводитьсопоставлениес симметричнымрежимом работыцепи, фазныенапряженияи токи в которойбудут базовыми.Для этой цепи(см. рис.1,а) векторнаядиаграмма токови напряженийприведена нарис. 1,б (принято,что нагрузка
носитактивно-индуктивныйхарактер). Здесь 
.Приобрыве фазыА нагрузкиприходим квекторнойдиаграмме нарис. 2.
Вэтом случае
.Прикоротком замыканиифазы А (трехпроводнаясистема) имеетместо векторнаядиаграмма нарис. 3. Из неевытекает:
; 
; 
; 
; 
.Приобрыве фазыА в четырехпроводнойсистеме (нейтральныйпровод на рис.1,а показанпунктиром, авектор тока
-пунктиром нарис. 1,б) 
; 
; 
.Симметричныйтрехфазныйприемник присоединениив треугольники соответствующаяэтому случаювекторнаядиаграмманапряженийи токов приведенына рис. 4.
Здесьпри том же способесоединенияфаз генератора
; 
; 
; 
; 
; 
.П
риобрыве проводав фазе А-В нагрузки,как это видноиз схемы нарис. 5, 
; 
,при этом самитоки 
и 
всилу автономностирежима работыфаз при соединениинагрузки втреугольниктакие же, каки в цепи на рис.4,а. Таким образом,
; 
; .Цепьпри обрывелинейногопровода А-А’и соответствующаяэтому случаювекторнаядиаграммаприведены нарис.6.
Здесь
; 
; 
.Мощностьв трехфазныхцепях
Мгновеннаямощность трехфазногоисточникаэнергии равнасумме мгновенныхмощностей егофаз:
.Активнаямощность генератора,определяемаякак среднееза период значениемгновенноймощности, равна
.Соответственноактивная мощностьтрехфазногоприемника сучетом потерьв сопротивлениинейтральногопровода
,реактивная
иполная
.Суммарнаяактивная мощностьсимметричнойтрехфазнойсистемы
 . | (1) |
Учитывая,что в симметричномрежиме длязвезды имеютместо соотношения
идля треугольника-
наосновании (1)для обоих способовсоединенияфаз получаем
,гдеj - угол сдвигамежду фазныминапряжениеми током.
Аналогично
Докажемтеперь указанноеранее свойствоуравновешенностидвухфазнойсистемы Теслаи симметричнойтрехфазнойсистемы.
1.Двухфазнаясистема Тесла
В
соответствиис рис. 7 
 | (2) |
 . | (3) |
Сучетом (2) и (3)
.Такимобразом, суммарнаямгновеннаямощность фазесть величинапостоянная,равная суммарнойактивной мощностиисточника.
2.Симметричнаятрехфазнаяцепь
Тогда
Отсюда
,т.е.и для симметричнойтрехфазнойцепи свойствоуравновешенностидоказано.
Измерениемощности втрехфазныхцепях
Нижерассмотреныпрактическиесхемы включенияваттметровдля измерениямощности втрехфазныхцепях.
1.Четырехпроводнаясистема, несимметричныйрежим.
Представленнаяна рис. 8 схеманазываетсясхемой трехваттметров.
С
уммарнаяактивная мощностьцепи определяетсякак сумма показанийтрех ваттметров 
.2.Четырехпроводнаясистема, симметричныйрежим.
Еслирежим работыцепи симметричный,то для определениясуммарнойактивной мощностидостаточноограничитьсяодним ваттметром(любым), включаемымпо схеме нарис. 8. Тогда,например, привключенииприбора в фазуА,
 . | (4) |
3.Трехпроводнаясистема, симметричныйрежим.
П
риотсутствиидоступа к нейтральнойточке последняясоздаетсяискусственнос помощью включениятрех дополнительныхрезисторовпо схеме «звезда»,как показанона рис. 9 – схемаваттметра сискусственнойнейтральнойточкой. Приэтом необходимовыполнениеусловия 
,где 
-собственноесопротивлениеобмотки ваттметра.Тогда суммарнаяактивная мощностьтрехфазнойсистемы определяетсясогласно (4). 
4.Трехпроводнаясистема, симметричныйрежим; измерениереактивноймощности.
Спомощью одноговаттметра присимметричномрежиме работыцепи можноизмерить еереактивнуюмощность. Вэтом случаесхема включенияваттметра будетиметь вид порис. 10,а. Согласновекторнойдиаграмме нарис. 10,б измеряемаяприбором мощность
.Такимобразом, суммарнаяреактивнаямощность
.5.Трехпроводнаясистема, несимметричныйрежим.
Представленнаяна рис. 11 схеманазываетсясхемой двухваттметров.В ней суммапоказанийприборов равнасуммарнойактивной мощностицепи.
Действительно,показанияприборов вданной схеме:
.Тогда
Взаключениеотметим, чтоесли в схемена рис. 11 имеетместо симметричныйрежим работы,то на основаниипоказанийприборов можноопределитьсуммарнуюреактивнуюмощность цепи
 . | (5) |
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
В симметричнойтрехпроводнойцепи произошелобрыв фазы.Что покажетвольтметр,включенныймежду найтральнымиточками источникаи приемника?
Ответ:
.Во сколько размощность вцепи на рис.6,а меньше мощностив цепи на рис.4,а?
Ответ:в два раза.
В цепи на рис.10,а симметричнаянагрузка составленаиз резистивныхэлементов. Чтопокажет ваттметр?
Ответ:
.-
В цепи на рис.10,а симметричнаянагрузка сфазным сопротивлением
соединенав звезду. Линейноенапряжение 
.
Определитьпоказаниеваттметра.
Ответ:
.-
В цепи на рис.11 нагрузкойслужат дваодинаковыхконденсаторас ХС=100 Ом, включенныемежду линейнымипроводами Аи В, В и С соответственно.Линейное напряжение
.
Определитьпоказанияваттметров.
Ответ:
.На основе построениявекторнойдиаграммытоков и напряженийдля симметричногорежима работыцепи на рис.11 доказатьсоотношение(5).
ЛекцияN 19
Методсимметричныхсоставляющих
Методсимметричныхсоставляющихотносится кспециальнымметодам расчетатрехфазныхцепей и широкоприменяетсядля анализанесимметричныхрежимов ихработы, в томчисле с нестатическойнагрузкой. Воснове методалежит представлениенесимметричнойтрехфазнойсистемы переменных(ЭДС, токов,напряженийи т.п.) в виде суммытрех симметричныхсистем, которыеназываютсимметричнымисоставляющими.Различаютсимметричныесоставляющиепрямой, обратнойи нулевойпоследовательностей,которые различаютсяпорядком чередованияфаз.
Симметричнуюсистему прямойпоследовательностиобразуют (см.рис. 1,а) три одинаковыхпо модулю вектора
и 
сосдвигом другпо отношениюк другу на рад.,причем 
отстаетот 
,а -от .
Введя,оператор поворота
,для симметричнойсистемы прямойпоследовательностиможно записать 
.Симметричнаясистема обратнойпоследовательностиобразованаравными помодулю векторами
и 
сотносительнымсдвигом по фазена рад.,причем теперь отстаетот 
,а 
-от (см.рис. 1,б). Для этойсистемы имеем 
.С
истеманулевой последовательностисостоит из трехвекторов, одинаковыхпо модулю ифазе (см. рис.1,в): 
.Присложении трехуказанныхсистем векторовполучаетсянесимметричнаясистема векторов(см. рис. 2).
Любаянесимметричнаясистема однозначнораскладываетсяна симметричныесоставляющие.Действительно,
 ; | (1) |
 ; | (2) |
| (3) |
. Такимобразом, полученасистема из трехуравненийотносительнотрех неизвестных
,которые, следовательно,определяютсяоднозначно.Для нахождения 
сложимуравнения(1)…(3). Тогда, учитывая,что 
,получим  . | (4) |
Длянахождения
умножим(2) на 
,а (3) – на 
,после чегополученныевыражениясложим с (1). Врезультатеприходим ксоотношению  . | (5) |
Дляопределения
ссоотношением(1) складываемуравнения (2) и(3), предварительноумноженныесоответственнона и .В результатеимеем:  . | (6) |
Формулы(1)…(6) справедливыдля любой системывекторов
,в том числе идля симметричной.В последнемслучае 
.Взаключениераздела отметим,что помимовычислениясимметричныесоставляющиемогут бытьизмерены спомощью специальныхфильтров симметричныхсоставляющих,используемыхв устройствахрелейной защитыи автоматики.
Свойствасимметричныхсоставляющихтоков
и напряженийразличныхпоследовательностей
Р
ассмотримчетырехпроводнуюсистему на рис.3. Для тока внейтральномпроводе имеем 
.Тогдас учетом (4)
| (7) |
,т.е.ток в нейтральномпроводе равенутроенномутоку нулевойпоследовательности.
Еслинейтральногопровода нет,то
исоответственнонет составляющихтока нулевойпоследовательности.Посколькусумма линейныхнапряженийравна нулю, тов соответствиис (4) линейныенапряженияне содержатсоставляющихнулевой последовательности.
Р
ассмотримтрехпроводнуюнесимметричнуюсистему на рис.4.Здесь
Тогда,просуммировавэти соотношения,для симметричныхсоставляющихнулевой последовательностифазных напряженийможно записать
.Еслисистема ЭДСгенераторасимметрична,то из последнегополучаем
 . | (8) |
Из(8) вытекает:
в фазных напряженияхсимметричногоприемникаотсутствуютсимметричныесоставляющиенулевойпоследовательности;
симметричныесоставляющиенулевой последовательностифазных напряженийнесимметричногоприемникаопределяютсявеличинойнапряжениясмещения нейтрали;
фазныенапряжениянесимметричныхприемников,соединенныхзвездой, припитании отодного источникаразличаютсятолько за счетсимметричныхсоставляющихнулевойпоследовательности;симметричныесоставляющиепрямой и обратнойпоследовательностейу них одинаковы,посколькуоднозначносвязаны ссоответствующимисимметричнымисоставляющимилинейных напряжений.
П
рисоединениинагрузки втреугольникфазные токи 
и могутсодержатьсимметричныесоставляющиенулевой последовательности 
.При этом (см.рис. 5) циркулируетпо контуру,образованномуфазами нагрузки.Сопротивлениясимметричнойтрехфазнойцепи
для токовразличныхпоследовательностей
Еслик симметричнойцепи приложенасимметричнаясистема фазныхнапряженийпрямой (обратнойили нулевой)последовательностей,то в ней возникаетсимметричнаясистема токовпрямой (обратнойили нулевой)последовательности.При использованииметода симметричныхсоставляющихна практикесимметричныесоставляющиенапряженийсвязаны ссимметричнымисоставляющимитоков той жепоследовательности.Отношениесимметричныхсоставляющихфазных напряженийпрямой (обратнойили нулевой)последовательностик соответствующимсимметричнымсоставляющимтоков называетсякомплекснымсопротивлениемпрямой
,обратной
инулевой
последовательностей.
Пустьимеем участокцепи на рис. 6.Для фазы А этогоучастка можнозаписать
 . | (9) |
Тогдадля симметричныхсоставляющихпрямой и обратнойпоследовательностейс учетом, того,что
,на основании(9) имеем
.О
тсюдакомплексныесопротивленияпрямой и обратнойпоследовательностейодинаковы иравны: 
.Длясимметричныхсоставляющихнулевой последовательностис учетом равенства
соотношение(9) трансформируетсяв уравнение 
,откудакомплексноесопротивлениенулевой последовательности
.Врассмотренномпримере полученоравенствосопротивленийпрямой и обратнойпоследовательностей.В общем случаеэти сопротивлениямогут отличатьсядруг от друга.Наиболее типичныйпример – различиесопротивленийвращающейсямашины длятоков прямойи обратнойпоследовательностейза счет многократнойразницы в скольженииротора относительновращающегосямагнитногополя для этихпоследовательностей.
Применениеметода симметричныхсоставляющих
длясимметричныхцепей
Расчетцепей методомсимметричныхсоставляющихосновываетсяна принципеналожения, ввиду чего методприменим толькок линейнымцепям. Согласноданному методурасчет осуществляетсяв отдельностидля составляющихнапряженийи токов различныхпоследовательностей,причем в силусимметриирежимов работыцепи для нихон проводитсядля одной фазы(фазы А). Послеэтого в соответствиис (1)…(3) определяютсяреальные искомыевеличины. Прирасчете следуетпомнить, что,поскольку всимметричномрежиме ток внейтральномпроводе равеннулю, сопротивлениенейтральногопровода никакни влияет насимметричныесоставляющиетоков прямойи обратнойпоследовательностей.Наоборот, всхему замещениядля нулевойпоследовательностина основании(7) вводитсяутроенноезначениесопротивленияв нейтральномпроводе. С учетомвышесказанногоисходной схемена рис. 7,а соответствуютрасчетныеоднофазныецепи для прямойи обратнойпоследовательностей(рис. 7,б) и нулевойпоследовательности(рис. 7,в).
Существенносложнее обстоитдело при несимметриисопротивленийпо фазам. Пустьв цепи на рис.3
.Разложив токина симметричныесоставляющие,для данной цепиможно записать  | (10) |
Всвою очередь
 | (11) |
Подставивв (11) значениясоответствующихпараметровиз (10) после группировкичленов получим
 | (12) |
где
;
Изполученныхсоотношенийвидно, что еслик несимметричнойцепи приложенанесимметричнаясистема напряжений,то каждая изсимметричныхсоставляющихтоков зависитот симметричныхсоставляющихнапряженийвсех последовательностей.Поэтому, еслибы трехфазнаяцепь на всехучастках быланесимметрична,рассматриваемыйметод расчетане давал быпреимуществ.На практикесистема в основномявляетсясимметричной,а несимметрияобычно носитлокальныйхарактер. Этообстоятельство,как будет показанов следующейлекции, значительноупрощает анализ.
Навсех участкахцепи, где сопротивленияпо фазам одинаковы,
дляi№k. Тогда из (12)получаем 
.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
В каких случаяхотсутствуютсоставляющиенулевой последовательностив линейныхтоках?
Длякаких цепейсопротивленияпрямой и обратнойпоследовательностейодинаковы, адля каких –различны?
Дляанализа какихцепей возможноприменениеметода симметричныхсоставляющих?
Какпри использованииметода симметричныхсоставляющихучитываетсясопротивлениев нейтральномпроводе?
Вчем заключаетсяупрощениерасчета цепипри использованииметода симметричныхсоставляющих?
-
Определитькоэффициентнесимметриилинейных напряжений
,если 
, 
.
Ответ:
.-
До короткогозамыкания вфазе А в цепина рис. 4 былсимметричныйрежим, при которомток в фазе Абыл равен
. Разложитьтоки на симметричныесоставляющие.
Ответ:
; 
.-
Линейные напряженияна зажимахдвигателя
и 
.Определитьдействующиезначения токовв фазах двигателя,если его сопротивленияпрямой и обратнойпоследовательностейсоответственноравны: 
; 
.Нейтральныйпровод отсутствует.
Ответ:
; 
; 
.ЛекцияN 20
Теоремаоб активномдвухполюснике
для симметричныхсоставляющих
Втех случаях,когда трехфазнаяцепь в целомсимметрична,а несимметрияносит локальныйхарактер (местноекороткое замыканиеили обрыв фазы,подключениенесимметричнойнагрузки), длярасчета удобноприменятьтеорему обактивномдвухполюснике.
Примысленномустранениинесимметрии(несимметричногоучастка) дляоставшейсяцепи имеетместо симметричныйрежим холостогохода. В соответствиис методомэквивалентногогенераторатеперь необходимоопределитьэквивалентныеЭДС и входныесопротивлениясимметричнойцепи. В общемслучае – принесимметриив системе фазныхнапряженийисточника –помимо эквивалентнойЭДС прямойпоследовательности
будуттакже иметьместо эквивалентныеЭДС обратной 
инулевой 
последовательностей.Однако обычнонапряжениягенераторовсимметричны– тогда 
.Величина ,соответствующаянапряжениюхолостого хода 
назажимах подключения локальнойнесимметрии,определяетсяпри отключениилокальнойнесимметричнойнагрузки любымизвестнымметодом расчеталинейных цепей,причем в силусимметрии цепирасчет проводитсядля одной фазы.Вотдельностирассчитываютсявходные сопротивлениясимметричнойцепи для различныхпоследовательностей,которая предварительнопреобразуетсяизвестнымиметодами впассивную цепь.При этом прирасчете входногосопротивлениянулевой последовательности
необходимоучитыватьтолько те участкицепи, которыесоединены снейтральнымпроводом илизаземленнойнейтральнойточкой, т.е.принимать вовнимание толькоте ветви, покоторым могутпротекать токинулевой последовательности.Схемы для расчетавходных сопротивленийпрямой и обратнойпоследовательностейодинаковы,однако в случаевращающихсямашин величиныэтих сопротивленийразличны.Посколькув отдельностидля каждойсимметричнойпоследовательностиимеет местосимметричныйрежим, расчетуказаннымметодом ведетсяна одну фазус использованиемрасчетных схемдля прямой(рис. 1,а), обратной(рис. 1,б) и нулевой(рис. 1,в) последовательностей.
Даннымсхемам соответствуютсоотношения
 ; | (1) |
 ; | (2) |
 . | (3) |
Посколькусоотношенийтри, а числовходящих в нихнеизвестныхшесть
,необходимосоставлениетрех дополнительныхуравнений,учитывающихконкретныйвид несимметрии.Рассмотримнекоторыетиповые примерыпримененияметода.
Однополюсноекороткое замыканиена землю (рис.2).
.Посколькуфаза А замкнутана землю, тодополнительныеуравнения имеютвид
|
 ; | (4) |
; 
.Тогда
Сучетом последнихсоотношенийуравнения(1)…(3) можно записатьв виде
 ; | (5) |
 ; | (6) |
 . | (7) |
Принимаяво внимание(4), а также то, чтоисточник питаниясимметричный
,просуммируем(5), (6) и (7): 
,откудаполучаем
Двухполюсноекороткое замыканиебез земли (рис. 3).
Длярассматриваемогослучая можнозаписать
Последнееравенствообъясняетсяотсутствиемпути для протеканиятоков нулевойпоследовательности.
Издвух последнихсоотношенийвытекает, что
.При этом 
,так как 
и 
.Подставивполученныевыражения длянапряженийи токов прямойи обратнойпоследовательностейв (1) и (2), запишем
 ; | (8) |
 . | (9) |
Вычитаяиз (8) соотношение(9) и учитывая,что в силу симметрииисточника
,получим 
,откуда
.Обрывлинейногопровода (рис.4) – определитьнапряжениев месте разрыва.
В
рассматриваемомслучае дополнительныеуравнения имеютвид  ; | (10) |
 ; | (11) |
 . | (12) |
Изсоотношений(11) и (12) вытекаетравенство:
 . | (13) |
Наосновании(1)…(3) с учетом(13) запишем
.Принимаяво вниманиесимметричностьисточника
,подставимпоследниевыражения в(10): 
,-откуда
.Такимобразом, искомоенапряжение
.П
одключениенесимметричнойнагрузки 
ксимметричнойцепи (рис. 5).Учитывая,что
,подставим вуравнения(1)…(3) определенныев предыдущейлекции выражения 
и 
(см.соотношение(12) в лекции №19): 
Решаяданную системууравнений,находим
и .Тогда 
и
.Врассмотренныхпримерахпредполагалось,что необходимыедля анализацепи параметры
и предварительноопределены.Рассмотримих расчет напримере предыдущейзадачи длянекоторой схемына рис. 6. 
Посколькупри отключениинесимметричнойнагрузки
оставшаясячасть схемыбудет работатьв симметричномрежиме, дляопределения получаемрасчетнуюоднофазнуюсхему на рис.7.И
знее 
.Схемадля определениявходных сопротивленийпрямой
иобратной последовательностейодна и та же исоответствуетцепи на рис.8,а. В соответствиис ней 
.Схемадля определения
,полученнаяс учетом возможныхпутей протеканиятоков нулевойпоследовательности,приведена нарис. 8,б. Из нее 
.Выражениемощности черезсимметричныесоставляющие
Комплексполной мощностив трехфазнойцепи
 . | (14) |
Дляфазных напряженийимеем
 | (15) |
Учитывая,что комплекс,сопряженный
,равен инаоборот, длясопряженныхкомплексовтоков запишем:  | (16) |
Подставляя(15) и (16) в (14), послесоответствующихпреобразованийполучим
.Отсюда
и
,где
-разности фазсоответствующихсимметричныхсоставляющихнапряженийи токов.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Контрольныевопросы и задачи
В каких случаяхцелесообразноприменениетеоремы обактивномдвухполюсникедля симмметричныхсоставляющих?
Какрассчитываютсяэквивалентные параметрысимметричнойцепи, к которойподключаетсялокальнаянесимметричнаянагрузка?
Вчем заключаютсяособенностирасчета входногосопротивлениянулевойпоследовательности?
Каковапоследовательностьанализа трехфазнойцепи с использованиемтеоремы обактивномдвухполюсникедля симметричныхсоставляющих?
-
Определитьнапряжения
и 
вцепи на рис.3, если фазнаяЭДС 
,а сопротивленияпрямой и обратнойпоследовательностейравны: 
.
Ответ:
.-
Фазы А и С симметричноготрехфазногоисточниказамкнуты накоротко.Определитьток короткогозамыкания,если
,а сопротивленияпрямой и обратнойпоследовательностей 
.
Ответ:
.ЛекцияN 21
Вращающеесямагнитное поле
Какбыло показаноранее, однимиз важнейшихпреимуществмногофазныхсистем являетсяполучениевращающегосямагнитногополя с помощьюнеподвижныхкатушек, на чемоснована работадвигателейпеременноготока. Рассмотрениеэтого вопросаначнем с анализамагнитногополя катушкис синусоидальнымтоком.
Магнитноеполе катушкис синусоидальнымтоком
Припропусканиипо обмоткекатушки синусоидальноготока она создаетм
агнитноеполе, векториндукции которогоизменяется(пульсирует)вдоль этойкатушки такжепо синусоидальномузакону Мгновеннаяориентациявектора магнитнойиндукции впространствезависит отнамотки катушкии мгновенногонаправлениятока в ней иопределяетсяпо правилуправого буравчика.Так для случая,показанногона рис. 1, вектормагнитнойиндукции направленпо оси катушкивверх. Черезполпериода,когда при томже модуле токизменит свойзнак на противоположный,вектор магнитнойиндукции притой же абсолютнойвеличине поменяетсвою ориентациюв пространствена 1800. С учетомвышесказанногомагнитное полекатушки ссинусоидальнымтоком называютпульсирующим.Круговоевращающеесямагнитноеполе
двух- итрехфазнойобмоток
Круговымвращающимсямагнитным полемназываетсяполе, вектормагнитнойиндукции которого,не изменяясьпо модулю, вращаетсяв пространствес постояннойугловой частотой.
Длясоздания круговоговращающегосяполя необходимовыполнениедвух условий:
Оси катушекдолжны бытьсдвинуты впространстведруг относительнодруга на определенныйугол (для двухфазнойсистемы – на900, для трехфазной– на 1200).
Токи,питающие катушки,должны бытьсдвинуты пофазе соответственнопространственномусмещению катушек.
Рассмотримполучениекруговоговращающегосямагнитногополя в случаедвухфазнойсистемы Тесла(рис. 2,а).
Припропусканиичерез катушкигармоническихтоков каждаяиз них в соответствиис вышесказаннымбудет создаватьпульсирующеемагнитное поле.Векторы
и 
,характеризующиеэти поля, направленывдоль осейсоответствующихкатушек, а ихамплитудыизменяютсятакже по гармоническомузакону. Еслиток в катушкеВ отстает оттока в катушкеА на 900 (см. рис.2,б), то 
.Найдемпроекциирезультирующеговектора магнитнойиндукции
наоси x и y декартовойсистемы координат,связанной сосями катушек: 
Модульрезультирующеговектора магнитнойиндукции всоответствиис рис. 2,в равен
 , | (1) |
приэтом для тангенсаугла a , образованногоэтим векторомс осью абсцисс,можно записать
,откуда
 . | (2) |
Полученныесоотношения(1) и (2) показывают,что векторрезультирующегомагнитногополя неизмененпо модулю ивращается впространствес постояннойугловой частотой
,описывая окружность,что соответствуеткруговомувращающемусяполю.Покажем,что симметричнаятрехфазнаясистема катушек(см. рис. 3,а) такжепозволяетполучить круговоевращающеесямагнитное поле.
Каждаяиз катушек А,В и С при пропусканиипо ним гармоническихтоков создаетпульсирующеемагнитное поле.Векторнаядиаграмма впространстведля этих полейпредставленана рис. 3,б. Для проекций результирующеговектора магнитнойиндукции на
осидекартовой системы координат,ось y у которойсовмещена смагнитной осьюфазы А, можнозаписать
 ; | (3) |
 . | (4) |
Приведенныесоотношенияучитываютпространственноерасположениекатушек, но онитакже питаютсятрехфазнойсистемой токовс временнымсдвигом по фазена 1200. Поэтомудля мгновенныхзначений индукцийкатушек имеютместо соотношения
; 
; 
.Подставивэти выраженияв (3) и (4), получим:
 ; | (5) |
|
 | (6) |
Всоответствиис (5) и (6) и рис. 2,в длямодуля векторамагнитнойиндукциирезультирующегополя трех катушекс током можнозаписать:
,асам вектор
составляетс осью х уголa, для которого 
,откуда
.Такимобразом, и вданном случаеимеет местонеизменныйпо модулю вектормагнитнойиндукции, вращающийсяв пространствес постояннойугловой частотой
,что соответствуеткруговому полю.Магнитноеполе в электрическоймашине
Сцелью усиленияи концентрациимагнитногополя в электрическоймашине для негосоздаетсямагнитная цепь.Электрическаямашина состоитиз двух основныхчастей (см. рис. 4): неподвижногостатора ивращающегосяротора, выполненныхсоответственнов виде пологои сплошногоцилиндров.
Настаторе расположенытри одинаковыеобмотки, магнитныеоси которыхсдвинуты порасточкемагнитопроводана 2/3 полюсногоделения
,величина которогоопределяетсявыражением 
,где
-радиус расточкимагнитопровода, а р – число парполюсов (числоэквивалентныхвращающихсяпостоянныхмагнитов, создающихмагнитное поле,- в представленномна рис. 4 случаер=1).Нарис. 4 сплошнымилиниями (А, В иС) отмеченыположительныенаправленияпульсирующихмагнитных полейвдоль осейобмоток А, В иС.
Принявмагнитнуюпроницаемостьстали бесконечнобольшой, построимкривую распределениямагнитнойиндукции ввоздушномзазоре машины,создаваемойобмоткой фазыА, для некоторогомомента времениt (рис. 5). При построенииучтем, что криваяизменяетсяскачком в местахрасположениякатушечныхсторон, а научастках, лишенныхтока, имеютместо горизонтальныеучастки.
З
аменимданную кривуюсинусоидой(следует указать,что у реальныхмашин за счетсоответствующегоисполненияфазных обмотокдля результирующегополя такаязамена связанас весьма малымипогрешностями).Приняв амплитудуэтой синусоидыдля выбранногомомента времениt равной ВА, запишем  | (7) |
ианалогично
 ; | (8) |
 . | (9) |
Сучетом гармоническиизменяющихсяфазных токовдля мгновенныхзначений этихвеличин присделанном ранеедопущении олинейностизависимостииндукции оттока можнозаписать
.Подставивпоследниесоотношенияв (7)…(9), получим
 ; | (10) |
 ; | (11) |
 . | (12) |
Просуммировавсоотношения(10)…(12), с учетомтого, что суммапоследнихчленов в ихправых частяхтождественноравна нулю,получим длярезультирующегополя вдольвоздушногозазора машинывыражение
, представляющеесобой уравнениебегущей волны.
Магнитнаяиндукция
постоянна,если 
.Таким образом,если мысленновыбрать в воздушномзазоре некоторуюточку и перемещатьее вдоль расточкимагнитопроводасо скоростью 
,томагнитнаяиндукция дляэтой точкибудет оставатьсянеизменной.Это означает,что с течениемвремени криваяраспределениямагнитнойиндукции, неменяя своейформы, перемещаетсявдоль окружностистатора. Следовательно,результирующеемагнитное полевращается спостояннойскоростью. Этускорость принятоопределятьв оборотах вминуту:
.Принципдействия асинхронногои синхронногодвигателей
Устройствоасинхронногодвигателясоответствуетизображениюна рис. 4. Вращающеесямагнитное поле,создаваемоерасположеннымина статореобмотками стоком, взаимодействуетс токами ротора,приводя егово вращение.Наибольшеераспространениев настоящеевремя получиласинхронныйдвигатель скороткозамкнутымротором ввидусвоей простотыи надежности.В пазах роторатакой машиныразмещенытоконесущиемедные илиалюминиевыестержни. Концывсех стержнейс обоих торцовротора соединены медными илиалюминиевымиже кольцами,которые замыкаютстержни накоротко.Отсюда и произошлотакое названиеротора.
Вкороткозамкнутойобмотке роторапод действиемЭДС, вызываемойвращающимсяполем статора,возникаютвихревые токи.Взаимодействуяс полем, онивовлекают роторво вращениесо скоростью
,принципиальноменьшей скоростивращения поля 0.Отсюда названиедвигателя -асинхронный.Величина
называетсяотносительнымскольжением.Для двигателейнормальногоисполненияS=0,02…0,07. Неравенствоскоростеймагнитногополя и роторастановитсяочевидным, еслиучесть, что при
вращающеесямагнитное полене будет пересекатьтокопроводящихстержней ротораи, следовательно,в них не будутнаводитьсятоки, участвующиев созданиивращающегосямомента.Принципиальноеотличие синхронногодвигателя отасинхронногозаключаетсяв исполненииротора. Последнийу синхронногодвигателяпредставляетсобой магнит,выполненный(при относительнонебольшихмощностях) набазе постоянногомагнита илина основеэлектромагнита.Посколькуразноименныеполюсы магнитовпритягиваются,то вращающеесямагнитное полестатора, котороеможно интерпретироватькак вращающийсямагнит, увлекаетза собой магнитныйротор, причемих скоростиравны. Это объясняетназвание двигателя– синхронный.
Взаключениеотметим, чтов отличие отасинхронногодвигателя,
укоторого обычноне превышает0,8…0,85, у синхронногодвигателя можнодобиться большегозначения исделать дажетак, что токбудет опережатьнапряжениепо фазе. В этомслучае, подобноконденсаторнымбатареям, синхроннаямашина используетсядля повышениякоэффициентамощности.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
Какое поленазываетсяпульсирующим?
Какоеполе называетсявращающимсякруговым?
Какиеусловия необходимыдля созданиякруговоговращающегосямагнитногополя?
Какойпринцип действияу асинхронногодвигателя скороткозамкнутымротором?
Какойпринцип действияу синхронногодвигателя?
Накакие синхронныескорости выпускаютсяв нашей странедвигателипеременноготока общепромышленногоисполнения?
ЛекцияN 22
Линейныеэлектрическиецепи при несинусоидальных
периодическихтоках
Предыдущиелекции былипосвященыанализу электрическихцепей присинусоидальныхтоках и напряжениях.На практикеЭДС и токи вбольшей илименьшей степениявляютсянесинусоидальными.Это связанос тем, что реальныегенераторыне обеспечивают,строго говоря,синусоидальнойформы кривыхнапряжения,а с другой стороны,наличие нелинейныхэлементов вцепи обусловливаетискажение формытоков даже присинусоидальныхЭДС источников.
Напрактике кнесинусоидальностинапряженийи токов следуетподходитьдвояко:
в силовойэлектроэнергетикенесинусоидальныетоки обусловливаютв общем случаедополнительныепотери мощности,пульсациимомента навалу двигателей,вызывают помехив линиях связи;поэтому здесьнеобходимо«всеми силами»поддержаниесинусоидальныхрежимов;
вцепях автоматикии связи, гденесинусоидальныетоки и напряжениялежат в основепринципа действияэлектротехническихустройств,задача наоборотзаключаетсяв их усилениии передаче снаименьшимиискажениями.
Вобщем случаехарактер изменениявеличин можетбыть периодическим,почти периодическими непериодическим.В данном разделебудут рассматриватьсяцепи толькос периодическимипеременными.
Периодическиминесинусоидальнымивеличинаминазываютсяпеременные,изменяющиесяво времени попериодическомунесинусоидальномузакону. Причинывозникновениянесинусоидальныхнапряженийи токов могутбыть обусловленыили несинусоидальностьюисточникапитания или(и) наличием вцепи хотя быодного нелинейногоэлемента. Крометого, в основепоявлениянесинусоидальныхтоков могутлежать элементыс периодическиизменяющимисяпараметрами.
Вкачестве примерана рис. 1,а представленацепь с нелинейнымрезистором(НР), нелинейнаявольт-ампернаяхарактеристика(ВАХ) которогообусловливаетнесинусоидальнуюформу тока i вцепи при синусоидальномнапряженииu на ее входе(см. рис. 1,б).
Характеристикинесинусоидальныхвеличин
Дляхарактеристикинесинусоидальныхпериодическихпеременныхслужат следующиевеличины икоэффициенты(приведены напримере периодическоготока):
-
Максимальноезначение -
. -
Действующеезначение -
. -
Среднеепо модулю значение-
. -
Среднееза период значение(постояннаясоставляющая)-
. -
Коэффициентамплитуды(отношениемаксимальногозначения кдействующему)-
. -
Коэффициентформы (отношениедействующегозначения ксреднему помодулю) -
. -
Коэффициентискажений(отношениедействующегозначения первойгармоники кдействующемузначению переменной)-
. -
Коэффициентгармоник (отношениедействующегозначения высшихгармоническихк действующемузначению первойгармоники) -
.
Разложениепериодическихнесинусоидальных
кривых в рядФурье
Изматематикиизвестно, чтовсякая периодическаяфункция
,где Т – период,удовлетворяющаяусловиям Дирихле,может бытьразложена втригонометрическийряд. Можно отметить,что функции,рассматриваемыев электротехнике,этим условиямудовлетворяют,в связи с чемпроверку наих выполнениепроводить ненужно.Приразложениив ряд Фурьефункция представляетсяследующимобразом:
|
 . | (1) |
Здесь
-постояннаясоставляющаяили нулеваягармоника; 
-первая (основная)гармоника,изменяющаясяс угловой частотой 
,где Т – периоднесинусоидальнойпериодическойфункции.Ввыражении (1)
,где коэффициенты 
и 
определяютсяпо формулам 
; 
.Свойствапериодическихкривых, обладающихсимметрией
Коэффициентыряда Фурье длястандартныхфункций могутбыть взяты изсправочнойлитературыили в общемслучае рассчитаныпо приведеннымвыше формулам.Однако в случаекривых, обладающихсимметрией,задача существенноупрощается,поскольку изих разложениявыпадают целыеспектры гармоник.Знание свойствтаких кривыхпозволяетсущественносэкономитьвремя и ресурсыпри вычислениях.
-
К
ривые,симметричныеотносительнооси абсцисс.
К данномутипу относятсякривые, удовлетворяющиеравенству
(см.пример на рис.2). В их разложенииотсутствуютпостояннаясоставляющаяи четные гармоники,т.е. 
.-
К
ривые,симметричныеотносительнооси ординат.
К данномутипу относятсякривые, длякоторых выполняетсяравенство
(см.пример на рис.3). В их разложенииотсутствуютсинусныесоставляющие,т.е. 
.-
К
ривые,симметричныеотносительноначала координат.
К этомутипу относятсякривые, удовлетворяющиеравенству
(см.пример на рис.4). При разложениитаких кривыхотсутствуютпостояннаяи косинусныесоставляющие,т.е. 
.Действующеезначениепериодическойнесинусоидальнойпеременной
Какбыло показановыше, действующимназываетсясреднеквадратичноеза период значениевеличины:
.Приналичии аналитическоговыраженияфункции i(t) ивозможностивзятия интегралаот ее квадратадействующеезначение i(t)определяетсяточно. Однаков общем случаена практикедействующеезначение переменнойопределяетсяна основе информациио действующихзначенияхконечного рядагармонических.
Пусть
.Тогда 
Очевидно,что каждый изинтеграловот тригонометрическихфункций в последнемвыражении равеннулю. Такимобразом,
или
.Аналогичныевыражения имеютместо для ЭДС,напряженияи т.д.
Мощностьв цепях периодическогонесинусоидальноготока
Пусть
и 
.Тогдадля активноймощности можнозаписать
.Какбыло показанопри выводесоотношениядля действующегозначениянесинусоидальнойпеременной,среднее запериод значениепроизведениясинусоидальныхфункций различнойчастоты равнонулю. Следовательно,
,где
.Такимобразом, активнаямощностьнесинусоидальноготока равнасумме активныхмощностейотдельныхгармонических:
.Аналогичнодля реактивноймощности можнозаписать
.Полнаямощность
,гдеТ – мощностьискажений,определяемаяпроизведениямидействующихзначенийразнопорядковыхгармоническихтока и напряжения.
Методикарасчета линейныхцепей припериодических
несинусоидальныхтоках
В
озможностьразложенияпериодическихнесинусоидальныхфункций в рядФурье позволяетсвести расчетлинейной цепипри воздействиина нее несинусоидальныхЭДС (или токов)источниковк расчету цепейс постояннымии синусоидальнымитоками в отдельностидля каждойгармоники.Мгновенныезначения искомыхтоков и напряженийопределяютсяна основе принципаналожения путемсуммированиянайденных прирасчете гармоническихсоставляющихнапряженийи токов. В соответствиис вышесказаннымцепь на рис. 5при воздействиина нее ЭДС 
(прирасчете спектррассматриваемыхгармоникограничивается)в расчетномплане представляетсясуммой цепейна рис. 6.
Здесь
.Тогда,например, длятока в ветвис источникомЭДС, имеем
,гдекаждая к-я гармоникатока рассчитываетсясимволическимметодом посвоей к-й расчетнойсхеме. При этом(поверхностныйэффект неучитывается)для всех гармоникпараметры
иС постоянны. 
; 
.Необходимопомнить, чтоввиду различиячастот суммироватькомплексыразличныхгармоник недопустимо.
Такимобразом, методикарасчета линейныхцепей принесинусоидальныхтоках сводитсяк следующему:
ЭДС и токиисточниковраскладываютсяв ряды Фурье.
Осуществляетсярасчет цепив отдельностидля каждойгармонической.
Искомыевеличиныопределяютсякак алгебраическиесуммы соответствующихгармонических.
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
Что являетсяпричиной появлениянесинусоидальныхтоков и напряженийв электрическихцепях?
Какиевеличины икоэффициентыхарактеризуютпериодическиенесинусоидальныепеременные?
Какиегармоническиеотсутствуютв спектрахкривых, симметричныхотносительно:1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системыкоординат?
Достаточноли для определениявеличины полноймощности вцепи несинусоидальноготока наличиеинформацииоб активнойи реактивноймощностях?
Длякаких цепейсправедливаметодика расчетацепей несинусоидальноготока, основаннаяна разложенииЭДС и токовисточниковв ряды Фурье?
Неприбегая кразложениюв ряд Фурье,определитькоэффициентыамплитуды иформы кривойна рис. 4.
Ответ:
.-
Определитьдействующеезначение напряженияна зажимахветви с последовательнымсоединениемрезистора с
икатушки индуктивностис 
,если ток в ней 
.Рассчитатьактивную мощностьв ветви.
Ответ:U=218 В; Р=1260 Вт.
-
Определитьдействующеезначение токав ветви с источникомЭДС в схемена рис. 5, если
; 
.
Ответ:I=5,5 A.
ЛекцияN 23
Резонансныеявления в цепяхнесинусоидальноготока
Вцепях несинусоидальноготока резонансныережимы возможныдля различныхгармоническихсоставляющих.Как и при синусоидальныхтоках, резонансна к-й гармоникесоответствуетрежиму работы,при которомк-е гармоникинапряженияи тока на входецепи совпадаютпо фазе, иначеговоря входноесопротивление(входная проводимость)цепи для к-йгармоникивещественно.
Пустьимеет местоцепь на рис.1,а, питающаясяот источниканесинусоидальнойЭДС, в которойемкость конденсатораможет плавноизменятьсяот нуля добесконечности.
Дляк-й гармоникитока можнозаписать
,где
-действующеезначение к-йгармоники ЭДС.Такимобразом, приизменении Свеличина к-йгармоники токабудет изменятьсяот нуля при С=0до
при 
,достигая максимума 
прирезонансе (см.рис. 1,б), определяемомвеличинойемкости 
.Следуетотметить, что,несмотря нато, что обычнос ростом порядкагармоническойЭДС ее амплитудауменьшается,в режиме резонансадля к-й гармоническойее значение
можетпревышатьвеличину первойгармоники тока.Резонансныеявления используютсядля выделениягармоник однихчастот и подавлениядругих. Пусть,например, вцепи на рис. 2необходимоусилить q-ю гармоникутока на нагрузкеи подавить р-ю.
Д
ляподавленияр-й гармоникив режим резонансатоков настраиваетсяконтур 
: 
.Длявыделения q-йгармоники всяцепь для неенастраиваетсяв режим резонансанапряжений:
,откудапри известных
и 
.Отметим,что рассмотренныеявления лежатв основе работыL-C -фильтров.
Особенностипротеканиянесинусоидальныхтоков
черезпассивныеэлементы цепи
1
.Резистор.При
токчерез резистор(см. рис. 3) 
,где
.Такимобразом, нарезистивномэлементенесинусоидальныенапряжениеи ток совпадаютпо форме и подобныдруг другу. Этопозволяет напрактикеосциллографироватьформу тока спомощью регистрациинапряженияна шунте.
2.Конденсатор.
П
устьнапряжениена конденсаторе(рис. 4) описываетсягармоническимрядом .Коэффициентискажениякривой напряжения
 . | (1) |
Токчерез конденсатор
.Тогдасоответствующийкривой токакоэффициентискажения
 . | (2) |
Сравнение(1) и (2) показывает,что
,т.е. конденсаторискажает формукривой токапо сравнениюс напряжением,являясь сглаживающимэлементом дляпоследнего.
Отмеченноенаглядно иллюстрируетрис. 5, на которомформа кривойнапряженияближе к синусоиде,чем форма кривойтока.
3.Катушка индуктивности.
П
ринимаяво вниманиесоотношениемежду напряжениеми током длякатушки индуктивности(рис. 6) 
совершенноаналогичноможно показать,что в случаеиндуктивногоэлемента
,т.е. криваянапряженияискажена больше,чем криваятока. Этомуслучаю будетсоответствоватьрис. 5 при взаимнойзамене на немкривых напряженияи тока. Такимобразом, катушкаиндуктивностиявляется сглаживающимэлементом длятока.Сучетом вышесказанногона практике,например всиловой полупроводниковойтехнике, длясглаживаниявыпрямленногонапряженияприменяютконденсаторныефильтры, а длятока – дроссели.
Высшиегармоники втрехфазныхцепях
Напряжениятрехфазныхисточниковэнергии частобывают существеннонесинусоидальными(строго говоря,они несинусоидальнывсегда). Приэтом напряженияна фазах В и Сповторяютнесинусоидальнуюкривую
напряженияна фазе А сосдвигом натреть периодаТ основнойгармоники: 
.Пустьдля фазы А к-ягармониканапряжения
.Тогдас учетом, что
,для к-х гармоническихнапряженийфаз В и С соответственноможно записать: 
Всюсовокупностьгармоник к от0 до
можнораспределитьпо трем группам:1.
-гармоникиданной группыобразуют симметричныесистемы напряжений,последовательностькоторых соответствуетпоследовательностифаз первойгармоники, т.е.они образуютсимметричныесистемы напряженийпрямой последовательности.Действительно,
и
.2.
.Для этих гармоникимеют местосоотношения: 
т.е.гармоникиданной группыобразуют симметричныесистемы напряженийобратнойпоследовательности.
3.
.Для этих гармониксправедливо 
Такимобразом, векторынапряженийданной группыво всех фазахв любой моментвремени имеютодинаковыемодули и направления,т.е. эти гармоникиобразуют системынулевой последовательности.
Рассмотримособенностиработы трехфазныхсистем, обусловленныеналичием гармоник,кратных трем.
1
.Если фазы генераторасоединены втреугольник,то при несинусоидальныхфазных ЭДСсумма ЭДС,действующихв контуре (см.рис. 7) не равнанулю, а определяетсягармониками,кратными трем.Эти гармоникивызывают взамкнутомтреугольникегенератораток, даже когдаего внешняяцепь разомкнута: 
,где
,а 
-сопротивлениефазы генераторадля i-й гармоники,кратной трем.2.Если фазы генераторасоединить воткрытый треугольник(см. рис. 8), то назажимах 1-2 будетиметь местонапряжение,определяемоесуммой ЭДСгармоник, кратныхтрем:
.Такимобразом, показаниевольтметрав цепи на рис.8
.3.Независимоот способасоединения– в звезду илив треугольник– линейныенапряженияне содержатгармоник, кратныхтрем.
Присоединениив звезду этообъясняетсятем, что гармоники,кратные трем,как указывалось,образуют нулевуюпоследовательность,ввиду чегоисчезают излинейных напряжений,равных разностифазных.
Присоединениив треугольниксоставляющиефазных ЭДС,кратные трем,не выявляютсяв линейных(фазных) напряжениях,так как компенсируютсяпаденияминапряженийна собственныхсопротивленияхфаз генератора.
Такимобразом, присоединениив треугольникнапряжениегенератора
иток
.Всвою очередьпри соединениив звезду
.4.При симметричнойнагрузке токв нейтральномпроводе определяетсягармоническими,кратными трем,поскольку ониобразуют нулевуюпоследовательность:
.5.При соединениив звезду и отсутствиинейтральногопровода фазныетоки нагрузкине содержатгармоник, кратныхтрем (в соответствиис первым закономКирхгофа сумматоков равнанулю, что невозможнопри наличииэтих гармоник).Соответственнонет этих гармоники в фазныхнапряженияхнагрузки, связанныхс токами закономОма. Таким образом,при наличиигармоник, кратныхтрем, в фазныхнапряженияхгенераторанапряжениесмещения нейтралив симметричномрежиме определяетсяэтими гармониками
.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
Какой характер:монотонныйили колебательный– будет иметьзависимостьдействующегозначения токаот величиныиндуктивностив цепи на рис.1 при ее измененииот нуля добесконечности?
Почемуна практикесигнал, пропорциональныйтоку, получаютс использованиемрезистивныхшунтов?
Какиегармоники ипочему определяютхарактерныеособенностирежимов работытрехфазныхцепей?
Какиегармоникиотсутствуютв линейныхнапряженияхи токах?
Почемупри несинусоидальныхисточникахпитания, соединенныхв треугольник,действующеезначение фазнойЭДС может бытьбольше действующегозначения фазногонапряжения?
Присоединениитрехфазногогенератораи симметричнойнагрузки посхеме «звезда-звезда»без нейтральногопровода фазнаяЭДС источникаопределяетсявыражением
Определитьдействующиезначения линейногонапряжения,фазных напряженийгенератораи приемника,а также напряжениесмещения нейтрали.
Ответ:
.В предыдущейзадаче нейтральныеточки генератораи приемникасоединеныпроводом снулевым сопротивлением.
Определитьток в нейтральномпроводе, еслисопротивлениефазы нагрузки R=10 Ом.
Ответ:
.-
При соединениитрехфазногогенератораи симметричнойнагрузки посхеме «треугольник-треугольник»фазная ЭДСисточникасодержит первуюи третью гармоникис амплитудами
.Сопротивлениенагрузки дляпервой гармоники 
Определитьдействующеезначение линейноготока.
Ответ:
.ЛекцияN 24
Переходныепроцессы влинейныхэлектрическихцепях
с сосредоточеннымипараметрами
Привсех измененияхв электрическойцепи: включении,выключении,коротком замыкании,колебанияхвеличины какого-либопараметра ит.п. – в ней возникаютпереходныепроцессы, которыене могут протекатьмгновенно, таккак невозможномгновенноеизменениеэнергии, запасеннойв электромагнитномполе цепи. Такимобразом, переходныйпроцесс обусловленнесоответствиемвеличины запасеннойэнергии в магнитномполе катушкии электрическомполе конденсатораее значениюдля новогосостояния цепи.
Припереходныхпроцессах могутвозникатьбольшие перенапряжения,сверхтоки,электромагнитныеколебания,которые могутнарушить работуустройствавплоть до выходаего из строя.С другой стороны,переходныепроцессы находятполезное практическоеприменение,например, вразличногорода электронныхгенераторах.Все это обусловливаетнеобходимостьизучения методованализа нестационарныхрежимов работыцепи.
Основныеметоды анализапереходныхпроцессов влинейных цепях:
Классическийметод, заключающийсяв непосредственноминтегрированиидифференциальныхуравнений,описывающихэлектромагнитноесостояниецепи.
Операторныйметод, заключающийсяв решении системыалгебраическихуравненийотносительноизображенийискомых переменныхс последующимпереходом отнайденныхизображенийк оригиналам.
Частотныйметод, основанныйна преобразованииФурье и находящийширокое применениепри решениизадач синтеза.
Методрасчета с помощьюинтегралаДюамеля, используемыйпри сложнойформе кривойвозмущающеговоздействия.
Методпеременныхсостояния,представляющийсобой упорядоченныйспособ определенияэлектромагнитногосостояния цепина основе решениясистемы дифференциальныхуравненийпервого прядка,записанныхв нормальнойформе (формеКоши).
Классическийметод расчета
Классическийметод расчетапереходныхпроцессовзаключаетсяв непосредственноминтегрированиидифференциальныхуравнений,описывающихизменения токови напряженийна участкахцепи в переходномпроцессе.
Вобщем случаепри использованииклассическогометода расчетасоставляютсяуравненияэлектромагнитногосостояния цепипо законам Омаи Кирхгофа длямгновенныхзначений напряженийи токов, связанныхмежду собойна отдельных элементах цеписоотношениями,приведеннымив табл. 1.
Таблица1. Связь мгновенныхзначений напряженийи токов на элементах
электрическойцепи
Резистор(идеальноеактивноесопротивление) | Катушкаиндуктивности(идеальнаяиндуктивность) | Конденсатор (идеальнаяемкость) |
|
 |
 ;приналичии магнитнойсвязи с катушкой,обтекаемойтоком  ,
 |
 ;
 |
Д
ляпоследовательнойцепи, содержащейлинейные резисторR, катушку индуктивностиL и конденсаторС, при ее подключениик источникус напряжениемu (см. рис. 1) можнозаписать  . | (1) |
Подставивв (1) значениетока черезконденсатор
,получимлинейноедифференциальноеуравнениевторого порядкаотносительно
.Вобщем случаеуравнение,описывающеепереходныйпроцесс в цепис n независимыминакопителямиэнергии, имеетвид:
 , | (2) |
гдех – искомаяфункция времени(напряжение,ток, потокосцеплениеи т.п.);
-известноевозмущающеевоздействие(напряжениеи (или) ток источникаэлектрическойэнергии); -к-й постоянныйкоэффициент,определяемыйпараметрамицепи.Порядокданного уравненияравен числунезависимыхнакопителейэнергии в цепи,под которымипонимаютсякатушки индуктивностии конденсаторыв упрощеннойсхеме, получаемойиз исходнойпутем объединенияиндуктивностейи соответственноемкостей элементов,соединениямежду которымиявляютсяпоследовательнымиили параллельными.
Вобщем случаепорядок дифференциальногоуравненияопределяетсясоотношением
 , | (3) |
где
и 
-соответственночисло катушекиндуктивностии конденсаторовпосле указанногоупрощенияисходной схемы; 
-число узлов,в которых сходятсятолько ветви,содержащиекатушки индуктивности(в соответствиис первым закономКирхгофа токчерез любуюкатушку индуктивностив этом случаеопределяетсятоками черезостальныекатушки); 
-число контуровсхемы, ветвикоторых содержаттолько конденсаторы(в соответствиисо вторым закономКирхгофа напряжениена любом изконденсаторовв этом случаеопределяетсянапряжениямина других). Наличиеиндуктивныхсвязей на порядокдифференциальногоуравнения невлияет.
Какизвестно изматематики,общее решениеуравнения (2)представляетсобой суммучастного решенияисходногонеоднородногоуравнения иобщего решенияоднородногоуравнения,получаемогоиз исходногопутем приравниванияего левой частик нулю. Посколькус математическойстороны ненакладываетсякаких-либоограниченийна выбор частногорешения (2), применительнок электротехникев качествепоследнегоудобно принятьрешение
,соответствующееискомой переменнойх в установившемсяпослекоммутационномрежиме (теоретическидля 
).Частноерешение
уравнения(2) определяетсявидом функции ,стоящей в егоправой части,и поэтому называетсяпринужденнойсоставляющей.Для цепей сзаданнымипостояннымиили периодическиминапряжениями(токами) источниковпринужденнаясоставляющаяопределяетсяпутем расчетастационарногорежима работысхемы послекоммутациилюбым из рассмотренныхранее методоврасчета линейныхэлектрическихцепей.Втораясоставляющая
общегорешения х уравнения(2) – решение (2) снулевой правойчастью – соответствуетрежиму, когдавнешние (принуждающие)силы (источникиэнергии) нацепь непосредственноне воздействуют.Влияние источниковпроявляетсяздесь апосредованночерез энергию,запасеннуюв полях катушекиндуктивностии конденсаторов.Данный режимработы схемыназываетсясвободным, апеременная 
-свободнойсоставляющей.Всоответствиис вышесказанным,. общеерешение уравнения(2) имеет вид
 | (4) |
Соотношение(4) показывает,что при классическомметоде расчетапослекоммутационныйпроцесс рассматриваетсякак наложениедруг на другадвух режимов– принужденного,наступающегокак бы сразупосле коммутации,и свободного,имеющего местотолько в течениепереходногопроцесса.
Необходимоподчеркнуть,что, посколькупринцип наложениясправедливтолько длялинейных систем,метод решения,основанныйна указанномразложенииискомой переменнойх, справедливтолько длялинейных цепей.
Начальныеусловия. Законыкоммутации
Всоответствиис определениемсвободнойсоставляющей
вее выраженииимеют местопостоянныеинтегрирования 
,число которыхравно порядкудифференциальногоуравнения.Постоянныеинтегрированиянаходятся изначальныхусловий, которыепринято делитьна независимыеи зависимые.К независимымначальнымусловиям относятсяпотокосцепление(ток) для катушкииндуктивностии заряд (напряжение)на конденсаторев момент времени 
(моменткоммутации).Независимыеначальныеусловия определяютсяна основаниизаконов коммутации(см. табл. 2).Таблица2. Законы коммутации
Названиезакона | Формулировказакона |
Первыйзакон коммутации(закон сохраненияпотокосцепления) | Магнитныйпоток, сцепленныйс катушкамииндуктивностиконтура, в моменткоммутациисохраняет тозначение, котороеимел до коммутации,и начинаетизменятьсяименно с этогозначения:  . |
Второйзакон коммутации(закон сохранениязаряда) | Электрическийзаряд на конденсаторах,присоединенныхк любому узлу,в момент коммутациисохраняет тозначение, котороеимел до коммутации,и начинаетизменятьсяименно с этогозначения:  . |
Доказатьзаконы коммутацииможно от противного:если допуститьобратное, тополучаютсябесконечнобольшие значения
и 
,что приводитк нарушениюзаконов Кирхгофа.Напрактике, заисключениемособых случаев(некорректныекоммутации),допустимоиспользованиеуказанныхзаконов в другойформулировке,а именно:
первыйзакон коммутации– в ветви с катушкой индуктивности ток в момент
коммутациисохраняет своедокоммутационноезначение и вдальнейшемначинает изменятьсяс него:
.второйзакон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент
коммутациисохраняет своедокоммутационноезначение и вдальнейшемначинает изменятьсяс него:
.Необходимоподчеркнуть,что более общейформулировкойзаконов коммутацииявляется положениео невозможностискачкообразногоизменения вмомент коммутациидля схем с катушкойиндуктивности– потокосцеплений,а для схем сконденсаторами– зарядов наних. В качествеиллюстрациисказанномумогут служитьсхемы на рис.2, переходныепроцессы вкоторых относятсяк так называемымнекорректнымкоммутациям(названиепроизошло отпренебреженияв подобныхсхемах малымипараметрами,корректныйучет которыхможет привестик существенномуусложнениюзадачи).
Действительно,при переводев схеме на рис.2,а ключа изположения 1 вположение 2трактованиевторого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит кневыполнениювторого законаКирхгофа
.Аналогичнопри размыканииключа в схемена рис. 2,б трактованиепервого законакоммутациикак невозможностьскачкообразногоизменения токачерез катушкуиндуктивностиприводит кневыполнениюпервого законаКирхгофа 
.Для данныхсхем, исходяиз сохранениязаряда и соответственнопотокосцепления,можно записать: 
Зависимыминачальнымиусловияминазываютсязначения остальныхтоков и напряжений,а также производныхот искомойфункции в моменткоммутации,определяемыепо независимымначальнымусловиям припомощи уравнений,составляемыхпо законамКирхгофа для
.Необходимоечисло начальныхусловий равночислу постоянныхинтегрирования.Посколькууравнение вида(2) рациональнозаписыватьдля переменной,начальноезначение которойотносится кнезависимымначальнымусловиям, задачанахожденияначальныхусловий обычносводится кнахождениюзначений этойпеременнойи ее производныхдо (n-1) порядкавключительнопри .П 
ример.Определитьтоки и производные
и 
вмомент коммутациив схеме на рис.3, если до коммутацииконденсаторбыл не заряжен.Всоответствиис законамикоммутации
и 
.Наоснованиивторого законаКирхгофа длямомента коммутацииимеет место
,откуда
и
.Дляизвестныхзначений
и 
изуравнения 
определяется
.Значениепроизводнойот напряженияна конденсаторев момент коммутации(см. табл. 1)
.Корнихарактеристическогоуравнения.Постояннаявремени
Выражениесвободнойсоставляющей
общегорешения хдифференциальногоуравнения (2)определяетсявидом корнейхарактеристическогоуравнения (см.табл. 3).Таблица3. Выражениясвободныхсоставляющихобщего решения
Видкорней характеристическогоуравнения | Выражениесвободнойсоставляющей |
| Корни  вещественныеи различные |
 |
| Корни вещественныеи  |
 |
| Парыкомплексно-сопряженныхкорней  |  |
Необходимопомнить, что,поскольку влинейной цепис течениемвремени свободнаясоставляющаязатухает,вещественныечасти корнейхарактеристическогоуравнения немогут бытьположительными.
Привещественныхкорнях
монотоннозатухает, иимеет местоапериодическийпереходныйпроцесс. Наличиепары комплексносопряженныхкорней обусловливаетпоявлениезатухающихсинусоидальныхколебаний(колебательныйпереходныйпроцесс).Посколькуфизическиколебательныйпроцесс связанс периодическимобменом энергиеймежду магнитнымполем катушкииндуктивностии электрическимполем конденсатора,комплексно-сопряженныекорни могутиметь местотолько дляцепей, содержащихоба типа накопителей.Быстроту затуханияколебанийпринято характеризоватьотношением
,котороеназываетсядекрементомколебания, илинатуральнымлогарифмомэтого отношения
,называемымлогарифмическимдекрементомколебания,где
.Важнойхарактеристикойпри исследованиипереходныхпроцессовявляется постояннаявремени t, определяемаядля цепей первогопорядка, как:
,гдер – кореньхарактеристическогоуравнения.
Постояннуювремени можноинтерпретироватькак временнойинтервал, втечение которогосвободнаясоставляющаяуменьшитсяв е раз по сравнениюсо своим начальнымзначением.Теоретическипереходныйпроцесс длитсябесконечнодолго. Однакона практикесчитается, чтоон заканчиваетсяпри
.
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
Чем обусловленыпереходныепроцессы?
Какопределяетсяпорядок дифференциальногоуравнения,описывающегопереходныйпроцесс?
Длякаких цепейприменимклассическийметод расчетапереходныхпроцессов?
-
Доказатьзаконы коммутации:
и 
-с энергетическихпозиций. Вкаких цепяхи почему возможенколебательныйпроцесс?
-
Определитьвеличину токов
инапряжений 
наконденсатореи 
накатушке индуктивности в момент коммутациив цепи на рис.4, если 
.
 | Ответ:   ;  . |
ЛекцияN 25
Способысоставленияхарактеристическогоуравнения
Характеристическоеуравнениесоставляетсядля цепи послекоммутации.Оно может бытьполучено следующимиспособами:
непосредственнона основедифференциальногоуравнения вида(2) (см. лекцию№24), т.е. путемисключенияиз системыуравнений,описывающихэлектромагнитноесостояние цепина основаниипервого и второгозаконов Кирхгофа,всех неизвестныхвеличин, кромеодной, относительнокоторой изаписываетсяуравнение (2);
путемиспользованиявыражения длявходногосопротивленияцепи на синусоидальномтоке;
наоснове выраженияглавногоопределителя.
Согласнопервому способув предыдущейлекции былополученодифференциальноеуравнениеотносительнонапряжения
наконденсаторедля последовательнойR-L-C-цепи, на базекоторого записываетсяхарактеристическоеуравнение.Следуетотметить, что,посколькулинейная цепьохвачена единымпереходнымпроцессом,корни характеристическогоуравненияявляются общимидля всех свободныхсоставляющихнапряженийи токов ветвейсхемы, параметрыкоторых входятв характеристическоеуравнение.Поэтому попервому способусоставленияхарактеристическогоуравнения вкачестве переменной,относительнокоторой онозаписывается,может бытьвыбрана любая.
П
рименениевторого и третьегоспособов составленияхарактеристическогоуравнениярассмотримна примере цепирис. 1.Составлениехарактеристическогоуравнения пометоду входногосопротивлениязаключаетсяв следующем:
записываетсявходное сопротивлениецепи на переменномтоке;
jwзаменяетсяна операторр;
полученноевыражение
приравниваетсяк нулю.Уравнение
совпадаетс характеристическим.
Следуетподчеркнуть,что входноесопротивлениеможет бытьзаписано относительноместа разрывалюбой ветвисхемы. При этомактивный двухполюсникзаменяетсяпассивным поаналогии сметодом эквивалентногогенератора.Данный способсоставленияхарактеристическогоуравненияпредполагаетотсутствиев схеме магнитосвязанныхветвей; приналичии таковыхнеобходимоосуществитьих предварительноеразвязывание.
Дляцепи на рис. 1относительнозажимов источника
.Заменивjw на р и приравнявполученноевыражение кнулю, запишем
или
 . | (1) |
Присоставлениихарактеристическогоуравнения наоснове выраженияглавного определителячисло алгебраическихуравнений, набазе которыхон записывается,равно числунеизвестныхсвободныхсоставляющихтоков. Алгебраизацияисходной системыинтегро-дифференциальныхуравнений,составленных,например, наоснованиизаконов Кирхгофаили по методуконтурныхтоков, осуществляетсязаменой символовдифференцированияи интегрированиясоответственнона умножениеи деление наоператор р.Характеристическоеуравнениеполучаетсяпутем приравниваниязаписанногоопределителяк нулю. Посколькувыражение дляглавного определителяне зависит отправых частейсистемы неоднородныхуравнений, егосоставлениеможно производитьна основе системыуравнений,записанныхдля полныхтоков.
Дляцепи на рис. 1алгебраизованнаясистема уравненийна основе методаконтурных токовимеет вид
Отсюдавыражение дляглавного определителяэтой системы
.ПриравнявD к нулю, получимрезультат,аналогичный(1).
Общаяметодика расчетапереходныхпроцессовклассическимметодом
Вобщем случаеметодика расчетапереходныхпроцессовклассическимметодом включаетследующиеэтапы:
-
Запись выражениядля искомойпеременнойв виде
. (2) Нахождениепринужденнойсоставляющейобщего решенияна основаниирасчета установившегосярежима послекоммутационнойцепи.
Составлениехарактеристическогоуравнения иопределениеего корней(для цепей,описываемыхдифференциальнымиуравнениямипервого порядка,вместо корнейможно находитьпостояннуювремени t - см.лекцию №26). Записьвыражениясвободнойсоставляющейв форме, определяемойтипом найденныхкорней.
Подстановкаполученныхвыраженийпринужденнойи свободнойсоставляющихв соотношение(2).
Определениеначальныхусловий и наих основе –постоянныхинтегрирования.
Примерырасчета переходныхпроцессовклассическимметодом
1.Переходныепроцессы в R-Lцепи при ееподключении
кисточникунапряжения
Т
акиепроцессы имеютместо, например,при подключениик источникупитания электромагнитов,трансформаторов,электрическихдвигателейи т.п.Рассмотримдва случая:
а)
б)
.Согласнорассмотреннойметодике длятока в цепи нарис. 2 можно записать
 . | (3) |
Тогдадля первогослучая принужденнаясоставляющаятока
 . | (4) |
Характеристическоеуравнение
,откуда
ипостояннаявремени 
.Такимобразом,
 . | (5) |
Подставляя(4) и (5) в соотношение(3), запишем
.Всоответствиис первым закономкоммутации
.Тогда 
,откуда
.Такимобразом, токв цепи в переходномпроцессе описываетсяуравнением
,а
напряжениена катушкеиндуктивности– выражением 
.Качественныйвид кривых
и 
,соответствующихполученнымрешениям, представленна рис. 3.Привтором типеисточникапринужденнаясоставляющаярассчитываетсяс использованиемсимволическогометода:
,где
.Отсюда
.Выражениесвободнойсоставляющейне зависит оттипа источниканапряжения.Следовательно,
.Поскольку
,то 
.Такимобразом, окончательнополучаем
 . | (6) |
Анализполученноговыражения (6)показывает:
-
При начальнойфазе напряжения
постояннаяинтегрированияА=0. Таким образом,в этом случаекоммутацияне повлечетза собой переходногопроцесса, и вцепи сразувозникнетустановившийсярежим. -
При
свободнаясоставляющаямаксимальнапо модулю. Вэтом случаеток переходногопроцесса достигаетсвоей наибольшейвеличины.
Если
значительнапо величине,то за полпериодасвободнаясоставляющаясущественноне уменьшается.В этом случаемаксимальнаявеличина токапереходногопроцесса можетсущественнопревышатьамплитуду тока установившегося режима. Каквидно из рис. 4, где 
,максимум токаимеет местопримерно через 
.В пределе при 
.Такимобразом, длялинейной цепимаксимальноезначение токапереходногорежима не можетпревышатьудвоеннойамплитудыпринужденноготока:
.Аналогичнодля линейнойцепи с конденсатором:если в моменткоммутациипринужденноенапряжениеравно своемуамплитудномузначению ипостояннаявремени
цепидостаточновелика, то примерночерез половинупериода напряжениена конденсаторедостигаетсвоего максимальногозначения 
,которое неможет превышатьудвоеннойамплитудыпринужденногонапряжения: 
.2.Переходныепроцессы приотключениикатушки индуктивности
отисточникапитания
П
риразмыканииключа в цепина рис. 5 принужденнаясоставляющаятока черезкатушку индуктивности 
.Характеристическоеуравнение
,откуда
и 
.Всоответствиис первым закономкоммутации
.Такимобразом, выражениедля тока в переходномрежиме
инапряжениена катушкеиндуктивности
 . | (7) |
Анализ(7) показывает,что при размыканиицепей, содержащихиндуктивныеэлементы, могутвозникатьбольшие перенапряжения,которые безпринятия специальныхмер могут вывестиаппаратуруиз строя. Действительно,при
модульнапряженияна катушкеиндуктивностив момент коммутациибудет во многораз превышатьнапряжениеисточника: 
.При отсутствиигасящего резистораR указанноенапряжениеприкладываетсяк размыкающимсяконтактамключа, в результатечего между нимивозникает дуга.3
.Заряд и разрядконденсатораПрипереводе ключав положение1 (см. рис. 6) начинаетсяпроцесс зарядаконденсатора:
.Принужденнаясоставляющаянапряженияна конденсаторе
.Изхарактеристическогоуравнения
определяетсякорень
.Отсюда постояннаявремени 
.Такимобразом,
.Приt=0 напряжениена конденсатореравно
(вобщем случаек моменту коммутацииконденсаторможет бытьзаряженным,т.е. 
).Тогда 
и 
.Соответственнодля зарядноготока можнозаписать
.Взависимостиот величины
:1 - ;2 - 
;3 - 
;4 - 
-возможны четыревида кривыхпереходногопроцесса, которыеиллюстрируетрис. 7. 
Приразряде конденсаторана резистор
(ключна рис.6 переводитсяв положение2) 
.Постояннаявремени 
.Тогда,принимая, чток моменту коммутацииконденсаторбыл заряжендо напряжения
(вчастном случае 
),для напряженияна нем в переходномрежиме можнозаписать 
.Соответственноразрядный ток
 . | (8) |
Каквидно из (8), воизбежаниезначительныхбросков разрядноготока величина
должнабыть достаточнобольшой.Взаключениеотметим, чтопроцессы зарядаи разрядаконденсатораиспользуютсяв генераторахпилообразногонапряжения,широко применяемыхв автоматике.Для этого ключв схеме на рис.6 заменяетсяна электронный.
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
-
Составитьхарактеристическоеуравнение дляцепи на рис.1, используявыражениевходногосопротивленияотносительноместа разрываветви с резистором
. Можетли в одной частилинейной цепипротекатьколебательныйпереходныйпроцесс, а вдругой – апериодический?
Длячего в схемена рис. 5 служитцепочка, состоящаяиз диода и резистораR?
Почемуможно разрыватьветвь с конденсатороми нельзя – ветвьс индуктивнымэлементом?
Почемукорни характеристическогоуравнения независят оттого, относительнокакой переменнойбыло записанодифференциальноеуравнение?
-
Дляцепи на рис. 8составитьхарактеристическоеуравнение иопределить,при каких значениях
переходныйпроцесс в нейбудет носитьапериодическийхарактер, если 
.
Ответ:
.-
Определить
вцепи на рис.9, если 
, 
, 
, 
.
Ответ:
.ЛекцияN 26
Переходныепроцессы в цепис одним накопителем
энергиии произвольнымчислом резисторов
Какотмечалосьв предыдущейлекции, линейнаяцепь охваченаединым переходнымпроцессом.Поэтому врассматриваемыхцепях с однимнакопителемэнергии (катушкойиндуктивностиили конденсатором)– цепях первогопорядка – постояннаявремени будетодной и той жедля всех свободныхсоставляющихнапряженийи токов ветвейсхемы, параметрыкоторых входятв характеристическоеуравнение.
Общийподход к расчетупереходныхпроцессов втаких цепяхоснован наприменениитеоремы обактивномдвухполюснике:ветвь, содержащуюнакопитель,выделяют изцепи, а оставшуюсячасть схемырассматриваюткак активныйдвухполюсникА (эквивалентныйгенератор) (см.рис.1, а) со схемойзамещения нарис. 1,б.
Совершенноочевидно, чтопостояннаявремени здесьдля цепей синдуктивнымэлементомопределяется,как:
,ис емкостным,как:
,где
-входное сопротивлениецепи по отношениюк зажимам 1-2подключенияветви, содержащейнакопительэнергии.Н
апример,для напряженияна конденсаторев цепи на рис.2 можно записать 
,гдев соответствиис вышесказанным
.Переходныепроцессы приподключениипоследовательной
R-L-C-цепик источникунапряжения
Р
ассмотримдва случая:а)
;б)
.Согласноизложеннойв предыдущейлекции методикерасчета переходныхпроцессовклассическимметодом длянапряженияна конденсаторев цепи на рис.3 можно записать
| . | (1) |
Тогдадля первогослучая принужденнаясоставляющаяэтого напряжения
| . | (2) |
Характеристическоеуравнение цепи
,решаякоторое, получаем
.Взависимостиот соотношенияпараметровцепи возможнытри типа корнейи соответственнотри вариантавыражения длясвободнойсоставляющей:
1.
или 
,где 
-критическоесопротивлениеконтура, меньшекоторого свободныйпроцесс носитколебательныйхарактер.Вэтом случае
 . | (3) |
2.
-предельныйслучай апериодическогорежима.Вэтом случае
и  . | (4) |
3.
-периодический(колебательный)характер переходногопроцесса.Вэтом случае
и  , | (5) |
где
-коэффициентзатухания; 
-угловая частотасобственныхколебаний; 
-период собственныхколебаний.Дляапериодическогохарактерапереходногопроцесса послеподстановки(2) и (3) в соотношение(1) можно записать
.Длянахожденияпостоянныхинтегрирования,учитывая, чтов общем случае
ив соответствиис первым закономкоммутации 
,запишем дляt=0 два уравнения: 
решаякоторые, получим
; 
.Такимобразом,
.Тогдаток в цепи
инапряжениена катушкеиндуктивности
.Н
арис. 4 представленыкачественныекривые 
, и ,соответствующиеапериодическомупереходномупроцессу при .Длякритическогорежима на основании(2) и (4) можно записать
.При
Такимобразом
и
.Дляколебательногопереходногопроцесса всоответствиис (2) и (5) имеем
.Длянахожденияпостоянныхинтегрированиязапишем
откуда
и 
.Тогда
.Н
арис. 5представленыкачественныекривые и ,соответствующиеколебательномупереходномупроцессу при .ПриподключенииR-L-C-цепи к источникусинусоидальногонапряжениядля нахожденияпринужденныхсоставляющихтока в цепи инапряженияна конденсатореследует воспользоватьсясимволическимметодом расчета, в соответствиис которым
и
,где
; 
; 
.Такимобразом,
и 
.Здесьтакже возможнытри режима:
| 1.  ; | 2.  | 3.  |
 |  |  |
Наибольшийинтерес представляеттретий режим,связанный споявлениемво время переходногопроцесса собственныхколебаний счастотой
.При этом возможны,в зависимостиот соотношениячастот собственныхколебаний инапряженияисточника, трихарактерныеварианта: 1 - 
;2 - 
;3 - 
,- которые представленына рис. 6,а…6,всоответственно. 
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
Как можно определитьпостояннуювремени в цепис одним накопителемэнергии поосциллограмметока или напряженияв какой-либоветви?
Определить,какой процесс:заряд или разрядконденсаторав цепи на рис.2 – будет происходитьбыстрее?
Ответ:заряд.
Влияет ли напостояннуювремени цепитип питающегоустройства:источник напряженияили источниктока?
-
Вцепи на рис. 2
,С=10 мкФ. Чемудолжна бытьравна индуктивностьL катушки, устанавливаемойна место конденсатора,чтобы постояннаявремени неизменилась?
Ответ:L=0,225 Гн.
Как влияет нахарактер переходногопроцесса вR-L-C-контуре величинасопротивленияR и почему?
-
Определитьток
черезкатушку индуктивностив цепи на рис.7, если 
; 
; 
; 
; 
.
Ответ:
. 
-
Определитьток
вветви с конденсаторомв цепи на рис.8, если 
; 
; 
; 
.
Ответ:
.ЛекцияN 27
Операторныйметод расчетапереходныхпроцессов
Сущностьоператорногометода заключаетсяв том, что функции
вещественнойпеременнойt, которую называюторигиналом,ставится всоответствиефункция 
комплекснойпеременной 
,которую называютизображением.В результатеэтого производныеи интегралыот оригиналовзаменяютсяалгебраическимифункциями отсоответствующихизображений(дифференцированиезаменяетсяумножениемна операторр, а интегрирование– делением нанего), что в своюочередь определяетпереход отсистемыинтегро-дифференциальныхуравнений ксистеме алгебраическихуравненийотносительноизображенийискомых переменных.При решенииэтих уравненийнаходятсяизображенияи далее путемобратногоперехода –оригиналы.Важнейшиммоментом приэтом в практическомплане являетсянеобходимостьопределениятолько независимыхначальныхусловий, чтосущественнооблегчаетрасчет переходныхпроцессов вцепях высокогопорядка посравнению склассическимметодом.Изображение
заданнойфункции определяетсяв соответствиис прямым преобразованиемЛапласа:  . | (1) |
Всокращеннойзаписи соответствиемежду изображениеми оригиналомобозначается,как:
 | или |  . |
Следуетотметить, чтоесли оригинал
увеличиваетсяс ростом t, тодля сходимостиинтеграла (1)необходимоболее быстроеубывание модуля 
.Функции, с которымивстречаютсяна практикепри расчетепереходныхпроцессов,этому условиюудовлетворяют.Вкачестве примерав табл. 1 приведеныизображениянекоторыххарактерныхфункций, частовстречающихсяпри анализенестационарныхрежимов.
Таблица1. Изображениятиповых функций
Оригинал | А |  |  |  |  |  |
Изображение |  |  |  |  |  |  |
Некоторыесвойства изображений
Изображениесуммы функцийравно суммеизображенийслагаемых:
.При умноженииоригинала накоэффициентна тот же коэффициентумножаетсяизображение:
.Сиспользованиемэтих свойстви данных табл.1, можно показать,например, что
.Изображенияпроизводнойи интеграла
Вкурсе математикидоказывается,что если
,то 
,где 
-начальноезначение функции .Такимобразом, длянапряженияна индуктивномэлементе можнозаписать
илипри нулевыхначальныхусловиях
.Отсюдаоператорноесопротивлениекатушки индуктивности
.Аналогичнодля интеграла:если
,то 
.Сучетом ненулевыхначальныхусловий длянапряженияна конденсатореможно записать:
.Тогда
илипри нулевыхначальныхусловиях
,откудаоператорноесопротивлениеконденсатора
.ЗаконОма в операторнойформе
Пусть имеем некоторую ветвь
(см.рис. 1), выделенную из некоторой 
сложнойцепи. Замыканиеключа во внешнейцепи приводитк переходномупроцессу, приэтом начальныеусловия длятока в ветвии напряженияна конденсаторев общем случаененулевые.
Длямгновенныхзначений переменныхможно записать:
.Тогдана основанииприведенныхвыше соотношенийполучим:
.Отсюда
 , | (2) |
где
-операторноесопротивлениерассматриваемогоучастка цепи.Следуетобратить внимание,что операторноесопротивление
соответствуеткомплексномусопротивлению 
ветвив цепи синусоидальноготока при заменеоператора рна 
.Уравнение(2) есть математическаязапись законаОма для участкацепи с источникомЭДС в операторнойформе. В соответствиис ним для ветвина рис. 1 можнонарисоватьоператорнуюсхему замещения,представленнуюна рис. 2.
ЗаконыКирхгофа воператорнойформе
Первыйзакон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихсяв узле, равнанулю
.Второй законКирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующихв контуре, равнаалгебраическойсумме изображенийнапряженийна пассивныхэлементах этогоконтура
.Призаписи уравненийпо второмузакону Кирхгофаследует помнитьо необходимостиучета ненулевыхначальныхусловий (еслиони имеют место).С их учетомпоследнеесоотношениеможет бытьпереписанов развернутомвиде
.В
качестве примеразапишем выражениедля изображенийтоков в цепина рис. 3 длядвух случаев:1 - ;2 - 
.Впервом случаев соответствиис законом Ома
.Тогда
и
.В
овтором случае,т.е. при ,для цепи нарис. 3 следуетсоставитьоператорнуюсхему замещения,которая приведенана рис. 4. Изображениятоков в неймогут бытьопределенылюбым методомрасчета линейныхцепей, например,методом контурныхтоков: 
откуда
; 
и 
.Переходот изображенийк оригиналам
Переходот изображенияискомой величинык оригиналуможет бытьосуществленследующимиспособами:
1.ПосредствомобратногопреобразованияЛапласа
,котороепредставляетсобой решениеинтегральногоуравнения (1) исокращеннозаписывается,как:
.Напрактике этотспособ применяетсяредко.
2.По таблицамсоответствиямежду оригиналамии изображениями
Вспециальнойлитературеимеется достаточнобольшое числоформул соответствия,охватывающихпрактическивсе задачиэлектротехники.Согласно данномуспособу необходимополучить изображениеискомой величиныв виде, соответствующемтабличному,после чеговыписать изтаблицы выражениеоригинала.
Н
апример,для изображениятока в цепи нарис. 5 можно записать 
.Тогдав соответствиис данными табл.1
,чтосоответствуетизвестномурезультату.
3.С использованиемформулы разложения
Пустьизображение
искомойпеременнойопределяетсяотношениемдвух полиномов 
,где
.Этовыражение можетбыть представленов виде суммыпростых дробей
 , | (3) |
где
-к-й корень уравнения 
.Дляопределениякоэффициентов
умножимлевую и правуючасти соотношения(3) на ( 
): 
.При
.Рассматриваяполученнуюнеопределенностьтипа
поправилу Лапиталя,запишем 
.Такимобразом,
.Посколькуотношение
естьпостоянныйкоэффициент,то учитывая,что 
,окончательнополучаем  . | (4) |
Соотношение(4) представляетсобой формулуразложения.Если один изкорней уравнения
равеннулю, т.е. 
,то уравнение(4) сводится квиду 
.Взаключениераздела отметим,что для нахожденияначального
иконечного 
значенийоригинала можноиспользоватьпредельныесоотношения 
которыетакже могутслужить дляоценки правильностиполученногоизображения.
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
В чем заключаетсясущность расчетапереходныхпроцессовоператорнымметодом?
Чтотакое операторнаясхема замещения?
Какпри расчетеоператорнымметодом учитываютсяненулевыенезависимыеначальныеусловия?
Какимиспособами напрактикеосуществляетсяпереход отизображенияк оригиналу?
Длячего используютсяпредельныесоотношения?
Каксвязаны изображениеи оригинал вформуле разложения?Какие имеютсяварианты еенаписания?
-
С
использованиемтеоремы обактивномдвухполюсникезаписать операторноеизображениедля тока черезкатушку индуктивностив цепи на рис.6.
Ответ:
.С использованиемпредельныхсоотношенийи решения предыдущейзадачи найтиначальное иконечное значениятока в ветвис индуктивнымэлементом.
Ответ:
.ЛекцияN 28
Некоторыеважные замечанияк формуле разложения
-
При наличиив цепи синусоидальнойЭДС
дляперехода откомплекса кфункции времениот правой частиформулы разложенияберется мнимаячасть, т.е. выражениепри j. Если приэтом в цепитакже имеютместо другиеисточники,например, постояннойЕ и экспоненциальной 
ЭДС,и начальныеусловия длятоков в ветвяхс индуктивнымиэлементамии напряженийна конденсаторахненулевые, тоони должныбыть все введеныв формулупредварительноумноженнымина j, посколькутолько в этомслучае онибудут учтеныпри взятиимнимой частиот формулыразложения,т.е.
.-
Принужденнойсоставляющейот действияисточникасинусоидальнойЭДС в формулеразложениясоответствуетслагаемое,определяемоекорнем
.Для сложныхсхем такое еевычислениеможет оказатьсядостаточнотрудоемким,в связи с чемпринужденнуюсоставляющуюв этих случаяхцелесообразноопределятьотдельносимволическимметодом, а свободную– операторным. -
Комплексно-сопряженнымкорням уравнения
вформуле разложениясоответствуюткомплексно-сопряженныеслагаемые,которые в суммедают удвоенныйвещественныйчлен, т.е. дляк-й пары комплексно-сопряженныхкорней имеетместо
.Последовательностьрасчета переходныхпроцессов
операторнымметодом
1.Определениенезависимыхначальныхусловий путемрасчета докоммутационногорежима работыцепи.
2.Составлениеоператорнойсхемы замещенияцепи (для простыхцепей с нулевыминачальнымиусловиями этотэтап может бытьопущен).
3.Запись уравненийпо законамКирхгофа илидругим методамрасчета линейных цепей в операторнойформе с учетомначальныхусловий.
4.Решение полученныхуравненийотносительноизображенийискомых величин.
5.О
пределениеоригиналов(с помощью формулыразложенияили таблицсоответствияоригиналови изображений)по найденнымизображениям.Вкачестве примераиспользованияоператорногометода определимток через катушкуиндуктивностив цепи на рис.1.
Сучетом нулевогоначальногоусловия операторноеизображениеэтого тока
.Длянахожденияоригинала
воспользуемсяформулой разложенияпри нулевомкорне  , | (1) |
где
, 
.Кореньуравнения
.Тогда
и
.Подставляянайденныезначения слагаемыхформулы разложенияв (1), получим
.Воспользовавшисьпредельнымисоотношениями,определим
и 
: 
Формулывключения
Формулуразложенияможно использоватьдля расчетапереходныхпроцессов принулевых и ненулевыхначальныхусловиях. Еслиначальныеусловия нулевые,то при подключениицепи к источникупостоянного,экспоненциальногоили синусоидальногонапряжениядля расчетапереходныхпроцессовудобно использоватьформулы включения,вытекающиеиз формулыразложения.
-
Формула включенияна экспоненциальноенапряжение
, (2) -
где
-входное операторноесопротивлениедвухполюсникапри определениитока в ветвис ключом (прирасчете токав произвольнойветви этооператорноесопротивление,определяющееток в ней позакону Ома); -к-й корень уравнения . -
Формулавключения напостоянноенапряжение
(вытекаетиз (2) при )
.-
Формула включенияна синусоидальноенапряжение
(формальновытекает из(2) при 
и 
)
.
В
качестве примераиспользованияформулы включениярассчитаемток в цепи нарис. 2, если в моментвремени t=0 онаподсоединяетсяк источникус напряжением 
; ; 
.Всоответствиис заданнойформой напряженияисточника длярешения следуетвоспользоватьсяформулой (2). Вней
.Тогда кореньуравнения 
.Производная 
и 
.Врезультате
.Сведениерасчета переходногопроцесса красчету
с нулевыминачальнымиусловиями
Используяпринцип наложения,расчет цепис ненулевыминачальнымиусловиями можносвести к расчетусхемы с нулевыминачальнымиусловиями.Последнюю цепь,содержащуюпассивныеэлементы, можнозатем с помощьюпреобразованийпоследовательно-параллельныхсоединенийи треугольникав звезду и наоборотсвести к виду,позволяющемуопределитьискомый токпо закону Омас использованиемформул включения.
Методикусведения цепик нулевым начальнымусловиям иллюстрируетрис. 3, на которомисходная схемана рис. 3,а заменяетсяэквивалентнойей схемой нарис. 3,б, где
.Последняя всоответствиис принципомналоженияраскладываетсяна две схемы;при этом в схемена рис. 3,в составляющая 
общеготока 
равнанулю. Такимобразом, полныйток равенсоставляющейтока 
вцепи на рис.3,г, где исходныйактивный двухполюсникАД замененпассивным ПД,т.е. схема сведенак нулевым начальнымусловиям.Следуетотметить, чтоесли определяетсяток в ветви сключом, то достаточнорассчитатьсхему на рис.3,г. При расчететока в какой-либодругой ветвиАД в соответствиис вышесказаннымон будет складыватьсяиз тока в этойветви до коммутациии тока в ней,определяемогоподключениемЭДС
кпассивномудвухполюснику.Аналогичноможно показать,что отключениеветви, не содержащейиндуктивныхэлементов, прирасчете можноимитироватьвключениемв нее источникатока, величинакоторого равнатоку в ветвидо коммутации,и действующемунавстречу ему.
Переходнаяпроводимость
Прирассмотренииметода наложениябыло показано,что ток в любойветви схемыможет бытьпредставленв виде
,где
-собственная(к=m) или взаимная 
проводимость.Этосоотношение,трансформированноев уравнение
 , | (3) |
будетиметь силу ив переходномрежиме, т.е. когдазамыкание ключав m-й ветви подключаетк цепи находящийсяв этой ветвиисточник постоянногонапряжения
.При этом 
являетсяфункцией времении называетсяпереходнойпроводимостью.Всоответствиис (3) переходнаяпроводимостьчисленно равнатоку в ветвипри подключениицепи к постоянномунапряжению
.Переходнаяфункция понапряжению
Переходнаяфункция понапряжениюнаиболее частоиспользуетсяпри анализечетырехполюсников.
Еслилинейнуюэлектрическуюцепь с нулевыминачальнымиусловиямиподключитьк источникупостоянногонапряжения
,то между произвольнымиточками m и n цепивозникнетнапряжение 
,где
-переходнаяфункция понапряжению,численно равнаянапряжениюмежду точкамиm и n схемы приподаче на еевход постоянногонапряжения 
.Переходнуюпроводимость
ипереходнуюфункцию понапряжению можнонайти расчетнымили экспериментальным(осциллографирование)путями.В
качестве примераопределим этифункции дляцепи на рис. 4.Вэтой схеме
,где
.Тогдапереходнаяпроводимость
.Переходнаяфункция понапряжению
.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.1. К.М.Поливанов.Линейныеэлектрическиецепи с сосредоточеннымипостоянными.–М.: Энергия-1972. –240с.
Контрольныевопросы
Как в формулеразложенияучитываютсяпри наличииисточникасинусоидальнойЭДС источникидругих типов,а также ненулевыеначальныеусловия?
Какцелесообразнопроводитьрасчет переходныхпроцессовоператорнымметодом в сложныхцепях присинусоидальномпитании?
Проведитесравнительныйанализ классическогои операторногометодов.
Какиеэтапы включаетв себя операторныйметод расчетапереходныхпроцессов?
Изформулы включенияна какое напряжениевытекают другиеварианты еезаписи? Запишитеформулы включения.
Вкаких случаяхприменяютсяформулы включения?
Чемучисленносоответствуютпереходнаяпроводимостьи переходнаяфункция понапряжению?
-
Наоснованиирешения задачи7 в задании клекции № 27 сиспользованиемформулы разложенияопределитьток в ветви синдуктивнымэлементом,если параметрыцепи:
.
Ответ:
.-
С использованиемформулы включениянайти ток
внеразветвленнойчасти цепи нарис. 5,
 | если:   ; ; . |
| Ответ:  . |
ЛекцияN 29
Расчетпереходныхпроцессов сиспользованием
интегралаДюамеля
Знаяреакцию цепина единичноевозмущающеевоздействие,т.е. функциюпереходнойпроводимости
или(и) переходнуюфункцию понапряжению ,можно найтиреакцию цепина воздействиепроизвольнойформы. В основеметода – методарасчета с помощьюинтегралаДюамеля – лежитпринцип наложения.ПрииспользованииинтегралаДюамеля дляразделенияпеременной,по которойпроизводитсяинтегрирование,и переменной,определяющеймомент времени,в которыйопределяетсяток в цепи, первуюпринято обозначатькак
,а вторую - какt. 
Пустьв момент времени
кцепи с нулевыминачальнымиусловиями(пассивномудвухполюсникуПД на рис. 1)подключаетсяисточник снапряжением 
произвольнойформы. Для нахождениятока вцепи заменимисходную кривуюступенчатой(см. рис. 2), послечего с учетом,что цепь линейна,просуммируемтоки от начальногоскачка напряжения 
ивсех ступенекнапряжениядо момента t, вступающихв действие сзапаздываниемпо времени.Вмомент времениt составляющаяобщего тока,определяемаяначальнымскачком напряжения
,равна 
.Вмомент времени
имеетместо скачокнапряжения 
,который с учетомвременногоинтервала отначала скачкадо интересующегомомента времениt обусловитсоставляющуютока 
.Полныйток
вмомент времениt равен, очевидно,сумме всехсоставляющихтока от отдельныхскачков напряженияс учетом ,т.е. 
.Заменяяконечный интервалприращениявремени
набесконечномалый, т.е. переходяот суммы к интегралу,запишем  . | (1) |
Соотношение(1) называетсяинтеграломДюамеля.
Следуетотметить, чтос использованиеминтегралаДюамеля можноопределятьтакже напряжение.При этом в (1) вместопереходнойпроводимости
будетвходить переходнаяфункция понапряжению.Последовательностьрасчета сиспользованием
интегралаДюамеля
-
Определениефункции
(или )для исследуемойцепи. -
Записьвыражения
(или 
)путем формальнойзамены t на 
. -
Определениепроизводной
. Подстановканайденныхфункций в (1) иинтегрированиеопределенногоинтеграла.
В
качестве примераиспользованияинтегралаДюамеля определимток в цепи рис.3, рассчитанныйв предыдущейлекции с использованиемформулы включения.Исходныеданные длярасчета:
, 
, 
.Переходнаяпроводимость
.-
. -
. -
Полученныйрезультатаналогиченвыражению тока,определенномув предыдущейлекции на основеформулы включения.
Методпеременныхсостояния
Уравненияэлекромагнитногосостояния –это системауравнений,определяющихрежим работы(состояние)электрическойцепи.
Методпеременныхсостоянияосновываетсяна упорядоченномсоставлениии решении системыдифференциальныхуравненийпервого порядка,которые разрешеныотносительнопроизводных,т.е. записаныв виде, наиболееудобном дляприменениячисленныхметодов интегрирования,реализуемыхсредствамивычислительнойтехники.
Количествопеременныхсостояния, аследовательно,число уравненийсостояния равночислу независимыхнакопителейэнергии.
Куравнениямсостояниявыдвигаютсядва основныхтребования:
-независимостьуравнений;
-возможностьвосстановленияна основе переменныхсостояния(переменных,относительнокоторых записаныуравнениясостояния)любых другихпеременных.
Первоетребованиеудовлетворяетсяспециальнойметодикойсоставленияуравненийсостояния,которая будетрассмотренадалее.
Длявыполнениявторого требованияв качествепеременныхсостоянияследует принятьпотокосцепления(токи в ветвяхс индуктивнымиэлементами)и заряды (напряжения)на конденсаторах.Действительно,зная законизменения этихпеременныхво времени ихвсегда можнозаменить источникамиЭДС и тока сизвестнымипараметрами.Остальная цепьоказываетсярезистивной,а следовательно,всегда рассчитываетсяпри известныхпараметрахисточников.Кроме того,начальныезначения этихпеременныхотносятся кнезависимым,т.е. в общем случаерассчитываютсяпроще других.
Прирасчете методомпеременныхсостояния,кроме самихуравненийсостояния,связывающихпервые производные
и 
ссамими переменными 
и 
иисточникамивнешних воздействий– ЭДС и тока,необходимосоставитьсистему алгебраическихуравнений,связывающихискомые величиныс переменнымисостояния иисточникамивнешних воздействий.Такимобразом, полнаясистема уравненийв матричнойформе записиимеет вид
 ; | (2) |
 . | (3) |
Здесь
и 
-столбцовыематрицы соответственнопеременныхсостояния иих первых производныхпо времени; 
-матрица-столбецисточниковвнешних воздействий; 
-столбцоваяматрица выходных(искомых) величин; 
-квадратнаяразмерностьюn x n (гдеn – число переменныхсостояния)матрица параметров,называемаяматрицей Якоби; 
-прямоугольнаяматрица связимежду источникамии переменнымисостояния(количествострок равноn, а столбцов –числу источниковm); 
-прямоугольнаяматрица связипеременныхсостояния сискомыми величинами(количествострок равночислу искомыхвеличин к, астолбцов – n); 
-прямоугольнаяразмерностьюк x m матрицасвязи входас выходом.Начальныеусловия дляуравнения (2)задаются векторомначальныхзначений
(0).Вкачестве примерасоставленияуравненийсостояниярассмотримцепь на рис.4,а, в которойтребуетсяопределитьтоки
и . 
Позаконам Кирхгофадля данной цепизапишем
 ; | (4) |
 ; | (5) |
 . | (6) |
Поскольку
сучетом соотношения(6) перепишемуравнения (4) и(5) в виде 
илив матричнойформе записи
.А | В |
Матричноеуравнение вида(3) вытекает изсоотношений(4) и (6):
.С | D |
Векторначальныхзначений
(0)= 
.Непосредственноеиспользованиезаконов Кирхгофапри составленииуравненийсостояния длясложных цепейможет оказатьсязатруднительным.В этой связииспользуютспециальнуюметодикуупорядоченногосоставленияуравненийсостояния.
Методикасоставленияуравненийсостояния
Этаметодика включаетв себя следующиеосновные этапы:
1.Составляетсяориентированныйграф схемы (см.рис. 4,б), на которомвыделяетсядерево, охватывающеевсе конденсаторыи источникинапряжения(ЭДС). Резисторывключаютсяв дерево понеобходимости:для охватадеревом всехузлов. В ветвисвязи включаютсякатушки индуктивности,источники токаи оставшиесярезисторы.
2.Осуществляетсянумерацияветвей графа(и элементовв схеме), проводимаяв следующейпоследовательности:первыми нумеруютсяучастки графа(схемы) с конденсаторами,затем резисторами,включеннымив дерево, следующиминумеруютсяветви связис резисторамии, наконец, ветвис индуктивнымиэлементами(см. рис. 4,б).
3.Составляетсятаблица, описывающаясоединениеэлементов вцепи. В первойстроке таблицы(см. табл. 1) перечисляютсяемкостные ирезистивныеэлементы дерева,а также источникинапряжения(ЭДС). В первомстолбце перечисляютсярезистивныеи индуктивныеэлементы ветвейсвязи, а такжеисточники тока.
Таблица1. Таблицасоединений
11 | 22 | u | |
33 | -1 | 0 | 0 |
44 | 1 | 1 | 1 |
J | 1 | 0 |
Осуществляетсярасписываниетаблицы постолбцам и построкам. В первомслучае получаютсяуравнения попервому законуКирхгофа, вовтором – повторому.
Врассматриваемомслучае (равенство
тривиально) 
,откудав соответствиис нумерациейтоков в исходнойцепи
.Прирасписываниитаблицы соединенийпо строкамнапряженияна пассивныхэлементахнеобходимобрать со знаками,противоположнымитабличным:
 | (7) |
Этиуравнениясовпадаютсоответственнос соотношениями(6) и (5).
Из(7) непосредственновытекает
.Такимобразом, формализованнымспособом полученыуравнения,аналогичныесоставленнымвыше с использованиемзаконов Кирхгофа.
Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
МатхановП.Н. Основыанализа электрическихцепей. Линейныецепи.: Учеб. дляэлектротехн.радиотехн.спец. вузов.3-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1990. –400с.
Контрольныевопросы и задачи
Какой принциплежит в основеметода расчетапереходныхпроцессов сиспользованиеминтегралаДюамеля, и длякаких цепейможет бытьиспользованданный метод?
Вкаких случаяхцелесообразноиспользоватьметод расчетас использованиеминтегралаДюамеля?
-
Вцепи на рис. 3при
напряжениена входе цепимгновенноспадает донуля. Определитьток в цепи.
Ответ:
при 
; 
при 
.Какие требованияи почему выдвигаютсяк уравнениямсостояния?
Чтовключает всебя системауравнений прирасчете переходногопроцесса вцепи методомпеременныхсостояния?
Перечислитеосновные этапыметодики составленияуравненийсостояния.
-
Записатьматрицы А иВ для цепи нарис. 5, если
, 
, 
, 
, 
, 
.
Ответ: | А |  | ; |
В |  |
ЛекцияN 30
Нелинейныецепи
Нелинейныминазываютсяцепи, в составкоторых входитхотя бы одиннелинейныйэлемент.
Нелинейныминазываютсяэлементы, параметрыкоторых зависятот величиныи (или) направлениясвязанных сэтими элементамипеременных(напряжения,тока, магнитногопотока, заряда,температуры,световогопотока и др.).Нелинейныеэлементы описываютсянелинейнымихарактеристиками,которые неимеют строгогоаналитическоговыражения,определяютсяэкспериментальнои задаютсятаблично илиграфиками.
Нелинейныеэлементы можноразделить надвух – и многополюсные.Последниесодержат три(различныеполупроводниковыеи электронныетриоды) и более(магнитныеусилители,многообмоточныетрансформаторы,тетроды, пентодыи др.) полюсов,с помощью которыхони подсоединяютсяк электрическойцепи. Характернойособенностьюмногополюсныхэлементовявляется то,что в общемслучае их свойстваопределяютсясемействомхарактеристик,представляющихзависимостивыходныххарактеристикот входныхпеременныхи наоборот:входные характеристикистроят для рядафиксированныхзначений одногоиз выходныхпараметров,выходные – дляряда фиксированныхзначений одногоиз входных.
Подругому признакуклассификациинелинейныеэлементы можноразделить наинерционныеи безынерционные.Инерционныминазываютсяэлементы,характеристикикоторых зависятот скоростиизмененияпеременных.Для таких элементовстатическиехарактеристики,определяющиезависимостьмежду действующимизначениямипеременных,отличаютсяот динамическиххарактеристик,устанавливающихвзаимосвязьмежду мгновеннымизначениямипеременных.Безынерционныминазываютсяэлементы,характеристикикоторых независят отскорости измененияпеременных.Для таких элементовстатическиеи динамическиехарактеристикисовпадают.
Понятияинерционныхи безынерционныхэлементовотносительны:элемент можетрассматриватьсякак безынерционныйв допустимом(ограниченномсверху) диапазонечастот, привыходе за пределыкоторого онпереходит вразряд инерционных.
Взависимостиот вида характеристикразличаютнелинейныеэлементы ссимметричнымии несимметричнымихарактеристиками.Симметричнойназываетсяхарактеристика,не зависящаяот направленияопределяющихее величин,т.е. имеющаясимметриюотносительноначала системыкоординат:
.Для несимметричнойхарактеристикиэто условиене выполняется,т.е. 
.Наличие у нелинейногоэлемента симметричнойхарактеристикипозволяет вцелом рядеслучаев упроститьанализ схемы,осуществляяего в пределаходного квадранта.Потипу характеристикиможно такжеразделить всенелинейныеэлементы наэлементы соднозначной и неоднозначнойхарактеристиками.Однозначнойназываетсяхарактеристика
,у которой каждомузначению хсоответствуетединственноезначение y инаоборот. Вслучае неоднозначнойхарактеристикикаким-то значениямх может соответствоватьдва или болеезначения y илинаоборот. Унелинейныхрезисторовнеоднозначностьхарактеристикиобычно связанас наличиемпадающегоучастка, для которого 
,а у нелинейныхиндуктивныхи емкостныхэлементов –с гистерезисом.Наконец,все нелинейныеэлементы можноразделить науправляемыеи неуправляемые.В отличие отнеуправляемыхуправляемыенелинейныеэлементы (обычнотрех- и многополюсники)содержат управляющиеканалы, изменяянапряжение,ток, световойпоток и др. вкоторых, изменяютих основныехарактеристики:вольт-амперную,вебер-ампернуюили кулон-вольтную.
Нелинейныеэлектрическиецепи постоянноготока
Нелинейныесвойства такихцепей определяетналичие в нихнелинейныхрезисторов.
Всвязи с отсутствиему нелинейныхрезисторовпрямой пропорциональностимежду напряжениеми током их нельзяохарактеризоватьодним параметром(одним значением
).Соотношениемежду этимивеличинамив общем случаезависит нетолько от ихмгновенныхзначений, нои от производныхи интеграловпо времени.Параметрынелинейныхрезисторов
Взависимостиот условийработы нелинейногорезистора ихарактеразадачи различаютстатическое,дифференциальноеи динамическоесопротивления.
Еслинелинейныйэлемент являетсябезынерционным,то он характеризуетсяпервыми двумяиз перечисленныхпараметров.
С 
татическоесопротивлениеравно отношениюнапряженияна резистивномэлементе кпротекающемучерез неготоку. В частностидля точки 1 ВАХна рис. 1
.Поддифференциальнымсопротивлениемпонимаетсяотношениебесконечномалого приращениянапряженияк соответствующемуприращениютока
.Следуетотметить, чтоу неуправляемогонелинейногорезистора
всегда,а 
можетпринимать иотрицательныезначения (участок2-3 ВАХ на рис. 1).Вслучае инерционногонелинейногорезисторавводится понятиединамическогосопротивления
,определяемогопо динамическойВАХ. В зависимостиот скоростиизмененияпеременной,например тока,может менятьсяне только величина,но и знак
.Методырасчета нелинейныхэлектрическихцепей постоянноготока
Электрическоесостояниенелинейныхцепей описываетсяна основаниизаконов Кирхгофа,которые имеютобщий характер.При этом следуетпомнить, чтодля нелинейныхцепей принципналожениянеприменим.В этой связиметоды расчета,разработанныедля линейныхсхем на основезаконов Кирхгофаи принципаналожения, вобщем случаене распространяютсяна нелинейныецепи.
Общихметодов расчетанелинейныхцепей не существует.Известныеприемы и способыимеют различныевозможностии области применения.В общем случаепри анализенелинейнойцепи описывающаяее системанелинейныхуравнений можетбыть решенаследующимиметодами:
графическими;
аналитическими;
графо-аналитическими;
итерационными.
Графическиеметоды расчета
Прииспользованииэтих методовзадача решаетсяпутем графическихпостроенийна плоскости.При этом характеристикивсех ветвейцепи следуетзаписать вфункции одногообщего аргумента.Благодаря этомусистема уравненийсводится кодному нелинейномууравнению содним неизвестным.Формально прирасчете различаютцепи с последовательным,параллельными смешаннымсоединениями.
а)Цепи с последовательнымсоединениемрезистивныхэлементов.
Припоследовательномсоединениинелинейныхрезисторовв качествеобщего аргументапринимаетсяток, протекающийчерез последовательносоединенныеэлементы. Расчетпроводитсяв следующейпоследовательности.По заданнымВАХ
отдельныхрезисторовв системе декартовыхкоординат 
строитсярезультирующаязависимость 
.Затем на осинапряженийоткладываетсяточка, соответствующаяв выбранноммасштабе заданнойвеличине напряженияна входе цепи,из которойвосстанавливаетсяперпендикулярдо пересеченияс зависимостью 
.Из точки пересеченияперпендикулярас кривой опускаетсяортогональна ось токов– полученнаяточка соответствуетискомому токув цепи, по найденномузначению которогос использованиемзависимостей определяютсянапряжения 
наотдельныхрезистивныхэлементах.Применениеуказаннойметодики иллюстрируютграфическиепостроенияна рис. 2,б, соответствующиецепи на рис.2,а.
Г
рафическоерешение дляпоследовательнойнелинейнойцепи с двумярезистивнымиэлементамиможет бытьпроведено идругим методом– методомпересечений.В этом случаеодин из нелинейныхрезисторов,например, с ВАХ 
нарис.2,а, считаетсявнутреннимсопротивлениемисточника сЭДС Е, а другой– нагрузкой.Тогда на основаниисоотношения 
точкаа (см. рис. 3) пересечениякривых 
и 
определяетрежим работыцепи. Кривая строитсяпутем вычитанияабсцисс ВАХ изЭДС Е для различныхзначений тока.Использованиеданного методанаиболее рациональнопри последовательномсоединениилинейного инелинейногорезисторов.В этом случаелинейный резисторпринимаетсяза внутреннеесопротивлениеисточника, илинейная ВАХпоследнегостроится подвум точкам.
б)Цепи с параллельнымсоединениемрезистивныхэлементов.
Припараллельномсоединениинелинейныхрезисторовв качествеобщего аргументапринимаетсянапряжение,приложенноек параллельносоединеннымэлементам.Расчет проводитсяв следующейпоследовательности.По заданнымВАХ
отдельныхрезисторовв системе декартовыхкоординат строитсярезультирующаязависимость 
.Затем на оситоков откладываетсяточка, соответствующаяв выбранноммасштабе заданнойвеличине токаисточника навходе цепи (приналичии навходе цепиисточниканапряжениязадача решаетсясразу путемвосстановленияперпендикуляраиз точки, соответствующейзаданномунапряжениюисточника, допересеченияс ВАХ ),из которойвосстанавливаетсяперпендикулярдо пересеченияс зависимостью 
.Из точки пересеченияперпендикулярас кривой опускаетсяортогональна ось напряжений– полученнаяточка соответствуетнапряжениюна нелинейныхрезисторах,по найденномузначению которогос использованиемзависимостей определяютсятоки 
вветвях с отдельнымирезистивнымиэлементами.Использованиеданной методикииллюстрируютграфическиепостроенияна рис. 4,б, соответствующиецепи на рис.4,а.
в)Цепи с последовательно-параллельным(смешанным)соединениемрезистивныхэлементов.
1.Расчет такихцепей производитсяв следующейпоследовательности:
Исходнаясхема сводитсяк цепи с последовательнымсоединениемрезисторов,для чего строитсярезультирующаяВАХ параллельносоединенныхэлементов, какэто показанов пункте б).
2.Проводитсярасчет полученнойсхемы с последовательнымсоединениемрезистивныхэлементов (см.пункт а), наоснованиикоторого затемопределяютсятоки в исходныхпараллельныхветвях.
Методдвух узлов
Дляцепей, содержащихдва узла илисводящихсяк таковым, можноприменять методдвух узлов. Приполностьюграфическомспособе реализацииметода он заключаетсяв следующем:
Строятсяграфики зависимостей
токовво всех i-х ветвяхв функции общейвеличины –напряжения 
междуузлами m и n, длячего каждаяиз исходныхкривых 
смещаетсявдоль оси напряженийпараллельносамой себе,чтобы ее началонаходилосьв точке, соответствующейЭДС 
вi-й ветви, а затемзеркальноотражаетсяотносительноперпендикуляра,восстановленногов этой точке.Определяется,в какой точкеграфическиреализуетсяпервый законКирхгофа
.Соответствующиеданной точкетоки являютсярешением задачи.М
етоддвух узловможет бытьреализовани в другом варианте,отличающемсяот изложенноговыше меньшимчислом графическихпостроений.Вкачестве примерарассмотримцепь на рис. 5.Для нее выражаемнапряженияна резистивныхэлементах вфункции
:  ; | (1) |
 ; | (2) |
 . | (3) |
Далеезадаемся током,протекающимчерез один изрезисторов,например вовторой ветви
,и рассчитываем ,а затем по сиспользованием(1) и (3) находим 
и 
ипо зависимостям 
и 
-соответствующиеим токи 
и 
ит.д. Результатывычисленийсводим в табл.1, в последнейколонке которойопределяемсумму токов 
.Таблица1. Таблицарезультатоврасчета методомдвух узлов
| | | | | |  |  |
Алгебраическаясумма токовв соответствиис первым закономКирхгофа должнаравнять нулю,поэтому получающаясяв последнейколонке табл.1 величина
указывает,каким значением следуетзадаватьсяна следующемшаге.Восях
строимкривую зависимости 
ипо точке еепересеченияс осью напряженийопределяемнапряжение междуточками m и n. Длянайденногозначения по(1)…(3) рассчитываемнапряженияна резисторах,после чего позаданным зависимостям определяемтоки в ветвяхсхемы.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.: Энергия-1972. –200с.
Контрольныевопросы и задачи
Почему методналожения неприменимк нелинейнымцепям?
Какиепараметрыхарактеризуютнелинейныйрезистор?
Почемустатическоесопротивлениевсегда большенуля, а дифференциальноеи динамическоемогут иметьлюбой знак?
Какиеметоды используютдля анализанелинейныхрезистивныхцепей постоянноготока?
Какаяпоследовательностьрасчета графическимметодом нелинейнойцепи с последовательнымсоединениемрезисторов?
Какаяпоследовательностьрасчета графическимметодом нелинейнойцепи с параллельнымсоединениемрезисторов?
Какойалгоритм анализацепи со смешаннымсоединениемнелинейныхрезисторов?
Вчем сущностьметода двухузлов?
-
Вцепи на рис.2,а ВАХ нелинейныхрезисторов
и 
,где напряжение– в вольтах, аток – в амперах; 
.Графическимметодом определитьнапряженияна резисторах.
Ответ:
.-
В цепи на рис.4,а ВАХ нелинейныхрезисторов
и 
,где ток – в амперах,а напряжение– в вольтах; 
.Графическимметодом определитьтоки и .
Ответ:
.-
В цепи на рис.5
,где ток – в амперах,а напряжение– в вольтах;третий резисторлинейный с .Определитьтоки в ветвяхметодом двухузлов, если 
.
Ответ:
.ЛекцияN 31
Расчетнелинейныхцепей методомэквивалентногогенератора
Еслив сложнойэлектрическойцепи имеетсяодна ветвь снелинейнымрезистором,то определениетока в ней можнопроводить наоснове теоремыоб активномдвухполюснике(методом эквивалентногогенератора).Идея решениязаключаетсяв следующем.Ветвь, содержащаянелинейныйрезистор, выделяетсяиз исходнойцепи, а всяостальная, ужелинейная, схемапредставляетсяв виде активногодвухполюсника(АД). Согласнотеореме об АДсхему линейногоАД по отношениюк зажимам 1-2выделеннойветви (см. рис.1,а) можно представитьэквивалентнымгенератором(см. рис. 1,б) с ЭДС,равной напряжению
назажимах 1-2 приразомкнутойветви с нелинейнымрезистором,и внутреннимсопротивлением,равным входномусопротивлениюлинейногодвухполюсника.Последняя схемарассчитывается,например, графическимметодом какцепь с последовательнымсоединениемэлементов. 
Еслинеобходимотакже найтитоки в линейнойчасти исходнойцепи, то послерасчета нелинейнойсхемы на рис.1,б в соответствиис теоремой окомпенсациинелинейныйрезистор заменяетсяисточникомЭДС или тока,после чегопроводитсяанализ полученнойлинейной цепилюбым известнымметодом.
Аналитическиеметоды расчета
Исследованияобщих свойствнелинейныхцепей удобноосуществлятьна основематематическогоанализа, базирующегосяна аналитическомвыражениихарактеристикнелинейныхэлементов, т.е.их аппроксимации.На выбор аналитическогометода влияютусловия поставленнойзадачи, а такжехарактер возможногоперемещениярабочей точкипо характеристикенелинейногоэлемента: повсей характеристикеили в ее относительнонебольшойобласти.
Каналитическимметодам относятся:
метод аналитическойаппроксимации;
методкусочно-линейнойаппроксимации;
методлинеаризации.
Методаналитическойаппроксимацииоснован назамене характеристики(или ее участка)нелинейногоэлемента общиманалитическимвыражением.Применяютсяследующие видыаналитическойаппроксимации:
степенныммногочленом(см. рис. 2,а);
трансцендентными(экспоненциальными,гиперболическимии др.) функциями(см. рис. 2,б).
Выборкоэффициентов(а,b,c,…) осуществляетсяисходя из наибольшегосоответствияаналитическоговыражениярабочему участкунелинейной характеристики. При этом
выбираютсянаиболее характерныеточки, черезкоторые должнапройти аналитическаякривая. Числоточек равночислу коэффициентовв аналитическомвыражении, чтопозволяетоднозначноопределитьпоследнее.
Необходимопомнить, чтопри получениинесколькихкорней нелинейногоуравнения онидолжны бытьпроверены наудовлетворениезадаче. Пусть,например, вцепи, состоящейиз последовательносоединенныхлинейного R инелинейногорезисторов,ВАХ последнегоможет бытьаппроксимированавыражением
.Определитьток в цепи, еслиисточник ЭДСЕ обеспечиваетрежим работыцепи в первомквадранте.Всоответствиисо вторым закономКирхгофа дляданной цепиимеет местоуравнение
или
.Корниуравнения
.Решениемзадачи является
,посколькувторое решение 
неудовлетворяетусловиям исходяиз физическихсоображений.Методкусочно-линейнойаппроксимацииоснован напредставлениихарактеристикинелинейногоэлемента отрезкамипрямых линий(см. рис. 3), в результатечего нелинейнаяцепь может бытьописана линейнымиуравнениямис постоянными(в пределахкаждого отрезка)коэффициентами.
Приналичии в цепидвух и болеенелинейныхрезисторовреализацияметода затруднена,так как в общемслучае изначальнонеизвестно,на каких участкахломаных кривыхнаходятсярабочие точки.
Кусочно-линейнаяаппроксимацияможет бытьреализованаметодом секционныхкусочно-линейныхфункций, позволяющимописать ломануюкривую общиманалитическимвыражением.Например, длякривой, представленнойна рис. 4 и определяемойкоэффициентами
и 
характеризующиминаклон ее отдельныхпрямолинейныхучастков, ипараметрами 
,характеризующимикоординатыточек, где значенияфункции изменяютсяскачками, данноевыражение будетиметь вид 
Здесьдва первыхслагаемых вправой частиопределяютпервый наклонныйучасток аппроксимируемойкривой; трипервых слагаемых- первый наклонныйучасток и участокпервого скачка;четыре первыхслагаемых -первый и второйнаклонныеучастки с учетомучастка первогоскачка и т.д.
В общемслучае аппроксимирующеевыражение пометоду секционныхкусочно - линейныхфункций имеетвид
Методлинеаризацииприменим дляанализа нелинейныхцепей при малыхотклоненияхрабочей точкиР (см. рис. 5) отисходногосостояния.
Вокрестностирабочей точки
(см.рис. 5) 
,где
(законОма для малыхприращений); 
-дифференциальноесопротивление.Идеяметода заключаетсяв замене нелинейногорезистора линейным ссопротивлением,равным дифференциальномув заданной (илипредполагаемой)рабочей точке,и либо последовательновключеннымс ним источникомЭДС, либо параллельновключеннымисточникомтока. Такимобразом, линеаризованнойВАХ (см. прямуюна рис. 5)соответствуетпоследовательная(рис. 6,а) или параллельная(рис. 6,б) схемазамещениянелинейногорезистора.
Еслиисходный режимопределен итребуетсярассчитатьлишь приращениятоков и (или)напряжений,обусловленныеизменениемнапряженияили тока источника,целесообразноиспользоватьэквивалентныесхемы для приращений,получаемыена основаниизаконов Кирхгофадля малых приращений:
-первыйзакон Кирхгофа:
;-второйзакон Кирхгофа:
.Присоставлениисхемы для приращений:
1)все ЭДС и токиисточниковзаменяютсяих приращениями;
2)нелинейныерезисторы заменяютсялинейными ссопротивлениями,равными дифференциальнымв рабочих точках.
Необходимопомнить, чтополная величинакакого-либотока или напряженияв цепи равнаалгебраическойсумме исходногозначения переменнойи ее приращения,рассчитанногометодом линеаризации.
Еслиисходный режимработы нелинейногорезисторанеизвестен,то следуетзадаться рабочейточкой на егоВАХ и, осуществивсоответствующуюлинеаризацию,произвестирасчет, по окончаниикоторого необходимопроверить,соответствуютли его результатывыбраннойточке. В случаеих несовпадениялинеаризованныйучасток уточняется,расчет повторяетсяи так до получениятребуемойсходимости
Итерационныеметоды расчета
Решениенелинейногоуравнения(системы нелинейныхуравнений),описывающего(описывающих)состояниеэлектрическойцепи, можетбыть реализованоприближеннымичисленнымиметодами. Решениенаходитсяследующимобразом: наоснове первой,достаточногрубой, оценкиопределяетсяначальноезначение корня(корней), послечего производитсяуточнение повыбранномуалгоритму довхождения вобласть заданнойпогрешности.
Наиболееширокое применениев электротехникедля численногорасчета нелинейныхрезистивныхцепей получилиметод простойитерации иметод Ньютона-Рафсона,основные сведенияо которых приведеныв табл. 1.
Таблица1. Итерационныеметоды расчета
Последователь-ностьрасчета | Геометрическаяиллюстрацияалгоритма | Условиесходимостиитерации | Примечание |
| Методпростой итерации 1.Исходноенелинейноеуравнениеэлектрическойцепи  ,где  -искомаяпеременная,представляетсяв виде  .2. Производитсярасчет поалгоритму  где  - шагитерации. |  Здесь -заданнаяпогрешность | Наинтервалемежду приближенными точным значениямикорня должновыполнятьсянеравенство  | 1.Начальноеприближение  обычнонаходитсяиз уравнения припренебрежениив нем нелинейнымичленами.2. Методраспространимна системунелинейныхуравненийn-го порядка.Например, прирешении системы2-го порядка  итерационныеформулы имеютвид  ;  .3. Прирешении системыуравненийсходимостьобычно проверяетсяв процессеитерации. |
| МетодНьютона- -Рафсона 1. Наоснованииисходногонелинейногоуравненияэлектрическойцепи ,где -искомаяпеременная,записываетсяитерационнаяформула   где  -шаг итерации.2.Пополученнойформуле проводитсяитерационныйрасчет |  Здесь -заданнаяпогрешность | Наинтервалемежду приближенными точным значениямикорня должнывыполнятьсянеравенства  | Примечанияп. 1,2 и 3 к методупростой итерациираспространимына методНьютона-Рафсона.При этом прирешении системы2-го порядка  итерационныеформулы имеютвид  где    |
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.: Энергия-1972. –200с.
МатхановП.Н. Основыанализа электрическихцепей. Нелинейныецепи.: Учеб. длястуд. электротехн.спец. вузов.2-е изд., переработ.и доп. –М.: Высш.шк., 1986. –352с.
ЧуаЛ.О., Лин Пен-Мин.Машинныйанализ электронныхсхем: алгоритмыи вычислительныеметоды: Пер. сангл. –М.: Энергия,1980. – 640 с.
Сборникзадач и упражненийпо теоретическиосновам электротехники:Учеб. пособиедля вузов /Подред. проф. П.А.Ионкина.–М.: Энергоиздат,1982. –768 с.
Контрольныевопросы и задачи
Как рассчитываютсяцепи с однимнелинейнымрезистороми произвольнымчислом линейных?
Вчем преимуществаи недостаткианалитическихметодов расчетапо сравнениюс графическими?
Какиеаналитическиеметоды используютсядля расчетанелинейныхрезистивныхцепей постоянноготока?
Вчем сущностьметода линеаризации?Для решениякаких двухтипов задачон применяется?
Чтотакое эквивалентныесхемы дляприращений?Как они составляются?
Каковапоследовательностьрасчета нелинейныхцепей итерационнымиметодами?
-
Вдиагоналимоста находитсянелинейныйрезистор, ВАХкоторогоаппроксимированавыражением
,где 
.Линейныесопротивленияпротивоположныхплеч мостапопарно равны: 
; 
.Определитьмощность,рассеиваемуюнелинейнымрезистором,если схемапитается отисточника сЭДС 
.
Ответ:Р=2 Вт.
-
Определитьток в цепи,состоящей изпоследовательносоединенныхлинейного
инелинейногорезисторов,если криваяВАХ последнего проходитчерез точкис координатами(15 В; 1,425 А) и (5 В; 0,325 А) иаппроксимированавыражениемвида 
.ЭДС на входецепи .
Ответ:
.-
В схеме предыдущейзадачи ВАХнелинейногорезистораописываетсявыражением(ток – в амперах,напряжение– в вольтах)
; 
; .Определитьнапряжение нанелинейномрезисторе иток 
внем методомНьютона-Рафсона.
Ответ:
; 
.-
В цепи на рис.1,б
, 
.ВАХ нелинейногорезисторааппроксимированадвумя прямолинейнымиотрезками,первый из которыхпроходит черезточки с координатами(0 В; 0 А) и (9 В; 2 А), авторой – черезточки с координатами(9 В; 2 А) и (12 В; 6 А). Определитьток в цепи.
Ответ:
.ЛекцияN 32
Нелинейныемагнитные цепипри постоянныхпотоках.
Основныепонятия и законымагнитных цепей
Прирешении электротехническихзадач все веществав магнитномотношенииделятся на двегруппы:
-
ферромагнитные(относительнаямагнитнаяпроницаемость
); -
неферромагнитные(относительнаямагнитнаяпроницаемость
).
Дляконцентрациимагнитногополя и приданияему желаемойконфигурацииотдельные частиэлектротехническихустройстввыполняютсяиз ферромагнитныхматериалов.Эти части называютмагнитопроводамиили сердечниками.Магнитныйпоток создаетсятоками, протекающимипо обмоткамэлектротехническихустройств, реже– постояннымимагнитами.Совокупностьустройств,содержащихферромагнитныетела и образующихзамкнутую цепь,вдоль которойзамыкаютсялинии магнитнойиндукции, называютмагнитнойцепью.
Магнитноеполе характеризуетсятремя векторнымивеличинами,которые приведеныв табл. 1.
Таблица1. Векторныевеличины,характеризующиемагнитное поле
Наименование | Обозначение | Единицы измерения | Определение |
Вектормагнитнойиндукции | | Тл (тесла) | Векторнаявеличина,характеризующаясиловое действиемагнитногополя на токпо закону Ампера |
Векторнамагниченности |  | А/м | Магнитныймомент единицыобъема вещества |
Векторнапряженностимагнитногополя |  | А/м |   ,где   Гн/м-магнитнаяпостоянная |
Основныескалярныевеличины,используемыепри расчетемагнитныхцепей, приведеныв табл. 2.
Таблица2. Основныескалярныевеличины,характеризующиемагнитную цепь
Наименование | Обозначение | Единица измерения | Определение |
Магнитныйпоток |  | Вб (вебер) | Потоквектора магнитнойиндукции черезпоперечноесечение  магнитопровода  |
Магнитодвижущая(намагничивающая)сила МДС (НС) |  | A |  где -токв обмотке,  -числовитков обмотки |
Магнитноенапряжение |  | А | Линейныйинтеграл отнапряженностимагнитногополя  ,где  и  -граничныеточки участкамагнитнойцепи, для которогоопределяется  |
Характеристикиферромагнитныхматериалов
Свойстваферромагнитныхматериаловхарактеризуютсязависимостью
магнитнойиндукции отнапряженностимагнитногополя. При этомразличаюткривые намагничивания,представляющиесобой однозначныезависимости ,и гистерезисныепетли - неоднозначныезависимости (см.рис. 1). 
Основныепонятия, характеризующиезависимости
,приведены втабл. 3.Таблица3. Основныепонятия, характеризующиезависимости
Понятие | Определение |
Магнитный гистерезис | Явлениеотставанияизменениямагнитнойиндукции B отизменениянапряженностимагнитногополя H |
Статическаяпетля гистерезиса | Зависимость ,получаемаяпутем рядаповторныхдостаточномедленныхизменениймагнитнойнапряженностив пределахвыбранногозначения  (см.кривые 1 на рис.1).Площадьстатическойпетли гистерезисахарактеризуетсобой потерина магнитныйгистерезисза один периодизменениямагнитнойнапряженности |
Начальнаякривая намагничивания | Криваянамагничиванияпредварительноразмагниченногоферромагнетика(B=0;H=0) при плавномизменениимагнитнойнапряженностиH. Представляетсобой однозначнуюзависимость иобычно близкак основнойкривой намагничивания |
Основнаякривая намагничивания | Геометрическоеместо вершинпетель магнитногогистерезиса(см. кривую 2 нарис. 1). Представляетсобой однозначнуюзависимость |
Предельнаяпетля гистерезиса(предельныйцикл) | Симметричнаяпетля гистерезисапри максимальновозможномнасыщении |
Коэрцитивная(задерживающая)сила | Напряженностьмагнитногополя Нс, необходимаядля доведениямагнитнойиндукции впредварительнонамагниченномферромагнетикедо нуля. В справочнойлитературеобычно даетсядля предельнойпетли гистерезиса |
Остаточнаяиндукция | Значениеиндукциимагнитногополя Вr приравной нулюнапряженностимагнитногополя. В справочнойлитературеобычно даетсядля предельногоцикла |
Магнитомягкиеи магнитотвердыематериалы
Перемагничиваниеферромагнитногоматериаласвязано с расходомэнергии на этотпроцесс. Какуже указывалось,площадь петлигистерезисахарактеризуетэнергию, выделяемуюв единице объемаферромагнетиказа один циклперемагничивания.В зависимостиот величиныэтих потерьи соответственноформы петлигистерезисаферромагнитныематериалыподразделяютсяна магнитомягкиеи магнитотвердые.Первые характеризуютсяотносительноузкой петлейгистерезисаи круто поднимающейсяосновной кривойнамагничивания;вторые обладаютбольшой площадьюгистерезиснойпетли и пологоподнимающейсяосновной кривойнамагничивания.
Магнитомягкиематериалы(электротехническиестали, железоникелевыесплавы, ферриты)определяютмалые потерив сердечникеи применяютсяв устройствах,предназначенныхдля работы припеременныхмагнитныхпотоках (трансформаторы,электродвигателии др.). Магнитотвердыематериалы(углеродистыестали, вольфрамовыесплавы и др.)используютсядля изготовленияпостоянныхмагнитов.
Статическаяи дифференциальнаямагнитныепроницаемости
Статическаямагнитнаяпроницаемость(в справочниках начальная и максимальная)
 | (1) |
о
пределяетсяпо основнойкривой намагничиванияи в силу еенелинейностине постояннапо величине(см. рис. 2).Величина
определяетсятангенсом угланаклона касательнойв начале кривой .Кроместатическойвводится понятиедифференциальноймагнитнойпроницаемости,устанавлива-ющейсвязь междубесконечномалыми приращениямииндукции инапряженности
 . | (2) |
Кривые
и 
имеютдве общие точки:начальную иточку, соответствующуюмаксимуму 
(см.рис. 2).Приучете петлигистерезисастатическаямагнитнаяпроницаемость,определяемаясогласно (1), теряетсмысл. При этомзначения
определяютпо восходящейветви петлипри 
ипо нисходящей– при 
.Припеременноммагнитномпотоке вводитсятакже понятиединамическоймагнитнойпроницаемости,определяемойсоотношением,аналогичным(2), по динамическойхарактеристике.
Основныезаконы магнитныхцепей
Воснове расчетамагнитных цепейлежат два закона(см. табл. 4).
Таблица4.. Основныезаконы магнитнойцепи
Наименование | Аналитическоевыражениезакона | Формулировказакона |
Закон(принцип) непрерывностимагнитногопотока |  | Потоквектора магнитнойиндукции череззамкнутуюповерхностьравен нулю |
Законполного тока |  | Циркуляциявектора напряженностивдоль произвольногоконтура равнаалгебраическойсумме токов,охватываемыхэтим контуром |
Прианализе магнитныхцепей и, в первуюочередь, приих синтезеобычно используютследующиедопущения:
-магнитнаянапряженность,соответственномагнитнаяиндукция, вовсех точкахпоперечногосечения магнитопроводаодинакова
-потоки рассеянияотсутствуют(магнитныйпоток черезлюбое сечениенеразветвленной части магнитопроводаодинаков);
-сечение воздушногозазора равносечению прилегающихучастковмагнитопровода.
Этопозволяетиспользоватьпри расчетахзаконы Кирхгофаи Ома для магнитныхцепей (см. табл.5), вытекающиеиз законов,сформулированныхв табл. 4.
Таблица5. Законы Кирхгофаи Ома для магнитныхцепей
Наименованиезакона | Аналитическоевыражение закона | Формулировказакона |
Первыйзакон Кирхгофа |  | Алгебраическаясумма магнитныхпотоков в узлемагнитопроводаравна нулю |
Второйзакон Кирхгофа |  | Алгебраическаясумма падениймагнитногонапряжениявдоль замкнутогоконтура равнаалгебраическойсумме МДС,действующихв контуре |
ЗаконОма |  где  | Падениемагнитногонапряженияна участкемагнитопроводадлиной  равнопроизведениюмагнитногопотока и магнитногосопротивления  участка |
Сформулированныезаконы и понятиямагнитных цепейпозволяютпровести формальнуюаналогию междуосновнымивеличинамии законами,соответствующимиэлектрическими магнитнымцепям, которуюиллюстрируеттабл. 6.
Таблица6. Аналогиявеличин и законовдля электрическихи магнитныхцепей
Электрическаяцепь | Магнитнаяцепь |
| Ток  | Поток  |
| ЭДС  | МДС(НС)  |
| Электрическоесопротивление  | Магнитноесопротивление  |
| Электрическоенапряжение  | Магнитноенапряжение  |
| Первыйзакон Кирхгофа:  | Первыйзакон Кирхгофа: |
| Второйзакон Кирхгофа:  | Второйзакон Кирхгофа:  |
| ЗаконОма:  | ЗаконОма:  |
Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Контрольныевопросы и задачи
Какие векторныевеличиныхарактеризуютмагнитноеполе?
Какиеосновные понятиясвязаны с петлейгистерезиса?
Чтохарактеризуетплощадь гистерезиснойпетли?
Какиеферромагнитныематериалы ипочему используютсядля изготовлениясердечниковдля машинпеременноготока?
Назовитеосновные законымагнитногополя?
Вчем заключаютсяосновные допущения,принимаемыепри расчетемагнитныхцепей?
Проведитеаналогию междуэлектрическимии магнитнымицепями?
Магнитнаяиндукция всердечникепри напряженностиН=200 А/м составляетВ=1,0 Тл. Определитьотносительнуюмагнитнуюпроницаемость.
Ответ:
.-
Определитьмагнитноесопротивлениеучастка цепидлиной
исечением 
,если 
.
Ответ:
.В условияхпредыдущейзадачи определитьпадение магнитногонапряженияна участке,если индукцияВ=0,8 Тл.
Ответ:
.ЛекцияN 33
Общаяхарактеристиказадач и методоврасчета магнитныхцепей
Указаннаяв предыдущейлекции формальнаяаналогия междуэлектрическимии магнитнымицепями позволяетраспространитьвсе методы итехнику расчетанелинейныхрезистивныхцепей постоянноготока на нелинейныемагнитные цепи.При этом длянаглядностиможно составитьэквивалентнуюэлектрическуюсхему замещенияисходноймагнитной цепи,с использованиемкоторой выполняетсярасчет.
Нелинейностьмагнитных цепейопределяетсянелинейнымхарактеромзависимости
,являющейсяаналогом ВАХ 
иопределяемойхарактеристикойферромагнитногоматериала .При расчетемагнитных цепейпри постоянныхпотоках обычноиспользуютосновную кривуюнамагничивания.Петлеобразныйхарактер зависимости учитываетсяпри расчетепостоянныхмагнитов иэлектротехническихустройств наих основе.Прирасчете магнитныхцепей на практикевстречаютсядве типичныезадачи:
-задачаопределениявеличинынамагничивающейсилы (НС), необходимойдля созданиязаданногомагнитногопотока (заданноймагнитнойиндукции) накаком - либоучастке магнитопровода(задача синтезаили “прямая“задача);
-задачанахожденияпотоков (магнитныхиндукций) наотдельныхучастках цепипо заданнымзначениям НС(задача анализаили “обратная”задача).
Следуетотметить, чтозадачи второготипа являютсяобычно болеесложными итрудоемкимив решении.
Вобщем случаев зависимостиот типа решаемойзадачи (“прямой”или “обратной”)решение можетбыть осуществленоследующимиметодами:
-регулярными;
-графическими;
-итерационными.
Приэтом при использованиикаждого из этихметодов первоначальнонеобходимоуказать насхеме направленияНС, если известнынаправлениятоков в обмотках,или задатьсяих положительныминаправлениями,если их нужноопределить.Затем задаютсяположительныминаправлениямимагнитныхпотоков, послечего можнопереходитьк составлениюэквивалентнойсхемы замещенияи расчетам.
Магнитныецепи по своейконфигурациимогут бытьподразделенына неразветвленныеи разветвленные.В неразветвленноймагнитной цепина всех ее участкахимеет местоодин и тот жепоток, т.е. различныеучастки цеписоединены междусобой последовательно.Разветвленныемагнитные цеписодержат дваи более контура.
Регулярныеметоды расчета
Даннымиметодами решаютсязадачи первоготипа -”прямые”задачи. Приэтом в качествеисходных данныхдля расчетазаданы конфигурацияи основныегеометрическиеразмеры магнитнойцепи, кривая(кривые) намагничиванияферромагнитногоматериала имагнитный потокили магнитнаяиндукция вкаком-либосечении магнитопровода.Требуется найтиНС, токи обмотокили, при известныхзначенияхпоследних,число витков.
1.Прямая” задачадля неразветвленноймагнитной цепи
Решениезадач подобноготипа осуществляетсяв следующейпоследовательности:
1.Намечаетсясредняя линия(см. пунктирнуюлинию на рис.1),которая затемделится научастки с одинаковымсечениеммагнитопровода.
2. Исходяиз постоянствамагнитногопотока вдольвсей цепи,определяютсязначения индукциидля каждого
-гоучастка: 
.3.По кривойнамагничиваниядля каждогозначения
находятсянапряженности 
наферромагнитныхучастках;напряженностьполя в воздушномзазоре определяетсясогласно 
4. По второмузакону Кирхгофадля магнитнойцепи определяетсяискомая НСпутем суммированияпадений магнитногонапряжениявдоль контура:
,где
-длинавоздушногозазора.2.“Прямая” задачадля разветвленноймагнитной цепи
Расчетразветвленныхмагнитных цепейоснован насовместномприменениипервого и второгозаконов Кирхгофадля магнитныхцепей. Последовательностьрешения задачданного типав целом соответствуетрассмотренномувыше алгоритмурешения “прямой”задачи длянеразветвленнойцепи. При этомдля определениямагнитныхпотоков научасткахмагнитопровода,для которыхмагнитнаянапряженностьизвестна илиможет бытьвычислена наоснованиивторого законаКирхгофа, следуетиспользоватьалгоритм
 | по | |  |
Востальныхслучаях неизвестныемагнитныепотоки определяютсяна основаниипервого законаКирхгофа длямагнитныхцепей.
В
качестве примераанализа разветвленноймагнитной цепипри заданныхгеометриимагнитной цепина рис. 2 и характеристике ферромагнитногосердечникаопределим НС 
,необходимуюдля созданияв воздушномзазоре индукции 
.Алгоритмрешения задачиследующий:
1.Задаем положительныенаправлениямагнитныхпотоков в стержняхмагнитопровода(см. рис. 2).
2.Определяемнапряженностьв воздушномзазоре
ипо зависимости для 
-значение 
.3.По второмузакону Кирхгофадля правогоконтура можнозаписать
откуданаходим
ипо зависимости - 
.4.В соответствиис первым закономКирхгофа
.Тогда
,и по зависимости определяем 
.5.В соответствиисо вторым закономКирхгофа дляискомой НСимеет местоуравнение
.Графическиеметоды расчета
Графическимиметодами решаютсязадачи второготипа - “обратные”задачи. Приэтом в качествеисходных данныхдля расчетазаданы конфигурацияи геометрическиеразмеры магнитнойцепи, кривая(кривые) намагничиванияферромагнитногоматериала, атакже НС обмоток.Требуется найтизначения потоков(индукций) наотдельныхучасткахмагнитопровода.
Данныеметоды основанына графическомпредставлениивебер-амперныххарактеристик
линейныхи нелинейныхучастков магнитнойцепи с последующимрешениемалгебраическихуравнений,записанныхпо законамКирхгофа, спомощью соответствующихграфическихпостроенийна плоскости.1.“Обратная”задача длянеразветвленноймагнитной цепи
Решениезадач подобноготипа осуществляетсяв следующейпоследовательности:
1.Задаются значениямипотока и определяютдля них НС
,как при решении“прямой” задачи.При этом следуетстремитьсяподобрать двадостаточноблизких значенияпотока, чтобыполучить 
,несколькоменьшую и несколькобольшую заданнойвеличины НС.2.По полученнымданным строитсячасть характеристики
магнитнойцепи (вблизизаданногозначения НС),и по ней определяетсяпоток, соответствующийзаданной величинеНС.Прирасчете неразветвленныхмагнитныхцепей, содержащихвоздушныезазоры, удобноиспользоватьметод пересечений,при которомискомое решениеопределяетсяточкой пересечениянелинейнойвебер-ампернойхарактеристикинелинейнойчасти цепи илинейнойхарактеристикилинейногоучастка, строящейсяна основанииуравнения
где
-магнитноесопротивлениевоздушногозазора.2.“Обратная”задача дляразветвленноймагнитной цепи
З
аменамагнитной цепиэквивалентнойэлектрическойсхемой замещения(см. рис. 3, на которомприведена схемазамещениямагнитной цепина рис. 2) позволяетрешать задачиданного типас использованиемвсех графическихметодов и приемов,применяемыхпри анализеаналогичныхнелинейныхэлектрическихцепей постоянноготока.Вэтом случаепри расчетемагнитныхцепей, содержащихдва узла (такуюконфигурациюимеет большоечисло используемыхна практикемагнитопроводов),широко используетсяметод двухузлов. Идеярешения даннымметодом аналогичнарассмотреннойдля нелинейныхрезистивныхцепей постоянноготока и заключаетсяв следующем:
1.Вычисляютсязависимости
потоковво всех -хветвях магнитнойцепи в функцииобщей величины-магнитногонапряжения 
междуузлами 
и 
.2.Определяется,в какой точкеграфическиреализуетсяпервый законКирхгофа
Соответствующиеданной точкепотоки являютсярешением задачи.Итерационныеметоды расчета
Данныеметоды, сущностькоторых быларассмотренапри анализенелинейныхрезистивныхцепей постоянноготока, являютсяприближеннымичисленнымиспособамирешения нелинейныхалгебраическихуравнений,описывающихсостояниемагнитной цепи.Как было отмеченовыше, они хорошоподдаютсямашиннойалгоритмизациии в настоящеевремя широкоиспользуютсяпри исследованиисложных магнитныхцепей на ЦВМ.При анализеотносительнопростых цепей,содержащихнебольшое числоузлов и нелинейныхэлементов вэквивалентнойэлектрическойсхеме замещения(обычно додвух-трех), возможнареализацияметодов “вручную”.
Вкачестве примераприведем алгоритмрасчета магнитнойцепи на рис. 1,в которой призаданных геометриимагнитопровода,характеристике
материаласердечникаи величине НСF необходимонайти потокФ.Всоответствиис пошаговымрасчетом дляданной цепиможно записать
 , | (1) |
где
.Задаемсязначением
,вычисляем для -хучастковмагнитопровода 
,по кривойнамагничивания находим 
,подсчитываем 
ипо (1) определяем 
дляследующегоприближенияи т.д., пока сзаданной погрешностьюне будет выполнятьсяравенство 
.Статическаяи дифференциальнаяиндуктивностикатушки
сферромагнитнымсердечником
Пустьимеем катушкус ферромагнитнымсердечником,представленнуюна рис. 4.
В
соответствиис определениемпотокосцепления  , | (2) |
ина основаниизакона полноготока
,откуда  . | (3) |
Изсоотношений(2) и (3) вытекает,что функция
качественноимеет такойже вид, что и .Таким образом,зависимостиотносительноймагнитнойпроницаемости 
ииндуктивности 
такжеподобны, т.е.представленныев предыдущейлекции на рис.2 кривые 
и 
качественноаналогичныкривым 
и 
.Статическаяиндуктивностькатушки сферромагнитнымсердечником
;дифференциальнаяиндуктивность
.Еслимагнитнуюпроводимостьсердечникана рис. 4 обозначитьчерез
,то 
и 
,откуда  | (4) |
Используясоотношение(4), покажем влияниевоздушногозазора наиндуктивностькатушки.
Пустькатушка на рис.4 имеет воздушныйзазор
.Тогда полноемагнитноесопротивлениеконтура 
,откуда
.При
,следовательно 
.Такимобразом, воздушныйзазор линеаризуеткатушку сферромагнитнымсердечником.Зазор, для котороговыполняетсянеравенство
,называетсябольшим зазором.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Контрольныевопросы и задачи
Какие два типазадач встречаютсяпри расчетемагнитныхцепей? Дайтеим характеристику.
Какиесуществуютметоды расчетамагнитныхцепей?
Какимиметодами решаются«обратные»задачи?
Каквлияет воздушныйзазор на индуктивностьнелинейнойкатушки?
Чтотакое большойзазор?
-
Вмагнитной цепина рис. 2 заданы
и .Составитьалгоритм расчетадлины воздушногозазора . -
Составитьалгоритмитерационногорасчета потокав воздушномзазоре магнитнойцепи на рис. 2при заданнойНС
. -
Запишитезакон электромагнитнойиндукции сиспользованиемстатической
идифференциальной 
индуктивностей.
ЛекцияN 34
Нелинейныецепи переменноготока в стационарныхрежимах
Особенностинелинейныхцепей при переменныхтоках
Наиболеесущественнаяособенностьрасчета нелинейныхцепей припеременныхтоках заключаетсяв необходимостиучета в общемслучае динамическихсвойств нелинейныхэлементов, т.е.их анализ следуетосуществлятьна основединамическихвольт-амперных,вебер-амперных,и кулон-вольтныххарактеристик.
Еслинелинейныйэлемент являетсябезынерционным,то его характеристикив динамическихи статическихрежимах совпадают,что существенноупрощает расчет.Однако на практикеидеальнобезынерционныхэлементов несуществует.Отнесениенелинейногоэлемента кклассу безынерционныхопределяетсяскоростьюизменениявходных воздействий:если периодТ переменноговоздействиядостаточномал по сравнениюс постояннойвремени
,характеризующейдинамическиесвойства нелинейногоэлемента, последнийрассматриваетсякак безынерционный;если это невыполняется,то необходимоучитыватьинерционныесвойства нелинейногоэлемента. 
Вкачестве примераможно рассмотретьцепь на рис.1 снелинейнымрезистором (термистором),имеющим вольт-ампернуюхарактеристику(ВАХ), представленнуюна рис. 2, и характеризующимсяпостояннойвремени нагрева
.Если
,то изображающаяточка перемещаетсяпо прямой 1 инелинейныйрезисторхарактеризуетсясопротивлением 
.При 
изображающаяточка перемещаетсяпо кривой 2, исвойства нелинейногорезистораопределяютсясопротивлением 
.Когда постояннаявремени нагреваt НР одного порядкас Т, соотношениямежду переменнымисоставляюшиминапряженияи тока являютсяболее сложными,определяющимисдвиг по фаземежду ними.Другойважной особенностьюнелинейныхэлементов вцепи переменноготока являетсявызываемоеими появлениевысших гармоникдаже при наличиив цепи толькоисточниковсинусоидальногонапряженияи (или) тока. Наэтом принципестроится, например,ряд умножителейчастоты, а такжепреобразователейформы тока илинапряжения.
Основныетипы характеристикнелинейныхэлементов вцепях переменноготока
Использованиединамическиххарактеристикнелинейныхэлементовпозволяетосуществлятьрасчет нелинейныхцепей для мгновенныхзначений переменных,т.е. проводитьпринципиальноее наиболееточный и полныйанализ. Однаков целом рядеслучаев такойрасчет можетоказатьсядостаточнотрудоемкимили избыточнымпо своей глубине.Поэтому в зависимостиот цели решаемойзадачи, а такжеот требованийк точностиполучаемыхрезультатов,помимо динамическойхарактеристики,могут использоватьсянелинейныехарактеристикипо первым гармониками для действующихзначений (см.табл. 1).
Таблица1. Определениеосновных типовхарактеристикнелинейныхэлементов
Типхарапктеристики | Определение | Примечание |
Динамическаяхарактеристика(характеристикадля мгновенныхзначений) | Характеристика,связывающаямгновенныезначения основныхопределяющихвеличин | Используетсяпри анализецепи по мгновеннымзначениям |
Характеристикапо первымгармоникам | Характеристика,связывающаяамплитуды(действующиезначения) первыхгармоник основныхопределяющихвеличин. Есливоздействующаявеличина содержитпостояннуюсоставляющую,то нелинейныйэлемент характеризуетсясемействомзависимостей,для которыхпостояннаясоставляющаяявляетсяпараметром.  | Определяетсяпо соответствующейхарактеристикедля мгновенныхзначений илиэкспериментально.Применяетсяпри использованииметода расчетапо первымгармоникам |
Характеристикадля действующихзначений | Характеристика,связывающаядействующиезначениясинусоидальныхи несинусоидальныхвеличин. Есливоздействующаявеличина содержитпостояннуюсоставляющую,то нелинейныйэлемент характеризуетсясемействомзависимостей,для которыхпостояннаясоставляющаяявляетсяпараметром | Определяется по соответствующейхарактеристикедля мгновенныхзначений илиэкспериментально. Применяетсяпри использованииметода расчетапо действующимзначениям |
Графическиеметоды расчета
Графическиеметоды расчетапозволяютпроводитьанализ нелинейныхцепей переменноготока для частныхзначений параметровс использованиемхарактеристикнелинейныхэлементов длямгновенныхзначений, попервым гармониками действующимзначениям (см.табл. 1).
Графическийметод с использованиемхарактеристикдля мгновенныхзначений
Вобщем случаеметодика анализанелинейнойцепи даннымметодом включаетв себя следующиеэтапы:
-исходяиз физическихсоображенийнаходят (еслион не задан)закон измененияодной из величин,определяющиххарактеристику
нелинейногоэлемента;-понелинейнойхарактеристике
дляизвестногозакона измененияпеременной 
путемграфическихпостроенийопределяюткривую 
(илинаоборот);-сиспользованиемполученнойзависимости
проводятанализ остальной(линейной) частицепи.Вкачестве примерапостроим присинусоидальнойЭДС
кривуютока в цепи нарис. 3, ВАХ 
диодав которойпредставлена на рис. 4.  |  |
Рис.4 |
Решение
1.Строим результирующуюВАХ
цепи(см. рис. 4) согласносоотношению 
2.Находя дляразличныхзначений
сиспользованиемполученнойкривой соответствующиеим значениятока, строимпо точкам (см.рис. 5) кривуюискомой зависимости 
.Кполученномурезультатунеобходимосделать следующийкомментарий.Использованиепри анализеподобных цепейВАХ идеальноговентиля (обратныйток отсутствует,в проводящемнаправлениипадение напряженияна диоде равнонулю) корректнопри достаточнобольших значенияхамплитуд приложенногок диоду напряжения,определяющихзначительноепревышениетоком, протекающимчерез вентильв прямом направлении,его обратноготока, вследствиечего последнимможно пренебречь.При снижениивеличин напряжения,когда эти токистановятсясопоставимымипо величине,следует использоватьВАХ реальногодиода,представленнуюна рис. 4 и учитывающуюналичие обратноготока.
Важнейшимэлементом вцепях переменноготока являетсякатушка сферромагнитнымсердечником.В общем случаекривая зависимости
имеетвид гистерезиснойпетли, но, посколькув устройствах,работающихпри переменномнапряжении,используютсямагнитныематериалы сузкой петлейгистерезиса,в большинствепрактическихслучаев допустимопри расчетахиспользоватьосновную (илиначальную)кривую намагничивания. У
словноеизображениенелинейнойкатушки индуктивностиприведено нарис. 6. Здесь –основной поток,замыкающийсяпо сердечнику, 
-поток рассеяния,которому впервом приближенииможно поставитьв соответствиепотокосцеплениерассеяния 
,где индуктивностьрассеяния 
всилу прохожденияпотоком частипути по воздуху.Длясхемы на рис.6 справедливоуравнение
 , | (1) |
где
.Вобщем случаев силу нелинейностизависимости
определитьна основании(1) несинусоидальныезависимости и 
достаточнонепросто. Вместес тем для реальныхкатушек индуктивностипадением напряжения 
иЭДС, обусловленнойпотоками рассеивания,вследствиеих малости,часто можнопренебречь.При этом из (1)получаем 
,откуда 
,где
постояннаяинтегрирования.Таккак характеристика
катушки(см. рис. 7) симметричнаотносительноначала координат,а напряжение 
симметричноотносительнооси абсцисс(оси времени),то кривая 
такжедолжна бытьсимметричнойотносительнопоследней,откуда следует,что 
. 
Находядля различныхзначений
сиспользованиемкривой соответствующиеим значениятока, строимпо точкам (см.рис. 7) кривуюзависимости 
.Анализполученногорезультатапозволяетсделать важныйвывод: присинусоидальнойформе потоканапряжение
накатушке синусоидально,а протекающийчерез нее токимеет явновыраженнуюнесинусоидальнуюформу. Аналогичноможно показать,что при синусоидальномтоке поток,сцепленныйс катушкой, инапряжениена ней несинусоидальны.Длясреднего значениянапряжения,наведенногопотоком, можнозаписать
 . | (2) |
Умножив(2) на коэффициентформы, получимвыражение длядействующегозначения напряжения
.
Вчастности, еслинапряжениеи поток синусоидальны,то
.Соотношение(2) является весьмаважным: измеряясреднее значениенапряжения,наведенногопотоком, по (2)можно определитьамплитудыпотока
ииндукции 
прилюбой форменелинейностикатушки.Аналогичнопроводитсяпостроениекривой
присинусоидальномпотоке и заданиизависимости ввиде петлигистерезиса.При этом следуетпомнить, чтоперемещениерабочей точкипо петле осуществляетсяпротив часовойстрелки (см.рис. 8). 
К полученномурезультатуследует сделатьследующийважный комментарий.Разложениепостроеннойкривой
вряд Фурье показывает,что перваягармоника тока(см. кривую 
нарис. 8) опережаетпо фазе потокосцеплениеи, следовательно,отстает по фазеот синусоидальногонапряженияна катушке наугол, меньший90°. Это указывает( 
)на потреблениекатушкой активноймощности,затрачиваемойна перемагничиваниесердечникаи определяемойплощадью петлигистерезиса.Литература
Основы теориицепей: Учеб.для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
БессоновЛ.А. Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Контрольныевопросы и задачи
В чем заключаютсяособенностинелинейныхцепей переменноготока?
Какиетипы характеристикиспользуютсяв цепях переменноготока для описаниянелинейныхэлементов?
Вкаких случаяхдопустимоиспользованиепри расчетахидеальных ВАХвентилей?
Почемунельзя потокосцеплениерассеяниякатушки представитькак произведениечисла ее виткови потока рассеяния?
Каккосвеннымпутем можноопределитьамплитудуиндукции магнитногополя, сцепленногос катушкой?
-
Построитькривые
и 
присинусоидальномтоке в нелинейнойкатушке. -
Почемупервая гармоникаразложениякривой тока
приучете гистерезиснойпетли отстаетот напряженияна угол, меньший90°? -
Определитьамплитудуосновногорабочего потокав сердечникенелинейнойкатушки сечением
,если при числевитков 
среднеезначение напряжения,обусловленногоизменениемпотока, 
;частота 
.
Ответ:
.ЛекцияN 35
Графическийметод с использованиемхарактеристик
по первымгармоникам
Прианализе нелинейнойцепи даннымметодом изменяющиесяпо сложномузакону переменныевеличины заменяютсяих первымигармониками,что позволяетиспользоватьвекторныедиаграммы.
Основныеэтапы расчета:
-строитсяграфик зависимости
нелинейногоэлемента дляпервых гармоник;-произвольнозадаются амплитудойодной из переменных,например
,связанной снелинейнымэлементом, ипо характеристике последнегонаходят другуюпеременную 
,определяющуюрежим работынелинейногоэлемента, послечего, принимаявсе величинысинусоидальноизменяющимисяво времени, наоснованиипостроениявекторнойдиаграммыопределяетсяамплитудапервой гармоники 
переменнойна входе цепи;-путемпостроенияряда векторныхдиаграмм дляразличныхзначений
строитсязависимость 
,по которой длязаданногозначения определяетсядействительнаявеличина ,на основаниичего проводитсяокончательныйанализ цепи.Графическийметод с использованиемхарактеристик
длядействующихзначений (методэквивалентныхсинусоид)
Прианализе нелинейнойцепи даннымметодом реальныенесинусоидальноизменяющиесяпеременныезаменяютсяэквивалентнымиим синусоидальнымивеличинами,действующиезначения которыхравны действующимзначениямисходныхнесинусоидальныхпеременных.Кроме того,активная мощность,определяемаяс помощьюэквивалентныхсинусоидальныхвеличин, должнабыть равнаактивной мощностив цепи с реальной(несинусоидальной)формой переменных.Используемыйприем переходак синусоидальнымвеличинамопределяетдругое названиеметода - методэквивалентныхсинусоид.
Строгоговоря, характеристиканелинейногоэлемента длядействующихзначений зависитот формы переменных,определяющихэту характеристику.Однако в первомприближении,особенно прикачественноманализе, этимфактом обычнопренебрегают,считая характеристикунеизменнойдля различныхформ переменных.Указанноеограничиваетвозможностипримененияметода дляцепей, где высшиегармоникииграют существеннуюроль, например,для цепей срезонанснымиявлениями навысших гармониках.
Переходк эквивалентнымсинусоидампозволяетиспользоватьпри анализецепей векторныедиаграммы. Всвязи с этимэтапы расчетаданным методомв общем случаесовпадают срассмотреннымив предыдущемразделе.
Методрасчета сиспользованиемхарактеристикдля действующихзначений широкоприменяетсядля исследованияявлений в цепях,содержащихнелинейнуюкатушку индуктивностии линейныйконденсатор(феррорезонансныхцепях), или цепяхс линейнойкатушкойиндуктивностии нелинейнымконденсатором.Кроме того,данный методприменяетсядля анализацепей с инерционныминелинейнымиэлементами,у которых постояннаявремени, характеризующаяих инерционныесвойства, многобольше периодапеременногонапряжения(тока) источникапитания. В этомслучае в установившихсярежимах инерционныенелинейныеэлементы можнорассматриватькак линейныес постояннымипараметрами(сопротивлением,индуктивностью,емкостью). Приэтом сами параметрыопределяютсяпо характеристикамнелинейныхэлементов длядействующихзначений и дляразличныхвеличин последнихявляются разными.
Феррорезонансныеявления
Различаютферрорезонансв последовательнойцепи (феррорезонанснапряжений)и феррорезонансв параллельнойцепи (феррорезонанстоков).
Рассмотримпервый из нихна основе схемына рис. 1. Для этогостроим (см. рис.2) прямую зависимости
,определяемуюсоотношением  . | (1) |
Далеедля двух значенийсопротивлений
( 
и 
)строим графикизависимостей 
:для -согласносоотношению 
(кривая нарис. 2); для -согласновыражению 
(кривая 
нарис. 2).Точкапересечениякривой
спрямой соответствуетферрорезонансунапряжений.Феррорезонансомнапряженийназываетсятакой режимработы цепи,содержащейпоследовательносоединенныенелинейнуюкатушку индуктивностии конденсатор,при которомпервая гармоникатока в цеписовпадает пофазе с синусоидальнымпитающим напряжением.В соответствиис данным определениемпри рассмотренииреальной катушкидействительнаявольт-ампернаяхарактеристика(ВАХ) цепи, дажепри значениисопротивленияпоследовательноговключаемогорезистора ,в отличие оттеоретической(кривая нарис. 2) не касаетсяоси абсцисси смещаетсявлево, чтообъясняетсяналичием высшихгармоник тока,а также потерямив сердечникекатушки. С учетомпоследнегонапряжениена катушкеиндуктивности 
,где 
-сопротивление,характеризующеепотери в сердечнике,в режиме феррорезонанса 
неравно напряжениюна конденсаторе.Из построенныхрезультирующихВАХ цепи видно,что при увеличениипитающегонапряженияв цепи имеетместо скачоктока: для кривой
-източки 1 в точку2, для кривой -източки 3 в точку4. Аналогичноимеет местоскачок токапри снижениипитающегонапряжения:для кривой -източки 5 в точку0; для кривой -източки 6 в точку7. Явление скачкообразногоизменения токапри изменениивходного напряженияназываетсятриггернымэффектом впоследовательнойферрорезонанснойцепи.Всоответствиис уравнением
 | (2) |
нарис. 3 и 4 построенывекторныедиаграммы длядвух произвольныхзначений тока(
)в режимах дои после резонансадля обеих ВАХ(для -соответственнорис. 3,а и 3,б; для -рис.4,а и 4,б); при этомсоответствующиевыбранным токамдействующиезначения напряжений,входящих в (2),взяты из графиковна рис. 2. 
Анализвекторныхдиаграмм позволяетсделать вывод,что в режимедо скачка токанапряжениена входе цепиопережает пофазе ток, а послескачка-отстает,т.е. в первомслучае нагрузканосит индуктивныйхарактер, а вовтором-емкостной.Таким образом,скачок токав феррорезонанснойцепи сопровождаетсяэффектомопрокидыванияфазы.
Феррорезонансв параллельнойцепи рассмотримна основе схемына рис. 5. Для этого,как и в предыдущемслучае, строим(см. рис. 6) прямую
,определяемуювыражением(1). 
Далее,поскольку
,в соответствиис соотношением 
строимрезультирующуюВАХ цепи.Точка
пересечениякривой 
спрямой 
соответствуетферрорезонансутоков. Необходимоотметить, чтов реальномслучае действительнаяВАХ цепи в отличиеот теоретическойне касаетсяоси ординат,что объясняетсяналичием высшихгармоник токаи неидеальностьюкатушки индуктивности.ИзпостроеннойВАХ
видно,что при увеличениитока источникаимеет местоскачок напряжения.Явление скачкообразногоизменениянапряженияпри изменениивходного токаназываетсятриггернымэффектом впараллельнойферрорезонанснойцепи. На рис.7 для двух (дои после резонанса)значений напряжения(
и 
)построенывекторныедиаграммы; приэтом соответствующиевыбраннымнапряжениямдействующиезначения токов 
и 
взятыиз графиковна рис. 6. 
Анализ векторныхдиаграмм показывает,что в режимедо скачка напряженияток источникаопережает пофазе входноенапряжение(рис. 7,а), а послескачка (рис.7,б) -отстает, т.е.в первом случаенагрузка носитемкостнойхарактер, а вовтором-индуктивный.Таким образом,скачок напряжениясвязан с эффектомопрокидыванияфазы.
Аналитическиеметоды расчета
Аналитическиеметоды, в отличиеот рассмотренныхвыше графических,позволяютпроводитьанализ нелинейнойцепи в общемвиде, а не длячастных значенийпараметровэлементовсхемы. В этомзаключаетсяих главноепреимущество.Однако аппроксимациянелинейнойхарактеристики,лежащая в основеданных методов,изначальнообусловливаетвнесение врасчеты большейили меньшейпогрешности.Как и при графическоманализе цепей,при применениианалитическихметодов используютсяхарактеристикинелинейныхэлементов длямгновенныхзначений, попервым гармониками для действующихзначений. Приэтом для расчетацепей переменноготока наиболееширокое распространениеполучили следующиеаналитическиеметоды:
-методаналитическойаппроксимации;
-методкусочно-линейнойаппроксимации;
-методгармоническогобаланса;
-методэквивалентныхсинусоид (методрасчета подействующимзначениям).
Впервых трехслучаях обычноиспользуютсяхарактеристикинелинейныхэлементов для мгновенныхзначений.Характеристикинелинейныхэлементов попервым гармоникамиспользуютсяпри применениичастного вариантаметода гармоническогобаланса - методарасчета попервым гармоникам.В свою очередь,метод эквивалентныхсинусоид основанна применениихарактеристикнелинейныхэлементов длядействующихзначений.
Методаналитическойаппроксимации
Данныйметод основанна аппроксимациихарактеристикнелинейныхэлементов аналитическимивыражениямис последующиманалитическимрешением системынелинейныхуравненийсостояния цепи.Точность, а сдругой стороны,сложностьрасчета методоманалитическойаппроксимациинепосредственнозависят от видапринятойаналитическойфункции, аппроксимирующейхарактеристикунелинейногоэлемента. Поэтомуее выбор являетсяважнейшимэтапом прианализе цепиданным методом.Как уже отмечалось,для получениябольшей точностирасчета необходимовыбиратьаппроксимирующуюфункцию, наиболееполно соответствующуюисходной нелинейнойхарактеристике,что, однако,может привестив общем случаек появлениюв уравненияхсостояниясложных математическихвыражений,часто трудноразрешимых(или вообщенеразрешимых)аналитически.С другой стороны,принятие чрезмернопростой функциидля аппроксимациипозволяетдостаточнобыстро получитьрезультат,однако погрешностьрасчета можетоказатьсянедопустимовысокой. Такимобразом, выбораппроксимирующейфункции вомногом зависитот поставленнойзадачи расчетаи требуемойточности егорезультатов.
Пусть,например, вцепи состоящейиз последовательносоединенныхисточника токас
инелинейнойкатушки индуктивности,заданная графическивебер-ампернаяхарактеристикакоторой можетбыть аппроксимированавыражением  , | (3) |
требуетсянайти напряжениена индуктивномэлементе.
Напервом этапеопределяемкоэффициенты
и аппроксимирующейфункции с учетомтого, что рабочийучасток заданнойграфическикривой ограниченсверху амплитудойА тока в цепи,что сразу даетодну из двухточек аппроксимации.Послеэтого подставляемв (3) выражение
,в результатечего получаем 
или,с учетом соотношения
.Тогдаискомое напряжениена катушкеиндуктивности
.Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
В чем состоитсущностьграфическогометода расчетас использованиемхарактеристикпо первымгармоникам?
Начем основанметод эквивалентныхсинусоид?
Вкаком случаеи как методэквивалентныхсинусоид можноприменять дляанализа цепейс инерционныминелинейнымиэлементами?
Какиецепи относятсяк феррорезонансным?
Чтоназываетсяферрорезонансомнапряжений?С помощью чегоможно обеспечитьданный режим?
Чтоназываетсяферрорезонансомтоков? С помощьючего можнообеспечитьданный режим?
Вчем заключаетсяэффект опрокидыванияфазы?
Какможно экспериментальноснять участки4-6 и 2-5 на рис. 2 иучасток 1-3 нарис. 6?
-
Длязаданной нарис. 2 кривой
построитьзависимость 
,обеспечивающуюскачок токас увеличениемнапряженияпри заданнойвеличине последнего.При решениипринять 
. -
Длязаданной нарис. 6 кривой
построитьзависимость ,обеспечивающуютриггерныйэффект призаданной величине тока.
ЛекцияN 36
Методкусочно-линейнойаппроксимации
Всоответствиис определениемданного метода,расчет нелинейнойцепи с егоиспользованиемвключает в себяв общем случаеследующиеосновные этапы:
1.Исходнаяхарактеристиканелинейногоэлемента заменяетсяломаной линией с конечнымчислом прямолинейныхотрезков.
2.Для каждогоучастка ломанойопределяютсяэквивалентныелинейные параметрынелинейногоэлемента ирисуютсясоответствующиелинейные схемызамещенияисходной цепи.
3.Решается линейнаязадача длякаждого отрезкав отдельности.
4.На основанииграничныхусловий определяютсявременныеинтервалыдвижения изображающейточки по каждомупрямолинейномуучастку (границысуществованияотдельныхрешений).Пустьвольт-ампернаяхарак-теристика(ВАХ) нелинейногорезистора имеетформу, представленнуюна рис. 1. Заменяяее ломанойлинией 4-3-0-1-2-5, получаемприведенныев табл. 1 расчетныеэквивалентныесхемы замещенияи соответ-ствующиеим линейныесоотношения.
Расчеткаждой из полученныхлинейных схемзамещения приналичии в цепиодного нелинейногоэлемента ипроизвольного числа
линейныхне представляеттруда. В этомслучае на основаниитеоремы обактивномдвухполюсникеисходная нелинейнаяцепь сначаласводится ксхеме, содержащейэквивалентныйгенератор снекоторымлинейным внутреннимсопротивлениеми последовательнос ним включенныйнелинейныйэлемент, послечего производитсяее расчет. Приналичии в цепипеременногоисточникаэнергии рабочая(изображающая)точка будетпостоянноскользить поаппроксимирующейхарактеристике,переходя черезточки излома.Переход черезтакие точкисоответствуетмгновенномуизменению схемызамещения.Поэтому задачаопределенияискомой переменнойсводится нетолько к расчетусхем замещения,но и к определениюмоментов“переключения”между ними,т.е. нахождениюграничныхусловий повремени. Анализсущественноусложняется,если в цепиимеется нескольконелинейныхэлементов.Главная трудностьв этом случаесвязана с тем,что заранеене известносочетаниелинейных участков,соответствующеезаданномувходному напряжению(току). Искомоесочетаниелинейных участковвсех нелинейныхэлементовопределяетсяперебором ихвозможныхсочетаний. Длялюбого принятогосочетанияпараметры схемыизвестны, и,следовательно,могут бытьопределенынапряженияи токи для всехэлементов. Еслиони лежат впределахсоответствующихлинейных участков,то принятоесочетание даетверный результат.Если хотя быу одного нелинейногоэлемента переменныевыходят заграницы рассматриваемоголинейногоучастка, тоследует перейти
Таблица1. Кусочно-линейнаяаппроксимацияВАХ нелинейногорезистора
| Участокаппроксимирующей кривой | Схемазамещения | Параметры элементов | Граничные условия |
вцепи на рис. 2,в которой 
.ВАХ нелинейногорезистора приведенана рис. 3, где 
.
,
ина участке4-1-источникомтока с током 
.  | (1) |
откуда
Придвижении изображающейточки по участку2-3 ВАХ имеем
,придвижении поучастку 1-4 ВАХ-
.3. Определяеминтервалыдвижения изображающейточки по отдельнымучасткам ВАХ.Для точки излома1 на основании(1) справедливоуравнение
или
.Отсюдаполучаем двазначения мгновеннойфазы питающегонапряженияна одном периоде,соответствующихточке 1:
.Первое значениеопределяетпереход изображающейточки с участка4-1 на участок1-2, второе – сучастка 2-1 научасток 1-4.Аналогичнозаписываемдля точки 2 изломаВАХ
или
откуда
(значение,соответствующеепереходу сучастка 1-2 научасток 2-3) и 
(значение,соответствующеепереходу сучастка 3-2 научасток 2-1).Такимобразом, получаемдля одногопериода питающегонапряжения
; 
; 
; 
; 
.
В соответствиис периодичностьюсинусоидальнойфункции данныерешения повторяютсячерез 360°n.
На рис.4 представленграфик зависимостиискомой величины.
Методгармоническогобаланса
Применениеаналитическоговыражения дляаппроксимациихарактеристикинелинейногоэлемента позволяетнаименее трудоемкопровести расчет,когда законизменения вовремени однойиз переменных,определяющихработу нелинейногоэлемента (токили напряжениедля резистора,потокосцеплениеили ток длякатушки индуктивности,заряд или напряжениедля конденсатора),задан или вытекаетиз предварительногоанализа физическихусловий протеканияпроцесса, чтоимело местопри решениипредыдущихзадач данногораздела. Еслитакая определенностьотсутствует,то задачу вобщем случаеможно решитьтолько приближенно.Одним из такихметодов, наиболеешироко применимымна практике,является методгармоническогобаланса.
Методоснован наразложениипериодическихфункций в рядФурье. В общемслучае искомыепеременныев нелинейнойэлектрическойцепи несинусоидальныи содержатбесконечныйспектр гармоник.Ожидаемоерешение можнопредставитьв виде суммыосновной инесколькихвысших гармоник,у которыхнеизвестнымиявляются амплитудыи начальныефазы. Подставляяэту сумму внелинейноедифференциальноеуравнение,записанноедля искомойвеличины, иприравниваяв полученномвыражениикоэффициентыперед гармониками(синусоидальнымии косинусоидальнымифункциями)одинаковыхчастот в еголевой и правойчастях, приходимк системе из2n алгебраическихуравнений, гдеn-количествоучтенных гармоник.Необходимоотметить, чтоточное решениетребует учетабесконечногочисла гармоник,что невозможноосуществитьпрактически.В результатеограничениячисла рассматриваемыхгармоник точныйбаланс нарушается,и решение становитсяприближенным.
Методикарасчета нелинейнойцепи даннымспособом включаетв себя в общемслучае следующиеосновные этапы:
1. Записываютсяуравнениясостояния цепидля мгновенныхзначений.
2. Выбираетсявыражениеаналитическойаппроксимациизаданнойнелинейности.
3. На основепредварительногоанализа цепии нелинейнойхарактеристикизадается выражениеискомой величиныв виде конечногоряда гармоникс неизвестнымина этом этапеамплитудами
иначальнымифазами 
.4. Осуществляетсяподстановкафункций, определенныхв пунктах 2 и3, в уравнениясостояния споследующейреализациейнеобходимыхтригонометрическихпреобразованийдля выделениясинусных икосинусныхсоставляющихгармоник.
5. Производитсягруппировкачленов в полученныхуравненияхпо отдельнымгармоникам,и на основанииприравниваниякоэффициентовпри однопорядковыхгармоникахв их левых иправых частях(в отдельностидля синусныхи косинусныхсоставляющих)записываетсясистема нелинейныхалгебраических(или трансцендентных)уравненийотносительноискомых амплитуд
иначальных фаз функцииразложенияопределяемойвеличины.6. Осуществляетсярешение (в общемслучае численнымиметодами наЭВМ) полученнойсистемы уравненийотносительно
и .Частнымслучаем методагармоническогобаланса являетсяметод расчетапо первым гармоникамнесинусоидальныхвеличин (методгармоническойлинеаризации),когда высшимигармоникамиискомых переменных,а также входныхвоздействийпренебрегают.При анализеиспользуетсяхарактеристиканелинейногоэлемента попервым гармоникам,для получениякоторой ваналитическоевыражениенелинейнойхарактеристикидля мгновенныхзначенийподставляетсяпервая гармоникаодной из двухпеременных,определяющихэту характеристику,и находитсянелинейнаясвязь междуамплитудамипервых гармоникэтих переменных.Этапы расчетасоответствуютизложеннымдля методагармоническогобаланса. Приэтом, в силутого, что конечнаясистема нелинейныхуравнений имеетвторой порядок,в ряде случаевпоявляетсявозможностьих аналитическогорешения. Крометого, посколькурассматриваютсятолько первыегармоникинесинусоидальныхвеличин, прирасчете можноиспользоватьсимволическийметод.
Пусть,например, вцепи, питаемойот источникасинусоидальногонапряжения
исостоящей изпоследовательносоединенныхлинейногорезистора инелинейнойкатушки, вебер-ампернаяхарактеристикакоторой заданааппроксимациейвида 
,необходимоопределитьпервую гармоникутока, задаваемуювыражением 
,где 
и 
-неизвестные(искомые величины).Длярешения определяеманалитическоевыражениехарактеристики
дляпервых гармоник: 
откуда
 . | (2) |
Послеподстановкивыражения токаи соотношения(2) в уравнениесостояния цепи
получаем
или
На основаниипоследнегополучаем системууравнений
изкоторых находимискомые параметры
и .Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
КаплянскийА.Е. и др. Теоретическиеосновы электротехники.Изд. 2-е. Учеб.пособие дляэлектротехническихи энергетическихспециальностейвузов. –М.: Высш.шк., 1972. –448 с.
Контрольныевопросы и задачи
В чем заключаетсясущность методакусочно-линейнойаппроксимации?
Начем основанметод гармоническогобаланса?
Сформулируйтеосновные этапырасчета нелинейнойцепи методомгармоническогобаланса.
Вчем состоитсущность методарасчета попервым гармоническим?
Какопределяетсяхарактеристиканелинейногоэлемента дляпервых гармоник?
Резистивнаянагрузка подключенак источникусинусоидальногонапряжениячерез последовательновключенныйс ней диод. СчитаяВАХ диода идеальной,определитькоэффициентмощности. Обоснуйтефизическиполученныйрезультат.
Ответ:
.-
Последовательносоединенныелинейный конденсаторс
инелинейнаякатушка, вебер-ампернаяхарактеристикакоторой аппроксимированавыражением 
,где 
,питаются отисточникасинусоидальногонапряжения 
.Ограничившисьрассмотрениемпервой и третьейгармонических,определитьпотокосцепление.
Ответ:
.ЛекцияN 37
Методэквивалентныхсинусоид (методрасчета подействующимзначениям)
Сущностьметода эквивалентныхсинусоид былаизложена влекции №35 прирассмотренииего графическойреализации.При аналитическомварианте примененияметода отсутствуетосновной этапграфическихпостроений,в частностивекторныхдиаграмм, которыйзаменяетсясоответствующимивычислениямис использованиеманалитическихсоотношенийдля комплексовэквивалентныхсинусоидальныхвеличин.
Графическийвариант примененияметода эквивалентныхсинусоидхарактеризуется,в первую очередьдля относительнопростых схем,большей наглядностью.В то же времяпри аналитическомподходе повышаетсяточность расчетовза счет устраненияпогрешностей,связанных сграфическимипостроениями.
Переходк эквивалентнымсинусоидамв сочетаниис символическимметодом позволяетсоставлятьэквивалентныесхемы замещенияс эквивалентнымипараметрами 
и 
.Трудностианализа и расчетазаключаютсяв том, что значенияэтих параметровзависят отискомых напряжений,токов и потоков,т. е. заранеене известны.Переходк эквивалентнымсинусоидамсоответствуетзамене реальныхпетель гистерезиса
или 
эквивалентнымиэллипсами. Нарис. 1 представленэквивалентныйэллипс, заменяющийреальную кривую ,которомусоответствуютпараметрическиеуравнения,определяемыесинусоидальнымифункциями 
где
-уголпотерь, определяющиймощность потерьв единице объемаферромагнетиказа один циклперемагничивания 
.Припеременныхтоках потерив стали сердечникаопределяютсяне толькогистерезисом,но и вихревымитоками, вызываемымипеременным потоком. Такимобразом, динамическаяпетля гистерезисашире статическойи отличаетсяот последнейпо форме. Отметим,что для уменьшенияпотерь от вихревыхтоков сердечникнабирают изизолированныхтонких листов(при частоте
Гцих толщина 
мм),выполненныхиз сталей соспециальнымиприсадками,снижающимипроводимость.Припренебрежениинеравномерностьюраспределениямагнитнойиндукции посечению мощностьпотерь от вихревыхтоков определяетсясоотношением
,где
-эмпирическийкоэффициент,определяемыйсортом сталии размеромлистов; G – массасердечника.Всвою очередьмощность потерьот гистерезиса
,гдеn=1,8…2,2 (часто в первомприближениипринимаетсяn=2);
-эмпирическийкоэффициент,зависящий отсорта стали.Полныепотери в стали
,помимо указанных,определяютсятакже дополнительными 
,связаннымис магнитнойвязкостьюматериала, т.е. 
.Дляопределенияпараметровэквивалентнойсинусоиды тока:его действующегозначения и углапотерь (фазовогосдвига относительномагнитногопотока) - удобнопользоватьсясоотношениемдля мощностипотерь в стали
инамагничивающеймощности
где
–напряжение,приложенноек нелинейнойкатушке индуктивностис числом витков иплощадью сечениясердечника ; 
-соответственноудельные (наединицу массысердечника)потери в сталии намагничивающаямощность. Значения 
и 
берутсяиз экспериментальныххарактеристик 
и 
,выражающихзависимостиэтих величинот амплитудыиндукции (см.в качествепримера кривыена рис. 2) в режимесинусоидальнойиндукции.Переходк эквивалентнымсинусоидами соответственнок эквивалентномуэллипсу, заменяющемуреальную кривуюзависимости
,позволяетввести в рассмотрениеотносительнуюкомплекснуюмагнитнуюпроницаемость
где
-объем сталисердечникадлиной исечением ,икомплексноемагнитноесопротивление
являющеесяаналогом магнитномусопротивлению
внелинейныхцепях при постоянныхмагнитныхпотоках.Катушкас ферромагнитнымсердечником
Н
елинейнаякатушка индуктивностиизображенана рис. 3. ЗдесьR-активноесопротивлениеобмотки с числомвитков w; Ф-основнойпоток, замыкающийсяпо сердечнику; 
-потокрассеяния,которомусоответствуетиндуктивностьрассеяния 
ииндуктивноесопротивлениерассеяния 
.Различаютпараллельнуюи последовательнуюсхемы замещениякатушки сферромагнитнымсердечником.Эти схемы, атакже соответствующиеим соотношенияи векторныедиаграммыприведены втабл. 1.
Таблица1. Схемы замещения,уравнения ивекторныедиаграммы длякатушки cферромагнитнымсердечником
Схемазамещения | Уравненияи соотношениядля параметров | Векторнаядиаграмма |
| Параллельная  Последовательная |
где
где
,включаетсядополнительнаялинейная катушкаиндуктивностис сопротивлением 
катушкии комплексныммагнитнымсопротивлением 
сердечникаопределяетсясоотношением 
.
рансформаторс ферромагнитнымсердечникомизображен нарис. 4. Здесь 
и 
-активныесопротивленияпервичной ивторичнойобмоток с числамивитков 
и 
соответственно. 
-основной поток,замыкающийсяпо сердечнику. 
и 
-потоки рассеянияпервичной ивторичнойобмоток, которымсоответствуютиндуктивностирассеяния 
и 
ииндуктивныесопротивлениярассеяния 
и 
.Видинформации | Уравнения,соотношения,векторнаядиаграмма | Примечание |
| Уравнениядля первичнойи вторичнойцепей Коэффициенттрансформации Параметрывторичнойцепи, приведенныек первичной: напряжениена нагрузке ток ЭДС сопротивлениевторичнойобмотки сопротивлениенагрузки Уравненияприведенноготрансформатора |  где         где  | Управильносконструирован-ныхтрансформато-ровпри нагрузке,близкой кноминальной,  |
Схемазамещения |  |  Выражениядля  и  теже, что и длякатушки сферромагнитнымсердечником(см. табл. 1) |
Векторнаядиаграмма |
Диаграммастроится, начинаясо вторичногоконтура, дляпроизвольногорасположения
. 
-угол нагрузки
и 
,сечение 
ивоздушныйзазор 
,включена напеременноенапряжение 
;число витковобмотки 
.Пренебрегаярассеяниеми потерями встали сердечникаи считая активноесопротивлениеобмотки равным100 Ом, определитьпотребляемыйток и активнуюмощность. 
.
ичастотой 
,а потребляемаямощность 
.Число витковобмотки дросселя 
,а ее активноесопротивление 
.Измеренияпоказали, чтомаксимальноезначение рабочегопотока в сердечнике 
.Определитьпараметрыэлементовпараллельнойсхемы замещениядросселя. 
.
нелинейногоэлемента, например 
длявторой определяющейее переменнойпо алгоритму: 
.
, где 
; 
; 
.Вебер–амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности приведена на рис. 2. 
 . | (1) |
2.Используя метод условной линеаризации,определим второе слагаемоев левой части(1) как
 , | (2) |
где
; 
и 
- амплитуды потокосцепления и тока в установившемся послекоммутационном режиме; 
.3.Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение
,решением которого на основании классического метода расчета переходных процессов является
.4. Принужденная составляющая
определяется соотношением 
,где
.Для определения
и 
предположим(с последующей проверкой), что 
. При этом условии 
и 
. По зависимости для полученного значения найдем 
.Тогда 
и 
, т.е. сделанное выше предположение корректно.Следует отметить, что в общем случае значения
и могут быть определены, например, итерационным методом.Определив
, запишем 
.Поскольку по условию
, то 
.Таким образом,
 . | (3) |
6. Не решая трансцендентное уравнение, будем считать, что максимальное значение потокосцепления имеет место примерно через полпериода своего изменения, т.е. при
. Подставив это время в (3), получим: 
По кривой
для 
найдем максимальное значение тока 
, которое в 
раз превышает амплитуду тока в установившемся послекоммутационном режиме. Напомним, что для линейной цепи 
Примечания: 1. Обычно при использовании метода условной линеаризации для расчета переходного процесса при подключении нелинейной катушки индуктивности к источнику синусоидального напряжения эквивалентная линейная индуктивность
определяется исходя из амплитудных значений тока и потокосцепления в установившемся послекоммутационном режиме, как это и было сделано в рассмотренном выше примере. Однако если необходимо оценить максимально возможное значение тока, то величину индуктивности следует определять по начальному участку вебер–амперной характеристики, где максимальна.2.Если сопротивление резистора в ветви с нелинейной катушкой достаточно велико, такчто
, то следует пренебречь нелинейностью слагаемого 
, положив 
. В этом случае нелинейное уравнение (1) сводится к линейному вида 
,и соответственно кривая
определяется по кривым и .Метод аналитической аппроксимации
Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента аналитической функцией, которая должна, с одной стороны, достаточно точно отображать исходную нелинейную характеристику на участке перемещения рабочей точки, а с другой стороны, обеспечивать возможность достаточно несложного интегрирования полученного дифференциального уравнения (в частности, с использованием табличных интегралов).
Метод применим к нелинейным цепям с одним накопителем энергии, описываемым дифференциальными уравнениями первого порядка, а также к цепям, описываемым уравнениями, сводящимися к уравнениям первого порядка путем замены переменных.
Ц
енность метода заключается в получении выражения исследуемой величины вобщем виде, чтопозволяет осуществлять требуемый анализ процессов при варьировании параметров схемы.Вкачестве примераиспользованияметода определимток в схеме нарис. 3, полагая,что характеристика
нелинейнойкатушки имеетвид типовойкривой на рис.2.1.Для решения задачи выберем выражение аналитической аппроксимации вида
. Определяя параметр из условия соответствия данной функции точке установившегося послекоммутационного режима, получим  , | (4) |
где
.2.Подставив в уравнение переходного процесса
аналитическое выражение тока с учетом (4), получим
 | (5) |
Разделяя переменные и решая (5) относительно времени, запишем
 | (6) |
где
–начальное значение потокосцепления, соответствующее значению тока в момент коммутации 
.Выражение (6) соответствует табличному интегралу; в результате получаем
 . | (7) |
Подставив в последнее соотношение выражение потокосцепления в виде
,перепишем (7) как
.Метод кусочно–линейной аппроксимации
Данный метод основан на замене характеристики нелинейного элемента отрезками прямых, наосновании чего осуществляется переход от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким (по числу прямолинейных отрезков) линейным, которые отличаются друг от друга только значениями входящих в них коэффициентов. Необходимо помнить, что каждое из линейных уравнений справедливо для того временного интервала, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку. Временные границы для каждого участка определяются исходя из достижения одной (любой) из переменных, определяющих характеристику нелинейногоэлемента, своих граничных значений для рассматриваемого прямолинейного участка. В соответствии с законами коммутации значения тока в ветви с катушкой индуктивности или напряжения на конденсаторе в эти моменты времени являются начальными значениями соответствующих переменных для соседних прямолинейных участков, на основании чего определяются постоянные интегрирования. Значение параметра линеаризуемого нелинейногоэлемента для каждого участка ломаной определяется тангенсом угла, образованного рассматриваемым прямолинейным отрезком с соответствующей осью системы координат.
Вкачестве примерарассмотримприменениеданного методадля решенияпредыдущейзадачи.
1.Заменим рабочий участок зависимости
(см.рис. 2) двумя прямолинейными отрезками 
и 
. Первому из них соответствует уравнение 
, второму – 
.При этом начальнаяточка определяетсятоком 
,а конечнаяточка -током 
.Соответствующие этим участкам индуктивности
; 
.2. В соответствии с указанной линеаризацией нелинейное дифференциальное уравнение состояния цепи
заменяется двумя линейными:
; 
.3.Решением первого уравнения является
и второго -
,где
; 
; 
; 
.Время t1, соответствующее моменту перехода с первого участка на второй, определим из уравнения
,откуда
.Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
В чем заключаютсяособенностирасчета переходныхпроцессов внелинейныхцепях?
Вчем состоитсущность методаусловнойлинеаризации?С чем связанаего невысокаяточность?
Вчем заключаетсяосновноепреимуществометода аналитическойаппроксимации?
Следуетли применятьметод кусочно-линейнойаппроксимациидля расчетапереходныхпроцессов вцепях с питаниемот источникапеременногонапряжения?
-
Аппроксимируязависимость
выражением 
,определитьток в цепи нарис. 1 при еевключение напостоянноенапряжение .
Ответ:
.-
Заменив в цепина рис. 1 нелинейнуюкатушку индуктивностина нелинейныйконденсаторс характеристикой
,подобной нарис. 2, методомкусочно-линейнойаппроксимацииопределитьзависимость 
.
ЛекцияN 39
Графическиеметоды анализапереходныхпроцессов внелинейныхцепях
Графическиминазываются методы, в основекоторых лежатграфическиепостроенияна плоскости.По сравнениюс рассмотреннымивыше аналитическимиметодами ониобладают следующимиосновнымипреимуществами:
-отсутствиемпринципиальнойнеобходимостив аналитическомвыражениихарактеристикинелинейногоэлемента, чтоустраняетпогрешность,связанную сее аппроксимацией;
-возможностьюпроведениярасчетов придостаточносложных формахкривых нелинейныххарактеристик.
Главныйнедостатокграфическихметодов заключаетсяв получениирешения дляконкретныхзначений параметровцепи.
Основнымиграфическимиметодами,используемымипри решенииэлектротехническихзадач, являются:
1.Метод графического интегрирования
Метод графическогоинтегрированияоснован награфическомподсчетеопределенногоинтеграла изаключаетсяв последовательном нахождении площадей подсоответствующейподынтегральнойфункции кривой.Он применяетсядля анализаэлектрическихцепей, переходныепроцессы вкоторых описываютсядифференциальнымиуравнениямипервого порядкас разделяющимисяпеременными.
2.Метод изоклин
Данныйметод являетсяодним из наиболеешироко используемыхграфическихметодов приближенногоинтегрирования.Он непосредственноиспользуетсядля решенияуравненийпервого порядкавида
ипри этом включаетв себя в общемслучае следующиеэтапы:вплоскости
поуравнениямизоклин 
(изоклина - линия равногонаклона, вдолькоторой функция 
имеетпостоянноезначение, т.е.геометрическоеместо точек,для которых 
)строятся изоклиныдля различныхзначений угловогокоэффициента 
;вдолькаждой изоклинынаносятсячерточки снаклоном, определяемымсоответствующимзначением
;отточки
соответствующейначальномуусловию, строитсяинтегральнаякривая так,чтобы она пересекалакаждую изоклинупараллельнонанесеннымна ней черточкам; полученнаякривая являетсяграфиком искомойзависимости 
3.Метод фазовойплоскости
Методпозволяетосуществлятькачественноеисследованиединамическихпроцессов внелинейныхцепях, описываемыхдифференциальнымиуравнениямипервого и второгопорядков. Приэтом без непосредственного интегрированиянелинейныхдифференциальныхуравненийданный методдает возможностьполучитьпредставлениео процессе вцелом. В общемслучае исследования,проводимыеметодом фазовойплоскости,позволяютвыявить зависимостьхарактерапереходногопроцесса отначальныхусловий, судитьоб устойчивостиили неустойчивостиработы цепи,устанавливатьвозможностьпоявления вцепи автоколебаний с оценкой ихчастоты и формыи т. д.
Болееподробно сграфическимиметодами можнопознакомитьсяв [1,2,3].
Численныеметоды расчетапереходныхпроцессов
Численныеметоды анализадинамическихпроцессов внелинейныхэлектрическихцепях базируютсяна различныхчисленныхспособах приближенногоинтегрированиянелинейныхдифференциальныхуравнений. Вих основе лежитобщий принцип:исходноедифференциальноеуравнениезаменяетсяалгебраическимдля приращенийзависимой(исследуемой)переменнойза соответствующиеинтервалыизменениянезависимойпеременной(времени).
Основнымдостоинствомчисленныхметодов являетсяих универсальность,т.е. принципиальнаяпригодностьдля анализалюбой цепи. Этоособенно важнов случае нелинейныхцепей, для которыхне существуетобщих аналитическихметодов расчета.
Применительнок анализудинамическихпроцессов внелинейныхцепях наибольшеераспространениеполучили:
-метод переменныхсостояния;
-метод дискретныхмоделей.
Методпеременныхсостояния
Методпеременныхсостояния, какбыло показанопри анализепереходныхпроцессов влинейных цепях,основываетсяна составлениии интегрированиидифференциальныхуравнений,записанныхв нормальнойформе. Полнаясистема уравненийв матричнойформе имеетвид
 . | = |  | . |  | (1) |
Здесь
и 
-матрицы переменныхсостояния иих первых производныхпо временисоответственно;w(z) –матрица нелинейныхрезистивныхэлементов ;z –матрица аргументовнелинейныхрезистивныхэлементов ; v– матрица входныхвоздействий ( ЭДС и токовисточников) ; y –матрица искомыхвеличин.Присоставленииуравненийсостояния дляотносительнонесложных цепейони могут бытьзаписанынепосредственнопо законам Кирхгофа. Вобщем же случаедля этой целииспользуетсяили методика,основаннаяна составлениипо специальномуалгоритмутаблицы соединений,что было показанопри рассмотренииметода переменныхсостоянияприменительнок расчету линейныхцепей, или методика,базирующаясяна принципеналожения.
Методикасоставленияуравненийсостояния наоснове принципаналожения
Даннаяметодика составленияуравненийсостояниявытекает изразделенияисходной цепина две подсхемы:
-первая включаетв себя элементы,запасающиеэнергию, а такженелинейные резистивныеэлементы иисточникипитания;
-втораяохватываетлинейные резистивныеэлементы.
Примертакого представленияисходной цепиприведен нарис. 1,а, где пассивныймногополюсникП соответствуетвторой подсхеме.
Следующийэтап рассматриваемойметодики заключаетсяв замене наоснованиитеоремы о компенсациивсех конденсаторов,а также нелинейныхрезистивныхэлементов схарактеристикойтипа u(i) источниками напряжения,а всехкатушек индуктивностии нелинейныхрезистивныхэлементов схарактеристикойтипа i(u) – источникамитока (рис. 1,б). Врезультатеисходная цепьтрансформируетсяв резистивную,в которой, помимозаданных(независимых)источников,действуютуправляемыеисточники.
Рис.1 Натретьем этапес использованиемметода наложенияопределяютсявыражениявходных токови напряженийпассивногомногополюсникаП через напряженияи токи всехприсоединенныхк нему источников.
Вкачестве примерасоставим уравнениясостояния дляцепи на рис.2,а и определимвыражения
и 
.  | |
а) | б) |
Рис.2 | |
1.В соответствиис изложеннойметодикойзаменим исходнуюцепь схемойзамещения нарис. 2,б. На основанииметода наложенияэтой схемесоответствуетпять цепей,приведенныхна рис. 3. С ихиспользованиемдля тока
=dq/dt в ветви с конденсатороми напряжения 
назажимах катушкииндуктивностизапишем 
 | (2) |
| а) | б) | в) |
| г) | д) |
Рис.3
 | (3) |
2. Выражениедля искомогонапряжения
определяетсясогласно законуОма:  | ( 4) |
На основанииметода наложенияс использованиемрасчетных схемна рис. 3 для второйискомой переменной– тока
запишем|
 | ( 5) |
 |
3. Объединив (2)
(5) с учетом 
, получим матричное уравнение вида (1):  | = |  |  | . |
Векторначальныхзначений
= 
.Сравниваяв заключениерассмотренныеметодики составленияуравненийсостояния,можно отметить,что методика,основаннаяна использованиипринципа наложения,не содержитдостаточносложного этапаисключенияпеременныхрезистивныхветвей из уравненийсостояния,входящего вметодику составленияуравнений наоснове таблицысоединений.Вместе с темиспользованиеметода наложениядля сложныхцепей можеттакже оказатьсявесьма трудоемкойзадачей.
Методдискретныхмоделей
Методоснован наиспользованиидискретныхмоделей индуктивногои емкостногоэлементов ипозволяетсвести численныйанализ динамическихпроцессов внелинейныхцепях к последовательномурасчету накаждом шагенелинейныхрезистивныхцепей.
Дискретныемодели вытекаютиз неявныхалгоритмов,в частностииз обратнойформулы Эйлера.Эти модели,полученныена основе неявногоалгоритмаЭйлера, а такжевыражения дляпараметроввходящих в нихэлементовприведены втабл. 1.
Таблица1. Дискретныемодели индуктивногои емкостногоэлементов
Типэлемента | Аналитические соотношения | Дискретнаямодель |
 где  ;  ;  |
 где  ;  ;  . |
то 
и 
.
1Ом; 
4Ом. Вебер - ампернаяхарактеристиканелинейнойкатушки индуктивностиаппроксимированавыражением 
гдеток – в амперах,потокосцепление– в веберах.  | (6) |
г
дев соответствиис табл. 1
Значениедифференциальнойиндуктивностинелинейнойкатушки на k-мшаге
 | (7) |
2.Выберем шагинтегрирования
Наоснованиизакона коммутации 
Тогда 
ив соответствиис (7) 
.Параметрыэлементов схемызамещения: 
откудана основании(6) 
Наследующем шаге
тогда 
ипараметрыэлементов схемызамещения 
откуда
Результатыпошаговогорасчета согласноприведенномуалгоритмупредставленыв табл. 2 .
Таблица2. Результатырасчета
 |  |  |  |  |  |  |  |
с | А | Вб | Гн | Ом | В | А | |
0 | 0 | 0,2 | 0,585 | 0,974 | 0,974 | 0,195 | 0,605 |
1 | 1 | 0,605 | 0,846 | 0,466 | 0,466 | 0,282 | 0,874 |
2 | 2 | 0,874 | 0,956 | 0,365 | 0,365 | 0,319 | 0,966 |
3 | 3 | 0,966 | 0,989 | 0,341 | 0,341 | 0,329 | 0,99 |
4 | 4 | 0,99 | 0,997 | 0,335 | 0,335 | 0,332 | 0,998 |
Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
МатхановП.Н. Основыанализа электрическихцепей. Нелинейныецепи.: Учеб. длястуд. электротехн.спец. вузов.2-е изд., перераб.и доп. –М.: Высш.шк., 1986. –352с.
Контрольныевопросы
Какие графическиеметоды применяютсядля расчетапереходныхпроцессов внелинейныхцепях? В чемих сущность?
Какиеметодики применяютсядля составленияуравненийсостояния?
Сформулируйтеэтапы составленияуравненийсостояния наоснове принципаналожения.
Вчем заключаетсясущность методадискретныхмоделей?
Нарисуйтедискретныемодели нелинейныхиндуктивногои емкостногоэлементов инапишитесоответствующиеим аналитическиесоотношения.
ЛекцияN 40
Цепи сраспределеннымипараметрами
Впредыдущихлекциях рассматривалисьэлектрическиецепи, геометрическиеразмеры которых,а также входящихв них элементовне играли роли,т.е. электрическиеи магнитныеполя былилокализованысоответственнов пределахконденсатораи катушкииндуктивности,а потери мощности– в резисторе.Однако на практикечасто приходитсяиметь дело сцепями (линииэлектропередачи,передачи информации,обмотки электрическихмашин и аппаратови т.д.), где электромагнитноеполе и потериравномерноили неравномернораспределенывдоль всейцепи. В результатенапряженияи токи на различныхучастках даженеразветвленнойцепи отличаютсядруг от друга,т.е. являютсяфункциями двухнезависимыхпеременных:времени t ипространственнойкоординатыx. Такие цепиназываютсяцепями с распределеннымипараметрами.Смысл данногоназвания заключаетсяв том, что у цепейданного классакаждый бесконечномалый элементих длины характеризуетсясопротивлением,индуктивностью,а между проводами– соответственноемкостью ипроводимостью.
Дляоценки, к какомутипу отнестицепь: с сосредоточеннымиили распределеннымипараметрами– следует сравнитьее длину l с длинойэлектромагнитнойволны
.Если 
,т.е. при 
,и 
.Для 
,т.е. уже при 
клинии следуетподходить какк цепи с распределеннымипараметрами.Дляисследованияпроцессов вцепи с распределеннымипараметрами(другое название– длинная линия)введем дополнительноеусловие оравномерностираспределениявдоль линииее параметров:индуктивности,сопротивления,емкости ипроводимости.Такую линиюназывают однородной.Линию с неравномернымраспределениемпараметровчасто можноразбить наоднородныеучастки.
Уравненияоднороднойлинии в стационарномрежиме
Подпервичнымипараметрамилинии будемпониматьсопротивление
,индуктивность 
,проводимость 
иемкость 
,отнесенныек единице еедлины. Для полученияуравненийоднороднойлинии разобьемее на отдельныеучастки бесконечномалой длины 
соструктурой,показаннойна рис. 1.П
устьнапряжениеи ток в началетакого элементарногочетырехполюсникаравны u иi, а в концесоответственно 
и 
.Разностьнапряженийв начале и концеучастка определяетсяпадением напряженияна резистивноми индуктивномэлементах, аизменение токана участкеравно сумметоков утечкии смещениячерез проводимостьи емкость. Такимобразом, позаконам Кирхгофа
илипосле сокращенияна
 ; | (1) |
 . | (2) |
Теориюцепей с распределеннымипараметрамив установившихсярежимах будемрассматриватьдля случаясинусоидальноготока. Тогдаполученныесоотношенияпри
можнораспространить и на цепи постоянноготока, а воспользовавшисьразложениемв ряд Фурье –на линии периодическогонесинусоидальноготока.Вводякомплексныевеличины изаменяя
на ,на основании(1) и (2) получаем  ; | (3) |
 , | (4) |
где
и 
-соответственнокомплексныесопротивлениеи проводимостьна единицудлины линии.Продифференцировав(3) по х и подставиввыражение
из(4), запишем 
.Характеристическоеуравнение
,откуда
.Такимобразом,
 , | (5) |
где
-постояннаяраспространения; -коэффициентзатухания; -коэффициентфазы.Длятока согласноуравнению (3)можно записать
 , | (6) |
где
-волновоесопротивление.Волновоесопротивление
ипостояннуюраспространения 
называютвторичнымипараметрамилинии, которыехарактеризуютее свойствакак устройствадля передачиэнергии илиинформации.Определяя
и 
,на основании(5) запишем  . | (7) |
Аналогичноеуравнениесогласно (6) можнозаписать длятока.
Слагаемыев правой частисоотношения(7) можно трактоватькак бегущиеволны: перваядвижется изатухает внаправлениивозрастаниях, вторая – убывания.Действительно,в фиксированныймомент временикаждое из слагаемыхпредставляетсобой затухающую(вследствиепотерь энергии)гармоническуюфункцию координатых, а в фиксированнойточке – синусоидальнуюфункцию времени.
В
олну,движущую отначала линиив сторону возрастаниях, называютпрямой, а движущуюсяот конца линиив направленииубывания х –обратной.Нарис. 2 представленазатухающаясинусоидапрямой волныдля моментоввремени
и 
.Перемещениеволны характеризуетсяфазовой скоростью.Это скоростьперемещенияпо линии неизменногофазового состояния,т.е. скорость,с которой нужноперемещатьсявдоль линии,чтобы наблюдатьодну и ту жефазу волны:  . | (8) |
Продифференцировав(8) по времени,получим
 . | (9) |
Длинойволны
называетсярасстояниемежду двумяее ближайшимиточками, различающимисяпо фазе на рад.В соответствиис данным определением 
,откуда
ис учетом (9)
.Всоответствиис введеннымипонятиямипрямой и обратнойволн распределениенапряжениявдоль линиив любой моментвремени можнотрактоватькак результатналожения двухволн: прямойи обратной, -перемещающихсявдоль линиис одинаковойфазовой скоростью,но в противоположныхнаправлениях:
 , | (10) |
гдев соответствиис (5)
и.Представлениенапряженияв виде суммыпрямой и обратнойволн согласно(10) означает, чтоположительныенаправлениянапряжениядля обеих волнвыбраны одинаково:от верхнегопровод
ак нижнему.Аналогичнодля тока наосновании (6)можно записать
 , | (11) |
где
и 
.Положительныенаправленияпрямой и обратнойволн тока всоответствиис (11) различны:положительноенаправлениепрямой волнысовпадает сположительнымнаправлениемтока
(отначала к концулинии), а положительноенаправлениеобратной волныему противоположно.Наосновании (10)и (11) для прямыхи обратных волннапряженияи тока выполняетсязакон Ома
 | ; |  . |
Рассмотримтеоретическиважный случайбесконечнодлинной однороднойлинии.
Бесконечнодлинная однороднаялиния. Согласованныйрежим работы
Вслучае бесконечнодлинной линиив выражениях(5) и (6) для напряженияи тока слагаемые,содержащие
,должны отсутствовать,т.к. стремление 
лишаетэти составляющиефизическогосмысла. Следовательно,в рассматриваемомслучае 
.Таким образом,в решении уравненийлинии бесконечнойдлины отсутствуютобратные волнытока и напряжения.В соответствиис вышесказанным  | ; |  | . | (12) |
Наоснованиисоотношений(12) можно сделатьважный вывод,что для бесконечнодлинной линиив любой ее точке,в том числе ина входе, отношениекомплексовнапряженияи тока естьпостояннаявеличина, равнаяволновомусопротивлению:
.Такимобразом, еслитакую линиюмысленно рассечьв любом местеи вместо откинутойбесконечнодлинной частиподключитьсопротивление,численно равноеволновому, торежим работыоставшегосяучастка конечнойдлины не изменится.Отсюда можносделать двавывода:
Уравнениябесконечнодлинной линиираспространяютсяна линию конечнойдлины, нагруженнуюна сопротивление,равное волновому.В этом случаетакже имеютместо толькопрямые волнынапряженияи тока.
Улинии, нагруженнойна волновоесопротивление,входное сопротивлениетакже равноволновому.
Режимработы длиннойлинии, нагруженнойна сопротивление,равное волновому,называетсясогласованным,а сама линияназываетсялинией с согласованнойнагрузкой.
Отметим,что данныйрежим практическиважен для передачиинформации,посколькухарактеризуетсяотсутствиемотраженных(обратных) волн,обусловливающихпомехи.
Согласованнаянагрузка полностьюпоглощаетмощность волны,достигшей концалинии. Эта мощностьназываетсянатуральной.Поскольку влюбом сечениисогласованнойлинии сопротивлениеравно волновому,угол сдвига
междунапряжениеми током неизменен.Таким образом,если мощность,получаемаялинией от генератора,равна 
,то мощностьв конце линийдлиной вданном случае 
,откудаКПД линии
изатухание
.Какуказывалосьпри рассмотрениичетырехполюсников,единицей затуханияявляется непер,соответствующийзатуханию помощности в
раз,а по напряжениюили току – в 
раз.Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
В чем заключаетсяразница междуцепями с сосредоточеннымии распределеннымипараметрами?
Покакому критериюцепь относятк классу цепейс распределеннымиили сосредоточеннымипараметрами?
Нарисуйтесхему замещениядлинной линии.
Объяснитепонятия прямойи обратнойбегущих волн.
Чтотакое согласованныйрежим работыцепи с распределеннымипараметрами,чем он характеризуется?
-
Определитьпервичныепараметрылинии, если еевторичныепараметры
.
Ответ:
Определитьпо условиямпредыдущейзадачи КПДлинии длиной200 км, считая, чтоона нагруженана сопротивление,равное волновому.
Ответ:
.-
Определить
, и длякабеля, у которого 
, 
,если частота 
.
Ответ:
; 
; 
.По условиямпредыдущейзадачи определитьдлину волныи ее фазовуюскорость.
Ответ:
ЛекцияN 41
Линиябез искажений
Пустьсигнал, которыйтребуетсяпередать безискажений полинии, являетсяпериодическим,т.е. его можноразложить вряд Фурье. Сигналбудет искажаться,если для составляющихего гармоническихзатухание ифазовая скоростьразличны, т.е.если последниеявляются функциямичастоты. Такимобразом, дляотсутствияискажений, чтоочень важно,например, влиниях передачиинформации,необходимо,чтобы все гармоникираспространялисьс одинаковойскоростью иодинаковымзатуханием,посколькутолько в этомслучае, сложившись,они образуютв конце линиисигнал, подобныйвходному.
Идеальнымв этом случаеявляется такназываемаялиния без потерь,у которойсопротивление
ипроводимость равнынулю.Действительно,в этом случае
,т.е.независимоот частотыкоэффициентзатухания
ифазовая скорость 
.Однакоискажения могутотсутствоватьи в линии с потерями.Условие передачисигналов безискажениявытекает изсовместногорассмотрениявыражений дляпостояннойраспространения
 | (1) |
ифазовой скорости
 . | (2) |
Из(1) и (2) вытекает,что для получения
и 
,что обеспечиваетотсутствиеискажений,необходимо,чтобы 
,т.е. чтобы волновоесопротивлениене зависелоот частоты.  . | (3) |
Какпоказываетанализ (3), при
 | (4) |
естьвещественнаяконстанта. Линия,параметрыкоторой удовлетворяютусловию (4), называетсялинией безискажений.
Фазоваяскорость длятакой линии
изатухание
.Следуетотметить, чтоу реальныхлиний (и воздушных,и кабельных)
.Поэтому дляпридания реальнымлиниям свойствлиний без искаженияискусственноувеличиваютих индуктивностьпутем включениячерез одинаковыеинтервалыспециальныхкатушек индуктивности,а в случае кабельныхлиний – такжеза счет обвиванияих жил ферромагнитнойлентой.Уравнениялинии конечнойдлины
Постоянные
и 
вполученныхв предыдущейлекции формулах  ; | (5) |
 | (6) |
определяютсяна основанииграничныхусловий.
П
устьдля линии длинойl (см. рис. 1) заданынапряжение 
иток 
вначале линии,т.е. при 
.Тогдаиз (5) и (6) получаем
откуда
Подставивнайденныевыражения
и в(5) и (6), получим |
 | (7) |
 | (8) |
Уравнения(7) и (8) позволяютопределитьток и напряжениев любой точкелинии по ихизвестнымзначениям вначале линии.Обычно в практическихзадачах бываютзаданы напряжение
иток вконце линии.Для выражениянапряженияи тока в линиичерез эти величиныперепишемуравнения (5) и(6) в виде  ; | (9) |
 . | (10) |
Обозначив
и 
,из уравнений(9) и (10) при 
получим 
откуда
Послеподстановкинайденныхвыражений
и 
в(9) и (10) получаемуравнения,позволяющиеопределитьток и напряжениепо их значениямв конце линии  ; | (11) |
 . | (12) |
Уравнениядлинной линиикак четырехполюсника
Всоответствиис (11) и (12) напряженияи токи в началеи в конце линиисвязаны междусобой соотношениями
; 
.Этиуравнениясоответствуютуравнениямсимметричногочетырехполюсника,коэффициентыкоторого
; 
и 
;при этом условие 
выполняется.Указанноеозначает, чток длинным линияммогут бытьпримененыэлементы теориичетырехполюсников,и, следовательно,как всякийсимметричныйчетырехполюсник,длинная линияможет бытьпредставленасимметричнойТ- или П- образнойсхемами замещения.
Определениепараметровдлинной линиииз опытов
холостогохода и короткогозамыкания
Каки у четырехполюсников,параметрыдлинной линиимогут бытьопределеныиз опытов холостогохода (ХХ) и короткогозамыкания (КЗ).
ПриХХ
и 
,откуда входноесопротивление  . | (13) |
ПриКЗ
и 
.Следовательно,  . | (14) |
Наосновании (13)и (14)
 | (15) |
и
,откуда
 . | (16) |
Выражения(15) и (16) на основанииданных экспериментапозволяютопределитьвторичныепараметры
и линии,по которымзатем могутбыть рассчитаныее первичныепараметры 
и .Линиябез потерь
Линиейбез потерьназываетсялиния, у которойпервичныепараметры
и равнынулю. В этомслучае, какбыло показаноранее, 
и 
.Таким образом, 
,откуда
.Раскроемгиперболическиефункции откомплексногоаргумента
: 
Тогдадля линии безпотерь, т.е. при
,имеют местосоотношения: 
и 
.Такимобразом, уравнениядлинной линиив гиперболическихфункциях откомплексногоаргумента длялинии без потерьтрансформируютсяв уравнения,записанныес использованиемкруговыхтригонометрическихфункций отвещественногоаргумента:
 ; | (17) |
 . | (18) |
Строгоговоря, линиябез потерь(цепь с распределеннымипараметрамибез потерь)представляетсобой идеализированныйслучай. Однакопри выполнении
и 
,что имеет место,например, длявысокочастотныхцепей, линиюможно считатьлинией безпотерь и, следовательно,описывать ееуравнениями(17) и (18).Стоячиеволны в длинныхлиниях
Какбыло показановыше, решениеуравненийдлинной линииможно представитьв виде суммыпрямой и обратнойволн. В результатеих наложенияв цепях с распределеннымипараметрамивозникаютстоячие волны.
Рассмотримдва предельныхслучая: ХХ и КЗв линии безпотерь, когдапоглощаемаяприемникомактивная мощностьравна нулю.
ПриХХ на основанииуравнений (17)и (18) имеем
и 
,откудадля мгновенныхзначений напряженияи тока можнозаписать
 ; | (19) |
 . | (20) |
Последниеуравненияпредставляютсобой уравнениястоячих волн,являющихсярезультатомналоженияпрямой и обратнойволн с одинаковымиамплитудами.
П
риХХ в соответствиис (19) и (20) в точкахс координатами 
,где -целое число,имеют местомаксимумынапряжения,называемыепучностями,и нули тока,называемыеузлами. В точкахс координатами 
пучностии узлы напряженияи тока меняютсяместами (см.рис. 2). Такимобразом, узлыи пучностинеподвижны,и пучностиодной переменнойсовпадают сузлами другойи наоборот.ПриКЗ на основанииуравнений (17)и (18)
и 
,откудадля мгновенныхзначений можнозаписать
т.е.и в этом случаенапряжениеи ток представляютсобой стоячиеволны, причемпо сравнениюс режимом ХХпучности и узлынапряженияи тока соответственноменяются местами.
Посколькув узлах мощностьтождественноравна нулю,стоячие волныв передачеэнергии вдольлинии не участвуют.Ее передаюттолько бегущиеволны. Чем сильнеенагрузка отличаетсяот согласованной,тем сильнеевыражены обратныеи, следовательно,стоячие волны.В рассмотренныхпредельныхслучаях ХХ иКЗ имеют местотолько стоячиеволны, и мощностьна нагрузкеравна нулю.
Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
Что называетсялинией безискажений? Каксоотносятсяпервичныепараметры втакой линии?
Запишитеуравнениялинии конечнойдлины для случаев,когда заданыее входныенапряжениеи ток и когдавыходные.
Какопределяютсяпараметры цепис распределеннымипараметрами?
Чтоназываетсялинией безпотерь? Какимисвойствамиона обладает?
Прикаких условияхв линии образуютсястоячие волны?
-
Определитьнапряжениеи ток на входетрехфазнойлинии электропередачидлиной
,если 
, 
, 
.Параметрылинии на фазу: 
, 
, 
, 
.ОпределитьКПД линии.
Ответ:
; 
; 
.-
Определитьвходное сопротивлениелинии без потерьдлиной в четвертьволны, нагруженнойна емкостнуюнагрузку
причастоте 100 МГц.Волновоесопротивление 
.
Ответ:
.-
Однороднаядвухпроводнаялиния без искаженийимеет волновоесопротивление
,скоростьраспространенияволны 
изатухание 1,5Неп на 100 км. Определитьпервичныепараметрылинии, и такжеее КПД при длине 
инагрузке, равнойволновой.
Ответ:
; 
; 
; 
; 
.-
Линия без потерьнагружена наемкостноесопротивление,численно равноеволновому.
, 
.В конце линии 
.Найти 
нарасстоянии1м от конца линии.
Ответ:
.-
Линия без потерьдлиной
разомкнутана конце. 
,в начале линии 
.Найти всередине линии.
Ответ:
.ЛекцияN 42
Входноесопротивлениедлинной линии
Входнымсопротивлениемдлинной линии(цепи с распределеннымипараметрами)называетсятакое сосредоточенноесопротивление,подключениекоторого вместолинии к зажимамисточника неизменит режимработы последнего.
Вобщем случаедля линии спроизвольнойнагрузкой
длявходногосопротивленияможно записать  . | (1) |
Полученноевыражениепоказывает,что входноесопротивлениеявляется функциейпараметровлинии
и ,ее длины инагрузки .При этом зависимостьвходногосопротивленияот длины линии,т.е. функция 
,не являетсямонотонной,а носит колебательныйхарактер,обусловленныйвлиянием обратной(отраженной)волны. С ростомдлины линиикак прямая, таксоответственнои отраженнаяволны затухаютвсе сильнее.В результатевлияние последнейослабеваети амплитудаколебанийфункции уменьшается.При согласованнойнагрузке, т.е.при 
,как было показаноранее, обратнаяволна отсутствует,что полностьюсоответствуетвыражению (1),которое при трансформируетсяв соотношение 
.Такойже величинойопределяетсявходное сопротивлениепри
.Принекоторыхзначениях длинылинии ее входноесопротивлениеможет оказатьсячисто активным.Длину линии,при которой
вещественно,называют резонансной.Как и в цепи ссосредоточеннымипараметрами,резонанс наиболееярко наблюдаетсяпри отсутствиипотерь. Длялинии без потерьна основании(1) можно записать  . | (2) |
Из(2) для режимовхолостого хода(ХХ) и короткогозамыкания (КЗ),т.е. случаев,когда потребляемаянагрузкойактивная мощностьравна нулю,соответственнополучаем:
 ; | (3) |
 . | (4) |
Исследованиехарактераизменения
взависимостиот длины линиина основании(3) показывает,что при 
помодулю изменяетсяв пределах 
иимеет емкостныйхарактер, а при 
-в пределах 
иимеет индуктивныйхарактер. Такоечередованиепродолжаетсяи далее черезотрезки длинылинии, равныечетверти длиныволны (см. рис.1,а).Всоответствиис (4) аналогичныйхарактер, носо сдвигом начетверть волны,будет иметьзависимость
приКЗ (см. рис. 1,б).
Точки,где
,соответствуютрезонансунапряжений,а точки, где 
,- резонансутоков.Такимобразом, изменяядлину линиибез потерь,можно имитироватьемкостное ииндуктивноесопротивлениялюбой величины.Поскольку длинаволны
естьфункция частоты,то аналогичноеизменение можнообеспечитьне изменениемдлины линии,а частоты генератора.При некоторыхчастотах входноесопротивлениецепи с распределеннымипараметрамитакже становитсявещественным.Такие частотыназываютсярезонансными.Таким образом,резонансныминазываютсячастоты, прикоторых в линииукладываетсяцелое числочетвертейволны.Переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрами
Переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрамиимеют характерблуждающихволн, распространяющихсяпо цепи в различныхнаправлениях.Эти волны могутпретерпеватьмногократныеотражения отстыков различныхлиний, от узловыхточек включениянагрузки и т.д.В результатеналожения этихволн картинапроцессов вцепи можетоказатьсядостаточносложной. Приэтом могутвозникнутьсверхтоки иперенапряжения,опасные дляоборудования.
Переходныепроцессы вцепях с распределеннымипараметрамивозникают приразличныхизмененияхрежимов ихработы: включении-отключениинагрузки, источниковэнергии, подключенииновых участковлинии и т.д. Причинойпереходныхпроцессов вдлинных линияхмогут служитьгрозовые разряды.
Уравненияпереходныхпроцессов вцепях с распределеннымипараметрами
Прирассмотрениисхемы замещенияцепи с распределеннымипараметрамибыли полученыдифференциальныеуравнения вчастных производных
 ; | (5) |
 | (6) |
Ихинтегрированиес учетом потерьпредставляетсобой достаточносложную задачу.В этой связибудем считатьцепь линиейбез потерь,т.е. положим
и .Такое допущениевозможно длялиний с малымипотерями, атакже при анализеначальныхстадий переходныхпроцессов,часто наиболеезначимых вотношенииперенапряженийи сверхтоков.Сучетом указанногоот соотношений(5) и (6) переходимк уравнениям
 | (7) |
 | (8) |
Дляполученияуравнения (7)относительноодной переменнойпродифференцируем(7) по х, а (8) – по t:
 ; | (9) |
 . | (10) |
Учитывая,что для линиибез потерь
,после подстановкисоотношения(10) в (9) получим  . | (11) |
Аналогичнополучаетсяуравнение длятока
 . | (12) |
Волновымуравнениям(11) и (12) удовлетворяютрешения
; 
.Каки ранее, прямыеи обратныеволны напряженияи тока связанымежду собойзаконом Омадля волн
и 
,где
.Прирасчете переходныхпроцессовследует помнить:
В любой моментвремени напряжениеи ток в любойточке линиирассматриваютсякак результатналоженияпрямой и обратнойволн этих переменныхна соответствующиевеличиныпредшествующегорежима.
Всякоеизменениережима работыцепи с распределеннымипараметрамиобусловливаетпоявлениеновых волн,накладываемыхна существующийрежим.
Длякаждой волныв отдельностивыполняетсязакон Ома дляволн.
Как указывалось,переходныйпроцесс в цепяхс распределеннымипараметрамихарактеризуетсяналожениеммногократноотраженныхволн. Рассмотриммногократныеотражения длядвух наиболеехарактерныхслучаев: подключениеисточникапостоянногонапряженияк разомкнутойи короткозамкнутойлинии.
Переходныепроцессы привключении напостоянноенапряжение
разомкнутойи замкнутойна конце линии
Призамыканиирубильника(см. рис. 2) напряжениев начале линиисразу же достигаетвеличины
,и в 
озникаютпрямые волныпрямоугольнойформы напряжения 
итока 
,перемещающиесявдоль линиисо скоростьюV (см. рис. 3,а).Вовсех точкахлинии, до которыхволна еще недошла, напряжениеи ток равнынулю.Точка,ограничивающаяучасток линии,до которогодошла волна,называетсяфронтом волны.В рассматриваемомслучае во всехточках линии,пройденныхфронтом волны,напряжениеравно ,а ток - 
.Отметим,что в реальныхусловиях формаволны, зависящаяот внутреннегосопротивленияисточника,параметровлинии и т.п., всегдав большей илименьшей степениотличаетсяот прямоугольной.
Крометого, при подключениик линии источникас другим закономизменениянапряженияформа волныбудет иной.Например, приэкспоненциальномхарактереизменениянапряженияисточника (рис.4,а) волна будетиметь формуна рис. 4,б.
Врассматриваемомпримере спрямоугольнойволной напряженияпри первомпробеге волнынапряженияи тока (см. рис.3,а) независимоот нагрузкиимеют значениясоответственно
и ,что связанос тем, что волныеще не дошлидо конца линии,и, следовательно,условия в концелинии не могутвлиять на процесс.Вмомент времени
волнынапряженияи тока доходятдо конца линиидлиной l, и нарушениеоднородностиобусловливаетпоявлениеобратных (отраженных)волн. Посколькув конце линияразомкнута,то 
,откуда
и 
.Врезультате(см. рис. 3,б) напряжениев линии, кудадошел фронтволны, удваивается,а ток спадаетдо нуля.
Вмомент времени
,обратная волнанапряжения,обусловливающаяв линии напряжение 
,приходит кисточнику,поддерживающемунапряжение .В результатевозникает волнанапряжения 
исоответствующаяволне тока 
(см.рис. 3,в).Вмомент времени
волнынапряженияи тока подойдутк концу линии.В связи с ХХ 
и 
(см.рис. 3,г). Когдаэти волны достигнутначала линии,напряжениеи ток в ней окажутсяравными нулю.Следовательно,с этого моментапереходныйпроцесс будетповторятьсяс периодичностью 
.Вслучае короткозамкнутойна конце линиив интервалевремени
картинапроцессасоответствуетрассмотреннойвыше. При 
,поскольку вконце линии 
и 
,что приведетк возрастаниютока в линииза фронтомволны до величины 
.При 
отисточника кконцу линиибудет двигатьсяволна напряжения 
исоответствующаяей волна тока 
,обусловливающаяток в линии,равный 
,и т. д. Такимобразом, прикаждом пробегеволны ток влинии возрастаетна .Отметим,что в реальномслучае, т.е. приналичии потерьмощности, напряжениев линии в режимеХХ постепенновыйдет на уровень,определяемый напряжениемисточника, аток в режимеКЗ ограничитсяактивнымсопротивлениеми проводимостьюлинии, а такжевнутреннимсопротивлениемисточника.
Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
Какой характеримеет зависимостьвходногосопротивлениялинии от еедлины и почему?
Спомощью чегоможно изменятьхарактер ивеличину входногосопротивленияцепи с распределеннымипараметрами?
Какоедопущениележит в основеанализа переходныхпроцессов вдлинных линиях?
Какимзаконом связаныволны напряженияи тока в переходныхрежимах?
-
Линиябез потерьимеет длину
,фазовая скоростьволны 
.При каких частотахв ней будутиметь местоминимумы имаксимумывходногосопротивления?
Ответ:
.-
При каких длинахлинии без потерьв ней будутнаблюдатьсярезонансныеявления, еслифазовая скоростьравна скоростисвета, а частота
?
Ответ:
.Постройтеэпюры распределениянапряженияи тока вдольлинии, питаемойот источникапостоянногонапряжения,при включениии отключениив ее концерезистивнойнагрузки.
ЛекцияN 43
Сведениерасчета переходныхпроцессов вцепях сраспределенными
параметрамик нулевым начальнымусловиям
Сучетом граничныхусловий расчетпереходныхпроцессов вцепях с распределеннымипараметрамиможно проводитькак при нулевых,так и ненулевыхначальныхусловиях. Однаков первом случаеанализ осуществляетсяв целом проще,что определяетцелесообразностьсведения расчетак нулевым начальнымусловиям. Примертакого сведенияна основе принципаналожения длязадачи на подключениев конце линиинагрузки схематичноиллюстрируетрис. 1, где в последнейсхеме сопротивление
имитируетвходное сопротивлениеактивногодвухполюсника. 
Такимобразом, еслик линии, в общемслучае заряженной,подключаетсянекоторый вобщем случаеактивныйдвухполюсник,то для нахождениявозникающихволн необходимоопределитьнапряжение
наразомкнутыхконтактах ключа(рубильника),после чегорассчитатьтоки и напряженияв схеме с сосредоточеннымипараметрами,включаемойна это напряжение принулевых начальныхусловиях. Полученныенапряженияи токи накладываютсяна соответствующиевеличины предыдущегорежима.Приотключениинагрузки илиучастков линиидля расчетавозникающихволн напряженияи тока такжеможно пользоватьсяметодом сведениязадачи к нулевымначальнымусловиям. Вэтом случае,зная ток
вветви с размыкаемымключом (рубильником),необходиморассчитатьтоки и напряженияв линии приподключенииисточника тока противоположногонаправлениянепосредственнок концам отключаемойветви. Затемполученныетоки и напряжениятакже накладываютсяна предыдущийрежим.Вкачестве примератакого расчетарассмотримдлинную линиюбез потерь нарис. 2, находящуюсяпод напряжением
,к которойподключаетсядополнительныйприемник ссопротивлением . 
Всоответствиисо сформулированнымвыше правиломсхема для расчетавозникающихпри коммутацииволн будетиметь вид нарис. 3. Здесь
;ив соответствиис законом Омадля волн
.Соответствующиеполученнымвыражениямэпюры распределениянапряженияи тока вдольлинии представленына рис. 4.
Отметим,что, поскольку
,кисточнику отместа подключениянагрузки
пошлаволна, увеличивающаяток на этомучастке. Еслинаоборот приемникс сопротивлением
неподключается,а отключается,то расчет возникающихпри этом волнтока и напряженияследует осуществлятьпо схеме рис.5.Правилоудвоения волны
Пустьволна произвольнойформы движетсяпо линии с волновымсопротивлением
ипадает на некоторуюнагрузку (см.рис. 6,а). 
Длямомента приходаволны к нагрузкеможно записать
 ; | (1) |
или
 . | (2) |
Складывая(1) и (2), получаем
 . | (3) |
Соотношению(3) соответствуетрасчетная схемазамещения ссосредоточеннымипараметрами,представленнаяна рис. 6,б. Моментзамыкания ключав этой схемесоответствуетмоменту паденияволны на нагрузку
вреальной линии.При этом, посколькуцепь на рис.6,б состоит изэлементов ссосредоточеннымипараметрами,то расчет переходногопроцесса в нейможно проводитьлюбым из рассмотренныхранее методов(классическим,операторным,с использованиеминтегралаДюамеля).Следуетотметить, что,если в длиннойлинии имеетместо узелсоединениядругих линийили разветвление,то в соответствиис указаннымподходом этунеоднородностьследует имитироватьрезистивнымэлементом ссоответствующимсопротивлением,на которыйпадает удвоеннаяволна.
Пусть,например, линияс волновымсопротивлением
разветвляетсяна две параллельныелинии с волновымисопротивлениями 
и 
(см.рис. 7,а). Узелразветвленияв расчетномплане эквивалентенрезистивномуэлементу ссопротивлением 
,приэтом расчетнаясхема замещениядля моментаприхода волнык стыку линийимеет вид нарис. 7,б.
Так,если падающаяволна напряженияимеет прямоугольнуюформу и величину
,то в соответствиисо схемой замещенияна рис. 7,б напряжениена стыке линийв момент приходаволны 
.Этойвеличине будутравны волнынапряжения,которые пойдутдалее в линиис волновымисопротивлениями
и .Отраженнаяже волна, котораяпойдет по линиис волновымсопротивлением ,будет характеризоватьсянапряжением 
.Такимобразом, поправилу удвоенияволны определяютсяотраженные(появившиесяв результатеотражения отнеоднородности)и преломленные(прошедшиечерез неоднородность)волны, расчеткоторых осуществляетсяпо схемам замещенияс сосредоточеннымипараметрами.Следовательно,методика расчетапереходныхпроцессов вцепях с распределеннымипараметрамисостоит впоследовательномсоставлениисхем замещенияс сосредоточеннымипараметрамидля каждогомомента приходаочереднойпадающей волнына очереднуюнеоднородностьи расчете поним отраженныхи преломленныхволн.
Вкачестве примерарассмотримпадение прямоугольнойволны напряжениявеличиной
навключенныйв конце линииконденсатор 
(см.рис. 8,а). 
Длярасчета напряженияна конденсатореи тока черезнего в моментприхода волнык концу линиисоставим схемузамещения ссосредоточеннымипараметрами(см. рис. 8,б). Дляэтой схемыможно записать
,где
.Этонапряжениеопределяетсясуммой прямой(падающей) иобратной (отраженной)волн, т.е.
,откудадля отраженнойволны имеетместо соотношение
илидля той же волныв произвольнойточке линиис координатой
,отсчитываемойот конца линии,с учетом запаздыванияна время 
- 
.Соответственнодля отраженнойволны токаможно записать
.Эпюрыраспределениянапряженияи тока вдольлинии для моментавремени
,когда отраженнаяволна прошланекотороерасстояние ,представленына рис. 9. В этотмомент напряжениена конденсаторе 
иток через него
. 
Вкачестве другогопримера рассмотримпадение прямоугольнойволны напряжениявеличиной
навключенныйв конце линиииндуктивныйэлемент (см.рис. 10,а). В соответствиис расчетнойсхемой на рис.10,б для тока черезкатушку индуктивностии напряженияна ней соответственноможно записать 
; 
,где
Сучетом этоговыражения дляотраженныхволн напряженияи тока в произвольнойточке линииимеют вид
; 
.Эпюрыраспределениянапряженияи тока вдольлинии для моментавремени
приведенына рис. 11. 
Литература
Бессонов Л.А.Теоретическиеосновы электротехники:Электрическиецепи. Учеб. длястудентовэлектротехнических,энергетическихи приборостроительныхспециальностейвузов. –7-е изд.,перераб. и доп.–М.: Высш. шк.,1978. –528с.
Теоретическиеосновы электротехники.Учеб. для вузов.В трех т. Подобщ. ред. К.М.Поливанова.Т.2. ЖуховицкийБ.Я., НегневицкийИ.Б. Линейныеэлектрическиецепи (продолжение).Нелинейныецепи. –М.:Энергия-1972. –200с.
Основытеории цепей:Учеб. для вузов/Г.В.Зевеке,П.А.Ионкин,А.В.Нетушил,С.В.Страхов.–5-е изд., перераб.–М.: Энергоатомиздат,1989. -528с.
Контрольныевопросы и задачи
Как расчетпереходныхпроцессов вдлинных линияхсводится кнулевым начальнымусловиям?
Вчем смысл правилаудвоения волн,для чего оноиспользуется?
Сформулируйтеметодику расчетапереходныхпроцессов вцепях с распределеннымипараметрами.
Чтоназываетсяотраженнымии преломленнымиволнами?
-
Влинии на рис.2
, 
, 
.Определитьволны тока инапряжения,возникающиепри коммутации,если 
.
Ответ:
; 
; 
.-
Рассмотретьпадение волнынапряжения,возникшей прикоммутациив схеме предыдущейзадачи, на резистор
иопределитьобратные волнытока и напряжения,образующиесяпри этом падении.
Ответ:
; 
.-
К линии, находящейсяпод напряжением
,подключаетсян 
езаряженнаялиния (см. рис.12). Определитьволны тока инапряжения,возникающиепри этой коммутации,если 
, 
.
Ответ:
; 
; 
.-
Рассмотретьпадение волнынапряженияпри коммутациив схеме предыдущейзадачи на резистор
иопределитьвозникающиепри этом обратныеволны напряженияи тока.
Ответ:
; 
.-
Однороднаядлинная линияс
нагруженана емкостныйэлемент с 
.Посерединелинии параллельноему включенеще один конденсаторс 
.От генераторавдоль линиираспространяетсяволна напряжения,которую допадения наконденсатор можносчитать прямоугольнойс .Записать выражениедля напряженияна конденсаторе 
.
Ответ:
.