Колебания пусковой установки (стр. 1 из 2)

Схема установки:

Рис.1

Задание на проект:

Пусковая установка находится на корабле, совершающем колебания (угол

- стационарная функция известного вида.)

В момент времени t = tк производится пуск ракеты.

Требуется:

1. Получить уравнение малых колебаний ракеты с направляющей с учетом воздействия со стороны корабля.

2. Определить закон изменения момента управляющего двигателя Мупр(t), обеспечивающего минимум среднего значения угловой скорости пусковой установки к заданному моменту времени t = tк. Мощность двигателя ограничена ( | Мупр.|

)

Расчетная схема:

Рис.2

Где точка А считается центром масс платформы с ракетой.

и - кинематическое возбуждение точек основания

- угол подъема платформы в стационарном состоянии

- приращение угла (считается малым)

Для определения функций кинематического возбуждения воспользуемся схемой:

Рис.3

Где

, или с учетом малости воздействия

,

Тогда возмущающие функции будут иметь вид:

(1)

(2)

Кинетическая энергия системы:

(3)

- абсолютная скорость центра масс платформы,

- момент инерции платформы с ракетой, относительно центра масс.

По теореме косинусов:

(4), где

Таким образом, кинетическая энергия системы запишется в виде:

(5)

Потенциальная энергия системы:

Поскольку перемещения системы считаются малыми, а пружина обладает достаточной жесткостью, потенциальной энергией силы тяжести пренебрегаем.

То есть потенциальная энергия системы будет потенциальной энергией, накопленной в пружине.

(6)

С учетом (1) и (2) получаем:

(7)

Для записи уравнения движения воспользуемся уравнением Лагранжа:

(8)

(9)

(10)

Учитывая, что

получим:

(11)

(12)

Подставляя (11) и (12) в уравнение Лагранжа, получим следующее:

(13)

Уравнение движения будет иметь вид:

(14)

Или, с учетом управляющего момента:

(15)

Считаем, что на систему действуют функция:

где А –амплитуда, а

-частота вынуждающих функций.

Уравнение движения можно переписать в виде:

(16)

где

Решение этого дифференциального уравнения состоит из двух частей:

1. Решение однородного дифференциального равнения

2. Частное решение неоднородного уравнения

Решение однородного уравнения имеет вид:

(17)

Частное решение неоднородного уравнения при произвольном воздействии будет выглядеть так:

(18)

Тогда общее решение дифференциального уравнения:

(19)

Выражение для скорости:

(20)

Компенсирующий двигатель включается в момент времени

.

Он работает до момента времени

. Мощность двигателя – ограничена.

Интегрирование начинаем в момент времени

, но т.к. функция известного вида, а начальный момент времени - произвольный, то не важно, с какого момента начинать интегрирование, поэтому, начальный момент времени принимаем

нулевым. Исходя из подобных соображений, начальные условия так же считаем нулевыми, т.е.

Таким образом, приходим к выражению для скорости:

(21)

В момент пуска ракеты угловая скорость вращения платформы должна быть минимальной, в идеале – нулевой, поэтому:

(22)

Если добиться нулевого значения угловой скорости не представляется возможным, то потребуем нахождения угловой скорости в заданных пределах

Идеология решения такой задачи такова: Разобьем подинтегральное выражение на два интеграла. Тогда выражение для скорости запишется в следующем виде:

(23)

Необходимо добиться того, чтобы подинтегральные функции имели разные знаки, при этом значения интегралов должны быть равны по модулю.

Функция управляющего момента будет иметь такой вид:

(23)

где

Область, ограничивающая управляющий момент: