Кинетическое уравнение Больцмана (стр. 5 из 6)

*************************************************

§4. Вычисление коэффициента теплопроводности одноатомного газа

Для вычисления коэффициента теплопроводности газа необходимо решать записанное выше уравнение с градиентом температуры .

Пусть - вектор-функция только величин . Тогда решение уравнения () будем искать в виде . При подстановке этого решения в уравнение () получаем множитель . Уравнение () справедливо при совершенно произвольных значениях вектора градиента температуры , тогда должны быть равными коэффициенты при в обеих частях равенства. В итоге для получаем уравнение

Уравнение не содержит градиента температуры и значит не имеет явной зависимости от координат. Функция обязательно должна удовлетворять указанным ранее условиям (). Первые два условия, очевидно, выполняются ( уравнение () не содержит никаких векторных параметров, вдоль которых могли бы быть направлены постоянные векторы- интегралы

И ). Третий интеграл представляет из себя дополнительное условие на функцию g. Если кинетическое уравнение решено и функция

определена, то можно определить коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее - его диссипативную часть, не связанную с конвективным переносом энергии (обозначим эту часть потока энергии через ). В отсутствии макроскопического движения в газе Q совпадает с полным потоком энергии Q, который может быть выражен через интеграл

Если система находится в рановесии , то и этот интеграл равен нулю за счёт интегрирования по всем возможным направлениям в газе. При подстановке в () остаётся

В компонентах

Ввиду изотропии среды равновесного газа какие либо избранные направления в нём отсутствуют и тензор может выражаться лишь через единичный тензор ,т.е. сводится к скаляру

Таким образом поток энергии выражается как , где величина есть скалярный коэффициент теплопроводности

Поток Q должен быть направлен в сторону, противоположную градиенту температуры, а величина соответственно должна быть положительна, что автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (). В одноатомных газах скорость v- единственный вектор от которого зависит функция g ( в многоатомных газах имеет место зависимость g не только от скорости v , но и отмомента M). Для одноатомных газов функция g имеет вид:

.

§5.Пример решения кинетического уравнения

Молекулы газа взаимодействуют по достаточно сложным законам. Это особенно касается реальных многоатомных газов. Сделанные допущения относительно характера поведения молекул газа позволяют упростить рассуждения (или даже сделать их в принципе возможными), но несколько удаляют нас от реальности. Сложные законы взаимодействия молекул, определяющие функцию в интеграле столкновений, не позволяют даже записать уравнение Больцмана для конкретных газов в точном виде. Даже при упрощении характера молекулярного взаимодействия математическая структура кинетического уравнения остаётся достаточно сложной, и нахождение его решения в аналитическом виде затруднительно. В кинетической теории газов применяют особые, более эффективные, чем попытка аналитического решения, методы приближенного решения уравнения Больцмана. В качестве примера рассмотрим одноатомный газ и задачу о теплопроводности.

Для одноатомного газа теплоёмкость . Положив уравнению ( ) придадим вид

Линейный интегральный оператор, соответствующий интегралу столкновений ( ) ,определяется формулой

а равновесная функция распределения примет вид .

Эффективный метод приближённого решения уравнения ( ) основан на разложении искомых функций по полной системе взаимно ортогональных функций. В качестве таких функций рассмотрим полиномы Сонина, определяемые формклами :

В этой формуле r – произвольное, а s – целое положительное число либо нуль. В честноти

Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индексе r и различных индексах s выаглядит следующим образом

Решение уравнения ищем в виде следующего разложения

Опустив в разложении член с s=0 , получим выражение адовлетворяющее () (нтеграл обнуляется в силу ортогональности полиномов с различными s ). Выражение в скобках в левой стороне ()

есть . Уравнение () принимает вид

Умножим его с обеих сторон на и проинтегрируем по . Получим систему алгебраических уравнений, которая может быть решена на ЭВМ:

Причём

Для последнего выражения введены обозначения

Уравнение с l=0 отсутствует, поскольку в силу сохранения импульса

Коэффициент теплопроводности вычисляется подстановкой выражения () в интеграл (). С учётом условия () интеграл ( с ) может быть представлен в виде