Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках

Содержание.

Введение........................................................................................................................3

§1. Материальныеуравненияэлектромагнитногополя в средес дисперсией.....5

§2. Закон дисперсии.Вектор объемнойплотностиполяризации.........................10

§3. Зависимостьпоказателяпреломленияи поглощенияот частоты..................12

Заключение.................................................................................................................15

Литература..................................................................................................................16

Введение.

Важнейшейхарактеристикойлинейнойраспределеннойсистемы являетсязакон дисперсии,который связываетволновое числои частотумонохроматическойволны. Он можетбыть записанкак

или в неявнойформе

Когда плоскаяволна описываетсяодним (вообщеговоря, интегродифференциальным)уравнением,закон дисперсииполучают, отыскиваяего решениев виде

.В простейшемслучае процессраспространенияволны описываетсяуравнением

При этомволновое числосвязано с частотойлинейной зависимостью

,или

,где скоростьраспространенияволны

есть постояннаявеличина. Однакоуже при учетедиссипативныхпроцессовповедение волныописываетсяболее сложнымиуравнениями.Закон дисперсии

также усложняется.Для звуковыхволн в вязкойтеплопроводящейсреде и электромагнитныхволн в средес проводимостьюсправедливыследующиесоотношениямежду волновымчислом и частотой:

В более общихслучаях отчастоты могутсложным образомзависетьдействительнаяи мнимая частиволновогочисла:

Действительнаячасть характеризуетзависимостьот частотыфазовой скоростираспространенияволны

,а мнимая часть— зависимостькоэффициентазатухания волныот частоты.

Во многихслучаях волновойпроцесс удобноописывать неодним уравнениемтипа волнового,а системойсвязанныхинтегродифференциальныхуравнений

.Здесь

— матричныйоператор, действующийна вектор-столбец

.Вкачестве

,например, дляакустическихволн можетслужить совокупностьпеременных

(колебательнаяскорость, приращенияплотности,давления,температуры),а для электромагнитныхволн — компонентывекторовнапряженностейэлектрическогои магнитногополей, электрическогосмещения имагнитнойиндукции. Вэтом случаеформальнаясхема отысканиязакона дисперсиитакова. Ищемрешение системыв виде

Решение будетнетривиальным,только если

.Отсюда получаютсяискомые зависимости

.Наличие удисперсионногоуравнениянесколькихкорней

означает, чтосистема можетописыватьнесколько типовсобственныхволн (мод) среды.

Частотнаядисперсияприводит кизменениюзакономерностейраспространениянемонохроматическихволн. Действительно,различныеспектральныекомпонентыобладают вдиспергирующейсреде отличающимисяскоростямии коэффициентамизатухания:

В силу дисперсиифазовой скоростив процессераспространенияизменяютсяфазовые соотношениямежду спектральнымикомпонентами.Следовательно,изменяетсярезультат ихинтерференции:форма немонохроматическойволны искажается.Дисперсиякоэффициентапоглощения

приводит ктрансформациичастотногоспектра волны

и дополнительномуискажению формыимпульса.

§1.Материальныеуравненияэлектромагнитногополя в средес дисперсией.

Дисперсионныеэффекты частопроявляютсяпри распространенииэлектромагнитныхволн. Покажем,как видоизменяютсяисходные уравненияпри учете этихсвойств. СистемауравненийМаксвелласохраняет свойвид. Свойствасреды должныбыть учтеныв материальныхуравнениях:

Для статическихи медленноизменяющихсяполей можнонаписать

где

— константы,т. е. значения

в некоторойточке средыи в некоторыймомент времениопределяютсязначениями

в той же точкеи в тот же моментвремени.

При быстромизменении полявследствиеинерции внутреннихдвижений иналичия пространственноймикроструктурысреды наблюдаетсязависимостьполяризацииот поля, действующегов других точкахи в другие моментывремени. Приэтом нужноиметь в виду,что в силу условияпричинностиполяризацияи, следовательно,индукция зависятот полей, действовавшихтолько в предыдущиемоменты времени.

Сказанноеможно записатьматематически,представляяматериальныеуравнения вобщей интегральнойформе:

, (1.1)

, (1.2)

. (1.3)

По дваждывстречающимсяиндексам здесьи везде в дальнейшемпредполагаетсясуммирование.

Выражения(1.1) — (1.3) представляютсобой наиболееобщую функциональнуюформу записиматериальныхуравнений длялинейной среды.В этой записиучтена возможностьпроявлениянелокальности,запаздыванияи анизотропныхсвойств среды.

В частномслучае, еслисреда однороднав пространствеи не изменяетсо временемсвоих свойств,материальныехарактеристики

должны зависетьлишь от разностейкоординат

и времени

.Тогда

, (1.4)

, (1.5)

. (1.6)

Связь междуэлектрическимсмещением имагнитнойиндукцией,полями и поляризациямисреды определяетсясоотношениями

. (1.7)

Поэтомуматериальныеуравнения можнозаписать такжев виде

, (1.8)

где

— тензор восприимчивостисреды. Аналогичноевыражение можнозаписать для

Для проведениядальнейшегоанализа удобноразложить

по плоскимволнам:

После обычногоперехода вфурье-представлениев выраженияхдля

получаем простуюзависимость

, (1.9)

где

. (1.10)

Видно, чтокомпонентытензора диэлектрическойпроницаемостизависят в общемслучае от частотыи от волновоговектора волны.

Аналогичныйвывод можносделать длямагнитнойпроницаемости

и проводимости

Таким образом,дисперсия прираспространенииэлектромагнитныхволн можетпроявлятьсядвояким образом— как частотная(за счет зависимости

от частоты) икак пространственная(за счет зависимостиэтих же параметровот волновоговектора

).Частотнаядисперсиясущественна,если частотаэлектромагнитныхволн близкак собственнымчастотам колебанийв среде. Пространственнаяже дисперсиястановитсязаметной, когдадлина волнысравнима снекоторымихарактернымиразмерами.

Для электромагнитныхволн в большинствеслучаев, дажев оптическомдиапазоне,характерныйразмер

(где

— длина волныв среде:

)и пространственнойдисперсиейможно пренебречь.Однако в магнитоактивнойплазме существуютобласти резонанса,в которых

и параметр

становитсязначительнымуже в радиодиапазоне.Кроме того, приполном пренебрежениивеличинами,содержащимималое отношение

,не учитываютсянекоторыеявления, возникающиепри распространенииэлектромагнитныхволн в различныхсредах. Так,учет пространственнойдисперсии вплазме позволяетобъяснитьпоявлениебегущих плазменныхволн. Пространственнаядисперсияявляется главнойпричиной (а непоправкой),вызывающейпоявлениеестественнойоптическойактивностии оптическойанизотропиикубическихкристаллов.Если не интересоватьсяэтими специальнымислучаями, топри рассмотрениичастотнойдисперсиипространственнойдисперсиейможно пренебречь.

При учететолько частотнойдисперсииматериальноеуравнение (1.9)имеет вид

. (1.11)

В отличиеот (1.9) здесь взятыне компонентыплоских волнполя

,а лишь временныегармоники.Диэлектрическаяпроницаемость

для волны счастотой

— это тензор,который в случаеизотропнойсреды обращаетсяв скаляр:

(1.12)

(напомним,что

— действительнаявеличина). Из(1.12) следует, чтофункция

является комплексной:

, (1.13)

, (1.14)

т.е.

является четнойфункцией, а

— нечетной. Всесказанноесправедливотакже для

. (1.15)

Если в недиспергирующейсреде диэлектрическаяпроницаемость— чисто реактивныйпараметр, апроводимость— чисто активный,то в среде сдисперсиейэто различиеутрачивается.С увеличениемчастоты дозначений, близкихк собственнымчастотам среды,различие всвойствахдиэлектрикови проводниковпостепенноисчезает. Так,наличие у средымнимой частидиэлектрическойпроницаемостис макроскопическойточки зрениянеотличимоот существованияпроводимости— и то и другоеприводит квыделениютепла. Поэтомуэлектрическиесвойства веществаможно характеризоватьодной величиной— комплекснойдиэлектрическойпроницаемостью

, (1.16)

где

Можно установитьпредельныйвид диэлектрическойпроницаемостипри большихчастотах. Впределе при

имеем

и диэлектрическаяпроницаемость

,определяемаявыражениями(1.6), (1.12), стремитсяк единице при

Это же свойстводиэлектрическойпроницаемостиследует и изпростого физическогорассмотрения.При

,когда частотаволны великапо сравнениюс собственнымичастотамиколебанийэлектроновв атомах вещества,электроны можносчитать свободными.Уравнениедвижения свободногоэлектрона поддействиемгармоническогополя

и решение этогоУравнения имеютвид

Здесь

— масса и зарядэлектрона. Мыне учитываемсилу, действующуюна заряд состороны магнитногополя, так какрассматриваетсянерелятивистскийслучай (

).Поляризациясреды (дипольныймомент единицыобъема, содержащей

электронов)равна

Отсюда

. (1.17)

При

мы получаемиз (1.17) прежнийрезультат:

.Область применимостиформулы (1.17) длясред, в которыхнет свободныхэлектронов,лежит в диапазонедалекой ультрафиолетовойобласти длясамых легкихэлементов.

С учетом(1.16) уравненияМаксвелла длякомплексныхамплитуд примутвид

, (1.18)

. (1.18)

Поясним выводуравнения

.Из уравнениянепрерывностипри гармоническойзависимостиот времениследует, что

Подставляяэто соотношениев уравнениеМаксвелла

,запишем егов форме

Учитываяопределение

,получим уравнение

Таким образом,для высокочастотныхмонохроматическихполей вместодиэлектрическойпроницаемостии проводимостиудобно ввестикомплекснуюдиэлектрическуюпроницаемость,объединяющуюоба эти понятия.Физически этоозначает, чтоток в среде длявысокочастотныхполей нецелесообразнорассматриватькак сумму токапроводимостии тока смещения.Вместо этоговводится полныйток

, (1.19)

где

— комплексныйвектор поляризациисреды.

§2.Закон дисперсии.Вектор объемнойплотностиполяризации.

Рассмотримпростые физическиемодели диспергирующихсред. Ясно, чтопростые модели,отражающиереальные свойствасреды, могутбыть построеныв немногихслучаях. Темне менее ониочень важныдля пониманияфизики и заслуживаютподробногообсуждения.

Для нахождениязависимости

от частоты(закона дисперсии)необходиморешить задачуо взаимодействииэлектромагнитнойволны с имеющимисяв среде зарядами.

Все современныетеории дисперсииучитываютмолекулярноестроение веществаи рассматриваютмолекулы какдинамическиесистемы, обладающиесобственнымичастотами.Молекулярныесистемы подчиняютсязаконам квантовоймеханики. Однакорезультатыклассическойтеории дисперсииво многих случаяхприводят ккачественноправильномувыражению дляпоказателейпреломленияи поглощениякак функцийчастоты.

Диэлектрикиусловно разделяютсяна два типа —неполярныеи полярные. Вмолекулахнеполярныхдиэлектриковзаряды электроновточно компенсируютзаряды ядер,причем центрыотрицательныхи положительныхзарядов совпадают.В этом случаев отсутствиеэлектромагнитногополя молекулыне обладаютдипольныммоментом. Поддействием поляволны происходитсмещение электронов(ионы при этомможно считатьнеподвижными,поскольку ихмасса великапо сравнениюс массой электронов)а каждая молекулаполяризуется— приобретаетдипольныймомент

.Если диэлектрикоднороден ив единице объемасодержится

одинаковыхмолекул, товектор объемнойплотностиполяризации

Для определениявектора

необходиморешить уравнениедвижения электроновв молекуле поддействием поляволны и найтисмещение электроновкак функциюполя. В классическойтеории дисперсииописание движенияэлектроновв молекулеосновано намодели Друде— Лоренца, согласнокоторой молекулапредставляетсяв виде одногоили несколькихлинейныхгармоническихосцилляторов,соответствующихнормальнымколебаниямэлектроновв молекуле.Рассмотримуравнениедвижения такогоосциллятора:

. (2.1)

Здесь

— эффективнаямасса,

— константазатухания,имеющая размерностьчастоты,

— резонанснаяугловая частотанормальногоколебания,

— поле, действующеена диполь. Дляплотных среддействующееполе

в однородномдиэлектрикеотличаетсяот среднегомакроскопическогополя в средена величину

и равно

Отметим, чтопоследнееравенствосправедливодля изотропнойсреды и длякристалловкубическойсимметрии.

При гармоническойзависимостиот времени поля

из уравнения(2.1) получим следующеесоотношение:

Отсюда удобновыразить

. (2.2)

Учитывая,что

,из (2.2) найдем

, (2.3)

Разделяяв (2.3) действительнуюи мнимую части,получим

Здесь введеныобозначения

.В случае низкихчастот, удовлетворяющихусловию

,придем к выражениюдля статическойдиэлектрическойпроницаемости

Для твердыхи жидких диэлектриков

может значительнопревышатьединицу.

В газах плотностьполяризованныхмолекул обычноневелика. Приэтом

и можно считать,что

мало отличаетсяот единицы.Поэтому

. (2.4)

§3.Зависимостьпоказателяпреломленияи поглощенияот частоты.

Из (2.4) с учетомформул

для показателяпреломленияи поглощенияполучим

. (3.1)

Выясним, какзависят показателипреломленияи поглощенияот частоты.Если выполняетсяусловие

,т. е. если частотаволны далекаот резонансной(

или

),то

, (3.2)

.е. показательпреломлениямало отличаетсяот единицы. При

,величина

;она увеличиваетсяс ростом частоты.При

значение

отрицательное;

также увеличиваетсяс ростом

,приближаяськ единице (рис.1). Показательпоглощения

в этом диапазонечастот мал.Вблизи резонанса

показательпреломленияуменьшаетсяс ростом частоты.При условииточного резонанса,когда

обращаетсяв единицу, апоказательпоглощенияпринимаетмаксимальноезначение. Областьчастот, в которойпоказательпреломленияубывает с увеличениемчастоты, называетсяобластью аномальнойдисперсии;здесь имеетместо возрастаниефазовой скорости.

В случае,когда молекуламоделируетсясовокупностьюосцилляторовразличныхтипов, обладающихразными резонанснымичастотами, длядиэлектрическойпроницаемостиможно получитьвыражение,обобщающее(2.3):

. (3.3)

Здесь

— объемнаяплотность числаосцилляторовс частотой

Если вычислитьдипольныймомент единицыобъема, пользуясьметодами квантовоймеханики, тодля

получаетсяформула, аналогичная(3.3), с той лишьразницей, что

заменяетсяв ней на

,где

— сила осцилляторадля переходас частотой

.Суммированиеведется по всемразрешеннымдипольнымпереходам.

Формулы (2.3)и (3.3) полученыдля моделинезависимыхатомов, однакоони дают вполнеправильноефеноменологическоеописание любойсистемы, спектрпоглощениякоторой представляетнабор дискретныхлиний.

Мы обсудилимодель, дающуюзакон дисперсиидля диэлектриков,молекулы которыхприобретаютдипольныймомент тольково внешнемполе. Но молекулыполярных диэлектриков(например, воды)обладают дипольныммоментом и вотсутствиеполя. Механизмполяризациитакого диэлектрикасводится кориентирующемудействию поляволны.

Пусть дипольныймомент одноймолекулы равен

.При отсутствииволны векторы

из-за тепловогодвиженияориентированыхаотически.Если же в средераспространяетсяволна, каждыйэлементарныйдиполь приобретаетсоставляющую,параллельнуювектору

.Следовательно,становитсяотличным отнуля дипольныймомент

единицы объема:

. (3.4)

В этом выражении

— угол междувекторами

— случайныйпараметр; угловыескобки обозначаютусреднениепо ансамблюмолекул. Длявычисления

воспользуемсястатистическимзаконом распределенияБольцмана

Здесь

— потенциальнаяэнергия молекулыв электрическомполе;

эрг/К — постояннаяБольцмана;

— константа,определяемаяусловием нормировки

. (3.5)

Мы не будеминтересоватьсяздесь нелинейнымиэффектами,поэтому считаемэнергию ориентациималой по сравнениюс энергиейтепловогодвижения:

.В этом приближениииз (3.5) имеем

.Проводя усреднениев формуле (3.4),получим

. (3.6)

Если

,то в разложении

в ряд по степеням

появятся нелинейныечлены.

До сих порпредполагалось,что переориентациядиполей мгновенноследует заизменениямиполя электромагнитнойволны. На самомже деле имеетсязапаздывание,учет которогопозволяетописать эффектычастотнойдисперсии прираспространениисигнала в средес хаотическиориентированнымидипольнымимолекулами.

Считаем,следуя Дебаю,что при включениив момент

поля волны

поляризацияв данной точкепространстваизменяетсяпо закону

. (3.7)

Здесь

— статическая(при

)восприимчивость.При учете толькочастотнойдисперсии дляизотропнойсреды из формулы(1.8) получаем

. (3.8)

Как нетруднопроверить,зависимость(3.7) следует из(3.8) при

. (3.9)

Следовательно,

, (3.10)

где

— статическаядиэлектрическаяпроницаемость.Функция

,а значит, и потериэнергии имеютмаксимум при

.Время релаксации

,например, впарах водыимеет порядок

,и «резонансное»поглощениевозможно вмиллиметровомдиапазонеэлектромагнитныхволн.

При

дисперсия(3.10)несущественна.Так, при распространенииволн сантиметровогодиапазона иболее длинныхв тропосфере,представляющейсобой смесьмолекул воздуха(кислород, азоти т. д.) и паровводы, можнопользоватьсяформулой

. (3.11)

Здесь

— объемныеконцентрациимолекул воздухаи пара. Принято,что поле в средеравно полюволны, и соударениямиможно пренебречь.Собственныечастоты молекулгазов, входящихв состав воздуха,лежат в области

>15ГГц (

см). Поэтому в(3.11)для

см

.Однако в оптическоми миллиметровомдиапазонахимеются областирезонансногопоглощенияволн. Поэтомудля целей радиосвязив тропосферев этом диапазоненеобходимовыбирать «окнапрозрачности»,т. е. пользоватьсячастотами, несовпадающимис собственнымичастотамисреды.

Заключение.

Подводя итоги,следует отметить,что дисперсиюэлектромагнитныхволн можноусловно разделитьна частотную(за счет зависимости

от частоты) ипространственную(за счет зависимостиэтих же параметровот волновоговектора

).Как уже говорилось,частотнаядисперсиясущественна,если частотаэлектромагнитныхволн близкак собственнымчастотам колебанийв среде. Пространственнаяже дисперсиястановитсязаметной, когдадлина волнысравнима снекоторымихарактернымиразмерами.

При использованиидиэлектриковв переменныхэлектромагнитныхполях необходимознать собственныечастоты колебаниймолекул веществадиэлектрикадля установленияхарактеразависимостипоказателяпреломленияи поглощения(и других параметров)от частоты иво избежание(если это необходимо)резонансногопоглощенияэлектромагнитныхволн.

Характернойособенностьюдиэлектриковявляетсянеобходимостьотдельногорассмотренияявления дисперсиидля полярныхи неполярныхмолекул, чтообусловленоналичием(отсутствием)дипольногомомента в отсутствиивнешнегоэлектромагнитногополя у полярных(неполярных)диэлектриков.

Литература.

ВиноградоваМ. Б., РуденкоО. В., СухоруковА. П. «Теорияволн». Москва«Наука», 1990 г.

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯИ НАУКИ УКРАИНЫ

ХАРЬКОВСКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙУНИВЕРСИТЕТим. В.Н.КАРАЗИНА

Курсоваяработа на тему:

“Исследованиеявления дисперсииэлектромагнитныхволн в диэлектриках”.

Выполнил:студент 3 курсаХНУ

Радиофизического

факультетагруппы РР-33

ЗинченкоД. И.

Преподаватель:Богатская О.В.

Харьков2003