Переходячи до доведення цього, відмітимо перш за все, що внутрішні дисипативні сили в даній системі будуть зустрічатися попарно, причому в кожній парі, відповідно до третього закону Ньютона, вони однакові по модулю і протилежні за напрямом. Знайдемо елементарну роботу довільної пари дисипативних сил взаємодії між тілами 1 і 2 в системі відліку, де швидкості цих тіл в даний момент дорівнюють [pic] і [pic]:
[pic].
Тепер враховуємо, що [pic], [pic] – швидкість тіла 1 відносно тіла 2, а також те, що [pic]. Тоді вираз для роботи перетвориться так:
[pic].
Звідси видно, що робота довільної пари внутрішніх дисипативних сил взаємодії завжди від’ємна, а отже і сумарна робота всіх пар внутрішніх дисипативних сил також завжди від’ємна. Таким чином дійсно:
[pic].
Закон збереження енергії.
Вище було показано, що приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку здійснюють всі сили, що діють на всі частинки системи. Поділивши ці сили на зовнішні та внутрішні, а внутрішні – на потенціальні і дисипативні, запишемо попереднє твердження так:
[pic].
Тепер врахуємо, що робота внутрішніх потенціальних сил дорівнює спаду власної потенціальної енергії системи, тобто [pic]. Тоді попередній вираз приймає вигляд:
[pic]. (5) введемо поняття повної механічної енергії системи або просто механічної енергії, як суму кінетичної та потенціальної енергії:
[pic]. (6) очевидно, енергія [pic] залежить від швидкості частинок системи, характеру взаємодії між ними та конфігурації системи. Крім того, енергія [pic], як і потенціальна енергія [pic], визначається з точністю до приросту несуттєвої довільної сталої і є величиною неадитивною, тобто енергія [pic] системи не дорівнює в загальному випадку сумі енергій її окремих частин. Тоді:
[pic], де [pic] – механічна енергія [pic]-тої частини системи, [pic] – потенціальна енергія взаємодії її окремих частин.
Повернемося до формули (5). Перепишемо її з врахуванням (6) у вигляді:
[pic]. (7)
Цей вираз справедливий при нескінченно малій зміні конфігурації системи. При скінченній зміні матимемо:
[pic], (8) тобто приріст механічної енергії системи дорівнює алгебраїчній сумі робіт всіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.
Рівняння (7) можна представити і в іншій формі, поділивши обидві частини на відповідний проміжок часу [pic]. Тоді:
[pic], (9) тобто похідна механічної енергії системи по часу дорівнює алгебраїчній сумі потужностей всіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.
Рівняння (7)-(9) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системах відліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідно врахувати роботу (потужність) і сил інерції, які відіграють роль зовнішніх сил, тобто під [pic] слід розуміти алгебраїчну суму робіт зовнішніх сил взаємодії [pic] і роботу сил інерції [pic]. Щоб підкреслити цю обстановку, перепишемо рівняння (8) у вигляді:
[pic]. (10)
Отже, ми прийшли до важливого висновку: механічна енергія системи може змінюватися під дією як зовнішніх сил, так і внутрішніх дисипативних сил (тобто під дією алгебраїчної суми робіт всіх цих сил). Звідси, безпосередньо, випливає і другий важливий висновок – закон збереження механічної енергії: в інерціальній системі відліку механічна енергія замкнутої системи частинок, в якій немає дисипативних сил, зберігається в процесі руху, тобто:
[pic]. (11)
Таку систему називають консервативною. Зауважимо, що при русі замкнутої консервативної системи зберігається саме повна механічна енергія, а кінетична і потенціальна в загальному випадку змінюються. Однак ці зміни відбуваються завжди так, що приріст однієї з них дорівнює спаду іншої, тобто [pic]. Зрозуміло, що це положення справедливе в інерціальних системах відліку.
Далі, з рівняння (8) випливає, що якщо замкнута система неконсервативна, тобто в ній присутні дисипативні сили, то механічна енергія такої системи спадає:
[pic]. (12)
Можна сказати: зменшення механічної енергії зумовлене тим, що вона витрачається на роботу проти дисипативних сил, які діють в системі. Однак таке пояснення є формальним, оскільки воно не розкриває фізичної природи дисипативних сил.
Більш глибоке осмислення цього питання привело до фундаментального висновку про існування в природі універсального закону збереження енергії: енергія ніколи не виникає і не зникає, вона може лише переходити з однієї форми в іншу, або обмінюватися між окремими частинами матерії.
При цьому поняття енергії довелось розширити введенням нових форм її – енергія електромагнітного поля, хімічна енергія, ядерна енергія та ін.
Універсальний закон збереження енергії охоплює, таким чином, і ті фізичні явища, на які закони Ньютона не поширюються, Тому він не може бути виведеним із цих законів, а повинен розглядатися як самостійний закон, який представляє собою одне із найбільш широких узагальнень дослідних фактів.
Повертаючись до рівняння (12), можна сказати: при зменшенні механічної енергії замкнутої системи завжди виникає еквівалентна кількість енергії інших видів, які не пов’язані з видимим рухом, в цьому розумінні рівняння (7)-(9) можна розглядати як більш загальне формування закону збереження енергії, в якому вказана причина зміни механічної енергії в незамкнутій системі.
Механічна енергія може зберігатися й у незамкнутих системах, але це відбувається лише в тих випадках, коли згідно з рівнянням (8) зменшення цієї енергії за рахунок роботи проти внутрішніх дисипативних сил компенсується надходженням енергії за рахунок роботи зовнішніх сил.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ.
8 Імпульс частинки.
Досвід і відповідний аналіз механічних уявлень показують, що для характеристики механічного руху тіл крім кінетичної енергії [pic] необхідно ввести ще одну величину – імпульс [pic]. Ці дві величини є основними вимірами механічного руху тіл: перша – скалярна, друга – векторна. Обидві вони відіграють центральну роль при побудові механіки.
Перейдемо до більш детального вивчення імпульсу. Перш за все запишемо основне рівняння динаміки Ньютона через імпульс:
[pic], (13) тобто похідна імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює діючій на неї силі. В частинному випадку, коли [pic], то [pic].
Зауважимо, що в неінерціальній системі відліку сила [pic] включає в себе не тільки сили взаємодії даної частинки з іншими тілами, але і сили інерції.
Рівняння (13) дозволяє знайти приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу, якщо відома залежність сили [pic] від часу. Дійсно, з (13) випливає, що елементарний приріст імпульсу частинки за проміжок часу [pic] є [pic]. Проінтегрувавши цей вираз по часу, знайдемо приріст імпульсу частинки за скінченний проміжок часу [pic]:
[pic].
Якщо сила [pic], то вектор [pic] можна винести з-під інтеграла і тоді [pic]. Величину, яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом сили. Таким чином, приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той же час.
Імпульс системи.
Розглянемо довільну систему частинок. Введемо поняття імпульсу системи як векторну суму імпульсів її окремих частинок:
[pic], (14) де [pic] – імпульс [pic]-тої частинки. Зазначимо, що імпульс системи – величина адитивна, тобто імпульс системи дорівнює сумі імпульсів її окремих частин незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.
Знайдемо фізичну величину, яка визначає зміну імпульсу системи. Для цього продиференціюємо рівняння (14) по часу:
[pic], але [pic], де [pic] – сила, що діє на матеріальну точку. Тоді:
[pic], де [pic] - сили, що діють на [pic]-ту частинку збоку інших частинок системи (внутрішні сили); [pic] – сила, що діє на цю ж частинку збоку інших тіл, які не входять в розглядувану систему (зовнішні сили). Підставивши останній вираз в попередній, отримаємо:
[pic].
Подвійна сума справа – це сума всіх внутрішніх сил. Відповідно до третього закону Ньютона сили взаємодії між частинками системи попарно однакові по модулю і протилежні за напрямком. Тому результуюча сила в кожній парі взаємодії дорівнює нулю, а тому дорівнює нулю і векторна сума всіх внутрішніх сил. В результаті рівняння прийме вигляд:
[pic], (15) де [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил, [pic].
Рівняння (15) означає: похідна імпульсу системи по часу дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на частинки системи.
Із рівняння (15) випливає, що приріст імпульсу системи за скінчений проміжок часу [pic] буде:
[pic], (16) тобто приріст імпульсу системи дорівнює імпульсу результуючої всіх зовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил.
Рівняння (15) і (16) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системі відліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідно враховувати і дію сил інерції, що відіграють роль зовнішніх сил.
Закон збереження імпульсу.
Застосування другого та третього законів динаміки до системи, яка складається із декількох взаємодіючих тіл, приводить до дуже важливих висновків, з яких випливає закон збереження імпульсу.
Розглянемо систему, яка складається з [pic] частинок (матеріальних точок). Позначимо через [pic] силу, з якою [pic]-та частинка діє на [pic]- ту (перший індекс вказує на номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, взаємодією якої обумовлена ця сила). Символом [pic] позначимо результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на [pic]-ту частинку. Напишемо рівняння руху всіх [pic] частинок:
[pic],
[pic],
...
[pic] [pic],
...
[pic] [pic],
([pic] – імпульс [pic]-тої частинки).
Додамо всі ці рівняння. Зліва отримаємо похідну по часу від сумарного імпульсу системи:
[pic].
Справа відмінною від нуля буде лише сума зовнішніх сил [pic]. Дійсно, суму зовнішніх сил можна представити у вигляді:
[pic].
Згідно з третім законом Ньютона кожна із дужок буде дорівнювати нулю. Відповідно, сума внутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює нулю: