Варіаційні принципи механіки (стр. 4 из 6)
(26)де штрих означає похідну по незалежній змінній s. У формулі (26) δx ́ , δt ́ можна обчислити за правилом
тому що 
–похідні по незалежній змінній s. Тому 
(27)З формул (26) і (27) знаходимо
або, коли зробити заміну
та виключити незалежну змінну s, яка вже відіграла свою допоміжну роль, дістанемо: 
або
(28)Ця формула і є узагальненням рівності (8) на випадок, коли варіюються обидві функції х і t. Аналогічно, вводячи незалежну змінну s, обчислимо варіацію інтеграла:
У правій частині підінтегральний вираз можна розглядати як складну функцію незалежної змінної s; межі інтегрування по змінній s вважаються фіксованими. За таких умов операції d і f комутативні [див. (13)]:
(29)Обчисливши варіацію добутку двох функцій і підставивши це значення в (29), отримаємо:
(30)Ця формула є узагальненням рівності (13) на випадок, коли змінна інтегрування варіюється.
Після встановлення двох нових формул (28) і (30) для варіацій продовжимо доведення принципу Ейлера — Лагранжа. На підставі (28) рівність (25) перепишемо так:
.
Використовуючи цю і дві аналогічні рівності, знайдемо з (24):
(31)Третій і четвертий доданки можна переписати, використовуючи формули для кінетичної енергії системи та її варіації, а саме:
Відповідна заміна (в (31)) дає:
(32)На підставі закону збереження енергії Т + V = Н знаходимо, що δV=δT. Ліву частину (32) перетворимо і тоді (32) буде:
(33)Виключимо далі з лівої частини цієї рівності час на підставі закону збереження енергії:
звідки
(34)Підставимо (34) в (33) і напишемо індекси, які раніше опускали; в результаті дістанемо:
(35)Проінтегруємо цю рівність у дійсному русі системи від початкового її положення (А) до кінцевого (В). Інтеграл від правої частини дорівнює нулю, бо кінцеві положення системи в уявному русі такі самі, як і в дійсному (координати кінцевих положень не варіюються). Отже, з (35) знаходимо:
або, оскільки межі інтегрування фіксовані:
(36)Ця рівність визначає принцип Ейлера—Лагранжа у формі, яку вказав Якобі.
Інтеграл із змінною верхньою границею М
) (37)називається дією системи за Якобі.
Принцип Ейлера—Лагранжа формулюється так:
Дійсний рух механічної системи з стаціонарними голономними зв'язками в потенціальному силовому полі відрізняється від усіх інших, порівнюваних з ним кінематично можливих (у розумінні Ейлера-Лагранжа) рухів тим, що для довільних двох фіксованих положень системи перша варіація дії за Якобі для дійсного руху дорівнює нулю.
У випадку однієї матеріальної точки, яка рухається при стаціонарних зв'язках у стаціонарному силовому полі, дія за Лагранжем у формі Якобі матиме вигляд:
)або
(38)Зупинимось коротко на тлумаченні змісту принципу Ейлера-Лагранжа. У формі (36) ніяких труднощів у розумінні змісту принципу не виникає, тому що відповідний інтеграл у (36) має простий геометричний зміст (інтегрування ведеться по дугах траекторій точок системи між фіксованими її положеннями). Зміст цього принципу розкривається цілком аналогічно тому, як це зроблено раніше для принципу Остроградського—Гамільтона:
дія за Якобі (37), обчислена між двома фіксованими положеннями системи, в дійсному русі найменша. Ми можемо тут говорити про мінімальне значення дії (37) для дійсного руху між двома фіксованими положеннями системи, бо й тут можна довести, що друга варіація дії додатна, якщо тільки кінцеве положення системи В не дуже далеке від її початкового положення А.
2.4. Принцип віртуальних переміщень
2.4.1. Віртуальні, можливі та дійсні переміщення.
Кожен варіаційний принцип механіки вказує ознаку, що відрізняє дійсний рух системи від інших рухів, що допускаються зв'язками, накладеними на точки системи, – рухів порівняння.
Щоб встановити цю ознаку відповідно до принципу Д'аламбера-Лагранжа, введемо поняття віртуальних переміщень.
Розглянемо невільну систему матеріальних точок.
Віртуальними переміщеннями точок системи називаються одночасні, миттєві, малі переміщення точок системи, що не суперечать зв'язкам.
З визначення видно, що віртуальні переміщення — поняття чисто кінематичне, тому що вони не залежать від сил, що діють на точки системи. Сили також не змінюються при наданні точкам системи віртуальних переміщень. Позначимо віртуальні переміщення
.З'ясуємо взаємозв'язок між віртуальними переміщеннями і дійсними переміщеннями, які точки системи здійснюють під дією прикладених сил. З цією метою введемо поняття можливих переміщень. На відміну від віртуальних переміщень вони відбуваються в часі. Розглянемо приклад.
Нехай кільце М, розглянуте як матеріальна точка, ковзає по стержню, що переміщується в просторі (рис. 2). Зв'язки, що змінюють своє положення в просторі зі зміною часу, називаються, як відомо, нестаціонарними. Оскільки стержень переміщується, для знаходження віртуальних переміщень кільця потрібно зупинити стержень, тобто розглянути положення його у фіксований момент часу. Віртуальні переміщення визначаються вектором, спрямованим по дотичній до стержня. Нехай за час ΔT стержень перемістився з положення І у положення ІІ. Кільце М при цьому займе положення М'. Переміщення називаємо можливим. Можливі переміщення також є довільними. Розходження між віртуальними і можливими переміщеннями обумовлено переміщенням стержня.При нестаціонарних зв'язках дійсне переміщення збігається з одним зі можливих.
Якщо зв'язки не змінюють свого положення в просторі з часом, вони називаються, як відомо, стаціонарними. У випадку стаціонарних зв'язків розходження між віртуальними і можливими переміщеннями немає і дійсне переміщення системи збігається з одним з віртуальних. Принцип віртуальних переміщень є наслідком визначення віртуальних переміщень і деяких властивостей зв'язків.Розглянемо такі види фізичних зв'язків: поверхня, абсолютно твердий стержень і гнучка нерозтяжна нитка. Ці три види зв'язків, різні по своїй фізичній природі, мають одну загальну аналітичну властивість.
Нехай зв'язком для системи η матеріальних точок є ідеально гладка поверхня. Відомо, що реакція такого зв'язку спрямована по нормалі до поверхні (див. рис. 3) у ту частину простору, що не містить речовини зв'язку.
Надамо точці системи Mi, можливе переміщення
приймаючи до уваги непроникність речовини зв'язку. Кут між реакцією зв'язку і можливим переміщенням змінюється у межах 
. Тоді елементарна робота, виконана реакцією зв'язку на віртуальних переміщеннях, буде позитивною: 
(а)
Написавши співвідношення (а) для всіх точок системи і просумувавши їх, одержимо