Электроснабжение (стр. 1 из 3)
СОДЕРЖАНИЕ
1. Задание.
2. Расчетно-пояснительная записка.
3. Аннотация.
4. Ведение.
5. Теория.
6. Алгоритмы.
7. Программы.
8. Инструкция пользователя.
9. Результаты экспериментов.
10.Заключение.
ЗАДАНИЕ
A.Выписать систему конечно-разностных уравнений.
B.Оценить вычислительные затраты, требуемые для выполнения аналитических решений с шестью десятичными цифрами в 100 и 1000 точках интервала. Определить и использовать разложение в ряд Тейлора для этих вычислений.
C.Оценить до проведения любых вычислений те вычислительные затраты, которые потребуются для решения конечно-разностных уравнений в 100 и 1000 точках при помощи:
1.Исключения Гаусса,
2.Итерационного метода Якоби,
3.Итерационного метода Гаусса-Зейделя.
D. Вычислить решения конечно-разностных уравнений при помощи каждого из трех методов из задания C.
E. Оценить применимость различных методов приближен-ного решения краевых задач для дифференциальных уравнений.
АННОТАЦИЯ
В данной работе по исследованию прямых и итерационных методов решения линейных систем, возникающих в краевых задачах для дифференциальных уравнений было составлено шесть программ непосредственно по алгоритмам Гаусса, Якоби, Гаусса-Зейделя. Каждый из методов был представлен в виде самостоятельной программы, которая имеет инструкцию для пользователя. Каждая программа работает по определенному управлению, причем программа Гаусса формирует матрицу сама, а в программах Якоби и Гаусса-Зейделя вводится только количество точек на интервал, исходя из чего формируется столбец неизвестных членов. Начальные значения неизвестных задаются автоматическина основе результатов, полученных в ходе исследования были сделаны соответствующие выводы.
ВВЕДЕНИЕ
Персональные компьютеры являются одним из самых мощных факторов развития человечества. Благодаря универсальности, высокому быстродействию, неутомимостью в работе, простоте в управлении PC нашли широкое применение в различных сферах деятельности человека.
С развитием научно-технического прогресса все большая часть задач требует решения на ЭВМ, поэтому наш курсовой проект направили на развитие не только определенных навыков логического мышления, но и способность развивать и закреплять эти навыки.
ТЕОРИЯ
Дискретизация обыкновенных дифференциальных уравнений конечными разностями приводит к линейным уравнениям; если рассматривается краевая задача, то уравнения образуют совместную линейную систему.
Прямым методом решения линейной системы 
называется любой метод, который позволяет получить решение с помощью конечного числа элементарных арифметических операций: сложения, вычитания, деления и т.д. Этот метод основан на сведении матрицы, системы A к матрице простой структуры - диагональной (и тогда решение очевидно ) и треугольной - разработка эффективных методов решения таких систем. Например, если А является верхней треугольной матрицей:
;решение отыскивается с помощью последовательных обратных подстановок. Сначала из последнего уравнения вычисляется 
, затем полученные значения подставляются в предыдущие уравнения и вычисляется 
и т.д.
; 
;
или в общем виде:
, i=n, n-1, ..., 1.
Стоимость такого решения составляет 
сложений умножений(а также и делении, которыми можно пренебречь).
Сведение матриц А к одному из двух указанных выше видов осуществляется с помощью ее умножения на специально подобранную матрицу М, так что система преобразуется в новую систему 
.
Во многих случаях матрицу М подбирают таким образом, чтобы матрица МА стала верхней треугольной.
Прямые методы решения СЛУ нельзя применять при очень больших, из-за нарастающих ошибок, округлениях, связанных с выполнением большого числа арифметических операций. Устранить эти трудности помогают итерационные методы. С их помощью можно получить, начиная с вектора 
, бесконечную последовательность 
векторов, сходящихся к решению системы( m- номер итерации )
.
Метод является сходящимся, если это состояние справедливо для произвольного начального вектора .
Во всех методах, которые рассмотрены ниже, матрица А представляется в виде А=М-N ( ниже показано, как это наполняется ) и последовательно решаются системы
.
Формально решением системы является:
где - 
обратная матрица. Решение итерационным методом упрощается еще и потому, что на каждом шагу надо решать систему с одними и теми же матрицами. Очевидно, что матрица М должна быть легко обращаемой, а для получения желаемой точности надо выполнить определенное число итераций.
Критерием окончания итерационного процесса является соблюдение соотношения:
или 
,
где 
- вектор невязок уравнений 
, и 
и 
- допустимая погрешность СЛУ по неувязке или приращению вектора неизвестных на итерации.
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Многие физические системы моделируются дифферинци-альными уравнениями, например :
которые не могут быть решены аналитически. Приближение этих уравнений конечными разностями основано на дискредитации интервала [0,1] как показано на рис.1 и замене производной. 
простой разностью, например :
где, 0,2=1/5=X4-X3.
Тогда аппроксимирующее разностное уравнение имеет вид:
В каждой точке дискретизации справедливо одно такое уравнение, которое приводит к линейной системе для приближенных значений решения дифференциального уравнения.
Уравнения такого вида можно решить с помощью разложения в ряд Тейлора. В нашем случае уравнения решенные разложением в ряд Тейлора имеют вид;
