Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения (стр. 3 из 3)

5.7 Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы автомата.

Функция переходов:

. (5.1)

Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:

. (5.2)

Для удобства реализации комбинационной схемы представим рассматриваемые функции в базисе “ИЛИ-НЕ”:

. (5.3)

5.8 На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации управляющего автомата транспортной тележки, представленную на рисунке 5.2.

Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит элементы памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой. Такой вариант реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно из которых является абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние блокировки есть абсолютно устойчивое состояние. Если комбинационная схема сформируем это состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается реакция выходов X на изменение входных сигналов Y. Выход из этого устойчивого состояния возможен только принудительным обнулением линии S единичным уровнем на линии “Сброс”. Конфликтных “Состязаний” в рассматриваемом автомате не возникает.

6 Решение дополнительного задания

6.1 Действующая на тележку в динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к центру масс тележки

и вращающий момент

, относительно того же центра масс.

6.2 Как видно из рисунка 1.1 вращающий момент определяется только силой реакции опоры переднего колеса

—

, (6.1)

где

— угол поворота переднего колеса.

Зная из рисунка, что

, (6.2)

получим:

. (6.3)

Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки влево, отрицательные — вправо.

6.3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:

. (6.4)

Для нашего случая важно знать направление действия силы

, которое зависит от направлений и величин составляющих рассматриваемой суммы. В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения габаритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором:

, (6.5)

где

— вектор, задающий координаты центра масс тележки;

— вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги ;

— габаритная определяющая транспортной тележки.

6.4 Вектор

представляется в базисе вектора

следующим образом:

, (6.6)

где

— единичный вектор, ортогональный вектору ,

или

. (6.7)

Если

имеет координаты , то имеет координаты . Тогда вектор , выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид:

, (6.8)

где

— матрица (оператор) поворота вектора на угол .

Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что

. (6.9)

6.5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выражения для векторов силы тяги и приведённой силы трения, а именно:

, (6.10)

. (6.11)

6.6 Центростремительная реакция трассы

определяется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её центра масс, возникающей при закруглении траектории движения:

, (6.12)

где

— центростремительное ускорение.

Если траектория движения центра масс задаётся вектором

, то

, (6.13)

где

— вектор скорости центра масс;

— вектор полного ускорения;

— оператор скалярного произведения векторов.

Это физический факт. Вывод его опускаем.

6.7 Центр масс тележки смещается под действием результирующей силы

, при этом справедливо:

. (6.14)

6.8 Точка приложения силы тяги смещается под действием вращающего момента

, за счёт которого ей придаётся угловое ускорение

:

, (6.15)

где

— момент инерции тележки относительно центра масс.

Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное

в скалярной форме:

,

а затем и в векторной:

, (6.16)

где

— векторная скорость изменения ориентации габаритной определяющей.

С другой стороны, — вектор тангенциального ускорения может быть выражен через полное ускорение вектора

:

, (6.17)

где

— вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяющей;

В результате имеем связь:

. (6.18)

6.9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорциональна модулю скорости центра масс:

, (6.19)

где

— коэффициент трения,

на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики транспортной тележки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное уравнение системы строится на основе выражений: (6.3), (6.4), (6.5), (6.9), (6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на основе: (6.3), (6.5), (6.18). Решением первого уравнения является зависимость траектории центра масс тележки от времени, решением второго — ориентация во времени вектора

.

Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться численно при любой зависимости от времени угла поворота

и четырёх начальных условиях типа:

, (6.20)

которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в начале координат, скорость тележки равна нулю (и поступательная и вращательная), тележка сориентирована вертикально по оси

.

Для более детального учёта свойств транспортной тележки в динамики выражения векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями сравнений в соответствии с допущениями, сформулированными в задании контрольной работы.