где T- кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.
Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:
Коэффициенты

являются функциями координат

,

и

.
Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где

.
Располагая коэффициенты

по степеням и пологая для упрощения записи

, получим:
Потенциальная энергия

системы:
При этом учитываем, что в положении равновесия

обобщенные силы также обращаются в нуль.
В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:

,

,

,

,

,

.
Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы

…,

. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил

отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).
Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:
Замечая, что
а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях

,

и

, получаем три уравнения:
Здесь

,

и

- обобщенные силы для системы сил

…,

, уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия

. Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат

,

и

в положении равновесия:
причем

,

и

.
Решение системы (2.7) имеет вид:
где

.
На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол

мал и координаты массы
m можно записать как

. Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
где

- обобщенная сила,

- коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы
m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы
m.
Сила

действует на все звенья манипулятора следовательно:
Коэффициенты

в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что

действует только по координате

, затем только по координате

и наконец только по координате

, тогда в выражение (2.7) можно переписать:
таким образом

, используя (2.9) находим:
Коэффициенты

,

и

определяют податливость звеньев манипулятора по координатам

,

и

соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:
где

,

и

жесткости звеньев по координатам

,

и

соответственно.