U1н = 1 + P × cos2×t ;
( 72 )
U2н = 1 + P × sin2×t .
Если эти выражения записать соответственно обозначениям, принятым в разделах 2.1 и 2.2 для каждого элемента разложения кадра, то получим:
U1н(N, L) = 1 + P(N, L) × cos2×t ;
( 73 )
U2н(N, L) = 1 + P(N, L) × sin2×t .
Как уже отмечалось, для формирования модели изображения очень важной является задача преобразования объёмного объекта в плоский кадр. В разделах 2.3 и 2.4 это преобразование проведено через координаты q и j сферической системы координат, связанные с элементами разложения кадра по строкам L и элементами в строках N на основе геометрических и логических связей.
Для модифицированной модели можно использовать в качестве системы преобразования объёмного объекта в плоский кадр декартову систему координат.
Пусть тепловизионная система с поляризационной насадкой строит кадр с изображением объекта, которому соответствует в плоскости объекта поле зрения с размерами по вертикали - ( zk -zн), а по горизонтали - ( yk - yн ), где zk, zн, yk, yн - конечные и начальные координаты поля зрения в системе координат объекта
( рис.6 ). Причём, расположение по вертикали вдоль оси OZ и по горизонтали вдоль оси OX, что соответствует геометрии наблюдения объекта по рисунку 6. Здесь показан общий принцип системы построения кадра. Более конкретное преобразование объекта в кадр будет представлено для каждого объекта конкретно.
2.7. Оптико-математическая модель поляризационных
изображений с учётом эллиптичности поляризации
теплового излучения.
Все выводы, приведённые выше, представлены для частично линейно-поляризованного излучения. В случае эллиптично-поляризованного излучения окончательные формулы будут иметь иной вид.
Если обозначить эллиптичность через g, то для линейно-поляризованного излучения g=0, а для эллиптично-поляризованного g имеет значения, которые отличны от нуля. Поэтому вектор-параметр Стокса для эллиптично-поляризованного излучения в нормированном виде представляются как:
é 1 ù
U(N, L) = U0|P(N, L) × cos2×t × cos2×g | . ( 74 )
| P(N, L) × sin2×t × cos2×g |
ë P(N, L) × sin2×g û
После вывода, аналогичного случаю линейно-поляризованного излучения можно получить выражения для нормированных видеосигналов U1н и U2н для эллиптично-поляризованного излучения:
U1н = 1 + P × cos2×g × cos2×t ;
U2н = 1 + P × cos2×g × sin2×t . ( 75 )
Таким образом, на основании формул ( 75 ) и ( 16 ) - ( 19 ) можно формировать оптико-математические модели поляризационных тепловизионных изображений объектов с учётом эллиптичности поляризации излучения.
2.8. Модифицированная формула моделирования
изображения диска, сферы и эллипсоида.
Модифицированная модель изображения предполагает иное, чем в разделе 2.3 преобразование объёмного тела, наблюдаемого тепловизионной системой, в плоский кадр с изображением этого объекта, поэтому для пояснения процесса преобразования воспользуемся рис.6. Из данного рисунка видно, что ( z0, y0 ) - это координаты центра объекта и кадра, R - радиус самой сферы, а rt - радиус-вектор плоского кадра, связывающий координаты вертикали Z и координаты горизонтали Y с центром элемента разложения кадра. Из геометрических связей можно определить rt :
.
rt = Ö( y-y0)2 + ( z-z0)2 . ( 76 )
Элементу разложения кадра dS’ с координатами ( y, z ) будет соответствовать элементарная площадка поверхности сферы с координатой Х. Поскольку уравнение сферы в декартовой системе координат, с геометрией наблюдения, аналогичной рис. 7, имеет вид:
x2 ( y-y0)2 ( z-z0)2
f( x, y, z ) = ---- + --------- + --------- = 1, ( 77 )
R2 R2 R2
то координата Х элементарной площадки dS определяется по формуле:
.
x = Ö R2-( y-y0)2 + ( z-z0)2 . ( 78 )
Подстановкой формулы ( 76 ) в выражение ( 78 ) преобразуем выражение для Х:
.
x = Ö R2 - rt2 . ( 79 )
Далее для определения степени и степени поляризации воспользуемся формулами ( 16 ) - ( 19 ) применительно к конкретному объекту:
df df df 2 × x 2 ×(y-y0) 2 ×(z-z0)
n = ----- × i + ----- × j + ------ × k = ------- × i + ----------- × j + ----------- × k; ( 80 )
dx dy dz R2 R2 R2
2 ×(y-y0) 2 ×(z-z0)
nyz = ----------- × j + ----------- × k; ( 81 )
R2 R2
é (y-y0) ù y-y0
t = arccos | -------------------| = arccos ------------ ; ( 82 )
ë Ö (y-y0) + (z-z0) û rt
( n* rн ) .
cosy= -------------- = x / Ö x2 + rt2 . ( 83 )
| ( n* rн ) |
По формуле ( 12 ) можно найти Р:
ì xü
Р = a ( 1- cosy) = a ×| 1 - ----------| . ( 84 )
î Ö x2 + rt2þ
Для получения оптико-математической модели достаточно подставить формулы ( 80 ) - ( 84 ) в формулы для видеосигналов ( 73 ) ( или ( 74 ) для случая эллиптично-поляризованного излучения ).
Вернёмся теперь к формуле ( 82 ) для азимута поляризации излучения. Как видно из этой формулы, t зависит только от y и z, а от координаты х зависимости нет. Поскольку в данной работе рассматриваются объекты, различающиеся по форме именно вдоль оси Х, а в плоскости осей Y и Z ( т.е. в кадре ) имеющие одинаковый контур, то можно сделать вывод, что значение азимута поляризации t для всех рассматриваемых здесь объектов ( конус, эллипсоид, сфера ) будет одинаковым.
Для полной ясности необходимо установить распределение азимута поляризации по поверхности этих фигур. По формуле ( 82 ) рассмотрим некоторые конкретные случаи. Например, при z=z0 и y>y0 , t=0 при z=z0 и y< y0 , t = p;при y=y0 и z> z0, t= - p /2; при y=y0 , z<z0 , t= p /2.
Если попробовать свести эти результаты к схематичному распределению азимута поляризации излучения внутри контура с учётом того, что в случаях, не указанных в примере, азимут поляризации принимает промежуточные положения, то получается рисунок 7.
Чтобы сформировать оптико-математическую модель для эллипсоида, воспользуемся рисунком 8 и уравнением эллипсоида в декартовой системе координат:
x2 ( y-y0)2 ( z-z0)2
f( x, y, z ) = ---- + --------- + --------- = 1, ( 85 )
a2 b2 c2
При моделировании для упрощения примем:
b = c = R ; ( 86 )
a = k ×R, ( 87 )
где k - коэффициент сжатия.
Тогда уравнение ( 85 ) примет вид:
x2 ( y-y0)2 ( z-z0)2
f( x, y, z ) = -------- + --------- + --------- = 1, ( 88 )
k2 × R2 R2 R2
Уравнение для координаты х, исходя из выражения ( 88 ), будет следующим:
.
x = k × Ö R2 + rt2 . ( 89 )
Выражение для азимута поляризации в случае объекта типа эллипсоида, будет таким же, как для случая со сферой ( 88 ), так как азимут поляризации не зависит от координаты х:
t = arccos [(y - y0) / rt ]. ( 90 )
Степень поляризации для каждого элемента разложения кадра с координатами ( у, z ) можно определить аналогично сфере из формул ( 16 ) - ( 19 ) и ( 25 ) - ( 27 ):
.
cosy= x / Ö x2 + k4×( y-y0 )2+ k4×( z-z0 )2= x / Ö x2 + k4 × rt2 . ( 91 )
Степень поляризации, соответственно, равняется
.
P = a ×( 1 - x / Ö x2 + k4 × rt2 ) . ( 92 )
Далее, по выражения ( 73 ) ( или ( 75 ), в случае эллиптичной поляризации ) можно получить модели изображений эллипсоида при азимутах фильтра d = 00 и d = 450 соответственно. Причём, при к = 1 формулы для эллипсоида становятся аналогичными для сферы. Если в формулы ( 73 ) или ( 75 ) подставить к = 0.1, то это будет модель изображения диска. Во всех остальных случаях можно получить модели изображений эллипсоида с различными коэффициентами сжатия.
2.9. Модифицированная формула моделирования
изображения конуса.
Рассмотрим, согласно рис. 9, уравнение конуса в декартовых координатах:
f(x, y, z) = - ( h- x )2 / h2 + ( y - y0 )2 / R2 + ( z - z0)2 / R2 = 1, ( 93 )
где R - радиус основания конуса;
h - высота конуса.
Уравнение для координаты х в случае конуса будет иметь вид:
x = h × ( 1 - rt / R) . ( 94 )
Значение степени поляризации определим аналогичным образом. Для этого найдём вектора n и rt :
n = - 2 ×( h - x ) × i / h2 + 2 ×( y - y0) × j / R2 + 2 ×( z - z0) ×k / R2, rн = i. ( 95 )
Тогда
.
cos y = ( h - x) / [ h2× Ö ( h-x)2 / h4+ rн2 / R4 ] . ( 96 )
Так как ( h - x) / h = rt / R, то
.
cos y = 1 / Ö 1+ ( h/R)2 . ( 97 )
Если обозначить через k = h / 2 / R, то выражение ( 97 ) примет вид:
.
cos y = 1 / Ö 1+ 4 × k2 . ( 98 )
Далее, по выражениям ( 73 ) ( или ( 75 ) для эллиптично-поляризованного изучения ) с учётом ( 16 ) - ( 19 ) и ( 25 ) - ( 27 ), можно смоделировать изображения конуса при азимутах поляризационного фильтра 00 и 450, соответственно.
2.10. Оптико-математическая модель изображения объектов
наблюдаемых на конечном расстоянии.
До сих пор все выводы производились при условии бесконечно удалённого объекта. Если принять, что объект наблюдается тепловизионной системой на конечном расстоянии l, то геометрия наблюдения объектов изменится, а, следовательно, изменятся и сформированные модели изображений. Для того, чтобы определить оптико-математическую модель изображения объекта типа сферы, наблюдаемого на расстоянии l, рассмотрим рис.10. В соответствии с данным рисунком видим, что угол наблюдения y’в данном случае состоит из угла y - угла наблюдения при наблюдения объекта из бесконечности и a - поправки на приближение объекта к системе: