q = L × p / L0 ; ( 43 )
j = ( N × p / N0 ) - p/2 ; ( 44 )
где L0 - число всех строк в кадре;
N0 - число элементов в каждой строке.
2.4. Формула моделирования изображений конуса.
Вывод формулы моделирования изображений конуса аналогичен выводу формулы для тел типа эллипсоида, но для разнообразия расположим конус по другой оси координат - вдоль оси OZ ( рис. 5).
В декартовой системе координат уравнение конуса имеет вид:
f(x,y,z) = x2 / a2+ y2 / a2 - z2 / c2 = 0. ( 45 )
где а - радиус основания конуса;
с - высота конуса.
Вектор нормали n в соответствии с формулой (16), имеет вид:
[(-2×z/c2)×k+ (2×x/a2)×i+ (2×y/a2)×j ]
n = ------------------------------------------------- . ( 46 )
Ö (2 × x / a2 )2+ (2 × y / a2 )2+ (2 × z / c2 )2
В свою очередь вектор наблюдения для конуса данного расположения в декартовой системе координат имеет вид:
.
rн = - xн × i - yн × j - ( l - zн )× k / Ö x2н + y2н + ( 1 - z2н) , ( 47 )
Если конус наблюдается из бесконечности, то упрощение в формулах можно произвести в процессе вывода, а не в окончательном виде, как в случае эллипсоида. Так, при l стремящемся в бесконечность, rн = - k.
Тогда произведение ( n* rн) принимает вид:
.
( n* rн ) = (2×z/c2) / Ö(2 × x / a2 )2+ (2 × y / a2 )2+ (2 × z / c2 )2 ( 48 )
принимая во внимание то, что коэффициент сжатия конуса k = c / a, тогда
.
( n* rн ) = z / Ö( x2 + y2 ) × k4+z2 . ( 49 )
Если применить способ формирования изображения на основе степени и азимута поляризации, то необходимо для конечной формулы пользоваться формулой ( 27 ), которая для случая наблюдения объекта вдоль оси OZ примет вид:
P(N, L) = [ 1 - ( n × rн )] × [ 2 ×( nxy ×i )2 - 1 ]. ( 50 )
в этом случае
.
nxy = (x × i + y × j) / Ö x2 + y2 ; ( 51 )
.
( nxy ×i ) = x / Ö x2 + y2 ; ( 52 )
Соединив формулы ( 49 ) - ( 51 ), получим степень поляризации в виде:
.
P’(N, L) = [ 1 - z / Ö( x2 + y2 ) × k4+z2 ] × [ 2 × x2 / (x2 + y2) - 1 ] . ( 53 )
Для удобства вывода выражения для P’(N, L) в сферической системе координат, воспользуемся переводом компонент в другую систему координат:
X = sinq × cosj ;
Y = sinq × cosj ; ( 54 )
Z = cosq .
.
( n* rн ) = 1 / Ö 1 + k4 tg2q .
Поскольку угол q для конуса является постоянным и равным отношению радиуса основания к высоте, то справедливо выражение:
tgq = a / c. ( 55 )
Подставив формулу ( 55 ) в выражения ( 54 ), получим :
.
( n* rн ) =1 / Ö 1 + k2, ( 56 )
( nxy ×i ) = cosj. ( 57 )
Тогда
.
P’(N, L) = [ 1 - 1 / Ö 1 + k2 ]× cosj. ( 58 )
Таким образом, формула ( 58 ) является оптико-математической моделью поляризационного тепловизионного изображения конуса. При этом угол j связан с номером строки L и с номером элемента строки N кадра зависимостью:
j = arctg[( L - L0 ) / ( N - N0 )]. ( 59 )
Эта формула получена на основе геометрии перевода объёмного изображения на плоский кадр и логических рассуждений.
2.5. Анализ результатов исследования поляризационных
тепловизионных изображений объектов простой формой.
Практической целью моделирования поляризационных тепловизионных изображений объектов является распознование их формы внутри контура. Если проанализировать полученные модели изображений эллипсоидов с различными значениями коэффициента сжатия k, то можно заметить по поверхности сферы равномерное распределение степени поляризации Р’ от 0 до 1 вдоль горизонтальной линии от центра к краю и от 0 до -1 вдоль вертикальной линии от центра к краю.
По мере вытягивания эллипсоида ( к >1 ) область небольших по модулю значений степени поляризации | P’ | < 0.09 снижается , при этом область значений 1< | P’ | < 0.09 расширяется. При сжатии эллипсоида наблюдается обратная картина. Так для диска почти по всей поверхности значения P’ близки к нулю и только область, близкая к краю, занята значениями | P’ |, близкими к 1.
Поляризационные тепловизионные изображения конуса также дают возможность интерпретации его формы внутри конуса. Распределение степени поляризации в модели диска, полученное по формулам для сильно сжатого конуса аналогично распределению в модели, полученной по формулам для сильно сжатого эллипсоида. Однако модель самого конуса имеет очевидное отличие от объектов в виде эллипсоида по распределению степени поляризации. Здесь наблюдаются одинаковые значения степени поляризации вдоль выбранного диаметра. Причём, чем более вытянут конус, тем больше в модели изображения области с | P’| близкими к 1 и наоборот.
Таким образом, приведённый анализ поляризации тепловизионных изображений объектов показал, что имеется существенная зависимость формы объектов внутри их контура от значений степени поляризации P’ по наблюдаемым участкам поверхности объектов.
2.6. Модифицированный метод моделирования
поляризационных тепловизионных изображений.
В приведённых выше математических выкладках для вывода основных формул моделирования поляризационных тепловизионных изображений использовались поляризационные свойства собственного излучения объекта. Эти свойства обычной тепловизионной обработкой выделить невозможно, поэтому необходимы дополнительные технические средства в качестве анализатора поляризационного излучения. Таким анализатором может служить поляризационный фильтр, азимут поляризации которого будет изменяться от 00 до 3600 . Формировать оптико-математическую модель изображения тепловизионной системы с поляризационным фильтром можно модифицированным методом моделирования не основе вектор-параметра Стокса и влияния на излучение от объекта поляризационного фильтра. Причём исходным выражением для видеосигнала будем считать:
l2
( N, L ) = ( 1/ p)×w ×cosy(N,L)×dS(N,L)×òSl×W(l,T,y,z)×t0(l)×ta(l)×dl ( 60 );
l1
Вектор-параметр Стокса, описанный в разделе 2.1 формулой ( 4 ), в нормированном виде выглядит следующим образом:
é 1 ù
Uj (N, L) = U0×| P × cos 2 × t | ( 61 );
| P × sin 2 × t|
ë 0 û
где U0 - суммарный видеосигнал при азимутах поляризации излучения t=00 и t=900. U0 = U0 + U90;
P - степень поляризации излучения;
t - азимут поляризации излучения.
Вектор-параметр Стокса для яркости излучения объекта в таком случае будет следующим:
é 1ù
Uj (N, L) = [ W(l,T,y,z) / p ] × | P × cos 2 × t| , ( 62 )
| P × sin 2 × t |
ë 0 û
В свою очередь, влияние поляризационного фильтра на излучение от объекта описывается матрицей Мюллера:
é 1 cos 2 × d sin2 × d 0 ù
tij = tп× | cos 2 × d cos2 2 × d sin2 × d× cos2 × d 0 | , ( 63 )
| sin 2 × d cos 2 × d× sin 2 × d sin22 × d 0 |
ë 00 0 0 û
где tп - энергетический коэффициент пропускания фильтра;
d - азимут поляризации фильтра, отсчитываемой относительно плоскости референции.
Тогда при положении поляризационного фильтра с азимутами
d = 00 и d = 450, матрицы tij будут иметь вид:
é 1 1 0 0 ù
tij(0) = tп× | 1 1 0 0 | ; ( 64 )
| 0 0 00 |
ë 00 0 0 û
é 1 0 1 0 ù
tij(45) =tп× | 0 0 0 0 | ; ( 65 )
| 1 0 10 |
ë 00 0 0 û
Вектор-параметр Стокса для энергетической яркости излучения, прошедшего произвольный поляризационный фильтр, можно записать:
4
Li(l,T,P) = S tij × Lj(l,T,P). ( 66 )
j =1
Сигнал на выходе приёмника излучения запишется в виде:
l2
U1 = òc(l) × Li(l,T,P) × dl, ( 67 )
l1
где c(l) = w × cosy× dS × Sl× t0(l) × t a(l) .
Тогда, вектор-параметры Стокса для яркости излучения, прошедшего поляризационный фильтр при азимутах поляризации d=00 и d=450, будут следующие:
é 1 + P × cos 2 × t ù
Li(0) = tп× W(l,T,y,z) / p ] ×| 1 + P × cos 2 × t| , ( 68 )
| 0 |
ë 0 û
é 1 + P × sin 2 × t ù
Li(45) = tп× W(l,T,y,z) / p ] ×| 0| , ( 69 )
| 1 + P × sin 2 × t|
ë 0 û
Как известно, первая строка вектор-параметра Стокса характеризует энергетические характеристики излучения, поэтому выражение для сигналов приёмника при двух положениях поляризационного фильтра можно записать в виде:
l2
U1 = tп×(1+P×cos2×t)×[(1/ p)×w ×cosy×dS ]×òSl×t0(l)×ta(l)×W(l,T,y,z) ×dl
l1
( 70 ).
l2
U2 = tп×(1+P×sin2×t)×[(1/ p)×w ×cosy×dS ]×òSl×t0(l)×ta(l)×W(l,T,y,z) ×dl
l1
Если обозначить одинаковые множители U1 и U2 в виде:
l2
B( T )= tп×[(1/ p)×w ×cosy×dS ]×òSl×t0(l)×ta(l)×W(l,T,y,z) ×dl
l1
то формулы ( 70 ) примут вид:
U1 =B( T ) × ( 1 + P × cos2×t )
( 71 )
U2 =B( T ) × ( 1 + P × sin2×t ).
Упростим формулы ( 71 ), пронормировав их B( T ):