1+ [ 1 - (n*rн)] × a
------------------------ [(n*j)2 - (n*k)2] +[(eûë*j)2 - (eûë*k)2]
1- [ 1 - (n*rн)] × a
P’(N, L) = ---------------------------------------------------------------------- . ( 15 )
1+ [ 1 - (n*rн)] × a
------------------------- [(n*j)2 - (n*k)2] +[(eûë*j)2 + (eûë*k)2]
1- [1 - (n*rн)] × a
С помощью этой формулы можно определить степень поляризации всех элементов наблюдаемой тепловизором части поверхности объекта любой формы. Для этого нужно знать направление нормали n для каждого элемента поверхности в зависимости от его положения в декартовой системе координат. Оно определяется как оператор Гамильтона ( набла-оператор ) от функции f(x,y,z) = 0, описывающий форму объекта:
[( df/dx ) × i + ( df/dy ) × j + ( df/dz ) ×k ]
n = ---------------------------------------------------- . ( 16 )
[( df/dx )2+ ( df/dy )2 + ( df/dz )2] 1/2
Единичный вектор наблюдения rн определяется как разница векторов l и R по формуле:
rн = ( l - R ) / | ( l - R )|,( 17 )
где l - вектор, определяющий положение декартовой системы координат по отношению к точке наблюдения H;
R - радиус-вектор элемента dS поверхности объекта, определяющий его положение в декартовой системе координат x, y, z с единичными ортами i, j, k.
Радиус-вектор задаётся R формулой :
R = x × i + y × j + z × k . ( 18 )
Если направление наблюдения центра декартовой системы координат выбрано вдоль оси х, то есть направление вектора l и оси х совпадают, то вектор l выразится в виде:
l = l × i , ( 19 )
где l - расстояние от центра декартовой системы координат О до точки наблюдения Н;
i - единичный орт оси ОХ .
В этом случае выражение (17) примет вид:
rн = [( l-x)i + y × j +z × k ] / [( l-x)2+ y2+ z2]1/2 . ( 20 )
Вектор перпендикулярной составляющей коэффициента излучения eûë перпендикулярен плоскости, определяемой векторами n и rн ( плоскости наблюдения ), и находится как векторное произведение этих векторов по формуле:
eûë = [ n* rн ] / | [ n* rн ] |. ( 21 )
Таким образом, определив степень поляризации P’ от всех элементов видимой части объекта, можно построить оптико-математическую модель поляризационных тепловизионных изображений объектов любой формы.
2.1. Теория моделирования поляризационных тепловизионных
изображений на основе степени и азимута поляризации
теплового изображения.
Для описания этого метода воспользуемся рис. 3.
Допустим, что азимут поляризации излучения элемента dS поверхности объекта составляет угол t с поверхностью референции.
Для определения степени поляризации P’ необходимо найти величины видеосигналов U0 и U90 поляризационных тепловизионных изображений элементов dS поверхности объекта при азимутах поляризатора t=00 и t=900. Выразим U0 и U90 через параллельную и перпендикулярную составляющие коэффициента излучения элемента dS и азимут t поляризации этого элемента, который представляет собой угол между плоскостью поляризации ( ось ОА ) и плоскостью референции ( ось OY ). В общем случае, когда азимут t поляризации излучения элемента dS не совпадает с азимутом поляризатора, обе компоненты коэффициента излучения дают вклады в величины видеосигналов U0 и U90 следующим образом:
U0(N, L) = Umax× cos2 t + Umin× sin2 t = A(N, L) × ( e÷÷ × cos2 t + eûë ×sin2 t) ; ( 22 )
U90(N, L) = Umax× sin2 t + Umin× cos2 t = A(N, L) × ( e÷÷ × sin2 t + eûë ×cos2t) ; ( 23 )
где Umax= A(N, L) × e÷÷ , Umin= A(N, L) × eûë.
Согласно формуле (6) найдем степень поляризации P’(N, L) излучения элемента dS объекта в виде:
P’(N, L) = [ e÷÷ - eûë ] / [ e÷÷ + eûë] × cos(2 × t) = P × cos(2 × t) , ( 24 )
где P = [ e÷÷ - eûë ] / [ e÷÷ + eûë ] - распределение степени поляризации излучения элементов dS объекта.
Так как cosy = ( n* rн ), то с учётом формулы (12) имеем:
P’(N, L) = [ 1- ( n* rн ) ] × а × cos(2 × t); ( 25 )
В связи с тем, что вдоль оси ОА расположен вектор nyz , являющийся проекцией вектора n на плоскость xyz, то справедливо выражение:
cos t = ( nyz*j ) , ( 26 )
тогда, приняв во внимание тождество
cos(2 × t) = 2 × cos2t - 1,
выражение (25) для расчёта степени поляризации всех элементов поверхности объекта примет вид:
P’(N, L) = а ×[ 1- ( n* rн ) ] × [ 2 × ( nyz*j )2 -1 ]. ( 27 )
Таким образом, формулы (15) и (27) с учётом формул (16) - (21) являются оптико-математической моделью поляризационных тепловизионных изображений излучающих объектов [5,6]. В тех случаях, когда необходимо моделировать поляризационные тепловизионные изображения по распределению степени поляризации, можно воспользоваться выражением:
P(N, L) = а ×[ 1- ( n* rн ) ]. ( 28 )
2.3. Формулы для моделирования изображения
диска, сферы и эллипсоида.
Для подтверждения теории моделирования поляризационных тепловизионных изображений рассмотрим объекты в виде сферы, эллипсоида и диска. Как уже отмечалось раньше, традиционный тепловизионный метод при наблюдении этих объектов сверху даёт одинаковое изображение как по контуру, так и внутри контура, несмотря на явное различие формы этих объектов внутри контура изображения видимой части их поверхности. Для подробного вывода остановимся на сфере, как наиболее наглядном и симметричном объекта ( рис. 4).
Уравнение сферы в декартовых координатах имеет вид:
f(x,y,z) =x2+ y2+ z2- R2= 0. ( 29 )
Тогда n = (x × i + y ×j + z × k ) /R - вектор нормали сферы,
где R = (x2+ y2+ z2)1/2 - радиус сферы.
Вектор наблюдения rн можно определить из формулы (17):
rн = [( l-x) × i - y × j - z × k ] / [R2+ l2+ 2 × l × x]1/2 . ( 30 )
Тогда по правилам векторного умножения:
e = [ n* rн] = ( ny × rнz - nz × rнy) × i +( nz × rнx - nx × rнz) × j +( nx × rнy - ny × rнx) × k ;
в нормированном виде:
_____________
eûë = ( lz×i - ly× j ) / (R × Ö R2+ l2 - 2 × l × x ), ( 32 )
Теперь определим все остальные недостающие выражения для формулы (15):
_____________
( n* rн ) = (x × l -R2)/ (R × Ö R2+ l2 - 2 × l × x ), ( 33 )
( n* j)2 = y2 / R2 ; ( 34 )
( n* k)2 = z2 / R2 ; ( 35 )
( eûë * j)2 = l2× z2/ (R2× ( R2+ l2 - 2 × l × x ); ( 36 )
( e÷÷* k)2 = l2× z2/ (R2× ( R2+ l2 - 2 × l × x ); ( 37 )
После подстановки формул (30) - (37) в выражение (15), получим:
l × x - R2
2 - ---------------------------------
R2× ( R2+ l2 - 2 × l × x )1/2æ y2- z2öé l2 × z2 - l2 × y2 ù
----------------------------------------- × ï --------- ê + ï --------------------------- ç
l × x - R2 èR2 øëR2×( R2+ l2 - 2 × l × x )û
---------------------------------
R2× ( R2+ l2 - 2 × l × x )1/2
P’ (N, L) = ---------------------------------------------------------------------------------------------- .
l × x - R2
2 - ---------------------------------
R2× ( R2+ l2 - 2 × l × x )1/2 æ y2+ z2 ö é l2 × z2 + l2 × y2 ù
----------------------------------------- × ï --------- ê - ï ---------------------------ç
l × x - R2 èR2 øëR2×( R2+ l2 - 2 × l × x)û
---------------------------------
R2× ( R2+ l2 - 2 × l × x )1/2
После упрощения это выражение принимает вид:
P’(N, L) = [( y2 - z2 ) / ( y2 + z2 )] ×( 1 - x/R ). ( 38 )
Это есть степень поляризации теплового изображения сферы в декартовых координатах.
Перейдем к сферическим координатам:
X = R × sinq × cosj ;
Y = R × sinq × cosj ;
Z = R × cosq .
Тогда выражение (38) принимает вид:
sin2q × sin2j - cos2q
P’(N, L) = --------------------------- ( 1 - sinq× cosj) . ( 39 )
sin2q× sin2j + cos2q
Это и есть степень поляризации теплового изображения сферы в сферических координатах.
Аналогично можно получить формулы для эллипсоида. Для этого необходимо начать вывод с функции:
f(x,y,z) =x2 / b2+ y2 / a2+ z2 / c2- 1= 0. ( 40 )
С учётом обозначения K = b/a - коэффициента сжатия эллипсоида ( b - большая полуось эллипсоида, a - малая ), получим формулу для степени поляризации в декартовых координатах:
________________
P’(N, L) = [( y2 - z2) / ( y2 + z2)] ×[ 1 - ( x / Ö x2 + k2 × y2 + k2 × z2)] . ( 41 )
C учётом сферических координат для эллипсоида:
X = b × sinq × cosj ;
Y = a × sinq × cosj ;
Z = a × cosq .
степень поляризации принимает вид:
sin2q × sin2j - cos2qé sinq× cosj ù
P’(N, L) = -------------------------- × ê 1- ------------------------------------------------------ç(42)
sin2q× sin2j + cos2q ë Ö sin2q× cos 2j + k2 ×( sin2q× sin2j + cos 2q) û
Что касается диска, то для него используется формула ( 42 ), с учётом, что коэффициент сжатия k := 0.1, т.е. эллипсоид сжатый до состояния диска, когда большая полуось составляет всего лишь 10-ю часть от малой полуоси; для сферы формула ( 42 ) справедлива при k = 1. Таким образом, для получения модели поляризационного тепловизионного изображения диска, сферы и эллипсоида можно пользоваться формулой ( 42 ) с использованием различных значений k. При этом необходима связь углов q и j с номерами строк L и номерами элементов в строках N тепловизионного кадра. На основе геометрии наблюдения и логических рассуждений были получены следующие связи: