10. Развитие этой мысли означает разговор о социокультурной природе феномена математики. Перед нами мостик, позволяющий нам ощутить социокультурную гибкость выдвигаемого взгляда. Его гибкость определяется исторической изменчивостью понимания слов “пространство”, “время”, “пространственно-временное конструирование” и т.п. Однако, социокультурная природа рассматриваемого феномена гарантирует нам не только гибкость и изменчивость, но и преемственность, сохранение “семейного сходства” (Л.Витгенштейн) посредством “социальных эстафет” (М.А.Розов) (см. также введение к настоящему докладу).
11. Уже Аристотель заметил, что математик не нуждается для своих рассуждений в представлении слишком больших величин, ведь его интересуют не сами величины, а их отношения, но “в том же отношении, в каком делится самая большая величина, можно было бы разделить и какую угодно другую” (Phys., III, 7) [1, с.121]. Следовательно, все воображаемые математиками конструкции, без всякого для них вреда, могут быть уложены в рамки конечного аристотелевского космоса. А коль скоро мы хотим говорить о нашей индивидуальной способности воображать - в границы между верхним и нижним порогами восприятия; нужно лишь вовремя менять масштаб: гомотетичным образом увеличивать или уменьшать всю конструкцию.
12. Хотелось бы сделать некоторые замечания, проясняющие отношение высказываемой точки зрения на роль времени и движения в математике к позициям платонической традиции и Канта. Хотя Аристотель (Met., VI, 1) и предлагает отличать математику от физики по неподвижности предмета изучения первой, однако, намеченное у него же учение о специфической материи математических предметов (Met., VII, 10-11; VIII, 6) естественно ведет к мысли и о наличии становления (движения в широком аристотелевском смысле) в этой области: ведь всякая материя есть не только лишенность формы, но и обязательно ее возможность, а всякая возможность раскрывает себя лишь переходя в действительность, т.е. предполагает наличие становления. Таким образом, можно говорить о математическом становлении (Met., IX, 9), однако математика интересует не само становление (это специфический предмет аристотелевской физики), а лишь его результат. Этот взгляд подтверждается и Проклом [24]: с одной стороны, геометрия определяется у него как изучающая величины в покое (в отличие от астрономии, изучающей величины в движении, и охарактеризованной в связи с этим Аристотелем как самая физическая из математических дисциплин - Phys., II, 2), а, с другой стороны, внутри самой геометрии различаются проблемы и теоремы, что напрямую связывается Проклом с различением становления и бытия [27].
Время, согласно Канту, “мы можем мыслить не иначе, как обращая внимание при проведении прямой линии (которая должна быть внешне образным представлением о времени) исключительно на действие синтеза многообразного, при помощи которого мы последовательно определяем внутреннее чувство, и тем самым имея в виду последовательность этого определения. Даже само понятие последовательности порождается, прежде всего, движением как действием субъекта (но не как определением объекта)” [11, т.3, с.142]. Кант весьма настороженно относится к движению в геометрии, как науке основанной на чистом созерцании. Ведь “понятие движения, соединяющее в себе и пространство и время, предполагает нечто эмпирическое” [11, т.3, с.78]. Поэтому он предлагает различать “движение объекта в пространстве”, которое “не подлежит рассмотрению в геометрии, так как подвижность чего бы то ни было познается не a priori, а только опытом”, и “движение как описание пространства”, которое есть “чистый акт последовательного синтеза многообразного во внешнем созерцании вообще при помощи продуктивной способности воображения” [11, т.3, с.142] - без которого невозможна геометрическая мысль, и которое было охарактеризовано выше как “действие субъекта, но не определение объекта”. Это кантовское различение двух видов движения вполне соответствует платоническому различению становления эмпирического и становления геометрического.
Невозможно не упомянуть здесь также о возводимой обычно к Канту идее об особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики с созерцанием времени. В самом деле, у Канта читаем: “Геометрия кладет в основу чистое созерцание пространства. Арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени” [11, т.4, с.38]. Это место действительно провоцирует такое понимание: как геометрия связана с пространством, так арифметика со временем. Именно так воспринимает это место Шопенгауэр: “На связи частей времени основано исчисление, слова в нем служат лишь для того, чтобы отмечать отдельные шаги последовательности; следовательно, на этой связи основана и арифметика, которая учит только методическому сокращению исчисления”. “Так же на связи положения частей пространства основана вся геометрия” [36, т.1, с.104]. Шопенгауэр не слишком хорошо разбирался в математике, однако эту же идею подхватывает такой крупный математик как В.Р.Гамильтон, в 1833 г. выпустивший “an elementary essay on Algebra as the Science of pure time” [13, с.206], впрочем, вынужденный признать, что уже введение вычитания требует пространственных представлений. Интересно, что более внимательное знакомство с Кантом убеждает, что никакого противопоставления арифметики, как опирающейся исключительно на созерцание времени, и геометрии, - как опирающейся исключительно на созерцание пространства, им не производится. Никакого представления пространства, свободного от представления времени быть не может: “время есть априорное формальное условие всех явлений вообще” [11, т.3, с.73]. Не может быть и представления времени, свободного от представления пространства - выше мы уже цитировали одно из мест первой Критики, где эта мысль высказывается, кроме того, можно указать на черновые заметки Канта специально развивающие эту мысль [11, т.8, с.651]. Мы всегда имеем дело с пространственно-временным комплексом представлений, который лежит в основании, как арифметики, так и геометрии, хотя акценты и могут расставляться различно. Подлинное же различие геометрии от арифметики и алгебры в типе конструирования - остенсивном в первом случае и символическом - во втором.
На ошибочность представления об особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики - с созерцанием времени, указывал Шпенглер. Однако он полагал, что эту ошибку совершил и сам Кант. “Колоссальной по своим последствиям - писал Шпенглер - и до сего дня еще не преодоленной ошибкой Канта было то, что он совершенно схематически установил связь внешнего и внутреннего человека с многозначными и, главное, не стабильными понятиями пространства и времени и тем самым совершенно ложным образом связал геометрию и арифметику, вместо которых здесь должна быть хотя бы упомянута более глубокая противоположность математического и хронологического числа. Арифметика и геометрия обе суть счисления пространства и в высших своих областях вообще не подлежат различению. Счисление времени, интуитивно вполне понятное наивному человеку, отвечает на вопрос “когда”, а не на вопрос “что” или “сколько” “ [37, с.132]. “Каждую логическую операцию - пишет Шпенглер далее - можно нарисовать. Каждая система есть геометрический способ обращения с мыслями. Оттого время лишено места в “системе” или падает жертвой ее метода. Тем самым опровергается и повсеместно распространенное недоразумение, поверхностным образом связующее время с арифметикой, а пространство с геометрией, заблуждение, которому не должен был бы подпасть Кант, хотя едва ли следовало ожидать чего-либо иного от Шопенгауэра с его непониманием математики. Поскольку живой акт счисления как-то соотносится со временем, число и время постоянно смешивали друг с другом. Но счисление не есть число, как рисование не есть рисунок. Счисление и рисование суть становление, числа и фигуры - ставшее. Кант и другие имели в виду в одном случае живой акт (счисление), а в другом - его результат (пропорции готовых фигур). Но одно относится к сфере жизни и времени, другое - к протяженности и каузальности. То, что я счисляю, подлежит органической логике; то, что я счисляю, - неорганической. Вся математика, - популярно выражаясь, арифметика и геометрия - отвечает на вопрос “как” и “что”, стало быть, на вопрос о естественном распорядке вещей. В противоречии с этим находится вопрос о “когда” вещей, специфически исторический вопрос - вопрос о судьбе, будущем и прошлом. Все это таится в слове “летоисчисление”, которое наивный человек понимает совершенно недвусмысленно. Между арифметикой и геометрией нет никакой противоположности. Каждый род числа <...> принадлежит во всем своем объеме к сфере протяженного и ставшего, будь то евклидова величина или аналитическая функция. А к какой из обеих сфер следовало бы отнести циклометрические функции, биноминальную теорему, римановы плоскости, теорию групп? Кантовская схема была уже опровергнута Эйлером и Д'Аламбером, прежде чем он успел ее сформулировать, и лишь неосведомленность более поздних философов по части современной им математики - в противоположность Декарту, Паскалю и Лейбницу, которые сами создавали математику своего времени из глубин собственной философии, - могла привести к тому, что дилетантские взгляды на отношение между временем и арифметикой продолжали передаваться по наследству, почти не встречая возражений. Но становление ни в чем не соприкасается с какой-либо областью математики” [37, с.282-283]. Эта обширная цитата приведена здесь не только как яркий пример протеста против связывания арифметики исключительно с созерцанием времени, а геометрии - с созерцанием пространства, но и как ярчайший пример протеста против представления о том, что время и становление вообще могут служить предметом применения математических методов. Однако хотя в главном Шпенглер, безусловно, прав, картина несколько сложнее, чем ему представляется. Обратим внимание, что среди приверженцев представления об особой связи алгебры и времени мы находим В.Р.Гамильтона, которого вряд ли можно упрекнуть в незнании современной ему математики. Это означает, что дело здесь не в дилетантизме, как полагает Шпенглер. Дело не в том, что математике и ее методам недоступны время и становление вообще, а в том, что время и становление в математике существенно иные, чем те историческое время и эмпирическое становление, о которых говорит Шпенглер. Более адекватным здесь оказывается платоническое представление о срединном характере математики (ее предмета и метода) - это и не полная свобода от времени и становления - вечное бытие эйдосов и созерцающего их ума, но и не собственно эмпирическое время и становление чувственно воспринимаемого космоса. Можно и нужно говорить о времени и становлении в математике, но помня, что это особые, математические, время и становление. Например, они не обладают уникальностью и неповторимостью исторического времени и эмпирического становления. В математике можно дважды войти в одну и ту же реку. Ее время и ее становление подобны времени и становлению кинофильма, который можно прокручивать еще и еще раз, и даже просмотреть в обратном порядке. Однако само событие, состоящее в том, что нам случилось прокрутить именно этот “математический кинофильм”, именно в это время и именно в этом месте, есть факт эмпирического и исторического порядка.