Обсуждаемое отсутствие необходимой связи интересно выразилось уже в “Тимее”. Желая конструировать правильные многогранники из прямоугольных треугольников, Платон избирает два наиболее “прекрасных” из них - равнобедренный и “тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник - равносторонний” (т.н. гемитригон). Первый из избраных треугольников “хорош” по понятной причине - у него равные катеты. Но почему из всех неравнобедренных прямоугольных треугольников выбран именно гемитригон? Этого Платон не объясняет: “обосновывать это было бы слишком долго (впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем)” [21, с.457; курсив мой]. Обратим внимание на выделенные курсивом слова. Что это значит? На наш взгляд, Платон подчеркивает, что для него важен эффект, производимый его рассуждением в целом и основные принципы его разворачивания (в данном случае: эстетическое совершенство), а не отдельные его детали, которые могут и не определяться темой диалога однозначным образом, а значит, и могут быть заменены другими, коль скоро такие будут представлены.
Обе названные особенности существования математических конструкций в интересующем нас культурном контексте являются частными проявлениями более общей тенденции - тяготения к восприятию математики как эстетического феномена. Эстетического - в широком, первоначальном смысле этого слова - от aisthesis - чувственное восприятие (в первую очередь зрение). Греческая математика преимущественно геометрична, а в платонической традиции именно геометрия оказывалась самой “математической” из всех математических дисциплин, дисциплиной, наиболее полно воплощающей срединное положение математики между чувственным и эйдетическим [27]. Именно эстетическая сторона математики выявляет себя наиболее полно в математической мифологии.
Как мы уже отмечали, всякая специфическая область приложения математики позволяет по-новому взглянуть на математику вообще. Какую же перспективу в понимании математики открывает нам математическая мифология и работа математических конструкций в роли парадигмальных схем?
В данном аспекте ключ к пониманию природы математики наиболее естественным представляется искать, конечно же, в наиболее наглядной, “зримой”, области математики - в геометрии.
Уже Прокл отчетливо зафиксировал главную особенность геометрической мысли: она способна дать развернутое знание о своих предметах лишь с помощью воображения (phantasia), отразив их в воображаемой материи (hyle phantaston) [24]. Предмет математики не умозрителен, но и не воспринимаем чувствами. Он удивительным образом причастен и тому и другому, что Аристотель зафиксировал в парадоксальных, совмещающих главные противоположности платонической онтологии терминах hyle noete (“мыслимая материя”) и noys pathetikos (“страдательный разум”) [27]. Геометрическое воображение Прокла оказывается одновременно совмещающим в себе казалось бы несовместимое - чистую активность (noys) и чистую пассивность (hyle). Чистая мысль (noys theoretikos), овеществляясь, обращается в геометрии в noys pathetikos, а материя чувственного восприятия (hyle aisthete), очищаясь, предстает как более “тонкая” геометрическая материя (hyle noete, hyle phantaston).
Следующий важный шаг в осмыслении природы геометрической мысли делает Кант. Прокловскому различению hyle aisthete и hyle phantaston у Канта соответствует противопоставление эмпирического и чистого созерцания (reine Anschauung). Причем Кант явно называет это чистое созерцание - “пространство + время”. Здесь “пространство и время” обозначают тот универсальный фундамент, который соответствующий мысленный эксперимент обнаруживает в основе всякого нашего представления. Геометрическое мышление есть пространственно-временное конструирование, а предмет геометрии - пространство и его отношения, временная динамика пространственных конструкций [11, т.3, с.67, 76-77, 528-529].
В самом деле, в эстетическом аспекте деятельность геометра предстает как организация и переорганизация пространственных элементов во времени, а цель - изучение существующих здесь возможностей. Решая задачу из элементарной геометрии, мы проводим прямые и окружности, фиксируем их пересечения как точки. Затем исследуем устройство получившейся конфигурации: насколько “жестко” заданные условия фиксируют соответствующую “конструкцию”, сколько различных конструкций может быть “собрано” из данных элементов и т.п. Особенно важно отметить, что соединение любых двух элементов в этой деятельности непосредственно дается нам в созерцании, мы непосредственно “видим” как они “стыкуются” между собой. Доказательства же и вычисления в эстетическом аспекте предстают как сравнение и сопоставление различных элементов исследуемой конструкции.
Нарисованная картина порождает, однако, ряд вопросов и требует комментария.
Во-первых, обратим внимание на то, как проявляется в нашем простейшем случае платоническая тема срединного положения геометрической деятельности между чистой активностью и чистой пассивностью. С одной стороны, налицо активное, конструктивное начало - мы можем порождать те или иные конфигурации по собственному желанию. С другой стороны, мы не можем, например, заставить две прямые “заключать пространство”, - та среда, в которой мы разворачиваем свою конструктивную активность, имеет свои закономерности, не позволяющие нашему конструированию быть совершенно произвольным, накладывая на него свои ограничения. Эта среда обладает “косностью”, она сопротивляется формующей руке творца, эта среда материальна - актуализировать в ней можно лишь то, что допускается ее собственными потенциями. Более того, деятельность геометра, судя по всему, как раз и направлена именно на выявление этих потенций, а не на наслаждение собственным произволом. Наряду с конструктивным началом в простейшей геометрической деятельности мы явственно ощущаем и присутствие начала рецептивного (7) .
Во-вторых, следует особо остановиться на кантовском различении чистого и эмпирического. Насколько математическая мысль действительно свободна от эмпирических образов? Рассуждая, геометр чертит палочкой на песке, мелом на доске или ручкой на бумаге. Те или иные эмпирические “подпорки” постоянно сопровождают геометрическую мысль. В каком смысле можно говорить, что она от них независима? Ведь хорошо известно, что уже в случае достаточно сложной задачи из элементарной геометрии практически невозможно обойтись без помощи эмпирического чертежа (8) .
Подобные недоумения были удачно разрешены еще Аристотелем. Да, геометр рассуждает, глядя на нарисованный им на доске треугольник. Можно даже сказать, что он рассуждает об этом самом нарисованном треугольнике, однако, не поскольку он нарисован мелом и на доске, т.е. не поскольку он есть некоторый объект эмпирического мира, а поскольку этот треугольник организован в нашем представлении по определенным закономерностям. Точнее: этот эмпирический чертеж позволяет геометру удерживать внимание на определенной пространственной конфигурации. При этом нам не столь уж важно способны мы представлять треугольник полностью свободным от эмпирических характеристик (напр., цвета) или нет. Нам вполне достаточно различать в самом эмпирическом предмете пространственно-временные характеристики ото всех остальных. Так разные (с эмпирической точки зрения) чертежи вполне могут представлять одну и ту же геометрическую конфигурацию (единый гештальт) (9) .
Однако мы можем задать теперь следующий вопрос: а в самом ли деле мы способны отличать пространственно-временные характеристики ото всех остальных? Кант убежден, что да. Но приводимый им в подтверждение этого и уже упомянутый выше мысленный эксперимент отнюдь не доказывает желаемого. Он вызывает в нашем воображении лишь некие смутные образы (из разновидности “образов абстрактного”, которые Р.Арнхейм уподобляет импрессионистской живописи). Интерсубъективность таких образов может вызвать серьезные сомнения. Значительно более надежно указывают на интересующий нас предмет сами слова “пространство” и “время”. Сам факт устойчивого существования их в языке предполагает наличие постоянной преемственности в контекстах их употребления, в достаточной степени обеспечивающей взаимопонимание (хотя и не гарантирующей абсолютной неизменности их смысла!). Во всяком случае, эти слова определяют свой предмет не хуже чем слово “математика” - свой (10) . Более конкретным разъяснением вкладываемого в них в настоящем выступлении смысла может служить лишь сам текст этого выступления. Но, что же все-таки способен прояснить для нас мысленный эксперимент Канта? Во всяком случае, достаточную фундаментальность ситуаций употребления слов, выражающих пространственно-временные характеристики.
В-третьих, определенного комментария требует и утверждение о данности геометрических фигур в созерцании. Еще Декартом был приведен знаменитый пример с тысячеугольником [9, с.58], который не может быть нами воображен. Хуже того: даже такие простейшие геометрические объекты как “точка” или “прямая” непредставимы наглядно в точном смысле слова, ведь простейший мысленный эксперимент убеждает нас в непредставимости ни слишком малого, ни слишком большого [25, с.208; 12, с.273-274; 26, с.63-65; 32, с.44-48, 101-111; 33, с.37-38]. Действительно, мы не можем представить точку, не имеющую размеров, не можем представить линию, не имеющую толщины, не можем сразу охватить взглядом бесконечную прямую. Однако это не мешает нам представлять прямые и точки все же достаточно отчетливо для того, чтобы отличать различные части геометрической конструкции друг от друга и непосредственно “видеть” их взаимное расположение. Прямую мы имеем возможность “видеть” достаточно тонкой для того, чтобы в процессе рассуждения не обращать внимания на ее толщину, а точку - достаточно малой для того, чтобы игнорировать ее размеры (11) . Действительно, мы не можем представить тысячеугольник настолько отчетливо, чтобы отличать его от многоугольника с несколько большим или несколько меньшим числом сторон. Однако мы можем достаточно отчетливо представить его сторону и соединение ее с соседними сторонами, а этого уже вполне достаточно для изучения математических свойств соответствующей конструкции (подробнее это будет разъяснено ниже).