Некоторые приложения дифференциального исчисления (стр. 6 из 6)

Если перейти к прямоугольным координатам, взяв полюс за начало, а полярную ось - за ось х, то уравнения

x = r cos

=f( ) cos , у=rsin =f( )sin

дадут параметрическое представление нашей кривой, причем роль параметра здесь будет играть полярный угол

.

Формулы:

Показывают, что особая точка может встретится лишь в том случае, если

Длина плоской кривой

Пусть имеем (незамкнутую или замкнутую) плоскую кривую АВ, заданную параметрически уравнениями:

,

где функции

и здесь предполагаются непрерывными. Пусть кратных точек на кривой нет, так что каждая точка получается лишь при одном значении параметра t. При этих предположениях кривую будем называть непрерывной простой кривой.

Точка А отвечает значению параметра t=t₀, а точка B-значению t=T. Точка А называется начальной, а точка B конечной точкой кривой. Из двух отличных от A и B та считается следующей, которая отвечает большему значению параметра.

Возьмем на кривой ряд точек: А = М₀, М₁ ,М₂ ,..., М_i ,M_i+1,…, М_n = В так, чтобы они шли в указанном возрастающим значениям параметра t₀ <t₁<t₂<…<t_i<t_i+1<…<t_n.

Рис. 16

Соединяя эти точки последовательно прямолинейными отрезками (рис. 16), мы получим ломаную М₀М₁ ... М_n-1 М_n вписанную в кривую АВ.

Длиной кривой АВ, называется точная верхняя граница S для множества периметров р всевозможных вписанных в кривую ломаных: S=Sup{p}.

Если это число S конечно, то кривая называется спрямляемой.

Пусть функции

и имеют непрерывные производные и на . Тогда длина дуги вычисляется по формуле или (1)

Если кривая задана полярным уравнением r = g(

), то это равносильно заданию ее параметрическими уравнениями

х = r cos

, у = rsin ,

где параметр -

; дуга будет функцией от : s = s(

). Так как

То

и формула (1) примет вид:

Кривизна плоской кривой.

Пусть дана простая кривая x =

(t), y =

(t) (t0

) , (1)

где функции

и предполагаются непрерывными вместе со своими производными первого и второго порядка.

Рис. 17

Пусть

, есть дуга кривой; рассмотрим касательные МТ и M₁T₁ проведенные в конечных точках этой дуги. Кривизну кривой будем характеризовать углом поворота касательной, рассчитанным на единицу длины дуги, т.е. отношением , где угол измеряется в радианах, а длина - в выбранных единицах длины. Это отношение называют средней кривизной дуги кривой.

Кривизной кривой в точке М называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги MM₁ ,когда точка М₁ вдоль по кривой стремится к М.

Кривизну кривой в данной точке обозначаем буквой k:

Возьмем на участке кривой точку М, и пусть ей отвечает значение s дуги. Придав s произвольное приращение

, получим другую точку (рис. 18). Приращение угла наклона касательной при переходе от М к М₁даст угол между обеими касательными:

Рис. 18

Так как

, то средняя кривизна будет равна

Устремив MM₁ =

к нулю, получим выражение для кривизны кривой в точке М:

(2)

Перепишем формулу (2) иначе:

(3)

. Нужно найти . Так как

и , то

Подставив в (3) значения

и получим конечную формулу:

(4)

Если кривая задана явным уравнением y=f(x), то эта формула принимает вид:

Если дано полярное уравнение кривой: r = g(

), то можно перейти к параметрическому представлению в прямоугольных координатах, принимая за параметр . Тогда с помощью (4) получается:

Пример.

Найти кривизну линии

в точке с абсциссой

Решение

Находим

Вычисляем значения производных при

:

;

Кривизна линии

Литература

1. Д.К. Фаддеев, Н.С. Никулин, И.Ф. Соколовский Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука,1987. - 336 с.

2. Н.Я. Виленкин, К.А. Бохан и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.,”Просвещение”,1981. – 343 с.

3. Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1969.

4. П.Е. Данко и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. - Издательство “Высшая школа”, 1998.